程博文，公丕鋒，張金鋒，楊遠(yuǎn)貴

二能級原子與單模光場相互作用公式推導(dǎo)

程博文，公丕鋒，張金鋒，楊遠(yuǎn)貴

（淮北師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，安徽 淮北 235000）

Jaynes-Cummings模型；二能級原子；單模光場

近年來光與物質(zhì)相互作用是一個非常熱門的研究領(lǐng)域．在涉及到原子和光場相互作用的問題中，最簡單的模型就是二能級原子和單模光場的耦合作用模型．在上世紀(jì)60年代，Jaynes和Cummings在研究微波激射時提出了Jaynes-Cummings 模型（以下簡稱“J-C模型”）[1]，它是描述二能級原子系統(tǒng)與單模光場（或一維量子諧振子）相互作用的最簡單模型．基于腔QED實(shí)驗(yàn)，是從實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)J-C模型的主要方案，給出二能級原子和光學(xué)腔相互作用的動力學(xué)行為及其能譜[2-3]．該模型的哈密頓量具有一個非常簡單的形式，如果二原子能級與驅(qū)動場之間保持共振或者接近共振，而其他能級對驅(qū)動場是失諧的，在這種情況下二能級原子描述才是有效的．通過一些有效的近似方法使問題進(jìn)一步簡化，二能級原子-單模光場相互作用約化為一種能夠得到精確解的模型，原子和光場相互作用的基本特征可以保留．J-C模型為研究原子與機(jī)械模之間的量子糾纏奠定了基礎(chǔ)，量子糾纏在量子通信領(lǐng)域是非常有用的一個物理資源[4]．左戰(zhàn)春[5]等也研究了關(guān)于二能級原子與單模光場的三體糾纏態(tài)的演化．在研究光與物質(zhì)相互作用的Rabi模型中，其哈密頓量包含旋波項(xiàng)和反旋波項(xiàng)[6]．J-C模型的哈密頓量是在忽略掉反旋波項(xiàng)的情況下構(gòu)建出來的，它比Rabi模型的哈密頓量少了兩項(xiàng)．本文基于偶極近似的方法推導(dǎo)了二能級原子與多模光場相互作用的哈密頓量，得到了單個二能級原子與單模光場的相互作用模型，即J-C模型．計(jì)算了幾率波函數(shù)的振幅，并得到了相干態(tài)下光子數(shù)概率分布和原子布居數(shù)演化規(guī)律．

1 Jaynes-Cummings模型與其哈密頓量的推導(dǎo)

符合本征值方程

式中

式（10）中哈密頓量可寫為

式（12）的哈密頓量可化為

且泡利算符服從對易關(guān)系

這種形式的哈密頓描述的是一個二能級原子與多模光場相互作用的模型．

該哈密頓是在偶極近似和旋波近似下描述單模光場與一個二能級原子的相互作用．這是量子光學(xué)中一個非常重要的哈密頓量，也就是Jaynes-Cummings模型，是可以獲得精確解的一個例子．在相互作用繪景下處理起來非常方便，哈密頓量可變?yōu)?/p>

可化為

2 計(jì)算與結(jié)果分析

利用幾率幅的方法，幾率波函數(shù)的運(yùn)動方程為

微分方程組（27）（28）是耦合在一起的微分方程組．給定初始條件下是可得到精確解析解的，幾率幅的通解為

把式（32）（33）代入式（36）可得

圖1 在相干態(tài)下，，時光子數(shù)概率分布

圖2 時原子布居數(shù)的演化

在半經(jīng)典理論中認(rèn)為在缺乏外加驅(qū)動場的情況下，原子處在激發(fā)態(tài)是不能自發(fā)躍遷到基態(tài)的．但式（37）告訴我們在真空場中原子是可能自發(fā)地從激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)，即為自發(fā)輻射，該輻射是由單模場驅(qū)動造成的．關(guān)于原子在真空中有多個真空模引起的自發(fā)輻射過程的具體研究，在以后的工作中再討論．該推導(dǎo)工作對物理學(xué)專業(yè)學(xué)生理解量子力學(xué)規(guī)律在量子光學(xué)中的應(yīng)用有一定參考意義．

[1] Jaynes E T，Cummings F W．Comparison of quantum and semi classical radiation theories with application to the beam maser[J]．Proceedings of the IEEE，1963，51（1）：89-109．

[2] Haroche S，Kleppner D．Cavity quantum electrodynamics[J]．PhysToday，1989，42（1）：24-30．

[3] Sorensen A S，van der Wal C H，Childress L I，et al．Capacitive coupling of atomic systems to microscopic conductors[J]．Phy Rev Lett，2004，92（6）：063601．

[4] 廖慶洪，張旗，劉曄．J-C 模型和原子-腔光力學(xué)系統(tǒng)中的糾纏交換[J]．光學(xué)技術(shù)，2017，43（2）：97-99．

[5] 左戰(zhàn)春，夏云杰．Tavis-Cummings模型中三體糾纏態(tài)糾纏量的演化特性[J]．物理學(xué)報，2003，52（11）：2687-2693．

[6] Rabi I I．On the process of space quantization[J]．Physical Review，1937，51（8）：652．

Formula derivation of the interaction between a two-level atom and single mode optical field

CHENG Bowen，GONG Pifeng，ZHANG Jinfeng，YANG Yuangui

（Department of Physics and Electronic Information，Huaibei Normal University，Huaibei 235000，China）

Jaynes-Cummings model；two-level atom；single mode optical field

1007-9831（2023）12-0055-05

O483

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2023.12.010

2023-09-15

安徽省高等學(xué)?？茖W(xué)研究重大項(xiàng)目（2022AH040068）；安徽省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目（S2022103730104）；安徽省教學(xué)示范課理論力學(xué)項(xiàng)目（2020SJJXSFK2143）；安徽省課程思政建設(shè)研究項(xiàng)目（2020kcszyjxm215）

程博文（2003-），男，安徽安慶人，在讀本科生．E-mail：2773154720@qq.com

公丕鋒（1977-），男，山東臨沂人，講師，碩士，從事量子光學(xué)與光催化研究．E-mail：tuhan2010@126.com