張志翔，肖伸平，黃遠(yuǎn)鵬

（1.湖南工業(yè)大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 株洲 412007；2.電傳動(dòng)控制與智能裝備湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 株洲 412007）

0 引言

自20世紀(jì)90年代以來，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)（Natworked Control Systems，NCSs）迅速成為學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的研究熱點(diǎn)。并且在制造自動(dòng)化、運(yùn)輸系統(tǒng)、智能機(jī)器人和電力系統(tǒng)等許多生產(chǎn)活動(dòng)中對(duì)網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)功能的需求與日俱增[1-2]。與早期的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)相比，NCSs因其資源共享、等優(yōu)點(diǎn)而受到廣泛關(guān)注。

NCSs是一種由網(wǎng)絡(luò)連接起來的空間分布式反饋控制系統(tǒng)[3]，采集到的信息經(jīng)網(wǎng)絡(luò)信道從傳感器傳送給控制器，信號(hào)在傳輸?shù)綀?zhí)行器之前由控制器進(jìn)行分析和計(jì)算，執(zhí)行器在執(zhí)行相應(yīng)的控制操作前識(shí)別并分析接收到的信息。然而，網(wǎng)絡(luò)時(shí)延、丟包和亂序等問題在NCSs中廣泛存在，這些問題將會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)性能降低、穩(wěn)定區(qū)間縮小等不利現(xiàn)象[4]。近些年來，學(xué)者們對(duì)方面的研究也是取得了很多重要的結(jié)果[4-9]。例如，Li等[5]考慮到時(shí)變網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)延遲和數(shù)據(jù)包丟失，將網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為具有區(qū)間時(shí)變延遲的典型線性系統(tǒng)，并利用緊致積分不等式處理LKF的時(shí)間導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的叉積項(xiàng)，以獲得保守度低得多的結(jié)果，但在泛函的改進(jìn)和導(dǎo)數(shù)的估計(jì)上還有很大的提升空間。Lian等[6]提出了兩個(gè)新的時(shí)滯乘積型LKF，其充分利用時(shí)滯d(t)與二次型函數(shù)的乘積信息以及時(shí)滯h-d(t)與二次型函數(shù)的乘積信息，取得了很好的效果，此LKF可推廣到其他類型的時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)研究，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)等，為廣大學(xué)者提供了新的研究方向。Phanlert[7]在LKF中加入了四重積分項(xiàng)，并基于推廣的Wirtinger不等式來界定泛函導(dǎo)數(shù)積分項(xiàng)的方法已獲得較好的研究結(jié)果，但由于沒有考慮時(shí)延隨機(jī)因素，導(dǎo)致研究成果的保守性較大，還有待進(jìn)一步完善。Zeng等[8]提出了一種新的基于自由矩陣的積分不等式，將基于自由矩陣的積分不等式與分層劃分方法相結(jié)合，可進(jìn)一步降低推導(dǎo)出結(jié)果的保守性；并且用此不等式推廣了一些現(xiàn)有的不等式，為具有時(shí)滯的系統(tǒng)的研究提供了一個(gè)新的見解。而long等[9]從另一個(gè)角度出發(fā)，提出了三次函數(shù)的一個(gè)負(fù)定義引理，該引理需要比以前的方法低得多的計(jì)算復(fù)雜度；并利用所提出的引理、增廣LKF和二階Bessel-Legendre不等式，導(dǎo)出了一個(gè)不錯(cuò)的時(shí)滯相關(guān)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則。由此可見，基于不等式的LKF方法在時(shí)滯網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)穩(wěn)定性中發(fā)揮著關(guān)鍵性作用并且不斷發(fā)展。

本文以LKF為出發(fā)點(diǎn)，構(gòu)造出新的擴(kuò)展LKF進(jìn)行系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。該LKF不僅包含了關(guān)于時(shí)變延遲的更全面的信息，而且使延遲和增強(qiáng)向量之間密切相關(guān)，可大大降低系統(tǒng)的保守性；然后使用廣義的基于自由矩陣的積分不等式處理在LKF求導(dǎo)過程中產(chǎn)生的積分項(xiàng)，又使得線性網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的保守性明顯降低；最后再基于二次函數(shù)的負(fù)定定理推導(dǎo)出新的穩(wěn)定性準(zhǔn)則。文章的結(jié)尾通過兩個(gè)數(shù)值實(shí)例來說明本文方法的優(yōu)越性和有效性。

本文采用如下標(biāo)號(hào)：Rn表示n維的歐幾里得空間；Rn×m代表n×m維的實(shí)矩陣；上標(biāo)“-1”和“T”分別表示為矩陣的轉(zhuǎn)置和矩陣的逆；diag{…}是指塊對(duì)角矩陣，R＞0表示矩陣是正定的；I和0分別代表有適當(dāng)維數(shù)的零矩陣；并且Sym{X}=X+XT。

1 系統(tǒng)模型

考慮如下網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)模型：

式中，x(t)?Rn,u(t)?Rm分別為系統(tǒng)的狀態(tài)向量和控制向量，A，B是系統(tǒng)的矩陣，0φ是系統(tǒng)的初始狀態(tài)。

假定在控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)的控制器和執(zhí)行器采用事件驅(qū)動(dòng)，傳感器則采用時(shí)間驅(qū)動(dòng)[10]。在NCSs中，傳感器、執(zhí)行器和其他現(xiàn)場(chǎng)設(shè)備通過通信網(wǎng)絡(luò)交換信息和數(shù)據(jù)。由于網(wǎng)絡(luò)的固有特性，信息在通過網(wǎng)絡(luò)的傳輸過程中不可避免地會(huì)出現(xiàn)通信延遲，即網(wǎng)絡(luò)時(shí)延。圖1是一個(gè)簡(jiǎn)單的NCSs原理圖，假設(shè)系統(tǒng)以T為采樣周期，傳感器在kiT時(shí)刻的采樣信號(hào)傳輸?shù)綀?zhí)行器時(shí)間為τk，則閉環(huán)系統(tǒng)的總網(wǎng)絡(luò)時(shí)延為τk=τsc+τca+τc。其中τsc為傳感器到控制器的傳輸時(shí)滯、τca為控制器到執(zhí)行器的傳輸時(shí)滯，τc則是控制器在計(jì)算過程中的計(jì)算時(shí)滯。

圖1 網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)原理圖

若系統(tǒng)（1）是可控的，則基于網(wǎng)絡(luò)控制器為：

其中，K是已知的系統(tǒng)的控制器增益，將（2）式代入（1）式中，就可以獲得閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)

式中，{i1,i2,i3,…}?{1,2,3,…}。當(dāng){i1,i2,i3,…}={1,2,3,…}時(shí)，系統(tǒng)不會(huì)出現(xiàn)丟包現(xiàn)象；當(dāng)ik+1＜ik時(shí)，舊數(shù)據(jù)包會(huì)比新數(shù)據(jù)包先到達(dá)被控對(duì)象處，從而會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)主動(dòng)丟包現(xiàn)象。

由于x(ikT)=x(t-(t-ikT))，定義h(t)=t-ikT,t?[ikT+τk,ik+1T+τk+1),k=1,2…，滿足0＜h1≤h(t)≤h2則NCSs可以表示為：

通過對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)（4）的穩(wěn)定性問題進(jìn)行分析來得出網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則。

2 主要結(jié)果

在本節(jié)中，提出了一種新的擴(kuò)展型LKF，它包含了更多關(guān)于延遲的信息?；贚KF，為所慮的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)開發(fā)了改進(jìn)的穩(wěn)定性條件。為了簡(jiǎn)化演示，我們定義了以下符號(hào)：

定理1 對(duì)于給定的標(biāo)量h1和h1滿足0＜h1＜h2，以及控制器增益K，如果存在正定矩陣P?R7n×7n，Qi?R2n×2n，Ri?R7n×7n，(i=1，2)，和任意矩陣N1、N2、N3?R14n×3n,S1、S2?R14n×n，使下列不等式均成立，則系統(tǒng)（4）是漸近穩(wěn)定的。

其中：

證明：為了探討網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，構(gòu)造如下LKF：

對(duì)LKF進(jìn)行求導(dǎo)計(jì)算，可以得到：

可見LKF求導(dǎo)后出現(xiàn)了兩個(gè)積分項(xiàng)，而這導(dǎo)致泛函的導(dǎo)數(shù)無法直接推導(dǎo)出具有線性矩陣不等式形式的穩(wěn)定性條件。因此，如何進(jìn)一步處理LKF導(dǎo)數(shù)中的積分項(xiàng)成為獲得松弛穩(wěn)定性條件的關(guān)鍵。

對(duì)于LKF中出現(xiàn)的兩個(gè)積分項(xiàng)，利用文獻(xiàn)[11]中提出的廣義自由矩陣積分不等式進(jìn)行界定處理，得到如下結(jié)果：

其中：

又對(duì)于任何矩陣S1和S2?R14n×n，以下條件成立：

綜上可知：

式中Ξ2、Ξ1和Ξ0被定義在定理1中。

對(duì)于h(t)?[h1,h2]，如果滿足不等式（5），則(t)＜0。因此，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，可知系統(tǒng)（4）是穩(wěn)定的，證畢。

注意不等式（5）是h(t)的二次函數(shù)，不能直接求解。

利用文獻(xiàn)[12]中提出的引理2，使不等式（5）在轉(zhuǎn)換為可解條件的同時(shí)，還降低了整個(gè)系統(tǒng)的保守性。下面是不等式（5）基于文獻(xiàn)[12]中引理2的一個(gè)條件，在推論1中給出。

推論1對(duì)于給定的標(biāo)量0＜h1＜h2，以及控制器增益K，如果存在正定矩陣P?R7n×7n，Qi?R2n×2n，Ri?R7n×7n，(i=1，2)，和任意矩陣N1、N2、N3?R14n×3n,S1、S2?R14n×n，使下列不等式均成立，則系統(tǒng)（4）是漸近穩(wěn)定的。

式中Ξ21Ξ和Ξ0被定義在定理1中。

注釋：與文獻(xiàn)[16]中的LKF相比，本文運(yùn)用的LKF在二次函數(shù)項(xiàng)的狀態(tài)向量中擴(kuò)展了狀態(tài)向量的滯后項(xiàng)x(t-h1)和x(t-h2)；在LKF的兩個(gè)一重積分項(xiàng)的狀態(tài)向量擴(kuò)展中重點(diǎn)考慮加入了狀態(tài)向量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(s)；并且也將兩個(gè)滯后項(xiàng)x(t-h1)和x(t-h2)擴(kuò)展到LKF的第二個(gè)一重積分項(xiàng)中；這些項(xiàng)的引入，使泛函的導(dǎo)數(shù)中包含更多的時(shí)滯信息與自由矩陣S1、S2相耦合，能有效的降低所得穩(wěn)定性條件的保守性。其次，由于Ξ1和Ξ0中包含非線性項(xiàng)，須通過使用Schur補(bǔ)定理將推論1中的給出的條件轉(zhuǎn)換成LMI，最后才能在Matlab中計(jì)算得出結(jié)果。

3 數(shù)值算例

在本節(jié)中，本文給出兩個(gè)數(shù)值實(shí)例，來說明本文推論1的有效性。

例1 考慮到系統(tǒng)（4）具有以下參數(shù)：

分別取h1=0.05,0.1,0.15,0.2，取到不同h1的值下閉環(huán)系統(tǒng)（4）漸進(jìn)穩(wěn)定的最大允許時(shí)滯上界h2的大小，并將推論1的到的結(jié)果與文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[13]的方法進(jìn)行比較，結(jié)果如表1所示。

表1 不同h1值下獲得的時(shí)滯上界h2的值

分析表1中的數(shù)據(jù)可知，根據(jù)本文推論1得出的最大時(shí)滯上限總體上大于列表中文獻(xiàn)的結(jié)果。推論1與文獻(xiàn)[13]對(duì)比。在h1=0.05時(shí)本文推論1得出的最大時(shí)滯上限是1.0873，而文獻(xiàn)[13]中得出的結(jié)果是1.0507，由此說明了本文提出的方法獲得的結(jié)果具有一定的優(yōu)越性。

例2 考慮如下系統(tǒng)模型：

當(dāng)考慮例2中所提供的參數(shù)時(shí)，所得的結(jié)果如表2所示。

表2 不同h1值下獲得的時(shí)滯上界h2的值

表2給出了系統(tǒng)（1）在另一經(jīng)典例子中不同h1取值下得到的時(shí)滯上限。由表2可以看出，本文的新的擴(kuò)展LKF考慮了更多關(guān)于時(shí)滯和系統(tǒng)狀態(tài)的信息，使系統(tǒng)得到了更高的時(shí)滯上界，導(dǎo)出了具有更低保守性的穩(wěn)定性準(zhǔn)則，進(jìn)一步說明了本文方法的有效性和優(yōu)越性。

4 結(jié)語(yǔ)

本文主要對(duì)NCSs的穩(wěn)定性問題進(jìn)行了研究。針對(duì)以往研究中存在的不足，構(gòu)造了一種新的具有增廣的具有單積分項(xiàng)，雙積分項(xiàng)和非積分項(xiàng)的改進(jìn)LKF；在一重積分項(xiàng)的狀態(tài)向量進(jìn)行了大幅度的擴(kuò)展，使?fàn)顟B(tài)向量之間的關(guān)系可以通過正定矩陣緊密的耦合在一起，對(duì)降低系統(tǒng)保守性起到了關(guān)鍵性作用。在此基礎(chǔ)上，再運(yùn)用自由矩陣不等式及二次負(fù)定定理對(duì)泛函的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行了界定處理，得出了一個(gè)具有更少保守性的穩(wěn)定性判據(jù)。最后，通過兩個(gè)數(shù)值算例進(jìn)行仿真分析，并將其與現(xiàn)有文獻(xiàn)中的方法進(jìn)行了對(duì)比，得知本文所提出的方法可以得到更大的時(shí)滯上界，證明了本文方法的優(yōu)越性。