暢博彥， 閆圣杰， 梁 棟， 關 鑫， 韓芳孝

（1. 天津工業(yè)大學 機械工程學院， 天津 300387；2. 天津市現(xiàn)代機電裝備技術重點實驗室， 天津 300387）

折展機構是一類能夠從收攏狀態(tài)展開至預定結構形式且能承受特定載荷的機構[1-2]。折展機構收攏時具有較小的體積，便于運輸和儲存，展開時具有較大的包絡體積和工作面積。目前，折展機構被廣泛應用于土木工程、航空航天和醫(yī)療等領域[3-12]。

在工程應用中，泊松比是一個重要的材料參數(shù)，其定義為材料橫向應變與縱向應變的比值，可用于計算材料的應力狀態(tài)和變形特性。大多數(shù)常見的工程材料具有正泊松比，即其在受壓時橫向膨脹。相比之下，負泊松比材料在受壓時橫向收縮，這種材料在抗剪承載力、抗斷裂性、能量吸收和壓陷阻力等方面比傳統(tǒng)材料更具優(yōu)勢。因此，國內外學者針對負泊松比材料提出了多種設計方法。Yang等[13]通過將傳統(tǒng)蜂窩網(wǎng)格結構擴展至三維空間的方式，設計了一種可在三維空間內壓縮的負泊松比超材料；Babaee等[14]利用屈曲分析方法設計了一種彈性球殼結構，該結構在受到壓縮載荷時橫向收縮，從而實現(xiàn)三維負泊松比效應；Grima 等[15]通過將正方形胞元的頂點連接成柔性鉸鏈，使正方形能夠直接發(fā)生相對轉動，從而設計得到一種具有負泊松比效應的二維超材料。

折紙技術作為一種設計新結構和超材料的方法，近年來受到了學者們的廣泛關注。受折紙啟發(fā)的結構設計不僅可實現(xiàn)平面與空間之間復雜形狀的轉換，而且可獲得一些在傳統(tǒng)材料設計和合成中難以實現(xiàn)的特殊力學性能[16]。此外，折紙結構在面內的折疊變形使其非常適用于拉脹材料的設計，因此各種折紙折痕單元被廣泛應用于負泊松比超材料[17]。例如，具有單自由度的三浦折紙圖案[18-19]是使用最廣泛的折紙圖案之一，其已被證明具有大折展率、負泊松比和各向異性剛度[20-22]。Yang 等[23]受折紙啟發(fā)，提出了一種模塊化可重構超材料，將由Sarrus機構和平面四桿機構組成的可轉換模塊按照鑲嵌模式連接，以形成周期性結構；Chen等[24]對廣義四折痕折紙的幾何力學進行了研究，為材料面內泊松比和面內剛度的逆設計提供了理論基礎，并通過三浦折紙進行了驗證；Wang等[25]提出了一種新的二維可控孔隙率拉脹材料設計方法，結果表明，花生形孔比橢圓形孔具有更大的泊松比和更小的應力。

相對于負泊松比的結構和材料，變泊松比的結構和材料則更少見。Taylor等[26]提出了一種新方法來設計抗沖擊彈性體結構，該結構具有變泊松比特性，故其沖擊響應較好，被廣泛應用于沖擊和保護裝置；Fleisch等[27]通過在傳統(tǒng)晶胞中引入不對稱性，提出了2種泊松比可變的結構；Pratapa等[28]將三浦折紙與蛋殼狀折痕相結合，設計了一種名為Morph的折紙機構，可通過改變山谷折痕的分布使折紙機構實現(xiàn)正、負泊松比的切換，并構建了拉伸和彎曲狀態(tài)下的泊松比計算公式；Khan等[29]基于傳統(tǒng)蜂窩網(wǎng)格設計了一種具有可調控泊松比的超材料，并加入了壓電材料，實現(xiàn)了泊松比與機電特性的耦合調節(jié)。

然而，目前大多數(shù)折展機構具有正泊松或零泊松運動特性，具有變泊松運動特性的折展機構極少。為此，筆者以折紙機構為基礎，提出一種單閉環(huán)厚板支撐單元，并對其支撐剛度進行分析。然后，根據(jù)泊松比的定義，設計了一種具有變泊松運動特性的正n邊形剪叉式折展機構，并以機構不發(fā)生物理干涉為前提，以折展機構可無限縱向擴展為設計目標，基于機構學理論來闡述機構模塊化擴展的原理和過程。最后，通過建立折展機構的運動學模型和虛擬樣機模型來分析其運動規(guī)律及特點。

1 單閉環(huán)厚板模型

本文提出了一種正n邊形的單閉環(huán)折紙模型（n=2ξ+2，ξ∈N*，N*為正整數(shù)集），如圖1所示。其中：正n邊形的外角φ=360°/n。

圖1 正n邊形單閉環(huán)折紙模型的折痕分布示意Fig.1 Crease distribution diagram of regular n-sided single-closed-loop origami model

當n=4時，該模型由4個全等的L形紙板和4個全等的矩形紙板組成。4 個L 形紙板的形心Su(u=1,2, …, 4)與正四邊形的4個頂點重合；正四邊形的4條邊可以看成4條支鏈Lu，支鏈Lu由1個矩形紙板Fu經(jīng)轉動副Ruv(v=1, 2, …, 4)與相鄰2個L形紙板相連，各紙板的連接關系如圖2所示。

圖2 正四邊形單閉環(huán)折紙模型Fig.2 Regular quadrilateral single-closed-loop origami model

將圖2 所示的折紙模型轉化為對應的厚板模型，如圖3(a)所示，各個板件均剛性連接且厚度相同，其中θ為L 形板件與矩形板件之間的夾角，且θ∈[0°, 180°]。通過共用板件的方式進行模塊化擴展，得到對應的擴展模型，如圖3(b)所示。

圖3 正四邊形厚板模型的擴展Fig.3 Extension of regular quadrilateral thick plate model

正四邊形厚板擴展模型可用于三明治結構。目前，三明治結構常用的夾芯層形狀主要有幾字形、梯形、蜂窩形和拱形等，如圖4所示。

圖4 常用的夾芯層形狀Fig.4 Common shapes of sandwich layer

三明治結構作為支撐結構應用時須具備較高的剛度，因此對其進行靜剛度分析是至關重要的。將4 種常用的三明治結構與夾芯層采用θ=60°，90°和120°（銳角、直角和鈍角狀態(tài)下各取一種）的正四邊形厚板擴展模型的三明治結構進行對比分析。各夾芯層均采用相同的材料和結構尺寸，密度、楊氏彈性模量和泊松比分別取7.58×103kg/m3，2.6×106MPa 和0.3，高度、長度和寬度分別為35，530，115 mm。夾芯層為正四邊形厚板擴展模型的三明治結構的面板設計參數(shù)如表1 所示。4 種常用三明治結構的面板參數(shù)與采用θ=90°的正四邊形厚板擴展模型的三明治結構相同。在ANSYS Workbench 軟件中建立7 種三明治結構的有限元分析模型，在其頂部面板上施加50 N 的均布載荷（方向垂直向下）并進行靜力學分析，結果如圖5所示。

表1 3種新三明治結構的面板設計參數(shù)Table 1 Panel design parameters for three new sandwich structures 單位：mm

圖5 7種三明治結構的變形云圖Fig.5 Deformation nephogram of seven sandwich structures

7 種三明治結構的最大應力、最大變形量和夾芯層質量如表2所示。由表2可知，在承受相同載荷的條件下，夾芯層采用正四邊形厚板擴展模型時，三明治結構的質量最小且其應力、變形量較小；在夾芯層同為正四邊形厚板擴展模型時，在3種波紋形狀中，θ=60°時的應力、變形量最小，θ=120°時的應力、變形量最大。

表2 7種三明治結構的最大應力、最大變形量和夾芯層質量Table 2 Maximum stress, maximum deformation and sandwich layer mass of seven sandwich structures

2 具有變泊松運動特性的剪叉式折展機構

2.1 正n邊形厚板模型的等效機構模型

通過上文分析可知，夾芯層為正四邊形厚板擴展模型的三明治結構具有很好的支撐效果，故對其進行深入研究。分別取4個θ=60°和4個θ=120°的厚板模型組成正四邊形支撐結構，在其模型上表面施加50 N 的均布載荷（方向垂直上表面向下），對其進行靜力學分析，結果如圖6 所示。由圖6 可以看出，當θ=60°時，正四邊形支撐結構在X和Y方向上均呈“壓縮”趨勢，即具有負泊松比效應；當θ=120°時，該結構在X和Y方向上均呈“壓脹”趨勢，即具有正泊松比效應。由此可知，通過改變正四邊形支撐結構中θ的大小，即可實現(xiàn)其正負泊松比的改變，即變泊松比特性。

圖6 夾角θ對正四邊形支撐結構泊松比效應的影響Fig.6 Ⅰnfluence of included angle θ on Poisson's ratio effect of regular quadrilateral support structure

將2個正n邊形厚板模型按圖7所示的方式構造正n邊形剪叉式厚板模型，并在此基礎上將其進一步等效為桿件模型，其對應的機構命名為具有變泊松運動特性的剪叉式折展機構。

圖7 正n邊形厚板模型的等效機構模型Fig.7 Equivalent mechanism model of regular n-sided thick panel model

2.2 正四邊形剪叉式折展機構有限元仿真

鑒于圖7所示正n邊形剪叉式折展機構在縱向上的構造相同，選取正四邊形剪叉式折展機構為例，對機構的靜力學特性進行有限元仿真分析。在折展機構模型上表面的4個桿件上分別施加12.5 N的均布載荷（方向垂直向下），對下表面的4個桿件施加固定約束，仿真分析結果如圖8和圖9所示。由圖8和圖9可以看出，正四邊形剪叉式折展機構與圖6所示的正四邊形支撐結構具有相同的變泊松比效應，即當θ=60°時，折展機構在X和Y方向上均呈壓縮趨勢，即具有負泊松比效應；當θ=120°時，折展機構在X和Y方向上均呈壓脹趨勢，即具有正泊松比效應。

圖8 θ=60°時正四邊形剪叉式折展機構的負泊松比效應示意Fig.8 Schematic of ngative Poisson' ratio effect of regular quadrilateral scissor deployable mechanism with θ=60°

圖9 θ=120°時正四邊形剪叉式折展機構的正泊松比效應示意Fig.9 Schematic of positive Poisson' ratio effect of regular quadrilateral scissor deployable mechanism with θ=120°

圖10所示為θ不同時正四邊形剪叉式折展機構在軸向壓縮載荷作用下的橫向應變。由圖10可以看出，該折展機構沿X和Y方向的應變分布幾乎一致，且當θ∈(0°, 90°)時，折展機構在對應位姿下的橫向應變均小于0，呈壓縮趨勢，即具有負泊松比效應；當θ∈(90°, 180°)時，折展機構在對應位姿下的橫向應變均大于0，呈壓脹趨勢，即具有正泊松比效應；當θ=90°時，折展機構在對應位姿下的橫向應變等于0，即具有零泊松比效應。由此可知，通過改變正n邊形剪叉式折展機構中θ的大小，即可實現(xiàn)機構泊松比的調節(jié)。

圖10 正四邊形剪叉式折展機構橫向應變的變化曲線Fig.10 Variation curve of transverse strain of regular quadrilateral scissor deployable mechanism

3 剪叉式折展機構運動學分析

3.1 機構自由度分析

為了分析正n邊形剪叉式折展機構的自由度，建立其空間笛卡爾坐標系O11X11Y11Z11，如圖11 所示（以正四邊形剪叉式折展機構為例）。其中：X11軸、Y11軸與底部正四邊形的2條鄰邊重合，其交點為坐標系原點O11，Z11軸由右手定則確定。A1i～E1i（i∈[1,n]）為轉動副，桿件A11D11與X11軸的夾角為θ，桿件O1iB1i和桿件A1iO1i+1的長度為a，桿件A1iD1i和桿件B1iC1i的長度為b，桿件A1iE1i、B1iE1i、C1iE1i、D1iE1i的長度為c，其中b=2c。

基于圖論和螺旋理論，用圓圈表示桿件，線條表示運動副，帶數(shù)字的運動旋量表示不同關節(jié)處的運動，如用$1表示連接桿件A11D11與B11C11的轉動副的運動，即可得到具有變泊松運動特性的正四邊形剪叉式折展機構的旋量約束拓撲圖，如圖12所示。

圖12 正四邊形剪叉式折展機構的旋量約束拓撲圖Fig.12 Screw constraint topology graph of regular quadrilateral scissor deployable mechanism

根據(jù)連接桿件A11D11與桿件B11C11的轉動副1 的空間位置坐標，可得：

式中：r1為轉動副1的空間位置矩陣。

則轉動副1的轉軸所在軸線的方向矢量為：

根據(jù)螺旋理論，可得轉動副1的運動螺旋，其單位螺旋的表達式為：

同理，可得圖12中其他運動螺旋的表達式。定義ωk表示相應轉動副的角速度，針對圖12中的閉環(huán)Ⅰ～Ⅳ，建立相應的旋量約束方程，則可得正四邊形剪叉式折展機構的旋量約束方程：

式中：0為六維零向量。

將式(4)寫成矩陣的形式，可得：

其中：

由此可知，旋量約束矩陣M為24×20矩陣。正四邊形剪叉式折展機構的自由度對應旋量約束矩陣的零空間維數(shù)，通過MATLAB軟件計算可得：

旋量約束矩陣M的列數(shù)為20，其零空間維數(shù)為列數(shù)減去秩，因此可得正四邊形剪叉式折展機構的自由度為1。

3.2 機構模塊化擴展

將一系列折展機構單元模塊按一定的機構學原理連接在一起，即可構成大尺度折展機構。對于包含m(m≥3)層模塊的剪叉式折展機構，(m-2)層中間模塊通過共用桿件的方式上下正反交替地安裝在頂部模塊與底部模塊之間，如圖13所示。通過模塊化疊加，即可實現(xiàn)整個折展機構運動行程的比例放大。

圖13 m層正四邊形剪叉式折展機構Fig.13 Regular quadrilateral scissor deployable mechanism with m-layer

與傳統(tǒng)可展機構相比，上述剪叉式折展機構具有以下優(yōu)點：

1）僅含轉動副，不易出現(xiàn)卡死現(xiàn)象，運動穩(wěn)定性高。

2）可模塊化擴展，通過改變中間模塊的數(shù)量即可改變整體伸縮量。

3）機構為單驅動輸入，便于操作和控制。

4）機構具有變泊松運動特性，其展開時面積大，收縮時面積小。

3.3 機構運動學分析

在m層正n邊形剪叉式折展機構中，1個剪叉桿件和4個L形桿件構成一個側面單元。令第1層正n邊形剪叉式折展機構中的第1個側面單元的體坐標系O11X11Y11Z11為基坐標系，如圖11所示，該側面單元上的點表示為P11；按照逆時針方向，坐標系O12X12Y12Z12為第1 層中第2 個側面單元的體坐標系，該側面單元上的點表示為P12，以此類推可得P13、P14、…、P1n；同理，第h(1＜h≤m)層中n個側面單元上的點表示為Ph1、Ph2、…、Phn。在第h層剪叉式折展機構展開過程中，坐標系OhiXhiYhiZhi到Oh(i+1)Xh(i+1)Yh(i+1)Zh(i+1)的變換過程可看作：坐標系OhiXhiYhiZhi從點Ohi平移到Oh(i+1)，再繞Zhi軸的正方向旋轉φ。在m層正n邊形剪叉式折展機構中，點Oh(i+1)在坐標系OhiXhiYhiZhi中的位置矩陣hiOh(i+1)可表示為：

因此，從坐標系OhiXhiYhiZhi到Oh(i+1)Xh(i+1)Yh(i+1)Zh(i+1)的變換矩陣hiTh(i+1)為：

坐標系OhiXhiYhiZhi到O(h+1)iX(h+1)iY(h+1)iZ(h+1)i的變換可看作坐標系OhiXhiYhiZhi從點Ohi平移到O(h+1)i。O(h+1)i在坐標系OhiXhiYhiZhi中的位置矩陣hiO(h+1)i可表示為：

則從坐標系OhiXhiYhiZhi到O(h+1)iX(h+1)iY(h+1)iZ(h+1)i的變換矩陣hiQ(h+1)i為：

根據(jù)式(8)和式(10)，可得到各單元與各層之間的變換矩陣。再將式(8)與式(10)相乘，可得從基坐標系O11X11Y11Z11到動坐標系OgjXgjYgjZgj(j=2～n,g=1～m)的變換矩陣11Tgj：

在m層正n邊形剪叉式折展機構中，動坐標系OgjXgjYgjZgj中任意一點Pgj在基坐標系中的位置矩陣Pgj可表示為：

分別對式(12)求關于時間的一階導數(shù)和二階導數(shù)，可得相應的速度方程和加速度方程：

對于動坐標系OgjXgjYgjZgj中的點Pgj，用vXgj、vYgj和vZgj表示其速度分量，用aXgj、aYgj和aZgj表示其加速度分量，設點P11在基坐標系中的位置矩陣P11=［XP110ZP11］T，根據(jù)式(13)和式(14)，可得:

設定a=200 mm、b=130 mm，建立3層正四邊形剪叉式折展機構的三維虛擬樣機模型，通過仿真分析其運動過程，如圖14所示。其中，桿件A11D11為驅動桿，在θ∈(0°, 180°)范圍內以3 (°)/s的角速度作逆時針勻速轉動。根據(jù)式(12)至式(16)，對該剪叉式折展機構進行運動學建模和編程計算，可得其轉動副D32處的位移、速度和加速度曲線，如圖15所示。

圖14 3層正四邊形剪叉式折展機構的運動過程Fig.14 Motion process of regular quadrilateral scissor deployable mechanism with three-layer

圖15 3 層正四邊形剪叉式折展機構中轉動副D32處的運動規(guī)律Fig.15 Motion law at the revolute D32 of three-layer regular quadrilateral scissor deployable mechanism

由圖15可以看出，在3層正四邊形剪叉式折展機構的運動過程中，其轉動副D32沿X方向的位移隨著θ的增大而增大，沿Z方向的位移先增大后減小，即當θ∈(0°, 90°)時，機構處于拉脹運動狀態(tài)；當θ∈(90°, 180°)時，機構處于壓脹運動狀態(tài)。此外，虛擬仿真結果與數(shù)值計算結果一致，驗證了所建立的運動學模型的正確性和有效性。

3.4 泊松運動特性分析

結合材料力學中關于泊松比的定義[30]，對于m層正n邊形剪叉式折展機構，令θ=90°時為機構的初始位形，此時機構的外接圓直徑mw0和高度mH0為：

當θ從90°減小到0°時，機構處于壓縮運動狀態(tài)；當θ從90°增大到180°時，機構處于壓脹運動狀態(tài)。2 種運動狀態(tài)下機構的外接圓直徑mw和高度mH為：

根據(jù)式(17)至式(20)，可得機構運動過程中外接圓直徑和高度的變化：

根據(jù)泊松比的定義[30]，機構泊松運動特性的系數(shù)νP為：

同樣設a=200 mm、b=130 mm，利用式(23)求得m層正n邊形剪叉式折展機構的泊松運動特性系數(shù)，如圖16所示。由圖16可以看出，當θ∈(0°, 90°)時，折展機構處于“負泊松”運動狀態(tài)；當θ∈(90°, 180°)時，折展機構處于“正泊松”運動狀態(tài)，且折展機構的泊松運動特性系數(shù)與其層數(shù)和多邊形邊數(shù)無關，只與L 形桿件的幾何參數(shù)a以及剪叉桿件的幾何參數(shù)b有關。此外，當θ趨近于90°時，折展機構的泊松運動特性系數(shù)趨近于無窮大，即在θ=90°的δ鄰域(90°-δ, 90°+δ)內，折展機構很小的高度變化即可引起較大的橫截面尺寸變化。

圖16 正n 邊形剪叉式折展機構泊松運動特性系數(shù)的變化曲線Fig.16 Variation curve of Poisson motion characteristic coefficient of regular n-sided scissor deployable mechanism

綜上所述，隨著θ的變化，正n邊形剪叉式折展機構可實現(xiàn)泊松運動特性的變化。由2.1和2.2節(jié)可知，機構在任意角度處鎖定時，可形成對應的剪叉式折展支撐結構，θ∈(0°, 90°)時的支撐結構具有負泊松比特性，θ∈(90°, 180°)時的支撐結構具有正泊松比特性。因此，正n邊形剪叉式折展機構可以通過變泊松運動實現(xiàn)支撐結構的變泊松比特性?；?D打印技術搭建了正四邊形支撐結構與正四邊形剪叉式折展支撐結構的實物樣機，分別如圖17 和圖18所示。

圖17 正四邊形支撐結構樣機研制Fig.17 Development of regular quadrilateral support structure prototype

圖18 正四邊形剪叉式折展支撐結構樣機研制Fig.18 Development of regular quadrilateral scissor deployable support structure prototype

4 結 論

1）根據(jù)三明治結構的特點，提出一種正n邊形分布的單閉環(huán)折紙模型，將折紙模型轉化為厚板模型，通過共用板件的方法進行模塊化擴展。運用ANSYS Workbench軟件對7種三明治結構進行有限元分析，得到夾芯層為正四邊形厚板擴展模型的三明治結構的支撐剛度較大且質量最小。

2）運用圖論和螺旋理論，計算得到正四邊形剪叉式折展機構的自由度為1；基于機構模塊化組成原理，闡述了機構模塊化縱向擴展的過程，并構造了具有變泊松運動特性的m層正n邊形剪叉式折展機構。

3）運用變換矩陣法建立了剪叉式折展機構的運動學模型，提出了描述機構泊松運動特性的系數(shù)，并以3層正四邊形剪叉式折展機構為例，基于數(shù)值計算和虛擬仿真技術驗證了所構建的運動學模型的正確性。

4）提出了一種可實現(xiàn)支撐結構變泊松比特性的方法，并運用3D打印技術搭建了正四邊形支撐結構與正四邊形剪叉式折展支撐結構的實物樣機，驗證了所提出方法的可行性，這可為后續(xù)的研究提供理論基礎。