李世榮

(南通理工學(xué)院土木工程學(xué)院,江蘇南通 226002)

(揚(yáng)州大學(xué)建筑科學(xué)與工程學(xué)院,江蘇揚(yáng)州 225127)

引言

熱彈性阻尼(thermoelastic damping,TED) 是諧振器在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)由熱彈性耦合變形引起的內(nèi)部耗能,它不能通過外部條件的改善而消除[1-2].隨著諧振尺寸達(dá)到微/納尺度,TED 將會(huì)變得更加顯著.在通過優(yōu)化設(shè)計(jì)最大限度地消除外部阻尼的情況下,TED 將會(huì)決定諧振器品質(zhì)因子的上限.因此,精確地分析和預(yù)測 TED 對高品質(zhì)微/納諧振器的研究和設(shè)計(jì)具有重要意義.

隨著微/納機(jī)電系統(tǒng) (MEMS/NEMS)科技以及材料科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,除了傳統(tǒng)的均勻各向同性材料諧振器,復(fù)合材料諧振器也已得到廣泛應(yīng)用.例如,在陶瓷基底上鋪設(shè)金屬或壓電層來增強(qiáng)諧振器的功能.因此,在理論上精確地分析和預(yù)測層熱彈性阻尼對復(fù)合材料諧振器的優(yōu)化設(shè)計(jì)就顯得十分必要.自從 Bishop 等[3-4]首先采用能量法研究多層微/納結(jié)構(gòu)的 TED 以來,已有大量的文獻(xiàn)研究了雙層和多層微/納梁板的TED.鑒于本文的研究主題和篇幅所限,下面只介紹關(guān)于復(fù)合材料微/納梁式諧振的TED 研究現(xiàn)狀[3-16].

Bishop 等[3-4]首次將Zener[1]關(guān)于均勻材料微/納梁諧振器TED 分析的能量法推廣應(yīng)用到了具有完善和非完善界面復(fù)合材料多層微/納梁/板諧振器的TED 研究中,并通過計(jì)算一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)由不可逆?zhèn)鳠岙a(chǎn)生的總熱量與總彈性勢能之比給出了層合結(jié)構(gòu)的逆品質(zhì)因子解析解,具體分析了對稱鋪設(shè)三層矩形截面微梁的TED.接著,已有不少作者采用能量法分別研究了雙層和三層微梁中的TED.其中,Vengllatore[5]和Prabhakar 等[6]分別預(yù)測了對稱鋪設(shè)三層和雙層微梁中的TED,通過數(shù)值結(jié)果分析了具有不同分層厚度(體積分?jǐn)?shù))的微梁中的TED 隨著等溫固有頻率的變化規(guī)律.Vahdat 等[7]基于包含一個(gè)松弛參數(shù)的廣義二維熱傳導(dǎo)方程采用復(fù)頻率法分析了上下表面粘貼壓電層的三層微梁的TED,數(shù)值結(jié)果表明可以通過改變外加電壓來調(diào)整諧振器的TED 以及臨界厚度.Zamanian 等[8]分析了表層不完全覆蓋的雙層微梁在靜電場作用下的熱彈性耦合自由振動(dòng)響應(yīng),其中考慮了靜電場的吸入電壓(pullin voltage)產(chǎn)生的靜態(tài)非線性彎曲變形以及軸線伸長對層合微梁中TED 的影響.Nourmohammadi 等[9]在對雙層微梁的TED 分析中發(fā)現(xiàn)以SiO2/Si 分層組成的微梁中的TED 隨著等溫頻率的增加會(huì)出現(xiàn)雙峰值現(xiàn)象.Zuo 等[10]推導(dǎo)出了非對稱鋪設(shè)三層微梁中TED 的解析解,并在SiO2/Si/Zn 三層微梁的TED隨頻率變化曲線中也發(fā)現(xiàn)了多峰值現(xiàn)象.Yang 等[11-13]進(jìn)一步基于二維熱傳導(dǎo)方程分別研究了具有頂層完全覆蓋[11]和部分覆蓋[12-13]的雙層微梁中的TED,數(shù)值結(jié)果中進(jìn)一步分析了SiO2/Si 微梁TED 的雙峰值現(xiàn)象.

眾所周知,在層合微梁的物理中面偏離幾何中面的情況下(典型的如由分層材料性質(zhì)不同的雙層微梁),微梁在振動(dòng)過程中將會(huì)產(chǎn)生拉完耦合變形.于是,由熱?彈耦合振動(dòng)導(dǎo)致的變溫場在橫截面內(nèi)不僅會(huì)形成熱彎矩,而且還會(huì)產(chǎn)生熱軸力.然而,在上述關(guān)于雙層梁和不對稱鋪設(shè)的三層微梁的TED 預(yù)測中[6,8-13]熱軸力全被忽略了,其中只考慮了熱彎矩的耗能效應(yīng).由于未計(jì)熱軸力,上述研究中都采用物理中面法將軸向位移用撓度來表示,從而在數(shù)學(xué)上消去了拉?彎耦合,簡化了問題的數(shù)學(xué)分析和求解.然而,忽略熱軸力對層合微梁TED 的預(yù)測精度的影響至今沒有任何的定量分析和討論.

不同于材料性質(zhì)橫向階梯型變化的層合微梁,功能梯度材料微梁的物性參數(shù)是沿著高度連續(xù)變化的.例如典型的金屬?陶瓷組分的矩形截面功能梯度梁,其材料性質(zhì)可設(shè)計(jì)為從上表面的純陶瓷沿厚度連續(xù)變化為下表面的純金屬.因此,功能梯度材料微梁的熱?彈耦合橫向振動(dòng)伴隨拉?彎耦合變形.文獻(xiàn)[14-16]基于Euler-Bernoulli 梁理論和經(jīng)典的準(zhǔn)一維熱傳導(dǎo)理論研究功能梯度材料微梁的熱?彈耦合自由振動(dòng)響應(yīng).采用分層均勻化方法獲得了變系數(shù)熱傳導(dǎo)方程的半析解.進(jìn)而通過求解結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)的復(fù)特征值問題,獲得了用逆品質(zhì)因子表示的TED解析解,精確地考慮了熱軸力對TED 的貢獻(xiàn)[15-16].Zhang 等[16]還基于修正的偶應(yīng)力理論分析了尺度效應(yīng)對TED 的影響.

綜上所述,熱軸力對層合微/納梁諧振器熱彈性阻尼的影響依然是復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)熱?彈耦合振動(dòng)響應(yīng)研究的新課題.本文基于Euler-Bernoulli 梁理論和準(zhǔn)一維熱傳導(dǎo)理論研究雙層微梁諧振器的熱彈耦合振動(dòng)響應(yīng),精確考慮熱軸力,建立熱?彈耦合兼拉?彎耦合變形的復(fù)特征值問題的數(shù)學(xué)模型,尋求溫度場、位移場、復(fù)頻率以及逆品質(zhì)因子的解析解,通過數(shù)值算例定量分析熱軸力對TED 的影響程度和規(guī)律,給出更加精確的TED 預(yù)測.

1 問題的數(shù)學(xué)模型

1.1 運(yùn)動(dòng)方程

考慮矩形截面雙層微梁,長為l、寬為b、高為h=h1+h2,其中h1和h2分別為分層厚度 (如圖1 所示).兩個(gè)分層分別由兩種材料性質(zhì)不同的均勻各向同性材料組成.(x,y,z) 分別表示長度、寬度和高度方向的直角坐標(biāo),z=0 為幾何中面.

圖1 雙層微梁的幾何尺寸和坐標(biāo)系Fig.1 Geometry and coordinates of a bi-layered micro beam

基于Euler-Bernoulli 梁理論,位移場可表示為

其中u0(x,t) 和w0(x,t) 分別為幾何中面上點(diǎn)的軸向和橫向位移;u和w分別為梁內(nèi)任意一點(diǎn)的位移分量;t為時(shí)間坐標(biāo).

小振幅振動(dòng)下的應(yīng)變與位移的關(guān)系為

由胡克定律給出各分層的正應(yīng)力

其中Ej和 αj(j=1,2) 分別為分層的材料彈性模量和熱膨脹系數(shù);θj(x,z,t)=Tj(x,z,t)?T0為熱彈性耦合振動(dòng)產(chǎn)生的變溫場,T0和Tj分別為初始溫度和瞬態(tài)溫度場.

忽略軸向慣性力,層合梁自由振動(dòng)微分方程為

其中,Ieq為等效慣性參數(shù);FN和M分別為軸力和彎矩,可表示為

其中NT為熱軸力,MT為熱彎矩;S0,S1和S2分別為拉伸、拉?彎耦合和彎曲剛度.慣性參數(shù)、剛度參數(shù)以及熱軸力和熱彎矩分別由下式計(jì)算

由式(4)可知軸力為常數(shù).考慮到對于小振幅自由振動(dòng)的微梁不考慮軸向慣性力,且有一端為軸向可移約束,則有FN(l,t)=0 (或FN(0,t)=0),由此可斷定FN(x,t)=0 (0＜x＜l).于是由式(6a)可得

其中z0=S1/S0為物理中面的位置.在已有文獻(xiàn)[6,8-13]中,上式中的熱軸力NT卻被不加說明地忽略了.即在式(8)中令NT=0,并將其代入式(2)后可得正應(yīng)變下近似表示

從而消去了拉?彎耦合,簡化了溫度場的求解[6,8-13].

將式(6b)代入式(5)并利用式(8),得到只用撓度表示的運(yùn)動(dòng)微分方程

1.2 熱傳導(dǎo)方程

忽略溫度梯度在軸向的變化,微梁的傅里葉熱傳導(dǎo)方程可分別在兩個(gè)分層給出[1,2,5-11]

其中 κj為熱傳導(dǎo)系數(shù);Cj為比熱;是第j層的體積應(yīng)變,具體表示為[2]

將式(12)代入式(11),相比單位1 忽略高階微量Ejαj2T0/(ρjCj),得到用位移分量和變溫場表示的熱?彈耦合的熱傳導(dǎo)方程

2 問題的求解

假設(shè)諧振器的位移場和溫度場的自由振動(dòng)響應(yīng)為

式中,χj=κj/(ρjCj) 為 材料的熱擴(kuò)散系數(shù),(ρjCj)為彈性模量的松弛強(qiáng)度.

首先,可求得熱傳導(dǎo)方程(16)的通解

其中Aj和Bj是運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù) d/dx和 d2/dx2的表達(dá)式,形式上可表示為

其中Akj和Bkj(k,j=1,2) 是與微梁的幾何尺寸、材料性質(zhì)以及固有頻率有關(guān)的常數(shù).

假設(shè)上下表面為絕熱,則變溫場的邊界條件和界面處的連續(xù)性條件分別為

將式(18)和式(19) 代入式(20)和式(21),利用d/dx和 d2/dx2的任意性可得關(guān)于式(19) 中8 個(gè)待定系數(shù)的代數(shù)方程組,由此容易求得這8 個(gè)常數(shù).然后將式(19)代入式(18),最終可得分層的變溫場解析解

進(jìn)一步可將式(14)和式(22)代入式(7c)得到用位移量表示的熱軸力和熱彎矩的振幅

顯然,如果要忽略熱軸力,則只需要在式(24)中令βu=βw=0.

利用式(14a)則式(8)可改寫為

進(jìn)一步將式(24a)代入式(26)得到

其中 η=(S1+βw)/(S0?βu).再將式(27)代入式(24)可得

最后,將式(28)代入式(15),得到只用撓度的振幅表示的結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程

這里 ψNT=?z0(ηβu+βw)/2,ψMT=(ηγu+γw)/2均為復(fù)頻率 ω 的復(fù)函數(shù),分別反映熱軸力和熱彎矩引起的內(nèi)耗能效應(yīng).

如果令 ψ=0,則方程(29)退化為層合微梁無阻尼自由振動(dòng)的控制方程

其中 ω0和分別為無阻尼(等溫)微梁的固有頻率和振幅.根據(jù)梁振動(dòng)理論無阻尼固有頻率可表示為[12-15]

利用方程(29)和式(31)之間的相似性可得特征值之間的關(guān)系

然而,由式(17)、式(23)～式(25)可知方程(33)是關(guān)于復(fù)頻率 ω 的超越方程.為了簡化計(jì)算,采用文獻(xiàn)[2,14-17] 中的近似計(jì)算方法,在式(33) 中令ψ(ω)=ψ(ω0) 即可得到復(fù)頻率 ω 的解析解.然后,利用復(fù)頻率法[2,12-19]可得用逆品質(zhì)因子表示的雙層微梁的熱彈性組尼

其中 Re(ω) 和 I m(ω) 分別為復(fù)頻率的實(shí)部和虛部.若在式(30)中令 ψu(yù)=0,則式(34)退化為忽略熱軸力時(shí)的TED 解答[5,7,9].

3 數(shù)值結(jié)果與討論

本節(jié)通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)定量分析熱軸力對TED 的影響.作為數(shù)值算例,選取由第一層氮化硅(Si3N4)和第2 層銀(Ag)組成的層合微梁.陶瓷和金屬分層所占的體積分?jǐn)?shù)分別為H1=h1/h和H2=h2/h.在表1 中列出了參考溫度T0=300 K 的條件下分層材料的物性參數(shù).設(shè)雙層(Ag/Si3N4)微梁的支承為兩端夾緊 (clamped-clamped,或C-C).于是微分方程(29)和式(31)的邊界條件可記為

表1 分層材料的物性參數(shù) (T0=300 K)Table 1 Material properties of the laminas (T0=300 K)

其中“ (·)′”表示關(guān)于坐標(biāo)x的導(dǎo)數(shù).對應(yīng)上述邊界條件的前3階的無量綱固有頻率參數(shù)分別為=22.373,61.670,120.90.

為了定量地顯示熱軸力對層合微梁TED 的影響規(guī)律,同時(shí)也為其他研究者提供便于進(jìn)行比較的數(shù)據(jù),首先在表2 中給出了長度l=300 μm、具有不同厚度(h) 和銀層體積分?jǐn)?shù)(H2) 的雙層微梁的TED (Q?1)值.其中,對應(yīng)一個(gè)H2值,前兩行數(shù)據(jù)分別為忽略和考慮熱軸力時(shí)的TED,第3 行數(shù)據(jù)為二者之間的相對誤差.從表2 中結(jié)果可見,總體上熱軸力使得熱彈性阻尼增大.而且在兩種材料的體積分?jǐn)?shù)相近時(shí),熱軸力對TED 的貢獻(xiàn)顯著增大,忽略熱軸力后導(dǎo)致的最大相對誤差可達(dá)到16.3%.隨著金屬銀的體積分?jǐn)?shù)的增大,層合梁TED 的最大值不斷增大.同樣幾何尺寸的純銀梁的TED 的最大值為1.215×10?3,遠(yuǎn)大于純氮化硅梁的TED 最大值1.112×10?4.隨著分層體積分?jǐn)?shù)的改變,層合梁的TED 將在上述兩個(gè)數(shù)值之間變化.

表2 兩端夾緊雙層微梁的熱彈性阻尼(Q?1×105)隨總厚度 h 和體積分?jǐn)?shù) H2 的變化(l=300 μm)Table 2 TED (Q?1×105) in clamped-clamped (C-C) bilayer micro beam for some specified values of h and H2 (l=300 μm)

為了更加清晰地反映具有不同分層體積分?jǐn)?shù)的層合微梁的TED 隨總厚度的變化規(guī)律,在圖2 中分別繪出了給定金屬銀的體積分?jǐn)?shù)H2不同值時(shí)層合微梁的Q?1值隨厚度h連續(xù)變化的曲線.其中紅色實(shí)線和藍(lán)色點(diǎn)畫線分別代表忽略和考慮熱軸力時(shí)的TED 曲線.相比表2,圖2 更加直觀地反映了層合梁的TED 隨厚度和分層體積分?jǐn)?shù)的變化規(guī)律.從圖中可見,當(dāng)H2＜0.5 時(shí),曲線的形態(tài)與均勻(單層)微梁的Q?1～h曲線類似.在H2=0.6,0.7 時(shí)曲線具有明顯的雙峰值.與表2 中的數(shù)據(jù)所反映的變化規(guī)律相同,當(dāng)分層的體積分?jǐn)?shù)相近時(shí)熱軸力對TED 的影響顯著.另外,從圖2 中可以看出曲線的峰值(Q?m1ax)對應(yīng)的厚度(稱臨界厚度hcr)隨著金屬銀層的體積分?jǐn)?shù)的增加而增大.為便于研究者進(jìn)行數(shù)據(jù)比較,在表3 中列出了圖2 中各曲線(藍(lán)色點(diǎn)畫線)的熱彈性阻尼最大值和相應(yīng)的臨界厚度.由此可見,隨著銀層體積分?jǐn)?shù)的增大臨界厚度單調(diào)增加.

表3 對應(yīng)于不同體積分?jǐn)?shù) H2 的TED 最大值×105 和臨界厚度 hcr (l=300 μm)Table 3 The maximum,×105 and the critical thickness,hcr for different values of H2 (l=300 μm)

表3 對應(yīng)于不同體積分?jǐn)?shù) H2 的TED 最大值×105 和臨界厚度 hcr (l=300 μm)Table 3 The maximum,×105 and the critical thickness,hcr for different values of H2 (l=300 μm)

圖2 具有不同體積分?jǐn)?shù) H2 的雙層微梁的TED (Q?1×104)隨固有頻率 ω0 的變化曲線 (l=300 μm,一階模態(tài))Fig.2 Continuously variation of the TED (Q?1×104) with the frequency ω0 of a bi-layered micro beam for some specified values of H2(l=300 μm,1st mode)

圖3 進(jìn)一步展示了給定總厚度的雙層微梁的TED 隨體積分?jǐn)?shù)H2連續(xù)變化的特性曲線.由此可見,大約在 0.3＜H2＜0.8 的區(qū)間,熱軸力對熱彈性阻尼的影響變得顯著.圖4 給出了表2 中定義的相對誤差隨金屬銀的體積分?jǐn)?shù)連續(xù)變化的曲線.清晰地顯示了最大誤差對應(yīng)的分層體積分?jǐn)?shù)值(H2).

圖3 具有不同厚度的雙層微板的TED (Q?1)隨銀層的體積分?jǐn)?shù)(H2)連續(xù)變化的特性曲線(l=300 μm)Fig.3 Curves of the TED (Q?1) in bilayer micro beam varying continuously with the volume fraction of the silver layer (H2)(l=300 μm)

圖4 考慮和忽略熱軸力時(shí)的熱彈性阻尼之間的相對誤差隨 H2 的變化曲線(l=300 μm)Fig.4 Curves of the relative error between the TEDs with considering and neglecting the thermal axial force versus H2 (l=300 μm)

由式(30)可知,熱軸力產(chǎn)生的熱彈性阻尼取決于復(fù)函數(shù) ψNT(ω0) 的虛部.圖5 繪出了具有不同厚度的 Im(ψNT) 隨體積分?jǐn)?shù)H2的連續(xù)變化曲線.結(jié)果再次表明當(dāng)兩個(gè)分層的體積分?jǐn)?shù)相近時(shí)阻尼效應(yīng)顯著.

圖5 熱軸力產(chǎn)生的阻尼函數(shù) Im(ψNT) 隨銀層體積分?jǐn)?shù)(H2)以及厚度(h)的變化Fig.5 Variation of damping function Im(ψNT) produced by thermal axial force with H2 and h

熱軸力是由物理中面與幾何中面的偏離引起的.最后,圖6 繪出了物理中面的位置(ζ0=z0/h)與分層體積分?jǐn)?shù)H2的關(guān)系曲線.顯然,在兩個(gè)分層的體積分?jǐn)?shù)相近的區(qū)間物理中面偏離幾何中面顯著,熱彈性阻尼相對誤差的最大值正是出現(xiàn)在該區(qū)間.這是因?yàn)樵诖朔N情況下層合梁的材料性質(zhì)在橫向的非均勻程度最強(qiáng),從而拉?彎耦合變形最顯著,由此產(chǎn)生的熱軸力也顯著.

圖6 物理中面的位置(ζ0=z0/h) 隨銀層體積分?jǐn)?shù)(H2)的變化Fig.6 Position of the physical neutral surface (ζ0=z0/h) changing with the volume fraction of the silver layer (H2)

4 結(jié)論

首次定量地分析了熱軸力對雙層微梁熱彈性阻尼的影響程度和規(guī)律.基于Euler-Bernoulli 梁理論和準(zhǔn)一維熱傳導(dǎo)理論,建立了包含了熱軸力的雙層微梁熱?彈耦合自由振動(dòng)微分方程.給出了系統(tǒng)振動(dòng)的復(fù)頻率以及用逆品質(zhì)因子表示的熱彈性阻尼解析解.以銀(Ag)和氮化硅(Si3N4)分層組成的雙層微梁為例,分別計(jì)算了考慮和忽略熱軸力后的熱彈性阻尼以及二者之間的相對誤差,詳細(xì)地定量分析了熱彈性阻尼隨分層體積分?jǐn)?shù)和梁的總厚度的變化以及熱軸力對熱彈性阻尼的影響規(guī)律.本文得到主要結(jié)論如下.

(1) 忽略熱軸力將會(huì)低估雙層微梁的熱彈性阻尼.隨著兩分層體積分?jǐn)?shù)接近,熱軸力對熱彈性阻尼的影響變得顯著.在金屬銀的體積分?jǐn)?shù)為70% (氮化硅的體積分?jǐn)?shù)為30%)時(shí),如果忽略熱軸力,則對熱彈性阻尼低估比例將達(dá)到16.3%.

(2) 由于熱軸力是由物理中面偏離幾何中面引起的,在此種情況下層合梁的材料性質(zhì)在橫向的非均勻程度最強(qiáng),從而拉?彎耦合變形最顯著,由此產(chǎn)生的熱軸力也最大.因此,在物理中面的位置偏離幾何中面顯著時(shí),忽略熱軸力將會(huì)嚴(yán)重低估雙層微梁的熱彈性阻尼.

(3) 當(dāng)Si3N4/Ag 雙層微梁的分層體積分?jǐn)?shù)相近時(shí),TED 隨總厚度的變化曲線存在雙峰值.