李 敏, 李林林, 周俊鵬

(重慶郵電大學 自動化學院,重慶 400065)

0 引言

永磁同步電機(Permanent Magnet Synchronous Motor, PMSM)采用稀土材料制作,具有功率密度高、體積小、維護成本低和調速范圍寬等優(yōu)點,在工業(yè)和民用領域如電動汽車、機器人、無人機和白色家電等得到廣泛應用[1-4]。在永磁同步電機的控制策略中,常采用直接轉矩控制和矢量控制[5-6]。直接轉矩控制在低速時定子電流和磁鏈畸變嚴重,轉矩脈動較大,控制性能不佳;而矢量控制在全速域時均有較好的表現,控制性能接近于直流控制,因此在要求調速范圍寬、動態(tài)性能高的場合得到廣泛應用[7]。

永磁同步電機矢量控制系統(tǒng)的內環(huán)為電流環(huán)、外環(huán)為速度環(huán),在電機起動及運行過程中,均需準確獲取轉子的位置,才能實現精確、可靠地控制。目前,轉子位置的獲取主要有兩類:一是采用位置傳感器檢測轉子位置;二是通過各種觀測器來估算轉子的位置。文獻[8]采用霍爾傳感器獲取轉子的位置。由于安裝位置傳感器(有感)會增加電機的體積和成本,甚至還可能降低系統(tǒng)的可靠性。因此,出現了無位置傳感器的轉子位置估計方法。在低速時,常采用高頻注入[9]的方式檢測轉子的位置;在中速到高速范圍內,可通過龍伯格觀測器、磁鏈觀測器、擴展卡爾曼濾波以及滑模觀測器(Sliding Mode Observer, SMO)等[10-13]對轉子的位置和轉速進行估算。相較于其他觀測器,滑模觀測器具有魯棒性強、實現容易以及動態(tài)性能好等特點,被廣泛應用于PMSM轉子位置的估算,以實現中高速無位置傳感器控制。

由于滑模觀測器中滑模面切換時不夠平滑,抖振現象不可避免。為削弱抖振,許多研究采用各種函數來平滑滑模面。文獻[14]運用飽和函數取代符號函數,來調節(jié)邊界層厚度,有效削弱了抖振。文獻[15]采用雙曲正切函數取代符號函數,改善了滑模面的光滑程度,降低了抖振。

在控制器的選擇上,目前的調速系統(tǒng)中,常采用比例積分(Proportional-Integral, PI)作為PMSM速度環(huán)的控制器[16],其具有簡單、易于實施的特點。相較于傳統(tǒng)的PI控制算法,文獻[17]在模糊PI控制算法的基礎上增加了變論域自適應控制,經過參數匹配就能夠獲得較好的控制效果。但是,這些研究并沒有改變PI控制算法本身存在的諸如無法獲得最優(yōu)參數、無法適應系統(tǒng)模型參數變化和無法抵抗外界擾動等問題。為此,許多研究人員對非線性控制方法進行了深入研究,以提高系統(tǒng)的控制性能,如滑模控制(Sliding Mode Controller, SMC)、模型預測控制、神經網絡控制和自適應控制等[18-21]。其中,滑模控制魯棒性強、對外部擾動和內部參數變化不敏感,能夠保證非線性系統(tǒng)具有較好的控制性能[22-23]。文獻[22]采用滑?？刂破髯鳛樗俣拳h(huán)控制器,采用飽和函數取代傳統(tǒng)SMC的符號函數作為滑動模態(tài),設計了一種新型趨近律運用在滑模控制器上,來提高系統(tǒng)的響應速度和穩(wěn)態(tài)性能。文獻[23]進一步采用指數趨近律控制滑?？刂破?采用可變邊界層的飽和函數,降低了符號函數帶來的機械延遲,加快了系統(tǒng)的響應速度。

文獻[15]中滑模面的邊界層厚度始終固定,這對于不同誤差下滑動模態(tài)趨近滑模面的速度無法調節(jié)。當誤差較小時,滑動到滑模面的速度太快,導致系統(tǒng)抖振過大;當誤差較大時,滑動到滑模面的速度不夠,系統(tǒng)延遲增大。因此,根據誤差大小,設計合適的滑模面邊界層厚度,在滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性的前提下,最大限度削弱抖振,是滑?？刂破髟O計的重難點?；诖?本文提出了一種改進型滑模變結構永磁同步電機的無位置傳感器矢量控制方法,來改善系統(tǒng)的動、靜態(tài)性能。本文主要貢獻如下:

(1) 為削弱傳統(tǒng)滑?？刂扑鸬亩墩?本文提出一種基于改進型滑模變結構的永磁同步電機的無位置傳感器矢量控制方法,設計了改進型滑模觀測器(Improved Sliding Mode Observer, ISMO)和改進型滑模控制器(Improved Sliding Mode Controller, ISMC),來提升系統(tǒng)的動、靜態(tài)性能。

(2) 采用可變邊界層厚度的雙曲正切函數作為滑動模態(tài),根據誤差大小,通過模糊邏輯控制對雙曲正切函數的形狀系數進行調整,來控制邊界層厚度變化,實現更平滑的滑模面切換,以削弱系統(tǒng)抖振。

(3) 對設計的改進型滑模觀測器和改進型滑?？刂破?運用李雅普諾夫第二定理進行穩(wěn)定性分析和推導,理論推導證明了所設計的控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1 改進型滑模觀測器的設計

1.1 α-β坐標系下的數學模型

在不考慮磁路飽和、磁滯損耗和渦流損耗的情況下,表貼式PMSM在靜止坐標系α-β軸下的電壓方程[18]為

(1)

式中:Uα、Uβ分別為α軸、β軸電壓;Rs為定子電阻;iα、iβ分別為α軸、β軸電流;Ls為定子電感;Eα、Eβ分別為α軸、β軸反電動勢。Eα、Eβ的表達式為

(2)

式中:ψf為永磁體磁鏈;we為電角速度;θ為轉子位置角度。

1.2 改進型滑模觀測器的設計

為實現PMSM的無位置傳感器矢量控制,采用滑模觀測器對電機轉子的位置和轉速進行估計。傳統(tǒng)滑模觀測器常采用不連續(xù)的開關函數——符號函數作為滑模面的切換函數,由于符號函數是以0為界線的階躍函數,具有開關特性,在從正(負)到負(正)的過程中沒有過渡,不平滑,因此系統(tǒng)輸出存在較大抖振。為削弱抖振,本文采用連續(xù)函數——雙曲正切函數取代不連續(xù)函數——符號函數,以平滑滑模面的切換,來削弱抖振。

圖1為改進的滑模觀測器結構圖。實際電流和估算電流的誤差作為滑模觀測器的狀態(tài)方程,經雙曲正切函數變換后,再通過低通濾波器(Low Pass Filter,LPF)濾波得到反電動勢的估計值,最后通過反電動勢估算轉子的位置角度,具體內容如下。

圖1 ISMO結構圖Fig.1 Structure diagram of the ISMO

由于滑模觀測器中比較的是估算電流與實際電流的大小,因此將電壓方程式(1)進行變換,得到電流方程為

(3)

將式(3)作為系統(tǒng)電流的狀態(tài)方程,可以得到估算電流的狀態(tài)方程為

(4)

將式(3)與式(4)對應等式相減,可得:

(5)

將式(5)作為滑模觀測器的狀態(tài)方程。通過估算電流收斂于實際電流,得到反電動勢估算值。

所選取的連續(xù)開關函數——雙曲正切函數的表達式為

(6)

式中:γ為邊界層厚度的形狀系數。

進一步,根據滑模觀測器的狀態(tài)方程式(5)以及雙曲正切函數式(6),可得α軸、β軸的電流誤差,表示為

(7)

(8)

1.3 改進型滑模觀測器的形狀系數設計

對于邊界層在不同轉速下的控制,可以根據誤差值Ei的大小,構建一個模糊控制器,調節(jié)雙曲正切函數的形狀系數γ,來控制邊界層厚度。因此,本文運用模糊邏輯控制對雙曲正切函數的形狀系數進行調節(jié)。如圖2所示,在速度誤差較小時,通過模糊邏輯控制使得形狀系數變小,其形狀系數γ=8,減小邊界層厚度,減小抖振的幅值與頻率,在電流誤差值Ei趨近于滑模面的速度減小的同時,降低了系統(tǒng)所產生的抖振;在速度誤差較大時,使形狀系數變大,其形狀系數γ=1,增大邊界層厚度,通過趨近于滑模面的頻率增加,減小抖振的幅值,在電流誤差值Ei趨近于滑模面的速度增大的同時,降低了系統(tǒng)產生的抖振。綜上所述,在不同速度下,通過調節(jié)雙曲正切函數的形狀系數,改變邊界層厚度,能使誤差快速滑動到滑模面,從而減小了抖振現象。

圖2 不同邊界層厚度的雙曲正切函數及其趨近速度圖Fig.2 The hyperbolic tangent function with different boundary layer thickness and velocity approaching diagram

模糊控制可以將不同電流誤差下對應的邊界層厚度的不確定性變?yōu)榇_定性。設輸入誤差值Ei,輸出邊界層厚度γ,實施步驟如下。

(1)將形狀系數進行模糊化,輸入量Ei的論域為[-1,1],采用如圖3所示的高斯隸屬度函數。

圖3 輸入量Ei的隸屬度函數Fig.3 Membership function of input Ei

(2) 模糊規(guī)則

輸入誤差Ei與輸出邊界層厚度γ采用不同的模糊集:

Ei={-1, -0.8, -0.6, -0.4, -0.2, 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1}

γ={0, 0.1, 0.3, 0.7, 1.5, 3}

將上述的模糊集模糊化為

Ei={NGL, NL, NM, NS, NGS, Z, PGS, PS, PM, PL, PGL}

γ={Z, PGS, PS, PM, PL, PGL}

其中:N、Z、P分別表示負、零以及正;GL、L、M、S、GS分別表示極大、大、中、小與極小。表1為改進型滑模觀測器的模糊規(guī)則。

表1 SMO的模糊規(guī)則Tab.1 Fuzzy rules of SMO

(3) 采用重心法對輸出量γ進行反模糊化,重心法具有更加平滑的輸出控制,能夠避免滑模觀測器參數變化過大而導致的抖振現象。

對輸出量形狀系數γ進行反模糊化,圖4中輸出量的論域為[0,3]。該論域是將歸一化后的電流誤差值進行10等分而得到的。并且邊界層厚度是一個非負的值,因此輸出量的論域在前一個數的基礎上乘以2后再加0.1,模糊集依次為{0,0.1,0.3,0.7,1.5,3}。因此論域的取值范圍為[0,3],其論域的隸屬度曲線為高斯隸屬度函數,如圖4所示。

圖4 輸出量γ的隸屬度函數Fig.4 Membership function of output γ

1.4 改進型滑模觀測器穩(wěn)定性分析

改進型滑模觀測器需要更加苛刻、嚴格的條件才能使系統(tǒng)達到穩(wěn)定,選取李雅普諾夫函數為

(9)

(10)

將式(7)、式(8)代入式(10),要滿足式(10)穩(wěn)定性條件,可推導出以下不等式要成立,即:

(11)

式(11)中第1式子恒成立,故要滿足系統(tǒng)穩(wěn)定,取決于第2、3式子,要保證第2、3式子成立,需保證k的取值范圍為

(12)

由式(12)可知:當k>max{k1,k2}時,所設計的改進型SMO才能達到穩(wěn)定。

2 改進型滑?？刂破鞯脑O計

2.1 d-q坐標系下的數學模型

通過滑模觀測器獲得轉子位置估計信息后,需進行控制器的設計。將PMSM從靜止坐標系變換到旋轉坐標系d-q軸下,其電壓方程為

(13)

式中:Ud、Uq分別為d軸、q軸電壓;id、iq分別為d軸、q軸電流;pn為極對數;wm為機械角速度;ψf為永磁體磁鏈。

表貼式PMSM的Ld=Lq,因此轉矩方程簡化為

(14)

PMSM的運動方程為

(15)

式中:J為轉動慣量;Te為電磁轉矩;TL為負載轉矩;B為阻尼系數。

對于表貼式PMSM,采用矢量控制策略有最大轉矩控制[1]、最大轉矩電流比[9]以及弱磁控制[24]等。最大轉矩電流比與弱磁控制需要控制勵磁電流id與轉矩電流iq,而最大轉矩控制只需控制轉矩電流iq,實現簡單,能夠實現高性能轉矩控制,故采用最大轉矩控制。令id=0,將式(13)、(15)變形為

(16)

(17)

2.2 改進型滑?？刂破鞯脑O計

PMSM是一個多變量、非線性、高耦合的系統(tǒng)。目前PMSM的調速系統(tǒng)中,常采用PI作為PMSM速度環(huán)的控制器。雖然其具有結構簡單、調參方便等優(yōu)點,但當受到外部擾動時,PI控制器的抗干擾能力較弱、控制非線性系統(tǒng)效果較差。故本文利用SMC對參數不敏感、控制非線性系統(tǒng)效果好以及可獲取最優(yōu)參數等優(yōu)點,設計了改進型滑模控制器。

定義PMSM系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(18)

式中:e1為參考角轉速與機械角速度的誤差值;e2為e1的導數;wref為電機的參考角轉速;wm為實際機械角轉速。

將式(17)代入式(18),可得:

(19)

(20)

定義滑模面函數為

S=c1e1+c2e2

(21)

式中:c1>0,c2>0均為設計參數(常數)。對滑模面函數求導,得:

(22)

(23)

式中:ξ為增益系數;τ為形狀系數。

q軸參考電流的導數表示為

(24)

從而得到q軸輸入電流控制器為

(25)

從式(25)可以看出,滑?？刂破靼p曲正切函數,形成了一定的邊界層,能夠削弱抖振;同時還包含積分項,可以減小甚至消除穩(wěn)態(tài)誤差,提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。

2.3 改進型滑?？刂破鞯男螤钕禂翟O計

對于邊界層在不同轉速誤差下的控制,可以根據不同大小的誤差值e1,構建模糊控制器,調節(jié)形狀系數τ的大小,改變誤差值e1趨近滑模面的速度,進而削弱系統(tǒng)抖振。與改進型滑模觀測器一樣,采用模糊控制對雙曲正切函數的形狀系數進行調節(jié)。

輸入誤差值e1,輸出形狀系數τ。將輸入的速度誤差進行模糊化,步驟如下:

(1) 輸入變量e1的論域為[-1,1],其隸屬度函數為高斯隸屬度函數,如圖5所示。

圖5 輸入量e1的隸屬度函數Fig.5 Membership function of input e1

(2) 模糊規(guī)則

輸入誤差e1與輸出邊界層厚度τ采用不同的模糊集如下:

e1={-1, -0.8, -0.6, -0.4, -0.2, 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1}

τ={0, 0.1, 0.3, 0.7, 1.8, 4}

上述的模糊集對應如下:

e1={NGL, NL, NM, NS, NGS, Z, PGS, PS, PM, PL, PGL}

τ={Z, PGS, PS, PM, PL, PGL}

其中:N、Z、P分別表示負、零和正;GL、L、M、S、GS分別表示極大、大、中、小和極小。表2為改進型滑?？刂破鞯哪：?guī)則。

表2 輸出τ的模糊規(guī)則Tab.2 Fuzzy rules of output τ

(3) 采用重心法對輸出量τ進行反模糊化,避免滑模控制器參數變化過大出現抖振。圖6中輸出量的論域為[0,4],該論域是將歸一化后的電流誤差值進行10等分而得到的。并且邊界層厚度是一個非負的值,因此輸出量的論域在前一個數的基礎上乘以2后再加0.1,模糊集依次為{0,0.1,0.3,0.7,1.8,4}。最后一個數相應的取大,是因為速度誤差比電流誤差變化的范圍大,因此論域的取值范圍為[0,4]。其隸屬度函數為圖6所示的高斯隸屬度函數。

圖6 輸出量τ的隸屬度函數Fig.6 Membership function of output τ

2.4 改進型滑模觀測器穩(wěn)定性分析

與PI控制器不同,改進型滑?？刂破餍枰訃栏竦臈l件才能使系統(tǒng)穩(wěn)定。由李雅普諾夫公式可知:

(26)

(27)

2.5 滑模變結構無位置傳感器矢量控制

圖7為所設計的改進型滑模變結構無位置傳感器矢量控制系統(tǒng)的結構框圖,ISMO和ISMC分別為所設計的改進型滑模觀測器和控制器。在無位置傳感器的電流環(huán)中,利用采集的三相電流值,通過Clarke變換與Park變換得到同步旋轉坐標系d-q下的電流;再與d-q坐標系輸入的參考電流進行比較,得到的電流誤差值通過內環(huán)電流PI控制器,得到同步旋轉坐標系d-q下的電壓;最后經過反Park變換后作為空間矢量脈寬調制(SVPWM)的輸入值。在速度環(huán)中,通過改進型滑模觀測器估算的速度與給定速度進行比較,然后通過改進型滑?？刂破鬟M行控制,其輸出值作為Iq的輸入參考值。

圖7 改進型滑模變結構無位置傳感器矢量控制系統(tǒng)框圖Fig.7 Improved sliding mode variable structure sensorless vector control system block diagram

3 仿真結果與分析

利用Simulink及模糊邏輯算法工具箱對PMSM進行仿真建模和控制算法設計。仿真步長設置為0.03 s,表3列出了所使用PMSM的參數,表4為仿真試驗中的設定參數。為驗證所提方法的有效性,將所提方法與PI+傳統(tǒng)SMO、PI+ISMO[15]和ISMC+傳統(tǒng)SMO控制算法進行比較。

表3 電機參數Tab.3 Motor parameters

表4 仿真試驗設定參數Tab.4 Simulation experiment setting parameters

在給定速度為2000 r/min的轉速下運行,圖8為四種控制方法在運行速度為2000 r/min的仿真結果。從圖8中可以看出PI控制器+傳統(tǒng)SMO的結構與PI控制器+ISMO的響應時間在9 ms左右,但是PI控制器+ISMO的穩(wěn)態(tài)性能優(yōu)于PI控制器+傳統(tǒng)SMO的結構;ISMC+ISMO的結構無論是響應速度還是穩(wěn)態(tài)性能都優(yōu)于PI控制器+ISMO的結構,其響應時間為5.5 ms,超調量5%。這是因為滑?？刂破鲗Ψ蔷€性系統(tǒng)有著更好的控制效果,能夠更好的兼容響應時間與穩(wěn)態(tài)性能。

圖8 四種控制方法在運行速度為2 000 r/min的仿真結果Fig.8 Simulation results of four control methods at running speed of 2 000 r/min

雖然改進型ISMC+傳統(tǒng)SMO與ISMC+ISMO在響應速度上差不多,但是ISMC+ISMO在穩(wěn)態(tài)性能上優(yōu)于ISMC+傳統(tǒng)SMO。ISMC+ISMO的轉速誤差值為±4 r/min,而ISMC+傳統(tǒng)SMO的轉速誤差值為±14 r/min。

圖9(a)為PI+傳統(tǒng)SMO結構的實際轉子角度與估算轉子角度,圖9(b)為ISMC+ISMO的實際轉子角度與估算轉子角度;圖10(a)為PI+傳統(tǒng)SMO結構的轉子角度誤差,圖10(b)為ISMC+ISMO的轉子角度誤差。與圖10(a)對比,圖10(b)的誤差波動明顯更小,能夠展現出ISMC+ISMO對于速度控制有著更好的跟蹤效果和抗干擾能力,對于系統(tǒng)的穩(wěn)定性能有更好的改善。

圖9 PI+傳統(tǒng)SMO和ISMC+ISMO在2 000 r/min時的轉子角度Fig.9 The rotor angle of PI+ traditional SMO and ISMC+ISMO at 2 000 r/min

圖10 PI+傳統(tǒng)SMO和ISMC+ISMO在2 000 r/min時的轉子角度誤差Fig.10 The rotor angle error of PI+ traditional SMO and ISMC+ISMO at 2 000 r/min

在給定速度為1 000 r/min的轉速下運行,圖11為四種控制方法在運行速度為1 000 r/min的仿真結果。在圖11中,PI控制器+傳統(tǒng)SMO的結構與PI控制器+ISMO在響應時間上基本相同,均在6 ms左右。但PI控制器+ISMO在穩(wěn)態(tài)性能上優(yōu)于PI控制器+傳統(tǒng)SMO;ISMC+ISMO的結構無論是響應速度還是穩(wěn)態(tài)性能都優(yōu)于PI控制器+ISMO的結構,響應時間為4 ms,超調量為3.2%,這是因為滑模控制器對非線性系統(tǒng)有著更好的控制效果以及抗干擾能力。

圖11 四種控制方法在運行速度為1 000 r/min的仿真結果Fig.11 Simulation results of four control methods at running speed of 1 000 r/min

雖然改進型ISMC+傳統(tǒng)SMO與ISMC+ISMO在響應速度上差不多,但是ISMC+ISMO在穩(wěn)態(tài)性能上優(yōu)于ISMC+傳統(tǒng)SMO,前者轉速誤差值僅為±1 r/min,而后者為±4 r/min。

圖12(a)為PI+傳統(tǒng)SMO結構的實際轉子角度與估算轉子角度,圖12(b)為ISMC+ISMO的實際轉子角度與估算轉子角度;圖13(a)為PI+傳統(tǒng)SMO結構的轉子角度誤差,圖13(b)為ISMC+ISMO的轉子角度誤差。由圖13(a)與13(b)可以得知,ISMC+ISMO相比于PI+傳統(tǒng)SMO的誤差波動明顯更小,也相應地表示出滑?？刂茖τ诜蔷€性系統(tǒng)的控制效果有明顯的提升。

圖12 PI+傳統(tǒng)SMO和ISMC + ISMO在1 000 r/min時的轉子角度Fig.12 The rotor angle of PI + traditional SMO and ISMC+ISMO at 1 000 r/min

圖13 PI+傳統(tǒng)SMO和ISMC+ISMO在1 000 r/min時的轉子角度誤差Fig.13 The rotor angle error of PI+ traditional SMO and ISMC+ISMO at 1 000 r/min

綜上所述,雖然PI控制器對于線性系統(tǒng)有著非常好的控制效果,但是對于非線性系統(tǒng)的控制難以滿足要求,如無法獲得最優(yōu)參數、動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能存在矛盾、系統(tǒng)模型參數變化和外界擾動下的魯棒性等。因此可以看出ISMC+ISMO控制系統(tǒng)相比于PI控制器+傳統(tǒng)SMO控制系統(tǒng),無論是在響應速度還是穩(wěn)態(tài)性能,其性能均更優(yōu)。

4 結語

本文采用改進型滑模控制器+改進型滑模觀測器的控制結構,采用連續(xù)的開關函數——雙曲正切函數取代不連續(xù)的開關函數——符號函數通過智能算法——模糊邏輯控制對雙曲正切函數的形狀系數進行調節(jié),進而控制邊界層厚度,實現滑?？刂破髋c滑模觀測器的變結構處理,從而削弱系統(tǒng)的抖振現象。

綜上所述,采用ISMC+ISMO結構的控制系統(tǒng),對于PMSM的無位置傳感器矢量控制消抖方案,優(yōu)于PI控制算法+滑模觀測器控制結構,改善了系統(tǒng)的穩(wěn)定性能,提高了系統(tǒng)響應速度,增強了系統(tǒng)的魯棒性。仿真結果充分表明了該方案的可行性與有效性。