王 飛,南夢(mèng)迪

(1.新疆農(nóng)業(yè)大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830052;2.江南大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 無(wú)錫 214122)

全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試是我國(guó)的一項(xiàng)高級(jí)別的選拔性考試,已有許多學(xué)者對(duì)其命題進(jìn)行了研究[1-6].曲線(xiàn)積分和曲面積分是高等數(shù)學(xué)中的難點(diǎn),涉及曲線(xiàn)、曲面的定義,格林公式、高斯公式和斯托克斯公式,曲線(xiàn)、曲面積分的關(guān)系,曲線(xiàn)積分與路徑的無(wú)關(guān)性,曲線(xiàn)、曲面積分轉(zhuǎn)化為定積分或重積分等知識(shí)點(diǎn),綜合性強(qiáng)且計(jì)算量大,歷年來(lái)考生在此考點(diǎn)的得分率都較低.本文以2022年全國(guó)研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)一的第二型曲線(xiàn)積分試題為例,對(duì)這類(lèi)題的解法進(jìn)行多角度的探討,并結(jié)合多年的高等數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)提出積分學(xué)教學(xué)方面的一些建議:深刻理解概念表達(dá)的物理意義;注意區(qū)分概念的共性與個(gè)性;構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖;加強(qiáng)對(duì)一題多解能力的訓(xùn)練.

1 試題及其解法

試題L是曲面Σ:4x2+y2+z2=1,x≥0,y≥0,z≥0的邊界,曲面方向朝上,已知曲線(xiàn)L的方向和曲面的方向符合右手法則,求

I=∮L(yz2-cosz)dx+2xz2dy+(2xyz+xsinz)dz.

解法一由Stokes公式可得

由兩類(lèi)曲面積分的關(guān)系可得

評(píng)注(1) 該解法先利用Stokes公式將第二型曲線(xiàn)積分化為第二型曲面積分,然后運(yùn)用兩類(lèi)曲面積分的關(guān)系轉(zhuǎn)化為僅對(duì)含變量x,y的曲面積分,再利用投影法轉(zhuǎn)化為二重積分計(jì)算.求解過(guò)程涉及知識(shí)點(diǎn)較多,技巧性較高,計(jì)算量大,因而得分率比較低.

(2) 在利用Stokes公式將原積分化為第二型曲面積分后,也可以直接用投影法計(jì)算,具體過(guò)程如下.

記

Dyz={(y,z)|y2+z2≤1,y≥0,z≥0},Dxy={(x,y)|4x2+y2≤1,x≥0,y≥0},

則

由于

可見(jiàn),這樣求解計(jì)算量仍相當(dāng)大.

解法二由Stokes公式可得

由兩類(lèi)曲面積分的關(guān)系,有

從而

由于

評(píng)注這里先用Stokes公式將第二型曲線(xiàn)積分化為第二型曲面積分,進(jìn)一步再由兩類(lèi)曲面積分的關(guān)系轉(zhuǎn)化為第一型曲面積分,最后化為二重積分.該解法的計(jì)算量也非常大.

解法三將L表為L(zhǎng)=L1+L2+L3,其中

L1={(x,y,z)|x=0,y2+z2=1,y≥0,z≥0},方向從點(diǎn)(0,1,0)到(0,0,1);

由第二型曲線(xiàn)積分的定義易知

故

補(bǔ)充曲線(xiàn)

L5={(x,y,z)|x=0,y=0,0≤z≤1},方向從點(diǎn)(0,0,0)到(0,0,1);

則由Green公式得

評(píng)注(1) 該解法借助第二型曲線(xiàn)積分的定義,將曲線(xiàn)方程代入被積函數(shù)化簡(jiǎn),把較復(fù)雜的曲線(xiàn)積分轉(zhuǎn)化為僅在L2上的積分,再利用Green公式快速得到了結(jié)果.該解法的計(jì)算量較小.(2) 注意到∮L2xz2dy=0,本題還可利用曲線(xiàn)積分與路徑的無(wú)關(guān)性求解.

解法四由Stokes公式可得

記

Σ1={(x,y,z)|x=0,y2+z2≤1,y≥0,z≥0},

Σ2={(x,y,z)|y=0,z2+4x2≤1,z≥0,x≥0},

Σ3={(x,y,z)|z=0,4x2+y2≤1,x≥0,y≥0},

其中Σ1取后側(cè),Σ2取左側(cè),Σ3取下側(cè).

由第二型曲面積分的定義可知

于是由Gauss公式得

評(píng)注該解法先用Stokes公式將第二型曲線(xiàn)積分化為第二型曲面積分,然后由第二型曲面積分定義,通過(guò)補(bǔ)面法構(gòu)造了封閉曲面,從而可利用Gauss公式快速求解.

2 對(duì)積分學(xué)教學(xué)的一些建議

結(jié)合上節(jié)給出的四種主要解法和教學(xué)經(jīng)驗(yàn),筆者對(duì)積分學(xué)教學(xué)提出一些建議.

2.1 注重理解概念的物理意義

2.2 注意區(qū)分概念的共性與個(gè)性

2.3 構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

從解法一到解法四涉及的知識(shí)點(diǎn)有Green公式、Gauss公式和Stokes公式,曲線(xiàn)積分與曲面積分之間的關(guān)系,曲線(xiàn)積分和曲面積分轉(zhuǎn)化為重積分等,綜合性很強(qiáng).因此,構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖十分重要.例如對(duì)于第二型空間曲線(xiàn)積分,我們可以構(gòu)建如下的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖.

圖1 第二型空間曲線(xiàn)積分計(jì)算的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

2.4 注意一題多解能力的訓(xùn)練

一題多解可以啟發(fā)學(xué)生從多角度分析問(wèn)題,找準(zhǔn)突破口,從而解決問(wèn)題.這樣的訓(xùn)練能使學(xué)生掌握更多知識(shí),能提升學(xué)生多知識(shí)的運(yùn)用能力,提升學(xué)生思維的品質(zhì).例如,學(xué)生進(jìn)行本題多種解法的探究,可以熟悉曲線(xiàn)、曲面積分的知識(shí)點(diǎn)和技巧,獲得發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)明解答方法的機(jī)會(huì),提高解題能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng),增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí),培養(yǎng)熱愛(ài)探索的優(yōu)良品質(zhì).