侯雅琳

一、案例背景

近些年，課堂教學(xué)仍然以課本為中心，注重知識的傳授，而忽略學(xué)生思維的鍛煉，教學(xué)方式上仍采用“滿堂灌”，學(xué)生長期習(xí)慣于被動接受，缺少主動探索問題、思考問題的意識。隨著教育改革的推進(jìn)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確指出：通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，在探索真實情景所蘊含的關(guān)系中發(fā)現(xiàn)和提出問題，運用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識與方法分析問題和解決問題。我們的課堂改革勢在必行，因而本文提出新的課堂教育模式，即以問題為主導(dǎo)，讓學(xué)生自主探究的課堂模式，整節(jié)課以問題展開、以問題收尾，增強學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好奇心，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和熱情。筆者以“弧長及扇形的面積”兩種不同的教學(xué)案例為例，簡要闡述在教學(xué)實踐層面凸顯以問題為導(dǎo)向的自主探究式學(xué)習(xí)的一些做法。

二、教材分析

“弧長及扇形的面積”是蘇科版九年級數(shù)學(xué)上冊第2章第七節(jié)的內(nèi)容，是在學(xué)習(xí)完圓的相關(guān)概念、定理之后，對圓中元素的計算課。研究的是弧長以及扇形面積的計算方法、推導(dǎo)過程，以及在實際生活中的應(yīng)用。作為圓中一節(jié)重要的計算課，弧長以及扇形面積以圓的周長和面積為依據(jù)，以圓心角和半徑為影響因素展開學(xué)習(xí)，將之前的內(nèi)容進(jìn)一步融合。本節(jié)課還為“圓錐的側(cè)面積”的學(xué)習(xí)做鋪墊，為高中進(jìn)一步研究圓奠定基石，是一節(jié)“承前啟后”的課。

三、學(xué)情分析

學(xué)生在幼兒時期初步感知、認(rèn)識圓形；到了小學(xué)，將圓進(jìn)一步量化，學(xué)會計算圓的周長以及面積；到了初中階段，進(jìn)一步加強對圓的剖析，深入了解學(xué)習(xí)圓中有關(guān)的概念和定理。這是一個螺旋式上升的過程。學(xué)生在對圓加深認(rèn)識的過程中，計算的內(nèi)容從易到難這是一個必然的過程，也符合學(xué)生認(rèn)知的過程。九年級學(xué)生經(jīng)過七年級與八年級的學(xué)習(xí)，在計算能力以及數(shù)學(xué)方法的運用上也有了一定的發(fā)展，具備了一定的自主探究能力以及合作交流學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，為自主探究弧長以及扇形面積知識奠定了良好的基礎(chǔ)。

四、教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：

掌握弧長以及扇形面積公式的推導(dǎo)過程，了解弧長以及扇形面積的公式，能運用弧長以及扇形面積公式解決相關(guān)問題。

過程與方法：

經(jīng)歷弧長以及扇形面積公式的探索過程，體會數(shù)形結(jié)合、類比推理等數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生分析問題、解決問題的能力，進(jìn)一步加強學(xué)生的代數(shù)推理能力。

情感態(tài)度與價值觀：

在探索弧長及扇形面積公式中，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流能力。學(xué)生在運用數(shù)學(xué)知識解決問題時，獲得成功的體驗，建立自信心。

五、教學(xué)重難點

弧長及扇形面積公式的計算與推導(dǎo)。

六、教學(xué)設(shè)計

◆問題導(dǎo)入

師：我們知道，圓上任意兩點間的部分叫作弧，那么弧和圓有什么關(guān)系呢？

生：弧是圓的一部分。

師：半徑為R的圓，周長是多少？

生：2πR。

（意圖分析：在提問中，幫助學(xué)生回憶弧長的定義，了解弧長與圓之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生思考：既然弧長作為圓的一部分，圓的周長可以計算，那么弧長也可以計算。）

師：我們知道弧的度數(shù)與圓心角的度數(shù)相等，你認(rèn)為弧長與哪些量有關(guān)？

生：圓的周長、圓的半徑、圓心角度數(shù)。

（意圖分析：在實際課堂中，由于在前面引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識了弧與圓之間的關(guān)系，學(xué)生會去思考，那么弧長就是圓周長的一部分，因而會提出弧長與圓周長有關(guān)。教師在這里需要繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考，圓周長又與什么量有關(guān)？從而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步明確弧長與圓的半徑、圓心角有關(guān)，為下面具體探究弧長公式進(jìn)行鋪墊。）

師：半徑為R的圓中n°的弧長是多少？請同學(xué)們利用學(xué)習(xí)過的方法，分小組探究。

組1：利用特殊到一般的方法，可以先算幾個特殊的角，如180°、90°，找出其中的規(guī)律，然后通過計算特殊的角，找到計算n°角的方法。

組2：發(fā)現(xiàn)360°的圓心角對應(yīng)的是一個整圓，1°的圓心角對應(yīng)的是圓的三百六十分之一，所以n°的弧對應(yīng)的是圓周長的三百六十分之n。

組3：因為弧的度數(shù)與圓心角度數(shù)有關(guān)，所以發(fā)現(xiàn)圓心角占360°的比例是多少，對應(yīng)的弧長占整個圓的比例就是多少。

……

（意圖分析：這是一個開放式的探究問題，在告訴學(xué)生弧長公式與半徑和圓心角度數(shù)有關(guān)之后，讓學(xué)生用自己先前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗來探究弧長公式。學(xué)生在實際課堂中積極探索，熱烈討論。此問題讓學(xué)生在課堂中進(jìn)行思維的碰撞，鍛煉了合作學(xué)習(xí)的能力和表達(dá)能力，拓寬了學(xué)生的視野，加深了學(xué)生對弧長的理解。）

最后教師總結(jié)公式，并將公式板書。

◆問題探索：如何計算扇形面積？

師：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形是扇形。扇形和圓之間有什么關(guān)系呢？

生：扇形是圓的一部分。（教師補充提問：半徑是R的圓面積如何計算？）

師：你能類比弧長的推導(dǎo)過程，求出半徑為R的圓中圓心角為n°的扇形面積嗎？

（意圖分析：讓學(xué)生模仿弧長公式自主探究扇形面積公式。在弧長公式的基礎(chǔ)上，學(xué)生探究扇形面積公式時會去類比弧長公式的探索方法，如從特殊到一般等，在探索中感受類比思想，在解決問題過程中體會成功的喜悅，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強自主探究數(shù)學(xué)問題時的自信心與能力。）

師：扇形的面積與弧長有什么關(guān)系？你能從“數(shù)”與“形”兩個角度來解釋嗎？

（學(xué)生先自行探索，然后分小組討論）。

生1：扇形面積是弧長的二分之R倍。

生2：扇形面積與弧長公式有很多相似的量，可以從扇形面積公式中把弧長公式提煉出來。

生3：我們得到的公式很像三角形的面積公式，由此可以類比三角形的面積公式來理解扇形面積與弧長之間的關(guān)系：弧可以看作是三角形的底，半徑可以看作是三角形的高，扇形面積可以看作是三角形的面積。

教師總結(jié)弧長、扇形面積以及二者之間的推理。

（意圖分析：這部分重點是探討扇形面積公式與弧長公式之間的關(guān)系，由于本節(jié)課重在計算，因而學(xué)生在思考這二者之間的關(guān)系時，首先想到從代數(shù)的角度思考這兩者之間的關(guān)系，利用弧長和扇形面積的公式進(jìn)行代數(shù)推理，找到二者之間的關(guān)系，但本節(jié)課重點在于計算一個幾何圖形的面積。作為一節(jié)幾何課，我們不能忽略是否能夠從圖形的角度解釋公式的合理性，從而加深學(xué)生對扇形面積公式的認(rèn)識，加深學(xué)生對公式的記憶，培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理和幾何直觀的素養(yǎng)。此外，這里還運用到了數(shù)形結(jié)合思想、類比思想，進(jìn)一步加深了學(xué)生對數(shù)學(xué)方法的理解，為我們之后運用數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法解決問題打下了良好的基礎(chǔ)。）

◆問題解決

例1.（1）已知扇形的圓心角為60°，半徑為3 cm，它的弧長為_______，面積為_______.

（2）已知扇形的半徑為9 cm，弧長為12 πcm，則扇形面積為_______.

（意圖分析：兩題考查了學(xué)生對扇形面積和弧長公式的運用。在這里，教師可以在第二題后追問：這個扇形的圓心角是多少？讓學(xué)生感受在運用公式時，知道其中的兩個量，就可以將第三個量推導(dǎo)出來。學(xué)生可以選擇運用弧長公式計算圓心角，也可以運用扇形面積公式計算圓心角。學(xué)生在計算過程中可以感受到難易程度，從而選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行計算。）

例2.如圖1，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC＝60°．設(shè)⊙O的半徑為2，求弧BC的長.

（意圖分析：將計算與圓知識中的結(jié)論與定理相結(jié)合，在公式中我們所運用到的角度是圓心角，但是在學(xué)習(xí)圓中元素時，我們還學(xué)過一類角，叫作圓周角，通過此題，幫助學(xué)生區(qū)分在運用弧長及扇形面積公式計算時，需要注意帶入公式的角是圓心角而非圓周角，提高運用公式的正確率。）

例3.如圖2，折扇完全打開后，OA、OB的夾角為120°，OA的長為30 cm，AC的長為20 cm，求圖中陰影部分的面積S．

◆問題拓展

追問1：在例3中，OA=R，OC=r，∠AOB=n°，求圖中陰影部分面積S.

追問2：若弧AB的長度為l1，弧CD的長度為l2，AC=d，你能用l1、l2、d表示扇環(huán)ABDC的面積嗎？

（意圖分析：例3是用公式來解決實際問題，在運用公式的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考查學(xué)生的圖形分解能力。在問題拓展的部分，我們將問題從具體的數(shù)據(jù)一般化，考查學(xué)生運用公式進(jìn)行代數(shù)推理的能力，計算難度較大，幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固課堂中所學(xué)的知識和技能，深刻理解數(shù)學(xué)思想和內(nèi)涵，全面提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。追問2拓展陰影部分的面積在通過代數(shù)方法推理得到之后，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)陰影部分面積的計算方法可類比梯形公式來解決，與扇形面積公式可類比三角形面積公式進(jìn)行計算形成呼應(yīng)，又加深了對學(xué)生化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)，提高了學(xué)生綜合解決、分析問題的能力。）

七、案例小結(jié)

本案例注重問題設(shè)計，以問題貫穿整節(jié)課。不同于往常的講授式，問題成為教師和學(xué)生之間的一座橋梁。作為學(xué)生的引領(lǐng)者，教師提問，學(xué)生回答成為一節(jié)課經(jīng)常使用的模式，但教師提問不是碎片化的，而是針對某一個知識點，有結(jié)構(gòu)、有框架、有邏輯地設(shè)計的問題串。本節(jié)課注重大問題的整體設(shè)計，在思考完圓的周長、弧與圓之間的關(guān)系，有一定方向性之后，直接將弧長公式的探索拋給學(xué)生思考。課堂實施中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生能夠展現(xiàn)多種探索方法。多種思維的碰撞打開了學(xué)生的視野，提升了課堂活躍度與學(xué)生的參與度。同時，在采用這種方式時，也需注意，不可將問題設(shè)計得過于開放，否則可能會造成學(xué)生無法完成教學(xué)任務(wù)或者無從下手這兩種極端情況，但同時也需注意，過于細(xì)化的問題會忽略學(xué)生的創(chuàng)造性，導(dǎo)致方法的單一與固定，在一定程度上也不利于學(xué)生的發(fā)展。

除此之外，本節(jié)課還注重小組合作。根據(jù)新課標(biāo)要求，在初中階段，學(xué)生應(yīng)養(yǎng)成認(rèn)真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質(zhì)疑的學(xué)習(xí)習(xí)慣。一個人的力量往往很難提出或者解決問題，這就需要學(xué)生之間的合作。合作不僅能幫助學(xué)生養(yǎng)成合作的習(xí)慣，更能夠提高學(xué)生的表達(dá)交流能力，使學(xué)生形成適應(yīng)社會的關(guān)鍵能力。

總之，本節(jié)課的教學(xué)遵循了國家新課改的方向，消除了傳統(tǒng)教學(xué)法的弊端，是符合學(xué)生身心發(fā)展的。教學(xué)改革關(guān)乎學(xué)生的未來發(fā)展，不斷改進(jìn)完善我們的教學(xué)方法是每位教師都需要做的。本文仍有很多不當(dāng)之處，請大家批評指正！

編輯：常超波