王玉，黃蘭

帶有反應(yīng)項(xiàng)的可壓縮微極實(shí)際氣體模型解的指數(shù)穩(wěn)定性

王玉，黃蘭

（華北水利水電大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 鄭州 450046）

研究了齊次邊界條件下一維粘性帶有反應(yīng)項(xiàng)的可壓縮微極實(shí)際氣體模型解的大時(shí)間行為．假定任意初始值（密度不含真空），利用能量估計(jì)和各種精細(xì)的插值不等式證明密度函數(shù)和溫度函數(shù)的一致上下界，進(jìn)而證明了解的整體存在性和指數(shù)穩(wěn)定性．

帶有反應(yīng)項(xiàng)流體；微極實(shí)際氣體；存在性；先驗(yàn)估計(jì)；指數(shù)穩(wěn)定性

1　引言及預(yù)備知識(shí)

流體力學(xué)主要研究流體（液體和氣體）的力學(xué)運(yùn)動(dòng)規(guī)律及其應(yīng)用，經(jīng)典的流體力學(xué)模型包括Navier-Stokes方程、磁流體方程、微極流體模型以及磁微極流體模型等．1964年，文獻(xiàn)[1]首次描述了微極流體模型，該模型可用于對(duì)具有微觀結(jié)構(gòu)的材料的研究，一開始就受到許多研究者的關(guān)注．微極流體的數(shù)學(xué)理論研究分為兩個(gè)方向：可壓縮微極流體和不可壓縮微極流體．不可壓縮微極流體是一種相對(duì)理想的狀態(tài)，目前已有大量研究．關(guān)于可壓縮微極流體，在三維情況下，文獻(xiàn)[2-6]研究了具有球?qū)ΨQ的粘性可壓縮微極流體模型解的整體存在性和具有圓柱對(duì)稱的粘性可壓縮微極流體解的整體存在性以及指數(shù)穩(wěn)定性．而在一維情況下，關(guān)于可壓縮微極流體模型解的存在性與正則性也有大量研究[7-13]，其中文獻(xiàn)[11-12]研究了理想氣體模型經(jīng)典解的存在性，文獻(xiàn)[13]研究了可壓縮微極實(shí)際氣體模型解的整體存在性．在微極實(shí)際氣體模型的基礎(chǔ)上增加反應(yīng)項(xiàng)后，文獻(xiàn)[14]研究了齊次邊界條件下帶有反應(yīng)項(xiàng)的粘性可壓縮微極實(shí)際氣體模型的局部解存在性．但對(duì)于該一維模型整體解的存在性以及大時(shí)間性態(tài)，還沒有相關(guān)研究．本文在文獻(xiàn)[14]基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究齊次邊界條件下粘性反應(yīng)微極實(shí)際氣體一維模型解的大時(shí)間行為．

在拉格朗日坐標(biāo)系下，帶有反應(yīng)項(xiàng)的粘性可壓縮微極實(shí)際氣體模型方程為

假設(shè)系統(tǒng)（1）～（5）滿足初值條件

和邊界條件

2　解的整體存在性

定理1假設(shè)初值滿足

令

結(jié)合邊界條件（7），并利用插值不等式，由式（12）可得

利用引理2并結(jié)合式（22），由式（23）可得

由式（27）和引理1中Young不等式可知

由式（24）（29）可知

由式（28）（30）可知

由式（28）（37），易得

3　解的指數(shù)穩(wěn)定性

結(jié)合式（11）（38），有

將式（42）（43）相加，得

再結(jié)合式（8）（38），利用引理3中Poincaré不等式，有

結(jié)合式（11）（38）（44）（45），利用引理3中Poincaré不等式，有

由式（11）（38）（47），再利用引理3中Poincaré不等式，得到

結(jié)合式（25）（38）（49）（50），利用引理3中Poincaré不等式，得到

再結(jié)合式（26）（51）（52），有

結(jié)合式（14）（57）（58）（60），得到

證畢．

由式（62）可得定理2解的指數(shù)穩(wěn)定性．

4　結(jié)語

通過嚴(yán)密的推理，本文證明了在齊次邊界條件下帶有反應(yīng)項(xiàng)的可壓縮微極實(shí)際氣體模型整體解的存在性與指數(shù)收斂性．但在粘性系數(shù)依賴于溫度和密度的情況下，帶有反應(yīng)項(xiàng)的可壓縮微極實(shí)際氣體模型解的整體存在性和大時(shí)間性等一系列性質(zhì)還有待證明．

[1] ERINGEN C A．Simple microfluids[J]．Int J Eng Sci，1964，2（2）：205-217．

[2] DRAZIC I．Three-dimensional flow of a compressible viscous micropolar fluid with cylindrical symmetry：a global existence theorem[J]．Math Method Appl Sci，2017，40（13）：4785-4801．

[3] DRAZIC I，MUJAKOVIC N．3-D flow of a compressible viscous micropolar fluid with spherical symmetry：a local existence theorem[J]．Bound Value Probl，2012（69）：113-118．

[4] DRAZIC I，MUJAKOVIC N．3-D flow of a compressible viscous micropolar fluid with spherical symmetry：a global existence theorem[J]．Bound Value Probl，2015（98）：1-21．

[5] DRAZIC I，MUJAKOVIC N．Local existence of the generalized solution for three-dimensional compressible viscous flow of micropolar fluid with cylindrical symmetry[J]．Bound Value Probl，2019（16）：16-42．

[7] DRAZIC I，SIMCIC L．One-dimensional flow of a compressible viscous and heat-conducting micropolar fluid with homogeneous boundary conditions：A brief survey of the theory and recent progress[J]．Global and Stochastic Analysis，2018，5（1）：45-55．

[8] MUJAKOVIC N．One-dimensional flow of a compressible viscous micropolar fluid：A local existence theorem[J]．Glas Mat，1998，33（1）：71–91．

[9] MUJAKOVIC N．Nonhomogeneous boundary value problem for one-dimensional compressible viscous micropolar fluid model：regularity of the solution[J]．Bound Value Probl，2008（1）：189748-189762．

[10] MUJAKOVIC N．The existence of a global solution for one dimensional compressible viscous micropolar fluid with non-homogeneous boundary conditions for temperature[J]．Nonlinear Anal：Real World Appl，2014（19）：19–30．

[11] LI F，ZHU H．Global classical large solution to compressible viscous micropolar and heat-conducting fluids with vacuum[J]．Discrete Cont Dyn-A，2019，39（6）：3069-3097．

[12] ZHEN Lei，LIN Fenghua．Global mild solutions of Navier-Stokes equations[J]．Commun Pur Appl Math，2011（9）：1297-1304．

[13] BASIC-SISKO A，DRAZIC I．Global solution to a one-dimensional model of viscous and heat-conducting micropolar real gas flow[J]． J Math Anal Appl，2021，495（1）：124690-124715．

[14] BASIC-SISKO A，DRAZIC I．Local existence for viscous reactive micropolar real gas flow and thermal explosion with homogeneous boundary conditions[J]．J Math Anal Appl，2022，509（2）：125988-126018．

[15] ZHENG S . Nonlinear Evolution Equations[J]．American Mathematical Society，2005（42）：1-42.

[16] SONG Jiang．Large-time behavior of solutions to the equations of a viscous polytropic ideal gas[J]．Ann Math Pura Appl，1998（175）：253-275．

Exponential stability of solutions to the compressible viscous and reactive micropolar real gas model

WANG Yu，HUANG Lan

（ School of Mathematics and Statistics，North China University of Water Resources and Electric Power，Zhengzhou 450046，China）

The large-time behavior of solutions to the one-dimensional compressible viscous and reactive micropolar real gas model with homogeneous boundary conditions is studied．Based on the assumption that any initial value （mass density without vacuum），theuniform upper and lower bounds of the density and the temperature function are proved by using energy estimate method and delicate interpolation inequality，and then the global existence and exponential stability of solutions are obtained．

reactive fluid；micropolar real gas；existence；aprior estimate；exponential stability

1007-9831（2023）12-0001-08

O175

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2023.12.001

2023-05-02

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11501199）

王玉（1999-），女，河南開封人，在讀碩士研究生，從事偏微分方程研究．E-mail：wangyu1115598@163.com

黃蘭（1982-），女，河南信陽人，教授，博士，從事偏微分方程研究．E-mail：huanglan82@hotmail.com