潘建輝，胡學剛，朱 偉，鄧志穎，陳繼林

中美大學微積分教材之微分方程內(nèi)容的比較研究

潘建輝1，胡學剛2，朱 偉1，鄧志穎1，陳繼林3

（1．重慶郵電大學 理學院，重慶 400065；2．重慶郵電大學 教務處，重慶 400065；3．重慶市天星橋中學，重慶 400038）

對中美大學微積分5套教材中微分方程內(nèi)容的比較研究發(fā)現(xiàn)，中美教材在內(nèi)容的編排位置、習題數(shù)量、數(shù)學表征方式、數(shù)學軟件的使用、對數(shù)學建模的偏重程度、對次要或較高要求內(nèi)容的處理方式，以及微分方程模型解決的實際問題數(shù)量和類型等都存在差異．美國教材在數(shù)學建模的思想方法指導和數(shù)學建模難點突破方面，有許多做法值得借鑒．中國教材存在一個重大缺陷，就是求解“無初等解析解的微分方程”所需的大部分知識均未編入教材．由此得到3點啟示：一是教材編寫者對知識點的認識偏差可能會導致編寫指導思想上的偏差；二是數(shù)學能力的培養(yǎng)和訓練并非都是有益的；三是習題除了具有提供練習的顯性功能外，還有許多隱性功能有待開發(fā)利用．針對同濟教材，建議：增加方向場、歐拉方法等重要內(nèi)容；刪去高階微分方程等過于形式化的內(nèi)容；調(diào)整微分方程的冪級數(shù)解法等的編排位置．

大學教材；微積分；微分方程；比較研究；數(shù)學建模

1 問題提出

教材是學生自學、教師備課和課堂教學的核心資源和主要依據(jù)．高質(zhì)量的教材是高質(zhì)量教學的基本保障．因此，近年來，關(guān)于數(shù)學教材的研究在國際數(shù)學教育界受到越來越多的關(guān)注[1]，教材的比較研究自然也就成了歷屆國際數(shù)學教材研究和發(fā)展會議的重要課題之一[1-4]．另一方面，微積分是大學理、工、農(nóng)、醫(yī)、商科等重要的公共基礎課程，對大學生的數(shù)學素養(yǎng)和能力的培養(yǎng)起著至關(guān)重要的作用．于是，隨著中國高校數(shù)學教育改革的深入推進和中外數(shù)學教育交流的日益增多，關(guān)于大學微積分教材的比較研究也已日漸增多．然而，這些研究的現(xiàn)狀如何，取得了哪些成果，還有哪些不足呢？

2 大學微積分教材比較研究的現(xiàn)狀

中國學界，在大學微積分（高等數(shù)學）教材的比較研究中，除有零星的縱向比較研究外[5-11]，絕大多數(shù)都是中美教材橫向的比較研究[7-14]．其中，除少數(shù)是從一個知識點的微觀視角的比較研究外[7]，其余都是從整個微積分體系的宏觀視角的比較研究[8-14]．此外，有學者還從習題配置特色[15]、數(shù)學史與數(shù)學教育[16]和先修計劃課程[17]等角度，單獨對美國微積分教材進行了研究．

（1）中美兩國使用面最廣和最著名的大學微積分教材．中國是同濟版的《高等數(shù)學》，美國是James Stewart編寫的《微積分》和George B. Thomas和Joel Hass等編寫的《托馬斯微積分》等教材[7-16]．

（2）中國大學微積分教材的特點．中國目前普遍使用的教材是在1950年代初學習前蘇聯(lián)模式的基礎上幾經(jīng)修改形成的[5，6，9，13]；各版本教材的知識體系大的框架、編寫的指導思想與風格趨于同質(zhì)，顯得僵化、陳舊、單一[6，9]；教材缺乏時代氣息和知識的實際應用[9]；教材的編排遵循學科的邏輯順序，結(jié)構(gòu)緊湊，邏輯清晰，注重表述的形式化[7，10-11]；不少高校將配套的電子教材、PPT、教案等教學資源放在網(wǎng)上共享，但其中有新意、有亮點、堅持更新的不多[9]．

（3）美國大學微積分教材的特點．始于20世紀80年代的美國微積分教學改革運動，對美國的微積分課程與教材建設都產(chǎn)生了深遠的影響[7]；美國教材內(nèi)容的編排更多地遵循學生的心理順序[7]；并以圖形、數(shù)字、文字和符號四元表征并重[17]；重視概念的直觀理解和物理背景[16]，打破嚴格的結(jié)構(gòu)體系——結(jié)合學生的認知水平和歷史順序來組織教學內(nèi)容[16-17]；形式生動，注重解決現(xiàn)實問題以及與其它學科的聯(lián)系和現(xiàn)代信息技術(shù)的應用[7]；注重知識的產(chǎn)生過程和學習指導[7，8，10-11]；重視計算與作圖軟件的使用[10-11，17]．

（4）中國教材課后習題的特點．中國教材習題數(shù)量少、形式單一，從數(shù)學上加工得比較正規(guī)，以知識立意為主，立足于對所學知識進行復習、鞏固和推廣[7，15]；習題側(cè)重于用數(shù)學定理和公式去解決純數(shù)學問題，講究解題技巧，應用問題主要涉及幾何與物理領域，而數(shù)值計算、借助計算機作圖及探索的習題幾乎沒有，難以使學生體會到微積分的應用價值和學習樂趣[8，10-11]．

（5）美國教材課后習題的特點．美國教材習題數(shù)量多，形式豐富，包括概念題、計算題、證明題，以及大量的應用題、討論題和探索題[8-11，15]；每章末還有復習題、實踐題、附加題，以及借助圖形計算器和CAS的數(shù)值計算題和探索題等[11]；應用題內(nèi)容豐富，涉及面廣，很多來自于生活和科技實際，情景鮮活，數(shù)據(jù)真實[7-8，11，15]；教材提供立體化網(wǎng)絡支持，包括授課視頻、課件、常用數(shù)學網(wǎng)站鏈接、2D/3D在線繪圖軟件和交互式在線輔導等，讓學生自主學習和探索實踐，使課堂教學得以延伸[9]．

總體而言，以上關(guān)于中美大學微積分教材的評價基本準確、恰當，對中國大學微積分教材的修改與課程教學具有一定的參考和指導意義．然而，由于以上比較研究的視角過于宏觀或微觀，致使部分結(jié)論過于寬泛、籠統(tǒng)，甚至片面、失當．“同濟七版的總體難度高于美國賓夕法尼亞九版”[8]的結(jié)論就過于寬泛、籠統(tǒng)，對教學無多大指導意義．“微分方程屬于微分板塊”[8]“我國教材比美國教材更注重邏輯或理論的嚴謹性”[7-9]，以及“中國教材課后練習設計，突出記憶、理解和應用的剛性過程，缺少分析、評價和創(chuàng)造的柔性過程”[7]等觀點，都是值得商榷的．

因此，為了減少過于寬泛、籠統(tǒng)、表面、片面等情況的發(fā)生，下面擬從中美微積分教材中選取幾套典型教材，并以典型章節(jié)的中觀視角為基調(diào)，兼顧宏觀和微觀視角，對中美教材進行比較研究，以期得到更為具體、準確、深入的研究結(jié)論，供教材編寫者和課程教學者參考．

3 中美教材中微分方程內(nèi)容的比較

3.1 教材和內(nèi)容的選取

（1）教材的選?。袊x取的是全國使用面最廣的同濟最新版《高等數(shù)學》[18]（簡稱同濟教材）、中國大學MOOC有較大影響的國防科技大學最新版《高等數(shù)學》[19]（簡稱國科教材）和中國人民大學最新版《高等數(shù)學》[20]（簡稱人大教材），共3套．美國選取的是由James Stewart編寫的、在美國使用面最廣（占65%）[9，21]的最新版教材《微積分》[22]（簡稱Stewart教材）和由George B. Thomas，Joel Hass等編寫、使用歷史最長（從1951年開始[9-11]，至今已有14版）的最新版教材《托馬斯微積分》[23]（簡稱Thomas教材），共2套．

（2）內(nèi)容的選?。环矫?，現(xiàn)實世界的問題，經(jīng)常要涉及到變化的量，人們總是希望根據(jù)當前值的變化來預測未來的行為，這通常需要建立微分方程模型，而微分方程又是微積分中最重要的應用之一[22-23]．另一方面，微分方程在中美教材中的差異十分顯著．通過對其進行比較研究，就能更多地找出兩國教材設計背后所蘊含的教育思想、理念、方法上的差異，以便更好地指導研究者開發(fā)和利用教材，提高教學質(zhì)量．

3.2 微分方程知識點的比較

3.2.1 微分方程的章節(jié)在中美教材中所處位置的比較

中美教材中，微分方程章節(jié)所在的位置差異巨大．中國教材都是在介紹完一元函數(shù)的微分和積分之后，將微分方程的內(nèi)容集中編排在上冊的最后一章內(nèi)，而美國教材則是將其分散編排在三、四章之內(nèi)的．

首先，Stewart教材和Thomas教材在介紹了原函數(shù)和積分曲線的概念后，將微分方程、解和通解等概念，分別排在了第四章的4.9節(jié)“不定積分”和4.7節(jié)“反導數(shù)（原函數(shù)）”里．這樣，求微分方程的解函數(shù)和解函數(shù)圖象，就相當于求原函數(shù)和積分曲線．這就將微分方程有關(guān)概念和解微分方程的方法，與原函數(shù)、不定積分，以及求不定積分的知識和方法很自然地聯(lián)系和融合在了一起．

接下來，Stewart教材和Thomas教材都是在介紹了指數(shù)函數(shù)后，分別在第九章“微分方程”和第七章的7.4節(jié)“指數(shù)變化和可分離變量的微分方程”里，依次介紹指數(shù)增長、指數(shù)增長模型、可分離變量的微分方程等內(nèi)容．Thomas教材到第九章才介紹一階線性微分方程，而且這兩部教材都是在介紹了無窮級數(shù)之后，直到全書末的第十七章才介紹二階微分方程的內(nèi)容．Thomas教材只列出了各小節(jié)標題，內(nèi)容需登錄網(wǎng)頁才能閱讀（相當于選學）．

由此可見，中國教材是按學科的邏輯順序進行編排，而美國教材則是按學生的認知水平和知識的歷史發(fā)展順序進行編排的．這兩種編排方式各有優(yōu)缺點．美國教材將微分方程的知識有機地融入到微積分的發(fā)展歷史中，使微分方程、解函數(shù)、解函數(shù)曲線、指數(shù)增長模型等概念的出現(xiàn)十分自然．但另一方面，由于微分方程的知識被分割得過細，分塊數(shù)過多，這就使知識顯得零碎、不夠連貫．中國教材的編排方式，其優(yōu)點是使微分方程的知識顯得緊湊，也使得整個教材顯得分塊明晰、更有條理性；但其不足則是基本概念的出現(xiàn)沒有美國教材那樣自然，略顯突兀．

3.2.2 微分方程的知識點及其處理方式的比較

中美教材中微分方程所包含的知識點及其處理方式也有很大差異．這5套教材處理知識點的方式有常規(guī)和非常規(guī)兩類，常規(guī)類包括必修、選修、不修（缺少）3種，非常規(guī)類包括將其編入習題讓學生通過練習來學習、放在網(wǎng)絡平臺上供學生在線學習、轉(zhuǎn)移到其它章節(jié)以后學習3種．若將這6種方式依次簡記為必、選、缺、習、線、轉(zhuǎn)，則中美教材所含知識點及其處理方式的詳情如表1所列．

為了弄清楚哪些處理方式更好，就必須弄清楚這章知識的邏輯體系和各知識點之間的相互關(guān)系（見圖1）．從圖1可以看出，虛線上側(cè)內(nèi)容，中美教材差異不大，下側(cè)內(nèi)容差異巨大．其差異具體體現(xiàn)在以下3方面．

中國教材編入正文，而美國教材編入習題或缺少的內(nèi)容．這些內(nèi)容有齊次方程、一階非線性方程中的伯努利方程、可降階的3類二階微分方程和特殊的高階微分方程．將它們編入正文會使教材顯得知識體系更為完備，不編入正文則可節(jié)約教學時間，突出主干．兩者各有利弊．但相比之下后者更好．為了突出重點，節(jié)約教學課時，將相對次要的內(nèi)容編入習題或刪掉，能起到淡化形式[24-25]、增強實效的作用．這是教材編寫的一個技巧，值得借鑒．另外，解一階線性非齊次微分方程，中美教材分別用的是常數(shù)變易法和積分因子法．后者比前者更好理解，公式更簡單易記．相比之下，后者更好．

中美教材最大的差異在于如何處理“無初等解析解的微分方程”的內(nèi)容．美國教材用了大量的篇幅來系統(tǒng)介紹該內(nèi)容，而中國教材只涉及到兩個知識點．一是“方向場”，僅國科教材有；二是“微分方程的冪級數(shù)解法”，僅同濟和國科教材有，并且被降格為“冪級數(shù)的應用”而納入“級數(shù)”一章[26-27]．

表1 中美微積分教材之微分方程知識點及其處理方式的比較

然而，是否有必要將該內(nèi)容完整地編入教材呢？很有必要．這是因為，在解決實際問題時，所列的微分方程即使有解，也幾乎沒有初等的解析解，哪怕對于一個看起來簡單的方程也是如此．如-2+= 0．但是，能夠求解像這樣的方程是很重要的，因為它們產(chǎn)生于物理問題，特別是與量子力學中的薛定諤方程有關(guān)[22-23]．既然所列的微分方程幾乎沒有初等的解析解，那么在解決實際問題時，圖1中虛線上側(cè)的解微分方程的所有方法幾乎都會失效．學生把這些方法學得再好，幾乎都不能解決實際問題，只能形式化地求解一些微分方程的習題．因此，在解決實際問題時，通常要用冪級數(shù)法求級數(shù)形式的解函數(shù)，用歐拉方法求初值問題的近似解，用方向場來分析解函數(shù)的大致圖象，用相直線、相平面來分析自治方程和自治方程組的軌線、平衡解和解的穩(wěn)定性等問題．故，未將“如何處理無初等解析解的微分方程”的內(nèi)容完整地編入教材，是中國大學微積分教材的一大缺陷．

中美教材在列微分方程方面的差異巨大．列微分方程就是建立微分方程模型，屬于數(shù)學建模的范疇．數(shù)學建模是數(shù)學核心素養(yǎng)之一，備受國際數(shù)學教育界的廣泛關(guān)注[28-29]．因此，該內(nèi)容將被合并到下一節(jié)加以重點討論．

圖1 微分方程的知識網(wǎng)絡樹狀圖

3.3 微分方程模型和數(shù)學建模方面的比較

3.3.1 數(shù)學模型所解決問題類型數(shù)的比較

經(jīng)統(tǒng)計，中美教材中微分方程模型所解決的各類問題如表2所列．

由表2可知，微分方程模型解決的實際問題類型數(shù)，同濟、國科、人大、Steward、Thomas教材依次為18、25、24、35和30（不含二階方程）．同時，中國教材對每一類方程僅給出了1～2個需要列方程建模的實例；而美國教材一般都給出了若干個實例加以印證或練習．因此，美國教材用微分方程模型解決實際問題的數(shù)量大大超過中國教材．

3.3.2 微分方程所涉及的問題類型特點的比較

這5套教材中，Steward教材所包含的問題種類最多、最全面，不僅包含常見的運動問題、冷卻問題、同位素衰減問題、溶液混合問題、RL電路問題、震動問題、病毒（消息、謠言）傳播問題等，而且還包含追跡問題、捕食者—獵物問題、兩個種群的競爭（合作）問題等．在微分方程模型方面，該教材最突出的特點就是其種群增長模型的種類較為齊全且成體系（見圖2）．

Thomas教材，在不包括二階微分方程的情況下，其中的問題類型總數(shù)僅次于Steward教材．關(guān)于種群增長的模型雖不及Steward教材的系統(tǒng)、全面，但指數(shù)增長模型所涉及的問題類型卻相當豐富，共有16類之多．這些問題中，除含常見的運動問題、同位素衰減問題、冷卻問題和種群增長問題外，還有疾病控制問題、細菌生長問題、粗糖融化問題、一階化學反應問題、人類牙齒進化問題、電容器的放電問題、水下光線強度問題、瀕危物種保護問題等．不僅如此，而且即使是同位素的衰減這一類問題，也包含了許多不同的案例．這些案例涉及到放射性同位素C-14、钚-239、釙-210、锎-252，以及它們的半衰期，平均壽命．僅根據(jù)C-14的衰減規(guī)律，就有多個考古鑒定問題．

國科教材與國內(nèi)其它教材相比，雖然微分方程模型所涉及的問題類型較為全面，但與美國教材相比，其數(shù)量還是偏少．若增加疾病傳播模型和捕食者—獵物模型，并適當豐富指數(shù)增長模型，則會更好．人大教材總體上與國科教材類似，只是缺少捕食者—獵物這個重要模型，且問題的總量明顯偏少．同濟教材在建模問題的選取和設計上，做得最不理想．一是問題類型總數(shù)嚴重偏少，比Stewart教材少了近50%．二是涉及的內(nèi)容大多是幾何與物理問題，而且不少還是較難的選學內(nèi)容．如探照燈聚光面的設計、懸鏈線方程、鏈條下滑等問題，這些既是物理學中學生難以建模，又是被美國教材淡化處理的內(nèi)容．三是該教材中還缺少許多常見問題．如冷卻問題、謠言傳播問題、種群增長問題、追跡問題、捕食者—獵物問題、兩物種的竟獵問題等．因此，在教學實踐中，使用同濟教材的大多數(shù)教師，都很少講解數(shù)學模型的建立，只講如何求解各類微分方程．這是中國在微分方程這章教學上很大的一個偏差，需引起重視．

表2 中美教材中微分方程模型所解決的問題類型比較

圖2 Stewart教材中的種群增長模型體系

3.3.3 美國教材在數(shù)學建模思想方法上的指導和數(shù)學建模難點上的突破

美國教材在數(shù)學建模的思想方法指導和數(shù)學建模難點突破方面，有許多好的做法，值得借鑒．

（1）將大型主題的模型體系進行分解，然后分散到正文、例題、習題和應用項目等內(nèi)容中．如Stewart教材中的種群增長的模型體系就十分龐大（圖2）．其中不僅涉及到單種群和有互動關(guān)系的多種群問題，以及各種附加條件和變化的情形，而且還涉及到可分離變量方程、一階線性非齊次方程、自治方程組等情形．即使是專門的數(shù)學建模課，也要花好幾個學時才能完成．然而，該教材卻巧妙地通過各個擊破，層層推進，分散處理等技巧，很好地化解了這一難題．

（2）以應用項目的形式，使學生經(jīng)歷小型的數(shù)學建模過程，并獲得數(shù)學建模思想方法的熏陶．如Stewart教材中的應用項目“討論油箱排水的速度有多快”，其中就包含這幾個問題：（a）根據(jù)托里切利定律，建立容器底部開孔排水問題的數(shù)學模型，然后根據(jù)給定數(shù)據(jù)，求多長時間可以排干；（b）給出考慮了液體的旋轉(zhuǎn)與粘度因素的改進模型，然后進行下降高度與所用時間的對應關(guān)系實驗，將實驗結(jié)果與由模型算出的函數(shù)計算結(jié)果進行比較；（c）利用改進模型解決大型酒店和醫(yī)院屋頂?shù)膰娝疁缁鹣到y(tǒng)的設計問題；（d）討論非圓柱形的、截面積隨高度變化而變化的一般容器的開孔排水模型．類似這樣的項目，美國2套教材中都有不少．總之，以小型項目的方式，對學生進行數(shù)學建模思想方法的指導，這也是值得借鑒的．

（3）將數(shù)學建模中的思想方法滲透到習題中．這種方式在美國教材中十分普遍．如Stewart教材中，習題9.4的4題，根據(jù)酵母細胞數(shù)的實驗室記錄數(shù)據(jù)，描點作圖、估計該實驗環(huán)境的細胞數(shù)承載能力、初始增長率、建立指數(shù)模型和邏輯斯諦模型，并將由函數(shù)式得到的預測值與從表格中和圖象上得到的值進行比較，評論所建模型與數(shù)據(jù)的匹配程度，用邏輯斯諦模型預測7小時后酵母細胞的數(shù)量；10題，討論邏輯斯諦模型中兩個參數(shù)分別變動時，解函數(shù)曲線如何變化；11題，用指數(shù)模型和邏輯斯諦模型的解函數(shù)曲線擬合表中給出的1960—2005年日本人口數(shù)量，并評價何者更精確；16題，討論改進邏輯斯諦模型的參數(shù)在什么情況下才不至于使魚滅絕；等等．這些習題中都大量滲透了數(shù)學建模的思想和方法．

（5）對于部分較難建立的模型，教材是通過鋪設“臺階”，逐步提問引導學生建立的．例如，Thomas教材中習題9.3的13題（鹽水混合問題）條件是：一水箱最初裝有100加侖含鹽50磅的鹽水，現(xiàn)將濃度為21磅/加侖的鹽水以5加侖/分鐘的速度注入其中．同時，將其攪勻后又以4加侖/分鐘的速度排出水箱．如果直接問“混合過程開始后的第25分鐘時，水箱內(nèi)混合鹽溶液的濃度是多少”，那么學生就會覺得很難求解．為此，該教材就給這一問題鋪設了4級“臺階”：（a）在時刻，鹽被注入水箱的速度（磅/分鐘）是多少？（b）在時刻，水箱內(nèi)溶液體積是多少？（c）在時刻，鹽被排出水箱的速度（磅/分鐘）是多少？（d）寫出并求解描述本混合過程的初值問題的微分方程．這4級“臺階”實際上就是解決原問題的思維過程中的4個關(guān)鍵節(jié)點．這既是教師引導提問的技巧，又是鋪設“臺階”，降低建模難度的技巧，值得借鑒．

3.4 教材的其它構(gòu)成要素的比較

中美教材的主要差異，除了體現(xiàn)在內(nèi)容的編排位置、知識體系和對數(shù)學建模的處理方式的不同之外，還體現(xiàn)在習題數(shù)量、軟件使用和數(shù)學表征等方面．其詳情如表3所列．

表3 中美教材中其它構(gòu)成要素的比較

注：表中數(shù)據(jù)不包括選學內(nèi)容；Thomas教材不包含二階微分方程部分．

（1）例題和習題數(shù)量的比較．從表3可以看出，中美教材在例題數(shù)量上差異不大，但在習題數(shù)量上卻存在巨大差異．在Thomas教材不含二階微分方程的情況下，習題總量的平均數(shù)，美國教材就達335個，而中國教材僅為148個，只占美國教材的44%．另一方面，教材所含實際問題數(shù)，中國平均34個，美國平均103個，是中國的3倍多．由此看出，美國教材習題數(shù)量大，且解決實際問題的內(nèi)容也十分豐富．

（2）數(shù)學表征方式的比較．數(shù)學表征是影響數(shù)學學習的重要因素[30]．然而，從數(shù)學表征方式上看，中美教材的差異卻十分巨大．教材所含圖形的平均數(shù)，中國約13個，美國為95個，超過了中國的7倍；數(shù)字表格數(shù)，中國3套教材僅有1個，美國教材平均8個，遠超中國教材．由此看出，美國教材十分重視文字、符號、圖形、數(shù)字四元表征并舉，即使是中國教材只要求解方程的題，美國教材也要求學生用軟件作出解函數(shù)的圖象．中國教材多數(shù)情況下僅采用文字和符號兩種表征方式．因此，中國教材中的圖形和數(shù)表明顯偏少，需適度增加．

（3）數(shù)學軟件使用情況的比較．計算和作圖軟件的使用，中國僅國科教材有15處，美國教材則很普遍，其中的Stewart 教材就多達52處，超過國科教材的3倍．由此可見，中國將軟件的操作使用編入教材的很少，將其作為教學和考試內(nèi)容的就更少了．Stewart教材的作者James Stewart教授認為：“技術(shù)非常好，我們已經(jīng)看到技術(shù)是怎樣讓學生感興趣，讓他們更積極主動地學習．但我們可能濫用技術(shù)或者誤用技術(shù)，或者為了技術(shù)而技術(shù)．”[21]因此，中國教材需要補充、完善和豐富數(shù)學軟件操作使用的內(nèi)容，而美國教材則要防止技術(shù)的泛用、濫用和誤用．

（4）學習評價測試題的設置情況．總體而言，在學習評價方面，中美的紙質(zhì)教材都重視不夠．這5套教材中，僅國科教材有1套全章的總結(jié)性評價檢測題．眾所周知，教材中的評價內(nèi)容是供學生學習時自我檢測和幫助學生學習的工具，而且檢測評價的分數(shù)被學生視為是對學習的肯定和褒獎，這對學生的學習動機具有即時的激勵作用．因此，要把對學習的評價作為教材設計的一個重要組成部分，即要把教材中評價內(nèi)容的設計與知識內(nèi)容的設計放在同等重要的位置上[31]．此外，按照布盧姆關(guān)于評價的一般理論，一個完整的評價應該包括課程實施前的診斷性評價，課程實施中的形成性評價和課程實施結(jié)束后的總結(jié)性評價[32]．因此，僅就這一章而言，至少需要設計2套檢測題，一套是章前的診斷性檢測題，另一套是章末的總結(jié)性檢測題（對于整個學期而言，它也是過程性評價）．當然，最好在一階微分方程內(nèi)容后，還設計1套過程性評價的檢測題．

4 啟示與建議

4.1 啟示

編寫教材時，對課程的各個知識點，編著者需全面、準確、深入把握其內(nèi)涵，不容有任何偏差；否則，可能會造成知識陳述，甚至編寫指導思想上的偏差．如中國教材的編著者，或許是因為他們對“在解決實際問題中，所列的微分方程幾乎都無初等解析解”這一細節(jié)的疏忽，從而致使其確信，只要教師們教會學生求解幾類典型微分方程的方法，學生基本就能求解典型的微分方程，進而就能解決涉及微分方程的實際問題了．因此，在解決實際問題中真正有用的方法，如方向場、歐拉方法和相平面分析法等，均未被他們編入教材．

并非所有培養(yǎng)和訓練學生數(shù)學能力的做法都值得肯定．對于微分方程，中國教材十分重視學生解方程能力的培養(yǎng)和訓練，美國教材則十分重視列方程解決實際問題能力的培養(yǎng)和訓練．然而，前者培養(yǎng)的是偏向于解題和考試的能力，而后者培養(yǎng)的則是偏向于解決實際問題的能力．因此，后者值得肯定，前者不可?。@就像培養(yǎng)士兵的作戰(zhàn)能力一樣．在信息化時代，如果還在強調(diào)騎馬、射箭和拼刺刀的能力，而忽視了使用信息技術(shù)操控無人機和使用現(xiàn)代化裝備的能力，那么這支部隊必打敗仗．因為被重點培養(yǎng)的能力在現(xiàn)代戰(zhàn)場上幾乎用不上，而用得上的能力卻沒有得到培養(yǎng)．所以，不能說培養(yǎng)和提高了學生的某項數(shù)學能力就是好的，而是要看這個能力是否值得培養(yǎng)，而且還要看是否因此而耽誤了更重要能力的培養(yǎng)和提高．

練習題除了具有練習、鞏固、提高等顯性功能外，還有許多隱性功能．例如，美國教材就將被中國教材編入正文和例題的部分內(nèi)容編入了習題，從而給練習題賦予了陳述新知識和為解決新問題而舉例的功能；又如，美國教材將數(shù)學建模的思想方法系統(tǒng)地融入到練習題中，這就給練習題賦予了滲透和培養(yǎng)數(shù)學思想方法的功能；再如，在不增加教學課時的前提下，Stewart教材之所以能全面、完整地介紹種群增長模型的龐大體系，就在于它把種群增長的大多數(shù)問題納入了練習題之中，這就賦予了練習題突破難點的功能等．

4.2 建議

（1）增加．增加求解“無初等解析解的微分方程”所需的知識，它們是方向場、歐拉方法、正交軌線、自治方程（組）的解和解曲線的分析方法；增加一些重要而典型的微分方程模型和實例，它們是追跡問題、謠言（信息、疾病等）傳播問題、種群的有限增長問題、捕食者—獵物問題、兩個種群的竟獵問題；增加使用技術(shù)手段進行作圖、數(shù)值計算、模型分析、參數(shù)討論、圖形模擬等內(nèi)容；習題中適度增加一些探索、討論型問題，以滲透數(shù)學建模的思想方法；適當增加數(shù)表和直觀圖的數(shù)量．此外，為更好地幫助學生自學，還可設計2～3套學習評價的檢測題．

（2）刪減．刪去過于形式化和符號化的內(nèi)容，它們是高階微分方程的有關(guān)概念和表達式、常系數(shù)線性高階微分方程的求解等；減少一些物理和幾何應用問題；考慮到知識難度、課時限制和不同專業(yè)的需求差異等因素，還可將整個二階微分方程標注為選學內(nèi)容．

（3）調(diào)整．考慮到與線性代數(shù)課程相呼應，可將整個微分方程一章回調(diào)至第六版以前的位置[33]（下冊級數(shù)一章之后），待學生學完線性代數(shù)后，再講函數(shù)的線性相關(guān)性和非齊次方程解的結(jié)構(gòu)，以節(jié)省教學時間[6]，這樣也不必將微分方程的冪級數(shù)解法編入級數(shù)一章，而且整個微積分教材的編排還符合“一元微積分—多元微積分—微積分的應用”這個大的板塊結(jié)構(gòu)．此外，也可將相對次要的幾個知識點從正文轉(zhuǎn)移到練習題中，它們是齊次方程、伯努利方程、可降階的高階微分方程；還可將解一階線性非齊次方程的常數(shù)變易法替換為積分因子法．

5 結(jié)語

隨著信息化、網(wǎng)絡化、移動學習的智能技術(shù)的發(fā)展，教材電子化[3-4]和教材學材化[34]趨勢正在加快．這給教材的編寫提出了新的挑戰(zhàn)．此外，各國都普遍存在學生提出問題的能力嚴重不足的問題．因此，有學者指出，數(shù)學教材應增加數(shù)學問題提出活動的比例與類型[35]．但如何在教材中設計數(shù)學問題提出活動，以有效培養(yǎng)和提高學生提出問題的意識和能力，則是一個待解的重大課題．再者，一直以來，中國在培養(yǎng)學生使用技術(shù)手段進行作圖、計算、分析、探索的能力方面，與國外相比，差距巨大．如何通過教材編寫、課堂教學和學習評價來扭轉(zhuǎn)這一局面，這是中國數(shù)學教育界面臨的一項迫切任務．

總之，教材的編寫是一件十分復雜而艱巨的工作．編寫一部優(yōu)秀教材，不僅需要堅實的教育學和心理學的理論支撐，而且更需要編著者有豐富的教學實踐經(jīng)驗和對課程內(nèi)容的深入研究．正如文[36]所說，與寫文章和寫書相比，一套好的教材最難寫，因為它是一個群體（包括數(shù)學家、教育學家、心理學家、優(yōu)秀教師）的長期研究、實驗、升華的結(jié)晶，它將影響到數(shù)以萬計學生的終身發(fā)展．因此，一部優(yōu)秀教材不是誰都能寫成，更不是隨便就能寫成的．

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Comparative Study of Differential Equations in Calculus Textbooks of Chinese and American Universities

PAN Jian-hui1, HU Xue-gang2, ZHU Wei1, DENG Zhi-ying1, CHEN Ji-lin3

(1. School of Science, Chongqing University of Posts and Telecommunications, Chongqing 400065, China;2. Dean’s Office, Chongqing University of Posts and Telecommunications, Chongqing 400065, China;3. Tianxingqiao High School of Chongqing, Chongqing 400038, China)

A comparative study of the contents of differential equations in 5 sets of calculus textbooks for Chinese and American universities found that there are many significantly different aspects in the two types of textbooks, such as the content layout, the number of exercises, mathematical representation methods, the use of mathematical software, the degree of emphasis on mathematical modeling, the processing of secondary or higher required content, and the number and types of real world problems solved by the differential equation models. In addition, American textbooks have many practices worth learning from in terms of ideological and method guidance on mathematical modeling and breakthroughs in difficult mathematical modeling problems. However, a major defect in Chinese textbooks is that most of the knowledge required to solve the “differential equations without primary analytical solutions” is not included in the textbooks. Then, three inspirations are obtained: first, the textbook writers’ misunderstanding of knowledge points may lead to deviations in the guiding ideology; second, the cultivation and the training of mathematical abilities are not always beneficial; third, the exercises have many invisible functions that need to be developed and utilized. Finally, three revision suggestions are put forward for Tongji Textbook: add direction field, Euler method and other important content; delete overly formal content such as higher-order differential equations; and adjust the arrangement position of power series solutions to differential equations and other contents.

university textbooks; calculus; differential equation; comparative study; mathematical modeling

G642

A

1004–9894（2024）01–0064–07

潘建輝，胡學剛，朱偉，等．中美大學微積分教材之微分方程內(nèi)容的比較研究[J]．數(shù)學教育學報，2024，33（1）：64-70．

2023–08–10

重慶市高等教育教學改革研究重大項目——政產(chǎn)學研用深度融合的協(xié)同育人模式研究與實踐（221018）；重慶市研究生教育教學改革重點項目——新工科背景下“五維一體”研究生數(shù)學課程思政體系的綜合研究與實踐（YJG212022）；重慶市高等教育教學改革研究項目——大學數(shù)學“前移式問題解決”教學模式的實驗研究（213161）；重慶市研究生課程思政示范課程項目——決策理論與決策支持（YKCSZ23121）；重慶郵電大學金課建設基金項目——《實變函數(shù)》線下金課（XJKXX20201-15）

潘建輝（1965—），男，四川武勝人，副教授，碩士，主要從事數(shù)學課程與教學論研究．

[責任編校：陳雋、陳漢君]