郭元偉，邵亞斌

（1.太原學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 太原 030032；2.重慶郵電大學(xué) 理學(xué)院，重慶 400065）

0 引言

眾所周知，模糊微分方程在不確定或不完全動(dòng)力系統(tǒng)中發(fā)揮了重要作用。Kaleva［1］于1987 年給出了H 差的定義，討論了模糊微分方程的初值問題，然而H 差需要滿足模糊值函數(shù)的支撐集長(zhǎng)度是單調(diào)非減，這一條件極大地限制了模糊值函數(shù)的可導(dǎo)性，直到2005 年Bede 等［2-3］引入了模糊值函數(shù)強(qiáng)廣義導(dǎo)數(shù)的概念，這一問題才得到解決。Stefanini［4］于2010 年定義的模糊數(shù)gH 差是一種更廣范圍的模糊數(shù)H 差，同時(shí)基于gH 差的模糊微分進(jìn)一步完善了Hukuhara 微分，相關(guān)內(nèi)容也可參考文獻(xiàn)［5-8］。除此以外，利用Zadeh 擴(kuò)展原理來(lái)求相應(yīng)分明集值微分方程解的微分包含也是一種研究微分方程解的重要方法，文獻(xiàn)［9-12］較系統(tǒng)地介紹了微分包含的基本步驟、討論了解的唯一性等問題。同實(shí)值Laplace 變換一樣，模糊Laplace 變換在研究模糊微分方程中起著重要作用，2010年，Allahviranloo 等［13］首次給出了模糊Laplace 變換的定義，并將所得結(jié)果應(yīng)用到常系數(shù)線性模糊微分方程中，Shen 等［14］借助于模糊Laplace 變換研究了分?jǐn)?shù)階微分方程Ulam 穩(wěn)定性問題，Gong等［15-16］基于Henstock 積分討論了模糊Laplace 變換存在的充要條件和卷積定理，并利用相應(yīng)結(jié)果討論了幾類不連續(xù)模糊系統(tǒng)。

2018 年，Barros［17］、Esmi 等［18］通過從二維歐氏空間向線性相關(guān)模糊數(shù)空間中引入算子ΦA(chǔ)，討論了線性相關(guān)模糊數(shù)值函數(shù)的Fréchet 導(dǎo)數(shù)，Pedro 等［19］于2020 年推廣了相應(yīng)模糊數(shù)值函數(shù)的計(jì)算方法及對(duì)應(yīng)的Fréchet 導(dǎo)數(shù)和Riemann 積分。事實(shí)上，如果模糊數(shù)A是非對(duì)稱模糊數(shù)，則該空間是線性空間；如果模糊數(shù)A是對(duì)稱模糊數(shù)，則該空間不是線性空間。為了解決這一局限性，Shen［20-21］借助于R2上的等價(jià)關(guān)系≡A給出了線性相關(guān)模糊數(shù)空間中LC 差的定義，并給出了對(duì)應(yīng)的數(shù)值計(jì)算。值得一提的是，無(wú)論模糊數(shù)A是對(duì)稱的還是非對(duì)稱的，LC 差都是合理的，而且這種模糊數(shù)的差總是存在于線性相關(guān)模糊數(shù)空間中。Pedro 等［22］在非對(duì)稱模糊數(shù)導(dǎo)出的線性相關(guān)模糊數(shù)空間中定義了Laplace 變換，并討論了相關(guān)的性質(zhì)，然而文獻(xiàn)［22］并未給出相應(yīng)的卷積定理，而且文獻(xiàn)［22］中的所有結(jié)果均限于非對(duì)稱模糊數(shù)導(dǎo)出的線性相關(guān)模糊數(shù)空間，這些結(jié)論在對(duì)稱模糊數(shù)導(dǎo)出的線性相關(guān)模糊數(shù)空間中未必成立?；谝陨峡紤]，本文分別研究了非對(duì)稱模糊數(shù)和對(duì)稱模糊導(dǎo)出的線性相關(guān)模糊數(shù)空間中Laplace 變換的性質(zhì)，得到了模糊值函數(shù)關(guān)于實(shí)值函數(shù)的卷積定理，討論了模糊Volterra 積分方程和一階線性微分方程的解。

1 定義及說(shuō)明

文中用RF來(lái)表示定義在實(shí)數(shù)集R 上的全體模糊數(shù)空間。模糊數(shù)A∈RF：R →[0，1]滿足正規(guī)的、凸的、上半連續(xù)的，且支撐集緊［1-2］。任意A，B∈RF，k∈R，在模糊數(shù)空間RF中加法以及數(shù)乘運(yùn)算A⊕B，k⊙A分別定義為：?α∈[0，1]，有

特別地，把三角模糊數(shù)A簡(jiǎn)記為A=(a；b；c)，有[A]α=[a+(b-a)α，c+(b-c)α]。模糊數(shù)A是對(duì)稱模糊數(shù)是指［18］：存在對(duì)稱點(diǎn)x*∈R 使得A的隸屬度滿足A(x*+x)=A(x*-x)，?x∈R。易證，當(dāng)A是對(duì)稱模糊數(shù)時(shí)，有。

令A(yù)∈RF，定義ΦA(chǔ)(q，r)=qA⊕χ{r}，其中(q，r)∈R2。顯然，算子ΦA(chǔ)將二維數(shù)組(q，r)∈R2映射到模糊數(shù)ΦA(chǔ)(q，r)∈RF，為簡(jiǎn)化計(jì)算將qA⊕χ{r}簡(jiǎn)記為qA+r。由Zadeh 表示定理，得[ΦA(chǔ)(q，r)]α={qx+r：x∈[A]α}=q[A]α+r。

定義1［20］設(shè)A，B∈RF，若存在二元數(shù)組(q，r)∈R2滿足B=qA+r，則稱B是A線性相關(guān)模糊數(shù)，進(jìn)而把RF(A)={qA+r|(q，r)∈R2}稱為線性相關(guān)模糊數(shù)空間。

一般地，若B∈RF(A)，則存在(q，r)∈R2滿足B=ΦA(chǔ)(q，r)=qA+r，即B是一個(gè)A線性相關(guān)模糊數(shù)。事實(shí)上，A線性相關(guān)模糊數(shù)空間RF(A)與A是否是對(duì)稱模糊數(shù)有密切關(guān)系。一方面，當(dāng)A是非對(duì)稱模糊數(shù)時(shí)，ΦA(chǔ)是R2到RF(A)上的雙射，借助于ΦA(chǔ)的性質(zhì)，給出如下定義［21］：?B，C∈RF(A)，λ∈R，

容易證明

另一方面，當(dāng)A∈RFR 是關(guān)于x*的對(duì)稱模糊數(shù)時(shí)，若B=ΦA(chǔ)(q，r)，則ΦA(chǔ)(-q，2qx*+r)=B，也即，可見ΦA(chǔ)并不是R2到RF上的雙射。為解決這個(gè)問題，文獻(xiàn)［20-21］給出了定義在R2上的等價(jià)關(guān)系≡A，即(q，r)≡A(p，u)當(dāng)且僅當(dāng)(q，r)=(p，u)或(q，r)=(-p，2px*+u)，簡(jiǎn)記為[(q，r)]≡A={(q，r)，(-q，2qx*+r)}，同時(shí)用R2/≡A={[(q，r)]≡A|(q，r)∈R2}表示R2上的商集。

定義2［20-21］若[(q，r)]≡A，[(p，u)]≡A∈R2/≡A，?λ∈R，p≥0，q≥0，有

例1設(shè)A=(-1； 0； 1)表示三角模糊數(shù)，可得A的對(duì)稱點(diǎn)為x*=0，任取[(2，-3)]≡A∈R2/≡A，[(3，5)]≡A∈R2/≡A，根據(jù)定義2 得

定義3［20-21］設(shè)A∈RFR 是關(guān)于x*的對(duì)稱模糊數(shù)，B，C∈RF(A)，且有B=A([(q，r)]≡A)，C=A([(p，u)]≡A)，記

根據(jù)以上定義，以下事實(shí)成立：

定義4［20］若A∈RF，B，C∈RF(A)滿足B=ΦA(chǔ)(q，r)，C=ΦA(chǔ)(p，u)，

1） 當(dāng)A是非對(duì)稱模糊數(shù)時(shí)，記B?C=ΦA(chǔ)(q-p，r-u)；

2） 當(dāng)A是關(guān)于x*的對(duì)稱模糊數(shù)時(shí)，記B?C=A([(q，r)]≡A[(p，u)]≡A)；

其中

定義5［20-21］設(shè)A∈RFR 是關(guān)于x*對(duì)稱模糊數(shù)，若f(t)=q(t)A+r(t)是線性相關(guān)模糊值函數(shù)，記f(t)的統(tǒng)一形式為f(t)=q0(t)A+r0(t)，其中

定義6［19-20］設(shè)A∈RF是非對(duì)稱模糊數(shù)，f：[a，b]→RF(A)是線性相關(guān)模糊值函數(shù)，且f(t)=q(t)A+r(t)。若q(t)，r(t)是Riemann 可積的，則f的Riemann 積分定義為

定義7［20］設(shè)A∈RFR 是關(guān)于x*的對(duì)稱模糊數(shù)，f：[a，b]→RF(A)是線性相關(guān)模糊值函數(shù)，且f(t)=q(t)A+r(t)，q0(t)，r0(t)與定義5 中的一致。若q0(t)，r0(t)是Riemann 可積的，則f的Riemann 積分定義為

假設(shè)f：[a，+∞)→RF(A)，且f(t)=q(t)A+r(t)。當(dāng)A∈RF是非對(duì)稱模糊數(shù)，將f在[a，+∞)上的積分定義為［22］：

容易驗(yàn)證

當(dāng)A∈RFR 是關(guān)于x*的對(duì)稱模糊數(shù)，q0(t)，r0(t)與定義5 中的一致。若q0(t)，r0(t)是Riemann可積的，且存在，易證存在，且有

從而可得

2 模糊Laplace變換

定義8設(shè)f： [0，+∞)→RF(A)是線性相關(guān)模糊值函數(shù)，若對(duì)任意s∈R 存在。則稱之為f(t)在s處的模糊Laplace 變換，記作

下文中只討論s＞0 的情況，不做特殊說(shuō)明總假設(shè)s＞0。

引理1設(shè)A∈RFR 是關(guān)于x*的對(duì)稱模糊數(shù)，f(t)=q(t)A+r(t)，q0(t)，r0(t)與定義5 中一致。若L[q(t)]和L[r(t)]存在，則L[q0(t)]和L[r0(t)]存在，且[(L[p0(t)]，L[r0(t)])]≡A=[(-L[p0(t)]，2x*L[p0(t)]+L[r0(t)])]≡A。

證明由實(shí)值函數(shù)積分性質(zhì)，易證若L[q(t)]和L[r(t)]存在，則L[q0(t)]和L[r0(t)]存在?，F(xiàn)證[(L[p0(t)]，L[r0(t)])]≡A=[(-L[p0(t)]，2x*L[p0(t)]+L[r0(t)])]≡A，

由定義2 可得

也即[(L[p0(t)]，L[r0(t)])]≡A=[(-L[p0(t)]，2x*L[p0(t)]+L[r0(t)])]≡A。

定理1設(shè)A∈RF，f(t)=ΦA(chǔ)(q(t)，r(t))，則如下事實(shí)成立：

1） 當(dāng)A∈RF是非對(duì)稱模糊數(shù)時(shí)，則L[f(t)]存在的充要條件是L[q(t)]和L[r(t)]存在，且L[f(t)]=ΦA(chǔ)(L[q(t)]，L[r(t)])。

2） 當(dāng)A∈RFR 是關(guān)于x*的對(duì)稱模糊數(shù)時(shí)，則L[f(t)]存在的充要條件是L[q(t)]和L[r(t)]存在，且L[f(t)]=A([(L[q0(t)]，L[r0(t)])]≡A)。

證明1）當(dāng)A∈RF是非對(duì)稱模糊數(shù)時(shí)，有

得

2） 當(dāng)A∈RFR 是對(duì)稱模糊數(shù)時(shí)，由于e-st＞0，由定義3 可得

注1定理1 表明無(wú)論A是非對(duì)稱模糊數(shù)還是對(duì)稱模糊數(shù)其對(duì)應(yīng)的模糊Laplace 變換都有類似的結(jié)論，若A是非對(duì)稱模糊數(shù)該結(jié)論與文獻(xiàn)［22］中定理11 一致，若A是對(duì)稱模糊數(shù)，借助于相應(yīng)等價(jià)類的Laplace 變換可得線性相關(guān)模糊值函數(shù)的模糊Laplace 變換。

推論1設(shè)A∈RF，f(t)=ΦA(chǔ)(q(t)，r(t))，則如下事實(shí)成立：

1） 當(dāng)A∈RF是非對(duì)稱模糊數(shù)時(shí)，若L[f(t)]存在，則L[f(t)]=L[q(t)]A+L[r(t)]；

2） 當(dāng)A∈RFR 是關(guān)于x*的對(duì)稱模糊數(shù)時(shí)，若L[f(t)]存在，則

定理2設(shè)A∈RF。若f(t)=ΦA(chǔ)(q(t)，r(t))，g(t)=ΦA(chǔ)(p(t)，u(t))的模糊Laplace 變換存在，則對(duì)任意α∈R，β∈R，有

證明下面分別對(duì)A是非對(duì)稱模糊數(shù)和對(duì)稱模糊數(shù)進(jìn)行討論。

當(dāng)A∈RF是非對(duì)稱模糊數(shù)時(shí)，有

由定理1 可得

當(dāng)A∈RF是關(guān)于x*對(duì)稱模糊數(shù)時(shí)，根據(jù)定義3 和定義4

以下只討論α≥0，β＜0，其他情況的證明與之類似。根據(jù)定義2 有

從而

結(jié)合引理1 和定理1 得

結(jié)論得證。

注2由定理2 的證明，A是非對(duì)稱模糊數(shù)或?qū)ΨQ模糊數(shù)上述結(jié)論均成立，因此文獻(xiàn)［22］中性質(zhì)12 為定理2的特殊情況。

3 實(shí)值函數(shù)與模糊值函數(shù)的卷積及其性質(zhì)

定義9設(shè)A∈RF，f(t)=q(t)A+r(t)，g(t)為實(shí)值函數(shù)，記f(t)與g(t)的卷積為。

若t＜0 時(shí)，f(t)=χ{0}，g(t)=0，則根據(jù)模糊積分區(qū)間的可加性，有

由于Laplace 變換只需要被變換函數(shù)在自變量大于等于零時(shí)有定義，所以下文中若無(wú)特別說(shuō)明都假定參與卷積運(yùn)算的函數(shù)t＜0 時(shí)恒為零。

引理2設(shè)A∈RF，f(t)=q(t)A+r(t)，g(t)為非負(fù)或非正實(shí)值函數(shù)，以下事實(shí)成立：

1） 若f(t)*g(t)存在，則f(t)*g(t)=ΦA(chǔ)(q(t)*g(t)，r(t)*g(t))；

2） 若g(t)*f(t)存在，則g(t)*f(t)=ΦA(chǔ)(g(t)*q(t)，g(t)*r(t))。

證明不失一般性只證1）式。

當(dāng)A∈RF為非對(duì)稱模糊數(shù)時(shí)，由卷積的定義得

當(dāng)A∈RFR 是關(guān)于x*的對(duì)稱模糊數(shù)時(shí)，下面只證明g(t)≤0 的情況，

也即

從而

定理3設(shè)A∈RF，f(t)=q(t)A+r(t)，g(t)為非負(fù)或非正實(shí)值函數(shù)。若f(t)*g(t)存在，則g(t)*f(t)也存在，且f(t)*g(t)=g(t)*f(t)。

證明由引理2 易證結(jié)論成立。

定理4設(shè)A∈RF，f(t)，h(t)是線性相關(guān)模糊值函數(shù)，g(t)為實(shí)值函數(shù)，則

1） (α⊙f)*g(t)=f*(αg(t))；

2） (h⊕f)*g(t)=h*g(t)⊕f*g(t)。

定理5設(shè)A∈RF，f(t)=q(t)A+r(t)，g(t)為非負(fù)或非正實(shí)值函數(shù)。若f(t)，g(t)及f(t)*g(t)的Laplace 變換存在，則

證明由定理1 和引理2 可證。

4 模糊Laplace變換的應(yīng)用

當(dāng)A是非對(duì)稱模糊數(shù)時(shí)，記，其中B∈RF(A)，||·||∞表示R2上的無(wú)窮范數(shù)。對(duì)任意模糊數(shù)B，C∈RF(A)，記d(B，C)=||B?C||ΦA(chǔ)，有

當(dāng)A是關(guān)于x*的對(duì)稱模糊數(shù)時(shí)，記，其中是R2/≡A上的無(wú)窮范數(shù)，也即對(duì)任意[(q，r)]≡A∈R2/≡A有

同樣把模糊數(shù)B，C∈RF(A)之間的距離記為。

定義10［21］設(shè)A∈RF，f(t)=q(t)A+r(t)是線性相關(guān)模糊值函數(shù)，若對(duì)任意t0存在，稱f是可導(dǎo)的。

引理3［19-20］設(shè)A∈RF是非對(duì)稱模糊數(shù)，f(t)=q(t)A+r(t)是線性相關(guān)模糊值函數(shù)，f是可導(dǎo)的當(dāng)且僅當(dāng)q(t)和r(t)可導(dǎo)，且f'(t)=q'(t)A+r'(t)。

引理4［20-21］設(shè)A∈RFR 是關(guān)于x*對(duì)稱模糊數(shù)，f(t)=q(t)A+r(t)是線性相關(guān)模糊值函數(shù)，f是可導(dǎo)的當(dāng)且僅當(dāng)q(t)和r(t)可導(dǎo)，且f'(t)=q1(t)A+r1(t)，其中

4.1 模糊卷積在模糊Volterra積分方程的應(yīng)用

下面討論模糊Laplace 變換的卷積定理在如下Volterra 積分方程的應(yīng)用：

其中f(t)=q(t)A+r(t)為未知模糊值函數(shù)，g(t)=p(t)A+u(t)為已知模糊值函數(shù)，k(t)為非負(fù)或非正的實(shí)值函數(shù)，L[f(t)]，L[g(t)]，L[k(t)]存在。下面對(duì)以上模糊積分方程的解進(jìn)行討論。

對(duì)（1）式兩端作Laplace 變換，得L[k(t)]⊙L[f(t)]=L[g(t)]，由定理5 可得方程（1）的解等價(jià)于：

當(dāng)A是非對(duì)稱模糊數(shù)時(shí)，（2）式變形為

從而得方程（2）的解滿足

從而得方程（1）的解為

當(dāng)A是關(guān)于x*的對(duì)稱模糊數(shù)時(shí)，

1） 若k(t)≥0，由Laplace 變換的定義易知L[k(t)]≥0，（2）式等價(jià)于

也即

從而得方程（1）的解為

2） 若k(t)＜0，由Laplace 變換的定義易知L[k(t)]＜0，（2）式等價(jià)于

從而得方程（1）的解為

例2考慮模糊積分方程

其中A是非對(duì)稱模糊數(shù)，f(t)=q(t)A+r(t)。兩端作Laplace 變換，可得

也即

兩邊作Laplace 逆變換得

綜上可得f(t)=(1-sint-cost)A+1+e2t。

4.2 模糊Laplace變換在一階線性微分方程中的應(yīng)用

定理6設(shè)A∈RF，f(t)=q(t)A+r(t)。若f'(t)，L[f(t)]，L[f'(t)]存在，則

1） 當(dāng)A∈RF是非對(duì)稱模糊數(shù)時(shí)，有L[f'(t)]=s⊙L[f(t)]?f(0)；

2） 當(dāng)A∈RFR 是關(guān)于x*的對(duì)稱模糊數(shù)時(shí)，且q(t)q'(t)≥0 時(shí)，有L[f'(t)]=s⊙L[f(t)]?f(0)。

證明下面分別對(duì)A是非對(duì)稱模糊數(shù)和對(duì)稱模糊數(shù)進(jìn)行討論。

當(dāng)A∈RF是非對(duì)稱模糊數(shù)時(shí)，因?yàn)閒'(t)存在，由引理3 可得f'(t)=ΦA(chǔ)(q'(t)，r'(t))。根據(jù)定理1 有

當(dāng)A∈RFR 是關(guān)于x*對(duì)稱模糊數(shù)時(shí)，若q'(t)≥0 且q(t)≥0，由引理4 可得

根據(jù)定理1 有

若q'(t)≤0 且q(t)＜0，由引理4 可得f'(t)=A([(-q'(t)，2x*q'(t)+r'(t))]≡A)，從而

結(jié)論得證。

例3 討論如下一階線性微分方程的解

其中A是非對(duì)稱模糊數(shù)，且f(t)=q(t)A+r(t)。兩邊作Laplace 變換，由定理6 可得

即

解得

從而

綜上可得

例4討論如下一階線性微分方程的解

其中A是關(guān)于x*的對(duì)稱模糊數(shù)，且f(t)=q(t)A+r(t)。兩邊作Laplace 變換，由定理6 可得

即

若q'(t)≥0 且q(t)≥0，則（6）式等價(jià)于

解得

從而q(t)=t，。

若q'(t)≤0 且q(t)＜0，則（6）式等價(jià)于

解得

從而q(t)=-t，。綜上可得，

5 結(jié)論

本文借助于線性相關(guān)模糊數(shù)空間中的積分與微分性質(zhì)，首先給出了模糊Laplace 變換的定義，研究了模糊Laplace 變換存在的充要條件，并對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行了討論。其次，利用模糊Laplace 變換得到了線性相關(guān)模糊數(shù)空間中實(shí)值函數(shù)與模糊值函數(shù)的卷積定理。最后，借助于卷積定理和模糊Laplace 變換分別對(duì)模糊Volterra 積分方程和一階線性模糊微分方程的解進(jìn)行了討論，并給出了算例。本文中的結(jié)果仍需進(jìn)一步討論，今后將對(duì)模糊微分方程解的存在性、穩(wěn)定性等性質(zhì)進(jìn)行深入研究。