摘要：“線性代數(shù)”中的特征分解（或稱譜分解）是一種將矩陣表示為其特征值和特征向量乘積的方法，是理解矩陣結(jié)構(gòu)的重要工具?！案叩葦?shù)學(xué)”和“線性代數(shù)”作為工科學(xué)校的2門核心公共數(shù)學(xué)課程，在學(xué)生的知識體系中占據(jù)著重要地位。針對一維二階線性常微分方程在3種不同邊界條件下的邊值問題，采用中心差分格式進行離散化，構(gòu)造出相應(yīng)的差分矩陣；利用“線性代數(shù)”中的特征值和特征向量計算方法，以及“高等數(shù)學(xué)”中常微分方程的求解技巧，對這些差分矩陣進行特征分解。通過這種跨學(xué)科的綜合性學(xué)習(xí)案例，學(xué)生不僅可以深入地理解線性代數(shù)和常微分方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，還能提高他們綜合運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。

關(guān)鍵詞：常微分方程; “線性代數(shù)”; 融合性教學(xué); 特征分解

中圖分類號：O343.1;O341文獻標志碼：A

doi：10.3969/j.issn.1673-5862.2024.05.008

Integration teaching of \"Advanced Mathematics\" and \"Linear Algebra\"——Taking the computation of eigenvalues of difference matrices as an example

ZHANG Rongpei， HU Jingdan

（School of Advanced Manufacturing， Guangdong University of Technology， Jieyang 522000， China）

Abstract：

Eigenvalue decomposition，also known as spectral decomposition， is a fundamental method in \"Linear Algebra\" that represents a matrix as a product of matrices composed of its eigenvalues and eigenvectors，providing key insights into the matrix structure. As core public mathematics courses in engineering schools， \"Advanced Mathematics\" and \"Linear Algebra\" hold significant positions in the students′ knowledge system. This paper addresses the boundary value problem of a one-dimensional second-order linear ordinary differential equation under three different boundary conditions by discretizing it using the central difference scheme to form the corresponding difference matrices. The methods for calculating eigenvalues and eigenvectors from \"Linear Algebra\"， combined with the solution techniques for ordinary differential equations from \"Advanced Mathematics\"， are applied to perform eigenvalue decomposition of these difference matrices. Through this interdisciplinary learning approach， students can gain a deeper understanding of the intrinsic connections between \"Linear Algebra\" and differential equations， enhancing their ability to apply mathematical knowledge comprehensively to solve practical problems.

Key words：ordinary differential equation; \"Linear Algebra\"; integrated teaching; eigenvalue decomposition

教育部2019年頒布的《深化本科教育教學(xué)改革提高人才培養(yǎng)質(zhì)量的意見》中強調(diào)，大學(xué)教師應(yīng)在本科教學(xué)中體現(xiàn)“科研反哺教學(xué)”的理念。教師可以將自己的科研成果融入課堂教學(xué)，這有助于激發(fā)學(xué)生對學(xué)科的興趣，使他們更容易理解知識的實際應(yīng)用。同時，教師可以設(shè)計與自己的科研領(lǐng)域相關(guān)的課程項目，讓學(xué)生在實際項目中應(yīng)用所學(xué)知識，這不僅可以促進科研和教學(xué)的結(jié)合，還能夠培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力。

“高等數(shù)學(xué)”和“線性代數(shù)”是高校理工科學(xué)生的必修課，在理工科學(xué)科體系中具有重要地位，對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、分析問題的能力及在后續(xù)專業(yè)課程中的應(yīng)用都至關(guān)重要。特征分解是矩陣對角化的基礎(chǔ)，通過特征分解可以將一個矩陣表示為特征向量矩陣和對角矩陣的乘積形式，這種對角化形式在數(shù)學(xué)和科學(xué)問題中具有重要意義。近年來，許多作者采用有限差分方法對拉普拉斯算子進行離散，進而對多種微分方程進行數(shù)值模擬研究，包括Allen-Cahn方程［1］、Cahn-Hilliard方程［2］、反應(yīng)擴散方程［3］和薛定諤方程［4］等。在應(yīng)用有限差分方法離散拉普拉斯算子后，得到模型方程的差分矩陣。大多數(shù)情況下，需結(jié)合矩陣的特征值與特征向量對其進行特征分解，使計算更加簡便。同時，特征分解有助于分析模型方程的系統(tǒng)行為、穩(wěn)定性和動態(tài)特性，這對于科學(xué)工程領(lǐng)域中的模擬、分析和設(shè)計過程至關(guān)重要。

1微分方程求解

本文總結(jié)了在3種不同邊界（齊次Neumann邊界、Dirichlet邊界、周期邊界條件）下的差分矩陣的特征分解形式，利用“線性代數(shù)”的相關(guān)知識求解其特征值與特征向量。利用二階中心差分方法對一維拉普拉斯算子－v″（x）進行離散，得到二階導(dǎo)數(shù)的差分格式［5］。將以上3種邊界條件下的微分矩陣分別記為A，B，C：

A=1－100…0

－12－10…0

0－12－1…0

000－12－1

0000－11N×N，B=2－100…0－12－10…00－12－1…0000－12－10000－12N×N，

C=2－100…－1－12－10…00－12－1…0000－12－1－1000－12N×N

為了求解上面3個矩陣的特征值和特征向量，考慮如下常系數(shù)二階常微分方程：

－v″x=λv（1）

式中λ是常數(shù)。下面針對3種不同的邊界條件，結(jié)合“高等數(shù)學(xué)”中的二階常系數(shù)線性常微分方程的方法求解方程（1）。

2微分矩陣的特征分解

2.1齊次Neumann邊界

設(shè)方程（1）的邊界條件為齊次Neumann邊界，即

v′（0）=v′（1）=0（2）

設(shè)λA為微分矩陣A的特征值，根據(jù)“高等數(shù)學(xué)”知識，對于邊界條件（2）下的方程（1），其對應(yīng)的特征方程為

μ2+λA=0（3）

1）當λA≤0時，根據(jù)對應(yīng)的特征方程的通解，由條件（2），可得v=C1，求得特征值λA=0。

2）當λAgt;0時，特征方程通解為v=C1cosλAx+C2sinλAx，由條件（2），可得前N個特征值λmA=（mπ）2，m=0，1，…，N-1，相應(yīng)的特征函數(shù)v=cos（mπx），當m=0時，λ0A=0，v=c1，此時包含（1）中結(jié)果。

接下來求解相應(yīng)的特征向量。由于矩陣A由二階導(dǎo)數(shù)差分后離散得到，因此，可以考慮將v在離散點xi=i－12hA（其中i=1，2，…，N）的值作為A的特征向量，這里步長為hA=1N，即

ym=（cosmπx1，…，cosmπxN）T，m=0，…，N－1（4）

下面將矩陣A進行對角化，根據(jù)三角函數(shù)的和差化積公式，得到

cos（mπxi-1）=cos（mπ（xi-h））=cos（mπxi）cos（mπh）+sin（mπxi）sin（mπh）cos（mπxi+1）=cos（mπ（xi+h））=cos（mπxi）cos（mπh）-sin（mπxi）sin（mπh）（5）

進而可將內(nèi)部網(wǎng)格點的差分格式表示為

-cos（mπxi-1）+2cos（mπxi）-cos（mπxi+1）=（2-2cos（mπh））cos（mπxi）（6）

由于cos（mπx0）=cos（mπx1），cos（mπxN）=cos（mπxN+1），因而可將邊界網(wǎng)格點差分格式表示為

cos（mπx1）－cos（mπx2）=－cos（mπx0）+2cos（mπx1）－cos（mπx2）=（2－2cos（mπh））cos（mπx1）－cos（mπxN－1）+cos（mπxN）=－cos（mπxN－1）+2cos（mπxN）－cos（mπxN+1）

=（2－2cos（mπh））cos（mπxN） （7）

結(jié)合式（6）和（7）可以得到

A=PAΛAP-1A

其中：矩陣PA=（y0，y1，…，yN－1）；對角矩陣ΛA=diag（2-2cosmπh）

2.2Dirichlet邊界

下面設(shè)定邊界條件為Dirichlet邊界，即

v（0）=v（1）=0（8）

設(shè)λB為微分矩陣B的特征值，同樣應(yīng)用“高等數(shù)學(xué)”的知識求解邊界條件（8）下的方程（1）。將求解區(qū)域［0，1］離散成N+1個網(wǎng)格，則步長為hB=1N+1，內(nèi)部網(wǎng)格點坐標為xi=ih，i=1，2，…，N，左右邊界點坐標分別為x0=0，xN+1=1，下面求解其對應(yīng)的特征值與特征向量。式（1）對應(yīng)的特征方程為

μ2+λB=0（9）

1）當λA≤0時，根據(jù)對應(yīng)特征方程的通解，由條件（8），可得v≡0，無法求得特征值。

2）當λBgt;0時，特征方程通解為v=C1cosλBx+C2sinλBx，由條件（8）可得特征值λmB=（mπ）2，m=1，2，…，N，相應(yīng)的特征函數(shù)v=sin（mπx）。

矩陣B的特征向量為ym=（sinmπx1，…，sinmπxN）T，m=1，2，…，N，下面將矩陣B進行對角化，根據(jù)三角函數(shù)的和差化積公式，得到

sin（mπxi－1）=sin（mπ（xi－h(huán)））=sin（mπxi）cos（mπh）－cos（mπxi）sin（mπh）sin（mπxi+1）=sin（mπ（xi+h））=sin（mπxi）cos（mπh）+cos（mπxi）sin（mπh） （10）

進而可將內(nèi)部網(wǎng)格點的差分格式表示為

－sin（mπxi－1）+2sin（mπxi）－sin（mπxi+1）=（2－2cos（mπh））sin（mπxi）（11）

由于sin（mπx0）=sin（mπxN+1）=0，因而可將邊界網(wǎng)格點差分格式表示為

2sin（mπx1）－sin（mπx2）=－sin（mπx0）+2sin（mπx1）－sin（mπx2）=（2－2cos（mπh））sin（mπx1）－sin（mπxN－1）+2sin（mπxN）=－sin（mπxN－1）+2sin（mπxN）－sin（mπxN+1）

=（2－2cos（mπh））sin（mπxN） （12）

結(jié)合式（11）和（12）可以得到

B=PBΛBP-1B

其中：矩陣PB=（y1，y2，…，yN）；對角矩陣ΛB=diag（2－2cosmπh）。

2.3周期邊界

下面設(shè)定邊界條件為周期邊界，即

v（0）=v（1）=0v′（0）=v′（1）=0 （13）

設(shè)λC為微分矩陣C的特征值，同樣應(yīng)用“高等數(shù)學(xué)”的知識求解邊界條件（13）下的常微分方程（1）。將求解區(qū)域［0，1］離散成N個網(wǎng)格，則步長為hC=1N，內(nèi)部網(wǎng)格坐標為xi=ih，i=1，2，…，N－1，其左右邊界點坐標分別為x0=0，xN=1，下面求解其對應(yīng)的特征值與特征向量。式（1）對應(yīng)的特征方程為

μ2+λC=0（14）

1）當λClt;0時，特征方程通解為v=C1e－λCx+C2e－－λCx，由條件（13），可得v≡0。

2）當λC=0時，特征方程通解為v=C1+C2x，由條件（13），可得v≡C1，特征值λA=0。

3）當λCgt;0時，特征方程通解為v=C1eiλCx+C2e－iλCx，由條件（13）可得

C1+C2=C1eiλC+C2e－iλCC1－C2=C1eiλC－C2e－iλC （15）

由上式可以解得eiλC=e－iλC=1。由eimπ=cosmπ+isinmπ可以得到對應(yīng)的特征值λmC=（2mπ）2，m=0，1，…N－1，相應(yīng)的特征函數(shù)v=C1ei2mπx+C2ei2mπx。當m=0時，v=c1+c2，此時包含（2）中結(jié)果。

矩陣C的特征向量為ym=（e-i2mπx1，e-i2mπx2，…，e-i2mπxN）T，m=0，1，…，N-1，下面將矩陣C進行對角化。假設(shè)C1=0，C2=1，特征函數(shù)為

v=e-i2mπx，可將內(nèi)部網(wǎng)格點的差分格式表示為

－e－i2mπxi－1+e－i2mπxi－e－i2mπxi+1=e－i2mπxi［－（cos2mπh+isin2mπh）－（cos2mπh－isin2mπh）+2］=e－i2mπxi（2－2cos2mπh）（16）

由于xN－1=1－x1，則有cos2mπx1=cos2mπxN－1，進而可以將邊界網(wǎng)格點的差分格式表示為

2e－i2mπx0－e－i2mπx1－e－i2mπxN－1=2－（cos2mπx1－isin2mπx1）－（cos2mπxN－1－isin2mπxN－1）=e－i2mπx0（2－2cos2mπh）

－e－i2mπx0－e－i2mπxN－2+2e－i2mπxN－1=－e－i2mπ（xN－1+h）－e－i2mπxN－1·ei2mπh+2e－i2mπxN－1=e－i2mπxN－1（2－cos2mπh） （17）

結(jié)合式（16）和（17）可以得到

C=PCΛCP-1C

其中：矩陣PC=（y0，y1，…，yN－1）；對角矩陣ΛC=diag（2－2cos2mπh）.

3結(jié)語

“高等數(shù)學(xué)”和“線性代數(shù)”這2門公共數(shù)學(xué)課程在工科學(xué)校中的地位非常重要。本文引入差分矩陣的特征分解問題，該案例融合了“線性代數(shù)”的特征值計算和“高等數(shù)學(xué)”中的常微分方程求解。通過將“線性代數(shù)”和常微分方程相結(jié)合，學(xué)生可以更深入地理解2個學(xué)科之間的聯(lián)系。這種跨學(xué)科的綜合性學(xué)習(xí)有助于培養(yǎng)學(xué)生更全面、靈活地運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。后續(xù)教學(xué)活動中，教師可以在本科教學(xué)中實施“科研反哺教學(xué)”的理念，促進科研和教學(xué)的有機結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和科研素養(yǎng)。

參考文獻：

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［3］ZHANG R P，WANG Z，LIU J，et al.A compact finite difference method for reaction-diffusion problems using compact integration factor methods in high spatial dimensions［J］.Adv Differ Equ，2018（1）：274

［4］楊程程，張榮培.極坐標下二維非線性薛定諤方程的有限差分方法［J］.沈陽工程學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2021（1）：92-96.

［5］陸金甫，關(guān)治.偏微分方程數(shù)值解法［M］.2版.北京：清華大學(xué)出版社，2004.

【責任編輯：溫學(xué)兵】

收稿日期：2023-11-12

基金項目：廣東省科技廳教學(xué)科學(xué)規(guī)劃課題（2024GXJK624）。

作者簡介：

張榮培（1978—），男，山東泰安人，廣東工業(yè)大學(xué)副教授，博士。