大型射電望遠(yuǎn)鏡日照熱誤差及其補(bǔ)償?shù)姆抡嫜芯?/h1>
2024-02-02 09:29:54陳浩祥趙武林項(xiàng)斌斌李東偉
工程科學(xué)與技術(shù) 2024年1期
雷 震，寧 亮，陳浩祥，趙武林，項(xiàng)斌斌，李東偉
(1.長(zhǎng)安大學(xué)工程機(jī)械學(xué)院，陜西西安 710006；2.中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第三十九研究所，陜西西安 710016；3.中國(guó)科學(xué)院 新疆天文臺(tái)，新疆烏魯木齊 830011)
射電望遠(yuǎn)鏡廣泛應(yīng)用于射電天文、測(cè)控導(dǎo)航等領(lǐng)域，可通過(guò)特定形狀的反射面實(shí)現(xiàn)電磁波向饋源的匯聚。然而環(huán)境載荷會(huì)使其結(jié)構(gòu)產(chǎn)生機(jī)械形變，引起反射面形狀誤差進(jìn)而降低望遠(yuǎn)鏡的性能[1]。重力、風(fēng)載對(duì)天線(xiàn)性能的影響及其控制方法已較為成熟[2–6]，錢(qián)宏亮等[3]研究了上海65m天線(xiàn)在重力及風(fēng)載作用下，主反射面精度的變化情況。Antebi等[4]分析了天線(xiàn)如何在重力情況下使用副面變形調(diào)整保證天線(xiàn)的精度。熱對(duì)低頻、中小口徑天線(xiàn)性能的影響并不明顯，且可以通過(guò)采用天線(xiàn)罩、溫控系統(tǒng)等進(jìn)行控制，但目前籌建的新疆110m大口徑全可動(dòng)射電望遠(yuǎn)鏡（QTT）口徑大、工作頻率高，且新疆地區(qū)日照強(qiáng)烈，太陽(yáng)輻射所引入的結(jié)構(gòu)熱誤差問(wèn)題亟須重視[7–8]。
目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)大口徑全可動(dòng)射電望遠(yuǎn)鏡熱行為的研究較少，主要對(duì)中小型口徑的射電望遠(yuǎn)鏡進(jìn)行了實(shí)測(cè)研究和數(shù)值模擬。Greve等[9]通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)分析，改進(jìn)了IRAM–30m天線(xiàn)的溫控系統(tǒng)，使天線(xiàn)性能得到明顯改善。Bremer等[10]進(jìn)一步構(gòu)建了IRAM–30m天線(xiàn)熱變形的簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)模型，實(shí)現(xiàn)了熱誤差實(shí)時(shí)計(jì)算。Ambrosini等[11]將實(shí)測(cè)溫度數(shù)據(jù)加載到VLBI–32 m天線(xiàn)有限元模型上對(duì)天線(xiàn)熱變形進(jìn)行了預(yù)測(cè)。MacDonald[12]和DiCarlo等[13]針對(duì)帶天線(xiàn)罩的37 m天線(xiàn)(HUSIR)研究了其太陽(yáng)/風(fēng)/溫度及電磁性能變化情況。Tsela等[14]針對(duì)南非的LLR望遠(yuǎn)鏡建立了其數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的熱梯度及精度預(yù)測(cè)模型。連培園等[15]針對(duì)天線(xiàn)日照溫度場(chǎng)分布特征提出了溫度場(chǎng)實(shí)時(shí)預(yù)估方法。常文文[16–17]、易樂(lè)天[18]等建立了南山站25m天線(xiàn)反射面的有限元模型，探討了天線(xiàn)面板、座架等結(jié)構(gòu)由于太陽(yáng)輻照引起的非均勻溫度場(chǎng)及熱致變形。劉澤鑫等[19]對(duì)武清70m天線(xiàn)座架也進(jìn)行了類(lèi)似研究。錢(qián)宏亮等[3]通過(guò)數(shù)值模擬的方法，研究了上海65m天線(xiàn)在日照溫度場(chǎng)作用下，主反射面精度的變化趨勢(shì)。
日照熱在天線(xiàn)結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生的溫度場(chǎng)具有非均勻性、時(shí)變性等特點(diǎn)，使天線(xiàn)熱變形呈現(xiàn)出復(fù)雜的時(shí)空分布以及多因素相關(guān)性。熱環(huán)境、天線(xiàn)姿態(tài)等不確定性因素，使得依據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式評(píng)估天線(xiàn)熱變形精度的方法難以滿(mǎn)足現(xiàn)代天線(xiàn)的設(shè)計(jì)要求[20–21]。為保證QTT的正常運(yùn)行，研究其在日照作用下的熱變形及其變遷規(guī)律一方面可為其熱誤差補(bǔ)償提供參考，另一方面可用于預(yù)測(cè)未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)天線(xiàn)熱變形的趨勢(shì)，提前規(guī)劃調(diào)整方案。
本文首先對(duì)QTT的熱問(wèn)題進(jìn)行了建模，對(duì)天線(xiàn)在典型夏至日的溫度場(chǎng)及變形情況進(jìn)行了數(shù)值模擬，分析了不同情況下反射面精度的變化情況及其規(guī)律；最后給出了幾種工況下副面的位置補(bǔ)償量，通過(guò)分析補(bǔ)償前后主反射面的光程差，探討了天線(xiàn)熱誤差的時(shí)空分布規(guī)律及其影響機(jī)理，有助于預(yù)估、理解天線(xiàn)日照熱誤差問(wèn)題，并為熱補(bǔ)償方案提供依據(jù)。
1 天線(xiàn)分析模型
1.1 熱環(huán)境建模
天線(xiàn)與外界的熱量傳遞途徑如圖1所示，主要包括天線(xiàn)接收太陽(yáng)輻射、天線(xiàn)與空氣的對(duì)流換熱、天線(xiàn)與地面和遠(yuǎn)空的輻射換熱。換熱過(guò)程與風(fēng)速、大氣清潔度、地面溫度、天空溫度等因素密切相關(guān)。天線(xiàn)結(jié)構(gòu)在上述因素的共同作用下形成瞬態(tài)時(shí)變的溫度場(chǎng)。
圖1 射電望遠(yuǎn)鏡換熱簡(jiǎn)圖Fig. 1 Heat transfer diagram of a radio telescope
1.1.1太陽(yáng)輻射熱模型
太陽(yáng)輻射熱模型是用于計(jì)算地球上的物體接收到的日照熱功率的數(shù)學(xué)模型，常用的有Dilger模型[9]和ASHRAE晴空模型[22–23]，本文采用ASHRAE晴空模型計(jì)算天線(xiàn)接收到的太陽(yáng)熱輻射功率。
ASHRAE晴空模型[23]中地面物體接收的太陽(yáng)輻射由直接輻射、散射輻射和反射輻射3部分構(gòu)成，其中穿過(guò)大氣層直射物體的部分為直接輻射，被周?chē)h(huán)境反射后間接照向物體的部分稱(chēng)為反射輻射，被大氣中的灰塵等分子散射的部分為散射輻射。
直接輻射強(qiáng)度GND計(jì)算方法如下：
式中：A為大氣質(zhì)量為零時(shí)的太陽(yáng)輻射強(qiáng)度；B為大氣消光系數(shù)； βs為太陽(yáng)高度角；CN為大氣清潔度；θ為太陽(yáng)對(duì)構(gòu)件表面的入射角，若cos θ小于0則表示構(gòu)件處于陰影中。
散射輻射強(qiáng)度計(jì)算方法如下：
式中，C為散射輻射強(qiáng)度， α為物體表面相對(duì)于地面的傾角。
反射輻射強(qiáng)度計(jì)算方法如下：
式中：pg為地面反射率，一般取0.3[24]；GtH為落在壁面之前的水平面或地面上的總輻射量,GtH=(C+sin βs)GND。
入射到天線(xiàn)表面的太陽(yáng)輻射熱流密度為：
天線(xiàn)實(shí)際得到的太陽(yáng)熱流密度為：
式中， γ為天線(xiàn)表面的太陽(yáng)輻射吸收率，天線(xiàn)表面一般涂有白漆，故 γ取值為0.3[24]。
ASHRAE模型中A、B、C這3個(gè)系數(shù)可通過(guò)中國(guó)輻射強(qiáng)度觀測(cè)數(shù)據(jù)擬合得到[25]，CN、 βs、 α 、 θ可根據(jù)天線(xiàn)地理位置及構(gòu)件空間方位計(jì)算得到[16]。
1.1.2對(duì)流換熱模型
天線(xiàn)與環(huán)境的對(duì)流換熱可用牛頓換熱定律[26]表述如下：
式中：hc為對(duì)流換熱系數(shù)，其取值Saetta[27]建議使用公式hc=4.0V+5.6，其中V為風(fēng)速；Tx為構(gòu)件表面溫度；Ts為環(huán)境溫度，可按下式計(jì)算[26]：
式中，Tsmax、Tsmin分別為環(huán)境最高溫度、最低溫度，t為時(shí)間。
1.1.3凈長(zhǎng)波輻射模型
凈長(zhǎng)波輻射指天線(xiàn)與地面、遠(yuǎn)空的輻射換熱。天線(xiàn)表面得到的凈長(zhǎng)波輻射可表述為[22]：
式中：ε為發(fā)射率；σ為黑體輻射系數(shù)；Fwg、Fws分別為構(gòu)件表面對(duì)地面、天空的輻射角系數(shù)；Tsky為遠(yuǎn)空溫度；Tg為地面溫度，可按下式計(jì)算：
式中，E、F、M為常量，取值可見(jiàn)文獻(xiàn)[28–29]。
1.1.4瞬態(tài)溫度場(chǎng)模型
天線(xiàn)結(jié)構(gòu)的熱分析遵循熱力學(xué)第一定律，瞬態(tài)熱分析的能量平衡方程為[30]：
式中，C為比熱矩陣，考慮系統(tǒng)內(nèi)能的增加，T和T˙分別為溫度向量以及其對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，K為傳導(dǎo)矩陣,包含導(dǎo)熱系數(shù)、對(duì)流系數(shù)及輻射率和形狀系數(shù)等，Q為節(jié)點(diǎn)熱流率向量。
1.2 陰影遮擋與輻射傳熱系數(shù)
1.2.1天線(xiàn)主反射面陰影遮擋
QTT主反射面直徑110m，面積巨大，在太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，面板會(huì)對(duì)自身產(chǎn)生遮擋，明暗區(qū)及分界點(diǎn)示意如圖2所示。根據(jù)光線(xiàn)追蹤原理，可以找到反射面邊緣點(diǎn)在反射面上的投影點(diǎn)，進(jìn)而得到反射面陰影區(qū)與太陽(yáng)照射區(qū)的分界線(xiàn)，計(jì)算公式如下：
式中：N(t,AZ,EL)為太陽(yáng)入射光線(xiàn)方向向量，是關(guān)于時(shí)間t、天線(xiàn)方位角AZ與俯仰角EL的函數(shù)；X′為反射面邊緣點(diǎn)；X0為反射面與太陽(yáng)入射光線(xiàn)的交點(diǎn)。
圖2 反射面太陽(yáng)照射明暗區(qū)及分界點(diǎn)示意圖Fig. 2 Self shading effect of reflector
1.2.2輻射角系數(shù)
物體之間的輻射換熱除了與物體絕對(duì)溫度有關(guān)，還與換熱表面之間的相對(duì)位置有關(guān)，輻射角系數(shù)[31]描述了這種關(guān)系，兩微元表面之間的輻射角系數(shù)如圖3所示，計(jì)算公式如下：
式中：Ib1為常數(shù)；Eb1為微元表面相對(duì)于黑體的輻射力；θ1、θ2分別為dA1、dA2的維度角；d?1為微元表面dA1對(duì)dA2所張的立體角；r為dA1到dA2的半徑。
圖3 微元表面輻射角系數(shù)Fig. 3 Surface radiation shape factor
1.3 主反射面精度分析及副反射面補(bǔ)償方法
圖4為天線(xiàn)變形分析示意圖，變形后其反射面形狀不再是理想拋物面，電磁波不再完全匯聚于原設(shè)計(jì)焦點(diǎn)[32]（圖4中F點(diǎn)），為緩解上述問(wèn)題，大口徑射電望遠(yuǎn)鏡基本都采用“保型”設(shè)計(jì)，即要求各個(gè)姿態(tài)下重力變形后的反射面形狀皆盡可能接近參數(shù)不同的拋物面[1]（圖4中虛線(xiàn)），這樣將饋源移動(dòng)到新的拋物面的焦點(diǎn)上（圖4中F'點(diǎn)）后，能夠較好恢復(fù)原來(lái)的天線(xiàn)性能。圖4中uA與wA為頂點(diǎn)的兩個(gè)方向位移，上述虛擬拋物面被稱(chēng)為最佳吻合拋物面[32]，變形后的反射面相對(duì)于最佳吻合拋物面對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間半光程差的均方根誤差值（RRMS）作為衡量反射面精度的指標(biāo)。
圖4 天線(xiàn)變形分析示意圖Fig. 4 Diagram of the antenna deformation analysis
圖5為設(shè)計(jì)拋物面經(jīng)過(guò)位姿剛性變換及焦距變換得到最佳吻合拋物面的過(guò)程。OXYZ及O1X1Y1Z1分別為原設(shè)計(jì)拋物面、最佳吻合拋物面的坐標(biāo)系，原點(diǎn)O與O1分別為它們的頂點(diǎn)，OZ與O1Z1分別為它們的焦軸，任意點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系下坐標(biāo)分別為（x,y,z）和（x1,y1,z1），設(shè)計(jì)拋物面方程為：
最佳吻合拋物面方程為：
式（14）～（15）中，f、h分別為設(shè)計(jì)拋物面的焦距及焦距的變化量。
圖5 剛體位姿變換示意Fig. 5 Rigid body pose transformation
由圖5可知，在旋轉(zhuǎn)量十分微小情況下，其線(xiàn)性化坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方程為：
式中，uA、vA、wA為最佳吻合拋物面相對(duì)于設(shè)計(jì)面的平移量， ?x、 ?y、 ?z為相對(duì)各軸的旋轉(zhuǎn)量，上述6個(gè)參數(shù)為待定值。
將式（16）帶入式（15），略去其2階微量，可得到最佳吻合拋物面在原設(shè)計(jì)面坐標(biāo)系下的方程：
因?yàn)閽佄锩鏋閳A周對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，故反射面繞焦軸轉(zhuǎn)動(dòng)量 ?z對(duì)天線(xiàn)性能無(wú)影響，可以省略，最終得到含6個(gè)參數(shù)的最佳吻合拋物面方程。
變形后的拋物面相對(duì)于最佳吻合拋物面的誤差如圖4所示，略去2階微量，得到逐點(diǎn)誤差關(guān)于上述待定參數(shù)的線(xiàn)性表達(dá)式如下：
式中，x、y、z為反射面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，u、v、w分別為節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位移，上述6個(gè)參數(shù)為已知量。
最佳吻合拋物面的參數(shù)應(yīng)使 ?2達(dá)到最小值，上述問(wèn)題為線(xiàn)性最小二乘問(wèn)題；對(duì) ?2求關(guān)于6個(gè)待定參數(shù)的偏導(dǎo)，并令其為零，即得到關(guān)于最佳吻合拋物面參數(shù)的線(xiàn)性方程組：
式中，A為節(jié)點(diǎn)的初始位置信息矩陣，X為最佳吻合拋物面的參數(shù)向量，d為變形后反射面的節(jié)點(diǎn)位移信息矩陣。
則以均方根值為度量的反射面精度的計(jì)算方式如下：
式中，N為背架上弦節(jié)點(diǎn)數(shù)量[1]，RRMS反映了反射面的形狀偏離拋物面的程度。
天線(xiàn)主面熱變形的精度評(píng)價(jià)及副面補(bǔ)償計(jì)算流程如圖6所示，即根據(jù)反射面的熱變形數(shù)據(jù)，由式（19）（20）確定與之對(duì)應(yīng)的最佳吻合拋物面參數(shù)及天線(xiàn)熱變形型面精度（RRMS），將副反射面的焦點(diǎn)調(diào)整到上述新的主反射面焦點(diǎn)位置（見(jiàn)圖4）即可部分實(shí)現(xiàn)天線(xiàn)誤差補(bǔ)償，RRMS越小則說(shuō)明熱變形后反射面形狀越接近于拋物面，補(bǔ)償效果越好。
圖6 精度評(píng)價(jià)及副面補(bǔ)償量計(jì)算流程Fig.6 Accuracy evaluation and subreflector repositioning
副反射面的位置調(diào)整量與最佳吻合參數(shù)的關(guān)系如下：
式中，UX、UY、UZ分別為副反射面3個(gè)方向的位置調(diào)整量。
2 結(jié)果與分析
2.1 天線(xiàn)有限元模型及分析流程
QTT反射體的有限元模型如圖7所示。天線(xiàn)桁架材料為鋼，反射面材料為鋁，材料的熱特性見(jiàn)表1。天線(xiàn)熱力耦合分析流程如圖8所示。
圖7 天線(xiàn)反射體模型Fig. 7 Antenna reflector model
表1 材料參數(shù)Tab.1 Material parameters
圖8 天線(xiàn)熱力耦合分析流程Fig. 8 Thermal-mechanical coupling analysis process
2.2 熱誤差分析及補(bǔ)償
日照溫度變化具有一定的時(shí)間尺度，本文研究天線(xiàn)在季節(jié)性均勻溫度變化與逐日溫度變化兩種情況下的響應(yīng)情況。
2.2.1季節(jié)性熱誤差分析
天線(xiàn)反射體通過(guò)俯仰軸與方位座架連接（如圖7所示），根據(jù)軸承連接處是否允許反射體沿軸承軸向移動(dòng)，本文選取兩種極端的俯仰軸約束方式：全約束（FC）、對(duì)稱(chēng)浮動(dòng)約束（SFC）。
表2為奇臺(tái)縣季節(jié)溫度統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。由表2可知，QTT臺(tái)址四季環(huán)境溫度在–20℃～30℃范圍內(nèi)變化。以天線(xiàn)俯仰角90°、參考溫度20℃為例，分析天線(xiàn)結(jié)構(gòu)在不同約束方式、不同環(huán)境溫度條件下，反射面精度（RRMS）的變化趨勢(shì)，計(jì)算結(jié)果如圖9所示。
表2 奇臺(tái)縣四季溫度Tab.2 Seasonal temperature in Qitai County
圖9 不同工況下的R RMSFig. 9 RRMS under different working conditions
由圖9可知，俯仰軸的約束方式對(duì)反射面精度影響很大，兩種約束方式下的RRMS變化趨勢(shì)相同，但對(duì)稱(chēng)浮動(dòng)約束方式下的反射面RRMS只有全約束方式下的1/80。所以在天線(xiàn)的設(shè)計(jì)建造過(guò)程中應(yīng)盡量減小座架對(duì)俯仰軸的熱應(yīng)力約束，即允許反射體沿軸承軸向有一定游隙。目前實(shí)際天線(xiàn)中已自然存在此效應(yīng)，這也是夏天與冬天夜晚溫度雖相差很大，但天線(xiàn)仍可以正常工作的原因。
由上述分析可知，俯仰軸的對(duì)稱(chēng)浮動(dòng)約束方式更接近實(shí)際情況，此約束方式下的天線(xiàn)在均勻溫升時(shí)，反射面精度幾乎不受影響。
2.2.2日照溫度場(chǎng)及變形場(chǎng)分析
2011年1月1日—11月1日，QTT臺(tái)址晴天約占40.3%，為所有天氣中占比最高；臺(tái)址風(fēng)速≤3.0m/s的占比約為50.3%，風(fēng)速≤4.0 m/s的占比為69.5%[7]。選取典型工況對(duì)天線(xiàn)結(jié)構(gòu)進(jìn)行全天的溫度場(chǎng)、變形場(chǎng)時(shí)程分析：2011年6月21日，晴天無(wú)云，風(fēng)速分別取0、1.5、3.0 m/s，采用俯仰軸對(duì)稱(chēng)浮動(dòng)約束；天線(xiàn)俯仰角姿態(tài)如圖10所示，分別取0°、45°和90°，方位角取90°。
圖10 各俯仰角姿態(tài)Fig. 10 Attitude of each pitch angle
天線(xiàn)仰天姿態(tài)下溫度場(chǎng)分布特征及機(jī)理探討如下：圖11至圖14分別為06：00、08：00、14：00、18：00的天線(xiàn)桁架與主反射面的溫度場(chǎng)分布情況（俯仰角90°、風(fēng)速3.0m/s）。由圖11至圖14可知，日照熱在天線(xiàn)結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生的溫度場(chǎng)呈現(xiàn)出不均勻、時(shí)變的特點(diǎn)：日出時(shí)太陽(yáng)位于天線(xiàn)的東偏北方向，日落時(shí)太陽(yáng)位于天線(xiàn)的西偏北方向；06：00～18：00，太陽(yáng)在反射面上的直射點(diǎn)由西南向東南逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。在06：00和18：00，由于太陽(yáng)側(cè)照天線(xiàn)及反射面遮擋，天線(xiàn)溫度場(chǎng)的不均勻性更為明顯，桁架最高溫度分別為24.0 ℃、37.1℃，均高于同時(shí)刻反射面的溫度最大值（23.2 ℃、35.7℃）。08：00、14：00的反射面可分為3個(gè)比較均勻的溫度區(qū)域，即高溫區(qū)、過(guò)渡區(qū)和低溫區(qū)；這兩個(gè)時(shí)刻反射面最高溫度分別為32.4℃、45.2℃，均高于同時(shí)刻桁架的最大溫度值27.9℃、40.3℃，反射面與桁架的溫差分別為4.5℃、4.9℃。
圖11 06：00天線(xiàn)溫度場(chǎng)分布Fig. 11 Distribution of antenna temperature field at 06：00
圖12 08：00天線(xiàn)溫度場(chǎng)分布Fig. 12 Distribution of antenna temperature field at 08：00
圖13 14：00天線(xiàn)溫度場(chǎng)分布Fig. 13 Distribution of antenna temperature field at 14：00
圖14 18：00天線(xiàn)溫度場(chǎng)分布Fig. 14 Distribution of antenna temperature field at 18：00
天線(xiàn)仰天姿態(tài)下溫差特點(diǎn)及機(jī)理探討如下：圖15、16給出了背架的溫度/溫差變化曲線(xiàn)?？梢?jiàn)，不同風(fēng)速下背架的溫度/溫差變化規(guī)律相同：從05：00到19：00，太陽(yáng)高度角大于0°，背架受到太陽(yáng)輻射，故其最高溫度高于空氣溫度。不同風(fēng)速下背架的溫度最大值均出現(xiàn)在14：00左右，最高溫度可達(dá)39.7℃（3.0m/s）、41.7℃（1.5m/s）。從19：00到次日凌晨05：00，背架溫差較小，且其溫度低于空氣溫度，這是由于夜晚無(wú)太陽(yáng)直接照射，而遠(yuǎn)空溫度低于空氣溫度，背架向遠(yuǎn)空散熱。背架的溫差雙峰分別出現(xiàn)在06：00、18：00，風(fēng)速3.0m/s時(shí)分別為4.8℃、5.1℃，風(fēng)速1.5m/s時(shí)分別為6.5℃、6.9℃。在05：00、19：00時(shí)，太陽(yáng)側(cè)照背架，所以不同風(fēng)速下背架的溫差會(huì)急劇變化；從05：00到19：00，不同風(fēng)速下背架溫差分別在4～5℃（3.0m/s）、5～7℃（1.5m/s）范圍內(nèi)變化。
圖15 背架溫度Fig. 15 Temperature of backup structure
圖16 背架溫差Fig. 16 Temperature difference of backup structure
風(fēng)速對(duì)溫度場(chǎng)的影響及機(jī)理探討如下：由圖15、16中不同風(fēng)速曲線(xiàn)對(duì)比可見(jiàn)，隨著風(fēng)速增大，背架的溫升、溫差減小。這是由于在太陽(yáng)輻射強(qiáng)度一定的條件下，風(fēng)速越大，對(duì)流換熱越強(qiáng)烈，背架高溫區(qū)相對(duì)于空氣的溫升越小，而不同風(fēng)速下背架的最低溫度本就與空氣溫度相仿，故總體溫差減小。由分析依據(jù)可知，上述結(jié)論在天線(xiàn)任意俯仰角下都成立。
仰天姿態(tài)下天線(xiàn)熱變形規(guī)律分析如下：圖17～20分別為對(duì)應(yīng)于圖11～14溫度場(chǎng)的反射面熱變形形狀。在非均勻溫度場(chǎng)的作用下，反射面變形可分為兩部分：一部分是由結(jié)構(gòu)整體溫升產(chǎn)生的變形，另一部分是由結(jié)構(gòu)溫度梯度產(chǎn)生的變形。前者占主導(dǎo)，但其對(duì)反射面精度幾乎沒(méi)有影響；后者導(dǎo)致反射面出現(xiàn)以扭轉(zhuǎn)、畸形為主的不均勻變形。
圖17 06：00主反射面變形云圖Fig. 17 Deformation cloud of the main reflector at 06：00
圖18 08：00主反射面變形云圖Fig. 18 Deformation cloud of the main reflector at 08：00
圖19 14：00主反射面變形云圖Fig. 19 Deformation cloud of the main reflector at 14：00
圖20 18：00主反射面變形云圖Fig. 20 Deformation cloud of the main reflector at 18：00
反射面不同時(shí)刻的熱變形具有不同特點(diǎn)，整體沿俯仰軸呈現(xiàn)出“元寶”狀的變形趨勢(shì)，反射面邊緣變形與扭轉(zhuǎn)角度較大，且溫差越大其不均勻變形程度越大（對(duì)比圖19及20）。
2.2.3日照熱誤差及其補(bǔ)償分析
如圖4所示，定義RRMSd為變形后反射面相對(duì)于原設(shè)計(jì)拋物面的均方根值，其反映了反射面偏離原設(shè)計(jì)面的程度，即絕對(duì)變形情況。變形后反射面點(diǎn)B到原來(lái)位置（A）的偏差記為 ?1，其計(jì)算如下：
則RRMSd計(jì)算公式為：
圖21為俯仰角90°、不同風(fēng)速下RRMSd曲線(xiàn)。仰天姿態(tài)下反射面絕對(duì)變形隨時(shí)間、風(fēng)速變化規(guī)律及其機(jī)理分析如下：05：00至19：00，絕對(duì)變形量隨太陽(yáng)高度角先增大后減小，最大值出現(xiàn)在12：00左右，原因是此時(shí)太陽(yáng)輻射強(qiáng)度最大；在05：00和19：00，RRMSd會(huì)發(fā)生“跳躍”式突變，因此時(shí)天線(xiàn)經(jīng)歷了太陽(yáng)入射角度的狀態(tài)變化。風(fēng)速方面：RRMSd隨風(fēng)速增大而減小，因?yàn)轱L(fēng)速越大，天線(xiàn)與環(huán)境間的換熱速率越快，結(jié)構(gòu)整體的溫升越小，由熱引起的絕對(duì)變形量就越小。
圖21 俯仰角90°，不同風(fēng)速下R RMSdFig. 21 RRMSd at different wind speeds at pitch Angle of 90°
仰天姿態(tài)下反射面宏觀變形時(shí)空特征分析：由最佳吻合拋物面的定義可知其參數(shù)變化反映了反射面宏觀的位姿變化情況，故由式（21）即可得到副面的位置調(diào)整量UX、UY、UZ，亦可用于評(píng)價(jià)反射面的宏觀剛體移動(dòng)。
圖22為俯仰角90°下副反射面補(bǔ)償量。
圖22 不同風(fēng)速下副反射面位置調(diào)整量Fig. 22 Position adjustment of subreflector at different wind speeds
由圖22可得出以下結(jié)論：
1）副反射面沿X軸（俯仰軸）的位置調(diào)整量關(guān)于12：00呈“奇函數(shù)”對(duì)稱(chēng)。其原因?yàn)椋?4：00到07：00，太陽(yáng)在天線(xiàn)的東偏北方向升起（見(jiàn)圖11），側(cè)照X軸正半軸一側(cè)的天線(xiàn)結(jié)構(gòu)，被照射側(cè)結(jié)構(gòu)溫度高于另一側(cè)，使反射體受熱膨脹沿X軸正向產(chǎn)生偏移，此時(shí)天線(xiàn)結(jié)構(gòu)的溫差最大，故補(bǔ)償量達(dá)到最大；從07：00至10：00，隨著太陽(yáng)高度角增大，太陽(yáng)照射區(qū)逐漸“翻過(guò)”反射面，出現(xiàn)在X軸負(fù)半軸一側(cè)的天線(xiàn)結(jié)構(gòu)上（見(jiàn)圖2），其變形趨勢(shì)與04：00至7：00的相反，故副面沿X向的補(bǔ)償量開(kāi)始減??；10：00至12：00，太陽(yáng)照射位置靠近天線(xiàn)中心，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)溫度的不均勻性減小，所以補(bǔ)償量幅值較?。恢形?2：00之后，太陽(yáng)與天線(xiàn)相對(duì)位置的變化情況與上午時(shí)段剛好相反，故補(bǔ)償量的變化規(guī)律也與上午時(shí)刻相反。
2）05：00至14：00，隨天線(xiàn)結(jié)構(gòu)溫升的增大，其熱膨脹變形量一直增大，故副反射面沿Z軸（焦軸）的補(bǔ)償量單調(diào)增大；14：00至20：00，隨天線(xiàn)結(jié)構(gòu)溫升的減小，補(bǔ)償量單調(diào)減小。
3）風(fēng)速的影響：對(duì)比圖22中不同風(fēng)速的結(jié)果可知，補(bǔ)償量的變化趨勢(shì)相同但幅值不同。其原因?yàn)椋猴L(fēng)速增大，天線(xiàn)與環(huán)境間的換熱速率越快，導(dǎo)致背架溫差減小，使得其熱變形減小，補(bǔ)償量自然就減少了。
結(jié)合溫度場(chǎng)、變形場(chǎng)、絕對(duì)變形量以及補(bǔ)償量數(shù)據(jù)，QTT日照熱變形的規(guī)律及機(jī)理總結(jié)如下：
1）太陽(yáng)側(cè)面照射天線(xiàn)時(shí)，即照射反射面凸面，不均勻變形最劇烈；從側(cè)照到部分照射反射面凹面或者相反的過(guò)程（見(jiàn)圖2），結(jié)構(gòu)不均勻變形會(huì)經(jīng)歷峰值；其發(fā)生具體時(shí)間取決于天線(xiàn)–太陽(yáng)所呈現(xiàn)出的相對(duì)姿態(tài)。
2）溫度分布的非均勻性是結(jié)構(gòu)不均勻變形的主要原因，溫差越大不均勻變形程度越大。
3）風(fēng)速不改變溫度場(chǎng)的空間分布，只影響其幅值；不同風(fēng)速下同一姿態(tài)反射面的熱變形具有相同的變化趨勢(shì)，熱變形隨風(fēng)速增大而減小。
在QTT熱誤差控制及其補(bǔ)償中，可利用上述規(guī)律，通過(guò)連續(xù)測(cè)量天線(xiàn)的溫度場(chǎng)、風(fēng)速及太陽(yáng)輻射強(qiáng)度等數(shù)據(jù)，對(duì)未來(lái)反射面的熱變形變化趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)，形成補(bǔ)償方案。
2.2.4補(bǔ)償后反射面精度分析
圖23～25為采用副反射面位置補(bǔ)償后，不同工況下反射面RRMS的變化曲線(xiàn)。由圖23～25可知，RRMS曲線(xiàn)皆形如“馬鞍”，且數(shù)值遠(yuǎn)小于RRMSd曲線(xiàn)。RRMS在05：00、19：00會(huì)發(fā)生急劇變化，因此刻太陽(yáng)側(cè)照天線(xiàn)；在13：00，RRMS出現(xiàn)谷底。不同風(fēng)速下RRMS時(shí)間變化趨勢(shì)相同，但數(shù)值隨風(fēng)增強(qiáng)而減小，這是由于大風(fēng)加快了天線(xiàn)與環(huán)境間的對(duì)流換熱，背架整體的溫差變小，反射面不均勻熱變形隨之減小，使得反射面形狀精度變高。
俯仰角為45°、90°時(shí)的RRMS具有與類(lèi)似變化趨勢(shì)，但波峰/波谷出現(xiàn)的時(shí)間及持續(xù)時(shí)間不同，這是由于不同姿態(tài)下太陽(yáng)–天線(xiàn)相對(duì)位置不同，從而導(dǎo)致太陽(yáng)“翻過(guò)”反射面的時(shí)間不同。
圖26、27為同一時(shí)刻不同風(fēng)速下主反射面光程差的分布云圖，對(duì)比可知：風(fēng)速對(duì)反射面光程差的空間分布趨勢(shì)沒(méi)有影響；但隨風(fēng)速增大，背架溫差變小，反射面的光程差減小。圖27、28為不同時(shí)刻同一風(fēng)速下光程差的分布云圖，可見(jiàn)其分布繞天線(xiàn)方位軸轉(zhuǎn)動(dòng)，與太陽(yáng)入射角有相關(guān)性。對(duì)比左右圖可知，采用副反射面位置補(bǔ)償可有效減小天線(xiàn)的熱誤差。
圖23 俯仰角0°不同風(fēng)速下R RMSFig. 23 RRMS at different wind speeds with pitch angle of 0°
圖24 俯仰角45°不同風(fēng)速下R RMSFig. 24 RRMS at different wind speeds with pitch angle of 45°
圖2 6 0 8：0 0光程差，風(fēng)速1.5m/sFig. 26 Optical path difference at 08：00, wind speed 1.5 m/s
圖27 08：00光程差，風(fēng)速3.0m/sFig. 27 Optical path difference at 08：00, wind speed 3.0 m/s
圖28 12：00光程差，風(fēng)速3.0m/sFig. 28 Optical path difference at 12：00, wind speed 3.0 m/s
3 結(jié) 論
本文通過(guò)有限元仿真研究了多工況下QTT主反射面的熱誤差及其副反射面位置補(bǔ)償，總結(jié)了其日照溫度場(chǎng)、熱變形、型面精度以及副反射面位置補(bǔ)償量的數(shù)值、變遷規(guī)律以及機(jī)理。上述規(guī)律及機(jī)理有助于估計(jì)、理解天線(xiàn)日照熱誤差問(wèn)題并為熱補(bǔ)償方案提供依據(jù)。主要結(jié)論如下：
1）天線(xiàn)反射體與座架連接處應(yīng)采取熱應(yīng)力釋放措施，減弱座架對(duì)反射體的熱膨脹約束。
2）溫差導(dǎo)致天線(xiàn)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的不均勻變形是其反射面精度下降的主要原因，且溫差越大反射面精度越差；均勻溫升對(duì)反射面精度幾乎沒(méi)有影響。
3）風(fēng)速不改變天線(xiàn)結(jié)構(gòu)的溫度場(chǎng)分布，只影響其幅值；隨風(fēng)速減小，結(jié)構(gòu)的溫差增大，反射面精度隨之變差。
4）天線(xiàn)和太陽(yáng)的相對(duì)位置決定了天線(xiàn)的熱變形分布；當(dāng)天線(xiàn)與太陽(yáng)相對(duì)位置相同時(shí)，無(wú)論天線(xiàn)絕對(duì)姿態(tài)如何，其具有相似的熱變形分布，但由于日照強(qiáng)度、風(fēng)速等因素的不同，天線(xiàn)結(jié)構(gòu)變形量的幅值不同。
5）日照非均勻溫度場(chǎng)導(dǎo)致天線(xiàn)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生不均勻熱變形，大大降低了反射面精度，采用副反射面位置補(bǔ)償措施可明顯改善日照熱誤差的影響。
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雷 震，寧 亮，陳浩祥，趙武林，項(xiàng)斌斌，李東偉
(1.長(zhǎng)安大學(xué)工程機(jī)械學(xué)院，陜西西安 710006；2.中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第三十九研究所，陜西西安 710016；3.中國(guó)科學(xué)院 新疆天文臺(tái)，新疆烏魯木齊 830011)
射電望遠(yuǎn)鏡廣泛應(yīng)用于射電天文、測(cè)控導(dǎo)航等領(lǐng)域，可通過(guò)特定形狀的反射面實(shí)現(xiàn)電磁波向饋源的匯聚。然而環(huán)境載荷會(huì)使其結(jié)構(gòu)產(chǎn)生機(jī)械形變，引起反射面形狀誤差進(jìn)而降低望遠(yuǎn)鏡的性能[1]。重力、風(fēng)載對(duì)天線(xiàn)性能的影響及其控制方法已較為成熟[2–6]，錢(qián)宏亮等[3]研究了上海65m天線(xiàn)在重力及風(fēng)載作用下，主反射面精度的變化情況。Antebi等[4]分析了天線(xiàn)如何在重力情況下使用副面變形調(diào)整保證天線(xiàn)的精度。熱對(duì)低頻、中小口徑天線(xiàn)性能的影響并不明顯，且可以通過(guò)采用天線(xiàn)罩、溫控系統(tǒng)等進(jìn)行控制，但目前籌建的新疆110m大口徑全可動(dòng)射電望遠(yuǎn)鏡（QTT）口徑大、工作頻率高，且新疆地區(qū)日照強(qiáng)烈，太陽(yáng)輻射所引入的結(jié)構(gòu)熱誤差問(wèn)題亟須重視[7–8]。
目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)大口徑全可動(dòng)射電望遠(yuǎn)鏡熱行為的研究較少，主要對(duì)中小型口徑的射電望遠(yuǎn)鏡進(jìn)行了實(shí)測(cè)研究和數(shù)值模擬。Greve等[9]通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)分析，改進(jìn)了IRAM–30m天線(xiàn)的溫控系統(tǒng)，使天線(xiàn)性能得到明顯改善。Bremer等[10]進(jìn)一步構(gòu)建了IRAM–30m天線(xiàn)熱變形的簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)模型，實(shí)現(xiàn)了熱誤差實(shí)時(shí)計(jì)算。Ambrosini等[11]將實(shí)測(cè)溫度數(shù)據(jù)加載到VLBI–32 m天線(xiàn)有限元模型上對(duì)天線(xiàn)熱變形進(jìn)行了預(yù)測(cè)。MacDonald[12]和DiCarlo等[13]針對(duì)帶天線(xiàn)罩的37 m天線(xiàn)(HUSIR)研究了其太陽(yáng)/風(fēng)/溫度及電磁性能變化情況。Tsela等[14]針對(duì)南非的LLR望遠(yuǎn)鏡建立了其數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的熱梯度及精度預(yù)測(cè)模型。連培園等[15]針對(duì)天線(xiàn)日照溫度場(chǎng)分布特征提出了溫度場(chǎng)實(shí)時(shí)預(yù)估方法。常文文[16–17]、易樂(lè)天[18]等建立了南山站25m天線(xiàn)反射面的有限元模型，探討了天線(xiàn)面板、座架等結(jié)構(gòu)由于太陽(yáng)輻照引起的非均勻溫度場(chǎng)及熱致變形。劉澤鑫等[19]對(duì)武清70m天線(xiàn)座架也進(jìn)行了類(lèi)似研究。錢(qián)宏亮等[3]通過(guò)數(shù)值模擬的方法，研究了上海65m天線(xiàn)在日照溫度場(chǎng)作用下，主反射面精度的變化趨勢(shì)。
日照熱在天線(xiàn)結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生的溫度場(chǎng)具有非均勻性、時(shí)變性等特點(diǎn)，使天線(xiàn)熱變形呈現(xiàn)出復(fù)雜的時(shí)空分布以及多因素相關(guān)性。熱環(huán)境、天線(xiàn)姿態(tài)等不確定性因素，使得依據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式評(píng)估天線(xiàn)熱變形精度的方法難以滿(mǎn)足現(xiàn)代天線(xiàn)的設(shè)計(jì)要求[20–21]。為保證QTT的正常運(yùn)行，研究其在日照作用下的熱變形及其變遷規(guī)律一方面可為其熱誤差補(bǔ)償提供參考，另一方面可用于預(yù)測(cè)未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)天線(xiàn)熱變形的趨勢(shì)，提前規(guī)劃調(diào)整方案。
本文首先對(duì)QTT的熱問(wèn)題進(jìn)行了建模，對(duì)天線(xiàn)在典型夏至日的溫度場(chǎng)及變形情況進(jìn)行了數(shù)值模擬，分析了不同情況下反射面精度的變化情況及其規(guī)律；最后給出了幾種工況下副面的位置補(bǔ)償量，通過(guò)分析補(bǔ)償前后主反射面的光程差，探討了天線(xiàn)熱誤差的時(shí)空分布規(guī)律及其影響機(jī)理，有助于預(yù)估、理解天線(xiàn)日照熱誤差問(wèn)題，并為熱補(bǔ)償方案提供依據(jù)。
1 天線(xiàn)分析模型
1.1 熱環(huán)境建模
天線(xiàn)與外界的熱量傳遞途徑如圖1所示，主要包括天線(xiàn)接收太陽(yáng)輻射、天線(xiàn)與空氣的對(duì)流換熱、天線(xiàn)與地面和遠(yuǎn)空的輻射換熱。換熱過(guò)程與風(fēng)速、大氣清潔度、地面溫度、天空溫度等因素密切相關(guān)。天線(xiàn)結(jié)構(gòu)在上述因素的共同作用下形成瞬態(tài)時(shí)變的溫度場(chǎng)。
圖1 射電望遠(yuǎn)鏡換熱簡(jiǎn)圖Fig. 1 Heat transfer diagram of a radio telescope
1.1.1太陽(yáng)輻射熱模型
太陽(yáng)輻射熱模型是用于計(jì)算地球上的物體接收到的日照熱功率的數(shù)學(xué)模型，常用的有Dilger模型[9]和ASHRAE晴空模型[22–23]，本文采用ASHRAE晴空模型計(jì)算天線(xiàn)接收到的太陽(yáng)熱輻射功率。
ASHRAE晴空模型[23]中地面物體接收的太陽(yáng)輻射由直接輻射、散射輻射和反射輻射3部分構(gòu)成，其中穿過(guò)大氣層直射物體的部分為直接輻射，被周?chē)h(huán)境反射后間接照向物體的部分稱(chēng)為反射輻射，被大氣中的灰塵等分子散射的部分為散射輻射。
直接輻射強(qiáng)度GND計(jì)算方法如下：
式中：A為大氣質(zhì)量為零時(shí)的太陽(yáng)輻射強(qiáng)度；B為大氣消光系數(shù)； βs為太陽(yáng)高度角；CN為大氣清潔度；θ為太陽(yáng)對(duì)構(gòu)件表面的入射角，若cos θ小于0則表示構(gòu)件處于陰影中。
散射輻射強(qiáng)度計(jì)算方法如下：
式中，C為散射輻射強(qiáng)度， α為物體表面相對(duì)于地面的傾角。
反射輻射強(qiáng)度計(jì)算方法如下：
式中：pg為地面反射率，一般取0.3[24]；GtH為落在壁面之前的水平面或地面上的總輻射量,GtH=(C+sin βs)GND。
入射到天線(xiàn)表面的太陽(yáng)輻射熱流密度為：
天線(xiàn)實(shí)際得到的太陽(yáng)熱流密度為：
式中， γ為天線(xiàn)表面的太陽(yáng)輻射吸收率，天線(xiàn)表面一般涂有白漆，故 γ取值為0.3[24]。
ASHRAE模型中A、B、C這3個(gè)系數(shù)可通過(guò)中國(guó)輻射強(qiáng)度觀測(cè)數(shù)據(jù)擬合得到[25]，CN、 βs、 α 、 θ可根據(jù)天線(xiàn)地理位置及構(gòu)件空間方位計(jì)算得到[16]。
1.1.2對(duì)流換熱模型
天線(xiàn)與環(huán)境的對(duì)流換熱可用牛頓換熱定律[26]表述如下：
式中：hc為對(duì)流換熱系數(shù)，其取值Saetta[27]建議使用公式hc=4.0V+5.6，其中V為風(fēng)速；Tx為構(gòu)件表面溫度；Ts為環(huán)境溫度，可按下式計(jì)算[26]：
式中，Tsmax、Tsmin分別為環(huán)境最高溫度、最低溫度，t為時(shí)間。
1.1.3凈長(zhǎng)波輻射模型
凈長(zhǎng)波輻射指天線(xiàn)與地面、遠(yuǎn)空的輻射換熱。天線(xiàn)表面得到的凈長(zhǎng)波輻射可表述為[22]：
式中：ε為發(fā)射率；σ為黑體輻射系數(shù)；Fwg、Fws分別為構(gòu)件表面對(duì)地面、天空的輻射角系數(shù)；Tsky為遠(yuǎn)空溫度；Tg為地面溫度，可按下式計(jì)算：
式中，E、F、M為常量，取值可見(jiàn)文獻(xiàn)[28–29]。
1.1.4瞬態(tài)溫度場(chǎng)模型
天線(xiàn)結(jié)構(gòu)的熱分析遵循熱力學(xué)第一定律，瞬態(tài)熱分析的能量平衡方程為[30]：
式中，C為比熱矩陣，考慮系統(tǒng)內(nèi)能的增加，T和T˙分別為溫度向量以及其對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，K為傳導(dǎo)矩陣,包含導(dǎo)熱系數(shù)、對(duì)流系數(shù)及輻射率和形狀系數(shù)等，Q為節(jié)點(diǎn)熱流率向量。
1.2 陰影遮擋與輻射傳熱系數(shù)
1.2.1天線(xiàn)主反射面陰影遮擋
QTT主反射面直徑110m，面積巨大，在太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，面板會(huì)對(duì)自身產(chǎn)生遮擋，明暗區(qū)及分界點(diǎn)示意如圖2所示。根據(jù)光線(xiàn)追蹤原理，可以找到反射面邊緣點(diǎn)在反射面上的投影點(diǎn)，進(jìn)而得到反射面陰影區(qū)與太陽(yáng)照射區(qū)的分界線(xiàn)，計(jì)算公式如下：
式中：N(t,AZ,EL)為太陽(yáng)入射光線(xiàn)方向向量，是關(guān)于時(shí)間t、天線(xiàn)方位角AZ與俯仰角EL的函數(shù)；X′為反射面邊緣點(diǎn)；X0為反射面與太陽(yáng)入射光線(xiàn)的交點(diǎn)。
圖2 反射面太陽(yáng)照射明暗區(qū)及分界點(diǎn)示意圖Fig. 2 Self shading effect of reflector
1.2.2輻射角系數(shù)
物體之間的輻射換熱除了與物體絕對(duì)溫度有關(guān)，還與換熱表面之間的相對(duì)位置有關(guān)，輻射角系數(shù)[31]描述了這種關(guān)系，兩微元表面之間的輻射角系數(shù)如圖3所示，計(jì)算公式如下：
式中：Ib1為常數(shù)；Eb1為微元表面相對(duì)于黑體的輻射力；θ1、θ2分別為dA1、dA2的維度角；d?1為微元表面dA1對(duì)dA2所張的立體角；r為dA1到dA2的半徑。
圖3 微元表面輻射角系數(shù)Fig. 3 Surface radiation shape factor
1.3 主反射面精度分析及副反射面補(bǔ)償方法
圖4為天線(xiàn)變形分析示意圖，變形后其反射面形狀不再是理想拋物面，電磁波不再完全匯聚于原設(shè)計(jì)焦點(diǎn)[32]（圖4中F點(diǎn)），為緩解上述問(wèn)題，大口徑射電望遠(yuǎn)鏡基本都采用“保型”設(shè)計(jì)，即要求各個(gè)姿態(tài)下重力變形后的反射面形狀皆盡可能接近參數(shù)不同的拋物面[1]（圖4中虛線(xiàn)），這樣將饋源移動(dòng)到新的拋物面的焦點(diǎn)上（圖4中F'點(diǎn)）后，能夠較好恢復(fù)原來(lái)的天線(xiàn)性能。圖4中uA與wA為頂點(diǎn)的兩個(gè)方向位移，上述虛擬拋物面被稱(chēng)為最佳吻合拋物面[32]，變形后的反射面相對(duì)于最佳吻合拋物面對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間半光程差的均方根誤差值（RRMS）作為衡量反射面精度的指標(biāo)。
圖4 天線(xiàn)變形分析示意圖Fig. 4 Diagram of the antenna deformation analysis
圖5為設(shè)計(jì)拋物面經(jīng)過(guò)位姿剛性變換及焦距變換得到最佳吻合拋物面的過(guò)程。OXYZ及O1X1Y1Z1分別為原設(shè)計(jì)拋物面、最佳吻合拋物面的坐標(biāo)系，原點(diǎn)O與O1分別為它們的頂點(diǎn)，OZ與O1Z1分別為它們的焦軸，任意點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系下坐標(biāo)分別為（x,y,z）和（x1,y1,z1），設(shè)計(jì)拋物面方程為：
最佳吻合拋物面方程為：
式（14）～（15）中，f、h分別為設(shè)計(jì)拋物面的焦距及焦距的變化量。
圖5 剛體位姿變換示意Fig. 5 Rigid body pose transformation
由圖5可知，在旋轉(zhuǎn)量十分微小情況下，其線(xiàn)性化坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方程為：
式中，uA、vA、wA為最佳吻合拋物面相對(duì)于設(shè)計(jì)面的平移量， ?x、 ?y、 ?z為相對(duì)各軸的旋轉(zhuǎn)量，上述6個(gè)參數(shù)為待定值。
將式（16）帶入式（15），略去其2階微量，可得到最佳吻合拋物面在原設(shè)計(jì)面坐標(biāo)系下的方程：
因?yàn)閽佄锩鏋閳A周對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，故反射面繞焦軸轉(zhuǎn)動(dòng)量 ?z對(duì)天線(xiàn)性能無(wú)影響，可以省略，最終得到含6個(gè)參數(shù)的最佳吻合拋物面方程。
變形后的拋物面相對(duì)于最佳吻合拋物面的誤差如圖4所示，略去2階微量，得到逐點(diǎn)誤差關(guān)于上述待定參數(shù)的線(xiàn)性表達(dá)式如下：
式中，x、y、z為反射面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，u、v、w分別為節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位移，上述6個(gè)參數(shù)為已知量。
最佳吻合拋物面的參數(shù)應(yīng)使 ?2達(dá)到最小值，上述問(wèn)題為線(xiàn)性最小二乘問(wèn)題；對(duì) ?2求關(guān)于6個(gè)待定參數(shù)的偏導(dǎo)，并令其為零，即得到關(guān)于最佳吻合拋物面參數(shù)的線(xiàn)性方程組：
式中，A為節(jié)點(diǎn)的初始位置信息矩陣，X為最佳吻合拋物面的參數(shù)向量，d為變形后反射面的節(jié)點(diǎn)位移信息矩陣。
則以均方根值為度量的反射面精度的計(jì)算方式如下：
式中，N為背架上弦節(jié)點(diǎn)數(shù)量[1]，RRMS反映了反射面的形狀偏離拋物面的程度。
天線(xiàn)主面熱變形的精度評(píng)價(jià)及副面補(bǔ)償計(jì)算流程如圖6所示，即根據(jù)反射面的熱變形數(shù)據(jù)，由式（19）（20）確定與之對(duì)應(yīng)的最佳吻合拋物面參數(shù)及天線(xiàn)熱變形型面精度（RRMS），將副反射面的焦點(diǎn)調(diào)整到上述新的主反射面焦點(diǎn)位置（見(jiàn)圖4）即可部分實(shí)現(xiàn)天線(xiàn)誤差補(bǔ)償，RRMS越小則說(shuō)明熱變形后反射面形狀越接近于拋物面，補(bǔ)償效果越好。
圖6 精度評(píng)價(jià)及副面補(bǔ)償量計(jì)算流程Fig.6 Accuracy evaluation and subreflector repositioning
副反射面的位置調(diào)整量與最佳吻合參數(shù)的關(guān)系如下：
式中，UX、UY、UZ分別為副反射面3個(gè)方向的位置調(diào)整量。
2 結(jié)果與分析
2.1 天線(xiàn)有限元模型及分析流程
QTT反射體的有限元模型如圖7所示。天線(xiàn)桁架材料為鋼，反射面材料為鋁，材料的熱特性見(jiàn)表1。天線(xiàn)熱力耦合分析流程如圖8所示。
圖7 天線(xiàn)反射體模型Fig. 7 Antenna reflector model
表1 材料參數(shù)Tab.1 Material parameters
圖8 天線(xiàn)熱力耦合分析流程Fig. 8 Thermal-mechanical coupling analysis process
2.2 熱誤差分析及補(bǔ)償
日照溫度變化具有一定的時(shí)間尺度，本文研究天線(xiàn)在季節(jié)性均勻溫度變化與逐日溫度變化兩種情況下的響應(yīng)情況。
2.2.1季節(jié)性熱誤差分析
天線(xiàn)反射體通過(guò)俯仰軸與方位座架連接（如圖7所示），根據(jù)軸承連接處是否允許反射體沿軸承軸向移動(dòng)，本文選取兩種極端的俯仰軸約束方式：全約束（FC）、對(duì)稱(chēng)浮動(dòng)約束（SFC）。
表2為奇臺(tái)縣季節(jié)溫度統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。由表2可知，QTT臺(tái)址四季環(huán)境溫度在–20℃～30℃范圍內(nèi)變化。以天線(xiàn)俯仰角90°、參考溫度20℃為例，分析天線(xiàn)結(jié)構(gòu)在不同約束方式、不同環(huán)境溫度條件下，反射面精度（RRMS）的變化趨勢(shì)，計(jì)算結(jié)果如圖9所示。
表2 奇臺(tái)縣四季溫度Tab.2 Seasonal temperature in Qitai County
圖9 不同工況下的R RMSFig. 9 RRMS under different working conditions
由圖9可知，俯仰軸的約束方式對(duì)反射面精度影響很大，兩種約束方式下的RRMS變化趨勢(shì)相同，但對(duì)稱(chēng)浮動(dòng)約束方式下的反射面RRMS只有全約束方式下的1/80。所以在天線(xiàn)的設(shè)計(jì)建造過(guò)程中應(yīng)盡量減小座架對(duì)俯仰軸的熱應(yīng)力約束，即允許反射體沿軸承軸向有一定游隙。目前實(shí)際天線(xiàn)中已自然存在此效應(yīng)，這也是夏天與冬天夜晚溫度雖相差很大，但天線(xiàn)仍可以正常工作的原因。
由上述分析可知，俯仰軸的對(duì)稱(chēng)浮動(dòng)約束方式更接近實(shí)際情況，此約束方式下的天線(xiàn)在均勻溫升時(shí)，反射面精度幾乎不受影響。
2.2.2日照溫度場(chǎng)及變形場(chǎng)分析
2011年1月1日—11月1日，QTT臺(tái)址晴天約占40.3%，為所有天氣中占比最高；臺(tái)址風(fēng)速≤3.0m/s的占比約為50.3%，風(fēng)速≤4.0 m/s的占比為69.5%[7]。選取典型工況對(duì)天線(xiàn)結(jié)構(gòu)進(jìn)行全天的溫度場(chǎng)、變形場(chǎng)時(shí)程分析：2011年6月21日，晴天無(wú)云，風(fēng)速分別取0、1.5、3.0 m/s，采用俯仰軸對(duì)稱(chēng)浮動(dòng)約束；天線(xiàn)俯仰角姿態(tài)如圖10所示，分別取0°、45°和90°，方位角取90°。
圖10 各俯仰角姿態(tài)Fig. 10 Attitude of each pitch angle
天線(xiàn)仰天姿態(tài)下溫度場(chǎng)分布特征及機(jī)理探討如下：圖11至圖14分別為06：00、08：00、14：00、18：00的天線(xiàn)桁架與主反射面的溫度場(chǎng)分布情況（俯仰角90°、風(fēng)速3.0m/s）。由圖11至圖14可知，日照熱在天線(xiàn)結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生的溫度場(chǎng)呈現(xiàn)出不均勻、時(shí)變的特點(diǎn)：日出時(shí)太陽(yáng)位于天線(xiàn)的東偏北方向，日落時(shí)太陽(yáng)位于天線(xiàn)的西偏北方向；06：00～18：00，太陽(yáng)在反射面上的直射點(diǎn)由西南向東南逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。在06：00和18：00，由于太陽(yáng)側(cè)照天線(xiàn)及反射面遮擋，天線(xiàn)溫度場(chǎng)的不均勻性更為明顯，桁架最高溫度分別為24.0 ℃、37.1℃，均高于同時(shí)刻反射面的溫度最大值（23.2 ℃、35.7℃）。08：00、14：00的反射面可分為3個(gè)比較均勻的溫度區(qū)域，即高溫區(qū)、過(guò)渡區(qū)和低溫區(qū)；這兩個(gè)時(shí)刻反射面最高溫度分別為32.4℃、45.2℃，均高于同時(shí)刻桁架的最大溫度值27.9℃、40.3℃，反射面與桁架的溫差分別為4.5℃、4.9℃。
圖11 06：00天線(xiàn)溫度場(chǎng)分布Fig. 11 Distribution of antenna temperature field at 06：00
圖12 08：00天線(xiàn)溫度場(chǎng)分布Fig. 12 Distribution of antenna temperature field at 08：00
圖13 14：00天線(xiàn)溫度場(chǎng)分布Fig. 13 Distribution of antenna temperature field at 14：00
圖14 18：00天線(xiàn)溫度場(chǎng)分布Fig. 14 Distribution of antenna temperature field at 18：00
天線(xiàn)仰天姿態(tài)下溫差特點(diǎn)及機(jī)理探討如下：圖15、16給出了背架的溫度/溫差變化曲線(xiàn)?？梢?jiàn)，不同風(fēng)速下背架的溫度/溫差變化規(guī)律相同：從05：00到19：00，太陽(yáng)高度角大于0°，背架受到太陽(yáng)輻射，故其最高溫度高于空氣溫度。不同風(fēng)速下背架的溫度最大值均出現(xiàn)在14：00左右，最高溫度可達(dá)39.7℃（3.0m/s）、41.7℃（1.5m/s）。從19：00到次日凌晨05：00，背架溫差較小，且其溫度低于空氣溫度，這是由于夜晚無(wú)太陽(yáng)直接照射，而遠(yuǎn)空溫度低于空氣溫度，背架向遠(yuǎn)空散熱。背架的溫差雙峰分別出現(xiàn)在06：00、18：00，風(fēng)速3.0m/s時(shí)分別為4.8℃、5.1℃，風(fēng)速1.5m/s時(shí)分別為6.5℃、6.9℃。在05：00、19：00時(shí)，太陽(yáng)側(cè)照背架，所以不同風(fēng)速下背架的溫差會(huì)急劇變化；從05：00到19：00，不同風(fēng)速下背架溫差分別在4～5℃（3.0m/s）、5～7℃（1.5m/s）范圍內(nèi)變化。
圖15 背架溫度Fig. 15 Temperature of backup structure
圖16 背架溫差Fig. 16 Temperature difference of backup structure
風(fēng)速對(duì)溫度場(chǎng)的影響及機(jī)理探討如下：由圖15、16中不同風(fēng)速曲線(xiàn)對(duì)比可見(jiàn)，隨著風(fēng)速增大，背架的溫升、溫差減小。這是由于在太陽(yáng)輻射強(qiáng)度一定的條件下，風(fēng)速越大，對(duì)流換熱越強(qiáng)烈，背架高溫區(qū)相對(duì)于空氣的溫升越小，而不同風(fēng)速下背架的最低溫度本就與空氣溫度相仿，故總體溫差減小。由分析依據(jù)可知，上述結(jié)論在天線(xiàn)任意俯仰角下都成立。
仰天姿態(tài)下天線(xiàn)熱變形規(guī)律分析如下：圖17～20分別為對(duì)應(yīng)于圖11～14溫度場(chǎng)的反射面熱變形形狀。在非均勻溫度場(chǎng)的作用下，反射面變形可分為兩部分：一部分是由結(jié)構(gòu)整體溫升產(chǎn)生的變形，另一部分是由結(jié)構(gòu)溫度梯度產(chǎn)生的變形。前者占主導(dǎo)，但其對(duì)反射面精度幾乎沒(méi)有影響；后者導(dǎo)致反射面出現(xiàn)以扭轉(zhuǎn)、畸形為主的不均勻變形。
圖17 06：00主反射面變形云圖Fig. 17 Deformation cloud of the main reflector at 06：00
圖18 08：00主反射面變形云圖Fig. 18 Deformation cloud of the main reflector at 08：00
圖19 14：00主反射面變形云圖Fig. 19 Deformation cloud of the main reflector at 14：00
圖20 18：00主反射面變形云圖Fig. 20 Deformation cloud of the main reflector at 18：00
反射面不同時(shí)刻的熱變形具有不同特點(diǎn)，整體沿俯仰軸呈現(xiàn)出“元寶”狀的變形趨勢(shì)，反射面邊緣變形與扭轉(zhuǎn)角度較大，且溫差越大其不均勻變形程度越大（對(duì)比圖19及20）。
2.2.3日照熱誤差及其補(bǔ)償分析
如圖4所示，定義RRMSd為變形后反射面相對(duì)于原設(shè)計(jì)拋物面的均方根值，其反映了反射面偏離原設(shè)計(jì)面的程度，即絕對(duì)變形情況。變形后反射面點(diǎn)B到原來(lái)位置（A）的偏差記為 ?1，其計(jì)算如下：
則RRMSd計(jì)算公式為：
圖21為俯仰角90°、不同風(fēng)速下RRMSd曲線(xiàn)。仰天姿態(tài)下反射面絕對(duì)變形隨時(shí)間、風(fēng)速變化規(guī)律及其機(jī)理分析如下：05：00至19：00，絕對(duì)變形量隨太陽(yáng)高度角先增大后減小，最大值出現(xiàn)在12：00左右，原因是此時(shí)太陽(yáng)輻射強(qiáng)度最大；在05：00和19：00，RRMSd會(huì)發(fā)生“跳躍”式突變，因此時(shí)天線(xiàn)經(jīng)歷了太陽(yáng)入射角度的狀態(tài)變化。風(fēng)速方面：RRMSd隨風(fēng)速增大而減小，因?yàn)轱L(fēng)速越大，天線(xiàn)與環(huán)境間的換熱速率越快，結(jié)構(gòu)整體的溫升越小，由熱引起的絕對(duì)變形量就越小。
圖21 俯仰角90°，不同風(fēng)速下R RMSdFig. 21 RRMSd at different wind speeds at pitch Angle of 90°
仰天姿態(tài)下反射面宏觀變形時(shí)空特征分析：由最佳吻合拋物面的定義可知其參數(shù)變化反映了反射面宏觀的位姿變化情況，故由式（21）即可得到副面的位置調(diào)整量UX、UY、UZ，亦可用于評(píng)價(jià)反射面的宏觀剛體移動(dòng)。
圖22為俯仰角90°下副反射面補(bǔ)償量。
圖22 不同風(fēng)速下副反射面位置調(diào)整量Fig. 22 Position adjustment of subreflector at different wind speeds
由圖22可得出以下結(jié)論：
1）副反射面沿X軸（俯仰軸）的位置調(diào)整量關(guān)于12：00呈“奇函數(shù)”對(duì)稱(chēng)。其原因?yàn)椋?4：00到07：00，太陽(yáng)在天線(xiàn)的東偏北方向升起（見(jiàn)圖11），側(cè)照X軸正半軸一側(cè)的天線(xiàn)結(jié)構(gòu)，被照射側(cè)結(jié)構(gòu)溫度高于另一側(cè)，使反射體受熱膨脹沿X軸正向產(chǎn)生偏移，此時(shí)天線(xiàn)結(jié)構(gòu)的溫差最大，故補(bǔ)償量達(dá)到最大；從07：00至10：00，隨著太陽(yáng)高度角增大，太陽(yáng)照射區(qū)逐漸“翻過(guò)”反射面，出現(xiàn)在X軸負(fù)半軸一側(cè)的天線(xiàn)結(jié)構(gòu)上（見(jiàn)圖2），其變形趨勢(shì)與04：00至7：00的相反，故副面沿X向的補(bǔ)償量開(kāi)始減??；10：00至12：00，太陽(yáng)照射位置靠近天線(xiàn)中心，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)溫度的不均勻性減小，所以補(bǔ)償量幅值較?。恢形?2：00之后，太陽(yáng)與天線(xiàn)相對(duì)位置的變化情況與上午時(shí)段剛好相反，故補(bǔ)償量的變化規(guī)律也與上午時(shí)刻相反。
2）05：00至14：00，隨天線(xiàn)結(jié)構(gòu)溫升的增大，其熱膨脹變形量一直增大，故副反射面沿Z軸（焦軸）的補(bǔ)償量單調(diào)增大；14：00至20：00，隨天線(xiàn)結(jié)構(gòu)溫升的減小，補(bǔ)償量單調(diào)減小。
3）風(fēng)速的影響：對(duì)比圖22中不同風(fēng)速的結(jié)果可知，補(bǔ)償量的變化趨勢(shì)相同但幅值不同。其原因?yàn)椋猴L(fēng)速增大，天線(xiàn)與環(huán)境間的換熱速率越快，導(dǎo)致背架溫差減小，使得其熱變形減小，補(bǔ)償量自然就減少了。
結(jié)合溫度場(chǎng)、變形場(chǎng)、絕對(duì)變形量以及補(bǔ)償量數(shù)據(jù)，QTT日照熱變形的規(guī)律及機(jī)理總結(jié)如下：
1）太陽(yáng)側(cè)面照射天線(xiàn)時(shí)，即照射反射面凸面，不均勻變形最劇烈；從側(cè)照到部分照射反射面凹面或者相反的過(guò)程（見(jiàn)圖2），結(jié)構(gòu)不均勻變形會(huì)經(jīng)歷峰值；其發(fā)生具體時(shí)間取決于天線(xiàn)–太陽(yáng)所呈現(xiàn)出的相對(duì)姿態(tài)。
2）溫度分布的非均勻性是結(jié)構(gòu)不均勻變形的主要原因，溫差越大不均勻變形程度越大。
3）風(fēng)速不改變溫度場(chǎng)的空間分布，只影響其幅值；不同風(fēng)速下同一姿態(tài)反射面的熱變形具有相同的變化趨勢(shì)，熱變形隨風(fēng)速增大而減小。
在QTT熱誤差控制及其補(bǔ)償中，可利用上述規(guī)律，通過(guò)連續(xù)測(cè)量天線(xiàn)的溫度場(chǎng)、風(fēng)速及太陽(yáng)輻射強(qiáng)度等數(shù)據(jù)，對(duì)未來(lái)反射面的熱變形變化趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)，形成補(bǔ)償方案。
2.2.4補(bǔ)償后反射面精度分析
圖23～25為采用副反射面位置補(bǔ)償后，不同工況下反射面RRMS的變化曲線(xiàn)。由圖23～25可知，RRMS曲線(xiàn)皆形如“馬鞍”，且數(shù)值遠(yuǎn)小于RRMSd曲線(xiàn)。RRMS在05：00、19：00會(huì)發(fā)生急劇變化，因此刻太陽(yáng)側(cè)照天線(xiàn)；在13：00，RRMS出現(xiàn)谷底。不同風(fēng)速下RRMS時(shí)間變化趨勢(shì)相同，但數(shù)值隨風(fēng)增強(qiáng)而減小，這是由于大風(fēng)加快了天線(xiàn)與環(huán)境間的對(duì)流換熱，背架整體的溫差變小，反射面不均勻熱變形隨之減小，使得反射面形狀精度變高。
俯仰角為45°、90°時(shí)的RRMS具有與類(lèi)似變化趨勢(shì)，但波峰/波谷出現(xiàn)的時(shí)間及持續(xù)時(shí)間不同，這是由于不同姿態(tài)下太陽(yáng)–天線(xiàn)相對(duì)位置不同，從而導(dǎo)致太陽(yáng)“翻過(guò)”反射面的時(shí)間不同。
圖26、27為同一時(shí)刻不同風(fēng)速下主反射面光程差的分布云圖，對(duì)比可知：風(fēng)速對(duì)反射面光程差的空間分布趨勢(shì)沒(méi)有影響；但隨風(fēng)速增大，背架溫差變小，反射面的光程差減小。圖27、28為不同時(shí)刻同一風(fēng)速下光程差的分布云圖，可見(jiàn)其分布繞天線(xiàn)方位軸轉(zhuǎn)動(dòng)，與太陽(yáng)入射角有相關(guān)性。對(duì)比左右圖可知，采用副反射面位置補(bǔ)償可有效減小天線(xiàn)的熱誤差。
圖23 俯仰角0°不同風(fēng)速下R RMSFig. 23 RRMS at different wind speeds with pitch angle of 0°
圖24 俯仰角45°不同風(fēng)速下R RMSFig. 24 RRMS at different wind speeds with pitch angle of 45°
圖2 6 0 8：0 0光程差，風(fēng)速1.5m/sFig. 26 Optical path difference at 08：00, wind speed 1.5 m/s
圖27 08：00光程差，風(fēng)速3.0m/sFig. 27 Optical path difference at 08：00, wind speed 3.0 m/s
圖28 12：00光程差，風(fēng)速3.0m/sFig. 28 Optical path difference at 12：00, wind speed 3.0 m/s
3 結(jié) 論
本文通過(guò)有限元仿真研究了多工況下QTT主反射面的熱誤差及其副反射面位置補(bǔ)償，總結(jié)了其日照溫度場(chǎng)、熱變形、型面精度以及副反射面位置補(bǔ)償量的數(shù)值、變遷規(guī)律以及機(jī)理。上述規(guī)律及機(jī)理有助于估計(jì)、理解天線(xiàn)日照熱誤差問(wèn)題并為熱補(bǔ)償方案提供依據(jù)。主要結(jié)論如下：
1）天線(xiàn)反射體與座架連接處應(yīng)采取熱應(yīng)力釋放措施，減弱座架對(duì)反射體的熱膨脹約束。
2）溫差導(dǎo)致天線(xiàn)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的不均勻變形是其反射面精度下降的主要原因，且溫差越大反射面精度越差；均勻溫升對(duì)反射面精度幾乎沒(méi)有影響。
3）風(fēng)速不改變天線(xiàn)結(jié)構(gòu)的溫度場(chǎng)分布，只影響其幅值；隨風(fēng)速減小，結(jié)構(gòu)的溫差增大，反射面精度隨之變差。
4）天線(xiàn)和太陽(yáng)的相對(duì)位置決定了天線(xiàn)的熱變形分布；當(dāng)天線(xiàn)與太陽(yáng)相對(duì)位置相同時(shí)，無(wú)論天線(xiàn)絕對(duì)姿態(tài)如何，其具有相似的熱變形分布，但由于日照強(qiáng)度、風(fēng)速等因素的不同，天線(xiàn)結(jié)構(gòu)變形量的幅值不同。
5）日照非均勻溫度場(chǎng)導(dǎo)致天線(xiàn)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生不均勻熱變形，大大降低了反射面精度，采用副反射面位置補(bǔ)償措施可明顯改善日照熱誤差的影響。
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