孟曉華，于大國(guó)

(1.山西機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西長(zhǎng)治 046011；2.中北大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山西太原 030051)

0 前言

復(fù)合化、多功能數(shù)控機(jī)床的相關(guān)技術(shù)在不斷更新，目前，這種機(jī)床的市場(chǎng)份額一直在增加，種類也一直在變化，在未來，這種機(jī)床占據(jù)的市場(chǎng)份額可能達(dá)到2/3。制造行業(yè)的發(fā)展方向細(xì)分化使該行業(yè)的個(gè)性化需求增多，因此，能夠個(gè)性化、小批量生產(chǎn)的機(jī)床具備十足的發(fā)展?jié)摿1]。如何適應(yīng)現(xiàn)代市場(chǎng)對(duì)個(gè)性化、多品種、低成本、小批量零件高效生產(chǎn)的需求是這種中小型機(jī)床目前必須要解決的問題，其關(guān)鍵就在于對(duì)自身性能的高要求、嚴(yán)標(biāo)準(zhǔn)[2]。機(jī)床自身的部件與結(jié)構(gòu)對(duì)其加工性能的好壞有著直接的影響，確保其空間誤差較低是保障零件加工效率與加工質(zhì)量的前提。然而目前中小車銑復(fù)合數(shù)控機(jī)床的部件質(zhì)量參差不齊，尤其是主軸部件，在性能與結(jié)構(gòu)上都存在一定問題，因此機(jī)床普遍存在一定的空間誤差，對(duì)其進(jìn)行建模與補(bǔ)償是解決該問題最簡(jiǎn)單的方法，因此對(duì)該問題進(jìn)行研究。

對(duì)于數(shù)控機(jī)床來說，空間誤差的建模與補(bǔ)償問題一直是一個(gè)研究熱點(diǎn)，很多學(xué)者都進(jìn)行過該問題的研究。其中文獻(xiàn)[3]提出一種基于靈敏度分析的建模與補(bǔ)償技術(shù)，主要是通過切比雪夫多項(xiàng)式與關(guān)鍵誤差元素的測(cè)量數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)空間誤差補(bǔ)償模型的構(gòu)建，并開發(fā)實(shí)時(shí)誤差補(bǔ)償系統(tǒng)。文獻(xiàn)[4]提出一種精密臥式加工中心的誤差建模、測(cè)量與補(bǔ)償方法，主要是根據(jù)三維誤差建模結(jié)果進(jìn)行測(cè)量與補(bǔ)償，提高了機(jī)床的空間定位精度。由于上述方法在車銑復(fù)合數(shù)控機(jī)床的應(yīng)用中存在定位精度提升效果不好的問題，對(duì)此，設(shè)計(jì)一種車銑復(fù)合數(shù)控機(jī)床空間誤差建模和補(bǔ)償方法。

1 空間誤差建模和補(bǔ)償方法設(shè)計(jì)

1.1 幾何誤差辨識(shí)

針對(duì)車銑復(fù)合數(shù)控機(jī)床的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸，忽略兩軸位置的無關(guān)誤差，通過齊次坐標(biāo)變換理論分別構(gòu)建其幾何誤差辨識(shí)模型，并對(duì)測(cè)試進(jìn)行優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)兩軸的幾何誤差辨識(shí)[5]。

用C軸表示旋轉(zhuǎn)軸中的車削主軸，其誤差辨識(shí)模型的構(gòu)建過程具體如下：

(1)在測(cè)試前需要對(duì)直線軸誤差進(jìn)行補(bǔ)償，以提升測(cè)試精度；

(2)在工作臺(tái)上夾裝一個(gè)球桿儀，用a表示工作臺(tái)端球，b表示主軸端球；

(3)d表示球a與工作臺(tái)端面之間的Z向高度，f表示其與C軸軸線的實(shí)際距離；

(4)使球桿儀與Z軸軸線平行，啟動(dòng)球桿儀的RTCP功能，并持續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)C軸，對(duì)球桿儀此時(shí)Z向的伸長(zhǎng)量變化進(jìn)行記錄；

(5)以齊次坐標(biāo)變換理論為依據(jù)，工件坐標(biāo)系中球a的理想位置ai可以用下式來表示：

(1)

工件坐標(biāo)系中球a的實(shí)際位置aj可以用下式來表示：

(2)

啟動(dòng)RTCP功能后，在C軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，主軸端球b相對(duì)于C軸的位置幾乎不變，而球a的實(shí)際位置與其理想位置間的差值如下式：

(3)

由于此時(shí)球桿儀與Z軸軸線是平行的，可以認(rèn)為上式中Z軸軸線方向上球a的位置變動(dòng)與球桿儀的伸縮量相等，如果在工件坐標(biāo)系中改變球a的位置：a1(f1,d1)、a2(f2,d2)、a3(f3,d3)，并使球桿儀與X、Y、Z軸線分別平行，能夠獲取以下方程組：

(4)

將上式展開，初步完成C軸誤差辨識(shí)模型的構(gòu)建：

(5)

通過對(duì)該誤差模型進(jìn)行求解，可以獲得C軸的6項(xiàng)幾何誤差。以方程組解之間的存在性關(guān)系為依據(jù)，可知存在唯一解需要滿足未知數(shù)個(gè)數(shù)與矩陣的秩相等的條件，因此可以將構(gòu)建的C軸誤差辨識(shí)模型簡(jiǎn)化，也就是對(duì)測(cè)試進(jìn)行優(yōu)化，直接省略a3(f3,d3)處的X、Y向測(cè)試與a2(f2,d2)處的Y向測(cè)試[9]。優(yōu)化后的C軸誤差測(cè)試流程具體如下：

(1)a1(f1，d1)處的X、Y、Z向測(cè)試；

(2)a2(f2，d2)處的X、Z向測(cè)試；

(3)a3(f3，d3)處的Z向測(cè)試。

通過以上步驟完成C軸最終誤差辨識(shí)模型的構(gòu)建，實(shí)現(xiàn)C軸的幾何誤差辨識(shí)[10]。

用B軸表示另一個(gè)旋轉(zhuǎn)軸，通過同樣的方法建模，實(shí)現(xiàn)其幾何誤差辨識(shí)，表達(dá)式為

(6)

1.2 空間誤差模型構(gòu)建

在工件坐標(biāo)系下，根據(jù)旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差辨識(shí)結(jié)果，采用多體理論構(gòu)建機(jī)床空間誤差模型[11]。

空間誤差模型的構(gòu)建步驟如下：

基于多體系統(tǒng)理論，將機(jī)床各體之間的運(yùn)動(dòng)變化等效轉(zhuǎn)換為相鄰隨動(dòng)坐標(biāo)系之間的運(yùn)動(dòng)變換。在誤差綜合影響下，以P變換至Q的X軸坐標(biāo)系為例，可以將這種運(yùn)動(dòng)變換分解為以下4種形式：

(7)

(8)

(9)

用實(shí)際刀尖點(diǎn)位置減去其理想位置，即可獲取空間誤差模型，具體如下式：

(10)

式(10)中：X、Y、Z表示三軸上的坐標(biāo)值。

就此完成空間誤差模型構(gòu)建。

1.3 補(bǔ)償策略設(shè)計(jì)

基于理想狀態(tài)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)設(shè)計(jì)同步空間誤差補(bǔ)償策略，通過迭代方式對(duì)各軸補(bǔ)償值進(jìn)行計(jì)算，實(shí)現(xiàn)空間誤差的補(bǔ)償。該策略的具體運(yùn)行流程如下：

(1)啟動(dòng)NC加工程序；

(2)通過下式表示各軸運(yùn)動(dòng)量，也就是各軸的機(jī)械坐標(biāo)：

K=[X′,Y′,Z′,φ,φ]

(11)

式(11)中：X′、Y′、Z′、φ、φ分別表示X軸、Y軸、Z軸、B軸、C軸上的運(yùn)動(dòng)量。

(3)對(duì)各軸運(yùn)動(dòng)量進(jìn)行更新，具體如下式：

K′=K+ΔK

(12)

式(12)中：ΔK表示更新的各軸運(yùn)動(dòng)量；K′表示更新后的各軸運(yùn)動(dòng)量[15]。K′的初始值為K′=K，ΔK=0。

(13)

根據(jù)上式獲取刀具的理想位姿，用(ωi，ξi)來表示。并根據(jù)存在幾何誤差的正運(yùn)動(dòng)學(xué)式計(jì)算此時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)鏈的變換矩陣，根據(jù)該矩陣獲得刀具的預(yù)測(cè)位姿，用(ωj，ξj)來表示[17]。

(4)根據(jù)(ωi，ξi)和(ωj，ξj)計(jì)算此時(shí)的殘留空間誤差，當(dāng)殘留的空間誤差比允許公差小，各軸補(bǔ)償值具體如下式：

Kc=K′-K=[ΔX′,ΔY′,ΔZ′,Δφ,Δφ]

(14)

式(14)中：ΔX′、ΔY′、ΔZ′、Δφ、Δφ分別表示X軸、Y軸、Z軸、B軸、C軸上的運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償量[18]。

當(dāng)殘留的空間誤差比允許公差大，根據(jù)理想逆運(yùn)動(dòng)學(xué)思想，求取各軸的運(yùn)動(dòng)量，并將其作為各軸的補(bǔ)償值。首先在理想狀態(tài)下機(jī)床的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解過程中代入[Δω，Δξ′]所對(duì)應(yīng)的位姿增量，獲取其運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解。其中Δω表示理想位姿的偏差；Δξ′表示實(shí)際位姿的偏差的單位向量。獲取的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解為ΔK1=[ΔX′1，ΔY′1，ΔZ′1，Δφ1，Δφ1]。在之前的運(yùn)動(dòng)量上疊加ΔK1，此時(shí)刀具實(shí)際運(yùn)動(dòng)姿態(tài)用P1來表示，計(jì)算P1處的運(yùn)動(dòng)量。此時(shí)相比理想位置，P1處產(chǎn)生一組新誤差[19]。不斷重復(fù)以上過程，使刀具逐漸接近理想位姿，并不斷對(duì)該過程中的運(yùn)動(dòng)量進(jìn)行計(jì)算，疊加所計(jì)算的運(yùn)動(dòng)量，完成各軸運(yùn)動(dòng)量的求取，作為各軸的補(bǔ)償值[20]。

2 實(shí)驗(yàn)測(cè)試

2.1 機(jī)床參數(shù)

為證明設(shè)計(jì)的車銑復(fù)合數(shù)控機(jī)床空間誤差建模和補(bǔ)償方法的有效性，以一臺(tái)車銑復(fù)合數(shù)控機(jī)床為研究對(duì)象，對(duì)該機(jī)床實(shí)施空間誤差建模和補(bǔ)償。實(shí)驗(yàn)機(jī)床各軸的行程與定位精度如表1所示。

表1 實(shí)驗(yàn)機(jī)床具體參數(shù)Tab.1 Specific parameters of the experimental machine tool

2.2 實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備

實(shí)驗(yàn)中的坐標(biāo)系設(shè)置情況如表2所示。

表2 坐標(biāo)系具體參數(shù)Tab.2 Specific parameters of coordinate system

2.3 實(shí)驗(yàn)方法設(shè)計(jì)

實(shí)施旋轉(zhuǎn)軸的幾何誤差辨識(shí)。在辨識(shí)前首先對(duì)直線軸誤差進(jìn)行補(bǔ)償，補(bǔ)償方式為校正機(jī)床機(jī)械零點(diǎn)。具體校正步驟如下：

(1)通過壓表法尋找Z軸軸線與B軸軸線平行時(shí)的角度，將其設(shè)置為-90°；

(2)尋找檢棒平行于Y軸、X軸的4個(gè)高點(diǎn)；

(3)調(diào)整Y軸、X軸的坐標(biāo)，使C軸與檢棒同心；

(4)將Y軸、X軸此時(shí)的機(jī)械坐標(biāo)置零；

(5)使B軸返回0°，將刀儀與工件主軸端面靠近，考慮檢棒半徑與對(duì)刀儀距離，將機(jī)械坐標(biāo)零點(diǎn)直接設(shè)置在工件主軸端面與刀具主軸軸線對(duì)齊的位置。

構(gòu)建的C軸和B軸幾何誤差辨識(shí)模型如公式(5)和公式(6)所示，接著構(gòu)建其空間誤差模型，并通過同步空間誤差補(bǔ)償策略進(jìn)行空間誤差補(bǔ)償，根據(jù)補(bǔ)償結(jié)果測(cè)試各軸的定位精度及其重復(fù)定位精度，并對(duì)機(jī)床進(jìn)行圓錐體的誤差補(bǔ)償測(cè)試，對(duì)其測(cè)量結(jié)果進(jìn)行分析，觀察設(shè)計(jì)方法的直觀誤差補(bǔ)償效果。

在測(cè)試中，為形成對(duì)比效果，將基于靈敏度分析的建模與補(bǔ)償技術(shù)與精密臥式加工中心的誤差建模、測(cè)量與補(bǔ)償方法作為對(duì)比方法，共同進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。用方法1、方法2表示這兩種方法，使敘述更加簡(jiǎn)潔。

2.4 定位精度測(cè)試

首先測(cè)試3種方法補(bǔ)償后機(jī)床各軸的定位精度，觀測(cè)3種方法各軸的定位精度相較于原本定位精度的變化情況，測(cè)試結(jié)果如圖1所示。

圖1 各軸的定位精度測(cè)試結(jié)果Fig.1 Positioning accuracy test results for each axis

由圖1可以得出：文中方法補(bǔ)償后，實(shí)驗(yàn)機(jī)床X軸、Y軸、Z軸的定位精度相比原本的定位精度提升了0.6 μm，B軸的定位精度提升了4″，C軸的定位精度提升了3″；方法1補(bǔ)償后，實(shí)驗(yàn)機(jī)床X軸、Y軸、Z軸的定位精度相比原本的定位精度提升了0.4 μm，B軸的定位精度提升了1″，C軸的定位精度提升了1″；方法2補(bǔ)償后，實(shí)驗(yàn)機(jī)床X軸、Y軸、Z軸的定位精度相比原本的定位精度提升了0.2 μm，B軸的定位精度提升了2″，C軸的定位精度提升了1″。對(duì)比可知，文中方法能夠?qū)崿F(xiàn)最大程度的定位精度提升。

2.5 重復(fù)定位精度測(cè)試

接著測(cè)試3種方法補(bǔ)償后機(jī)床各軸的重復(fù)定位精度，觀測(cè)3種方法各軸的重復(fù)定位精度相較于原本重復(fù)定位精度的變化情況，測(cè)試結(jié)果如圖2所示。

圖2 各軸的重復(fù)定位精度測(cè)試結(jié)果Fig.2 Repetitive positioning accuracy test results for each axis

圖2表明：文中方法補(bǔ)償后，實(shí)驗(yàn)機(jī)床X軸、Y軸、Z軸的重復(fù)定位精度相比原本的重復(fù)定位精度提升了0.5 μm，B軸的重復(fù)定位精度提升了6″，C軸的重復(fù)定位精度提升了3″；方法1補(bǔ)償后，實(shí)驗(yàn)機(jī)床X軸、Y軸、Z軸的重復(fù)定位精度相比原本的重復(fù)定位精度提升了0.4 μm，B軸的重復(fù)定位精度提升了3″，C軸的重復(fù)定位精度提升了1″；方法2補(bǔ)償后，實(shí)驗(yàn)機(jī)床X軸、Y軸、Z軸的重復(fù)定位精度相比原本的重復(fù)定位精度提升了0.3 μm，B軸的重復(fù)定位精度提升了3″，C軸的重復(fù)定位精度提升了1″。經(jīng)過對(duì)比，設(shè)計(jì)方法能夠最大程度上提升重復(fù)定位的精度。

2.6 圓錐體的誤差補(bǔ)償測(cè)試

對(duì)補(bǔ)償后的實(shí)驗(yàn)機(jī)床進(jìn)行圓錐體的誤差補(bǔ)償測(cè)試，主要是對(duì)正反行程中反行程產(chǎn)生的誤差進(jìn)行測(cè)試，以獲得更加直觀的誤差補(bǔ)償效果。共進(jìn)行3次實(shí)驗(yàn)，每次正反行程的半徑不同，分別測(cè)試半徑較大、居中、偏小的圓度情況。

半徑較大時(shí)，反行程的實(shí)驗(yàn)圓度如圖3所示。

圖3 半徑較大的測(cè)試情況Fig.3 Test cases with larger radii

根據(jù)圖3，半徑較大時(shí)，經(jīng)過方法1、方法2的補(bǔ)償后，反行程的實(shí)驗(yàn)圓度得到了一定降低，而經(jīng)過設(shè)計(jì)方法的補(bǔ)償后，設(shè)計(jì)方法反行程實(shí)驗(yàn)圓度比方法1、2好，說明設(shè)計(jì)方法的誤差補(bǔ)償效果更好。

半徑居中時(shí)，反行程的實(shí)驗(yàn)圓度如圖4所示。

圖4 半徑居中時(shí)的測(cè)試情況Fig.4 Test situation when the radius is centered

圖4表明：半徑居中時(shí)，經(jīng)過方法1、方法2的補(bǔ)償后，反行程的實(shí)驗(yàn)圓度得到了一定降低；而經(jīng)過設(shè)計(jì)方法的補(bǔ)償后，反行程實(shí)驗(yàn)圓度的降低幅度比方法1、方法2大，同樣能夠證明設(shè)計(jì)方法的誤差補(bǔ)償效果更好。但整體來看，3種方法的降幅都比半徑較大時(shí)小。

半徑偏小時(shí)，反行程的實(shí)驗(yàn)圓度如圖5所示。

圖5 半徑偏小時(shí)的測(cè)試情況Fig.5 Test situation with small radius deviation

圖5表明：半徑偏小時(shí)，同樣是設(shè)計(jì)方法的圓度降幅大于方法1、方法2。但半徑偏小時(shí)3種方法的整體降幅在3種半徑情況中最小，說明行程半徑越大，能夠?qū)崿F(xiàn)的誤差補(bǔ)償部分越大，反之，能夠?qū)崿F(xiàn)的誤差補(bǔ)償部分越小。

3 結(jié)束語

針對(duì)車銑復(fù)合數(shù)控機(jī)床進(jìn)行系統(tǒng)性研究，提出一種空間誤差建模和補(bǔ)償方法，實(shí)現(xiàn)了誤差的離線補(bǔ)償，提升了機(jī)床的柔性加工制造與靈活的誤差補(bǔ)償，解決了目前的方法存在的局限性，對(duì)于中小車銑復(fù)合數(shù)控機(jī)床的精細(xì)化發(fā)展有意義。