劉倫峰，李 凌，王 鑫，李文元，廖翠姣

（湖南工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，湖南株洲 412007）

TiAl 合金因具有高比強(qiáng)度、抗高溫、抗氧化、抗蠕變等性能， 已成為航空發(fā)動(dòng)機(jī)低壓渦輪葉盤的優(yōu)選材料，在航空航天領(lǐng)域具有較大的應(yīng)用前景[1-2]；然而，TiAl 合金的室溫脆性、 低延展性及強(qiáng)化學(xué)親和性導(dǎo)致采用傳統(tǒng)機(jī)械加工表面完整性較差、 刀具磨損劇烈[3-4]。 電解加工因具有加工金屬材料無殘余應(yīng)力、加工效率高、無刀具磨損等優(yōu)點(diǎn)，逐漸成為加工TiAl 合金的優(yōu)選方法[5-7]，但TiAl 合金本身具有不同電溶解行為的復(fù)雜微觀組織與電解加工系統(tǒng)多因素耦合引起加工過程的非線性高維混沌特性，使TiAl 合金高穩(wěn)定、高品質(zhì)電解加工成為難題[8-9]。 因此，研究TiAl 合金在流動(dòng)電解液中的溶解電化學(xué)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為對(duì)探索TiAl 合金高品質(zhì)穩(wěn)定電解加工具有重要理論指導(dǎo)意義。

混沌系統(tǒng)有非線性、非周期性和不可預(yù)測(cè)性[10]，常用的研究方法有相空間重構(gòu)吸引子軌跡[11]、Lyapunov 指數(shù)[12]、功率譜[13]等，但針對(duì)復(fù)雜高維混沌系統(tǒng)采用上述方法難以深入研究系統(tǒng)的具體形態(tài)特征，而龐加萊截面和差分龐加萊截面可通過降低系統(tǒng)維度研究系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特征以及其動(dòng)態(tài)演化過程，是高維混沌系統(tǒng)的重要分析方法，在各領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。 ARGOUL 等[14]采用龐加萊截面研究電解制鋅的薄膜生長(zhǎng)機(jī)理，發(fā)現(xiàn)該電解系統(tǒng)具有周期和非周期特征信號(hào)，系統(tǒng)的電壓振蕩經(jīng)歷了從周期加倍到混沌的動(dòng)態(tài)演變過程。 CAO 等[15]采用龐加萊截面研究了分?jǐn)?shù)階阻尼摩擦沖擊轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為，利用轉(zhuǎn)子軌跡圖、分岔圖和龐加萊截面圖反映了轉(zhuǎn)速比、阻尼導(dǎo)數(shù)階數(shù)和質(zhì)量偏心度對(duì)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)行為的影響，發(fā)現(xiàn)周期加倍分岔、突然轉(zhuǎn)變和從周期運(yùn)動(dòng)到混沌的三種混沌演變路徑。MUKOUYAMA 等[16]通過龐加萊截面分析鉑電極上H2O2和S2O82-的還原過程， 發(fā)現(xiàn)正反饋機(jī)制和兩種不同時(shí)間尺度的負(fù)反饋機(jī)制的結(jié)合可以分別引起混沌振蕩和混合振蕩。 目前，龐加萊截面研究主要以定性分析為主，但一些高維復(fù)雜非線性系統(tǒng)僅定性分析無法達(dá)到深入研究目的，已有學(xué)者通過差分龐加萊截面結(jié)合其他量化手段來定量分析系統(tǒng)的特征規(guī)律。 霍鋮宇[17]通過差分龐加萊截面的多尺度象限分布熵，定量描述了截面散點(diǎn)在不同區(qū)域和時(shí)間尺度上的分布狀態(tài)特征，采用該法可分析不同生理病理狀態(tài)下的心臟系統(tǒng)調(diào)控節(jié)律以及健康與典型病例狀態(tài)下的心律差異。 目前，少見將龐加萊截面、差分龐加萊截面以及分布熵用于研究金屬材料高電位溶解電化學(xué)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特征的報(bào)道。

本文針對(duì)TiAl 合金電解加工系統(tǒng)的高維混沌特性，采用龐加萊截面、差分龐加萊截面及分布熵研究TiAl 合金在流動(dòng)電解液中高電位電流密度時(shí)間序列的非線性動(dòng)力學(xué)特征，揭示電解液壓力對(duì)TiAl合金高電位溶解行為中非線性動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定行為的影響規(guī)律。

1 實(shí)驗(yàn)方法與數(shù)據(jù)分析

1.1 實(shí)驗(yàn)方法

采用電化學(xué)工作站和數(shù)控電解加工機(jī)床進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，紫銅和5 mm×5 mm×10 mm 的Ti48Al2Cr2Nb 合金分別作為對(duì)電極和工件陽極。 采用恒電位法測(cè)試TiAl 合金高電位溶解行為，施加電壓為16 V，工件電極進(jìn)給速度為1.6 mm/min，測(cè)試時(shí)間為60 s，采樣頻率為10 000 Hz，采樣數(shù)據(jù)量為600 000，電解液壓力為0.2～0.5 MPa。對(duì)每個(gè)工件電極截面用游標(biāo)卡尺測(cè)量3 次面積，用于電流修正得電流密度j。 為提高數(shù)據(jù)的可靠性，相同條件的實(shí)驗(yàn)至少重復(fù)三次。

1.2 去噪與相空間重構(gòu)

本文采用去趨勢(shì)變分模態(tài)分解法（VMD-DFA）對(duì)電流密度時(shí)間序列去噪[18-19]，具體思路是用變分模態(tài)法將原始時(shí)間序列分解為若干子序列， 求各個(gè)子序列對(duì)應(yīng)的去噪因子αi， 當(dāng)αi大于等于0.3 時(shí)保留該序列[20]，將保留的序列疊加得到去噪信號(hào)。該降噪方法具有較小的端點(diǎn)效應(yīng)和良好的去噪魯棒性，能夠提升強(qiáng)非線性和高復(fù)雜時(shí)間序列的平穩(wěn)性。

去噪后電流密度時(shí)間序列進(jìn)行相空間重構(gòu)[21]，電流密度時(shí)間序列為{j（t），t=1，2，3，…，n}，重構(gòu)得到的空間序列為：

式中：Ji為第i個(gè)相點(diǎn)，i=1，2，3…，N；τ 為延遲時(shí)間參數(shù)；m為嵌入維數(shù)；N為相點(diǎn)數(shù)，N=n-（m-1）τ。

分別采用互信息法[22]和假近鄰算法[23]確定式中的τ 和m， 從相空間重構(gòu)的三維空間選擇合適的平面繪制龐加萊截面， 截面的散點(diǎn)圖反映電流密度時(shí)間序列在相空間的線性或非線性變化趨勢(shì)以及分布態(tài)勢(shì)[24]。

1.3 龐加萊截面及量化表征

龐加萊截面即龐加萊散點(diǎn)圖， 通過降低非線性系統(tǒng)的維度簡(jiǎn)化系統(tǒng)， 揭示了非線性系統(tǒng)的演變規(guī)律[27]。當(dāng)系統(tǒng)的龐加萊截面僅存在一個(gè)孤立點(diǎn)時(shí)，表示該系統(tǒng)呈現(xiàn)周期特征；當(dāng)截面上分布N個(gè)孤立點(diǎn)時(shí)，表示該系統(tǒng)呈現(xiàn)周期N特征；當(dāng)截面呈現(xiàn)一個(gè)閉合曲線，則說明該系統(tǒng)具有擬周期特征；當(dāng)截面呈現(xiàn)出分散堆積的大量散點(diǎn)或者復(fù)雜的云狀圖形時(shí)，說明該系統(tǒng)為混沌系統(tǒng)[28]。

目前繪制龐加萊截面的常用方法是調(diào)整系統(tǒng)方程，通過計(jì)算方程的軌線和線面交點(diǎn)，將交點(diǎn)繪制成龐加萊截面。 電化學(xué)溶解實(shí)驗(yàn)采集到的電流密度時(shí)間序列是一維數(shù)據(jù)， 故本文提出針對(duì)電流密度時(shí)間序列的空間向量法并繪制其龐加萊截面。 通過定義一個(gè)合適的平面， 使相空間重構(gòu)吸引子的軌跡線最大程度穿過該平面， 計(jì)算其順時(shí)針或者逆時(shí)針穿過平面的交點(diǎn)， 由于TiAl 合金電解加工數(shù)據(jù)龐大，其重構(gòu)后的數(shù)據(jù)點(diǎn)在空間中緊密相關(guān)且有序排列，所以空間兩點(diǎn)之間的連接可用直線代替曲線擬合，即只需要記算出空間相鄰兩點(diǎn)所形成的直線與平面的所有交點(diǎn)。

對(duì)圖1 的幾何模型分析， 假設(shè)P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）為溶解電流密度時(shí)間序列中的兩相鄰點(diǎn)，給定平面α 為ax+by+cz+d=0 （平面方程為x=y），n==（a，b，c）為該平面的法向量，連接P1、P2所形成的直線與平面α 的交點(diǎn)設(shè)為點(diǎn)P，點(diǎn)P和點(diǎn)P2在法向量上的投影分別設(shè)為點(diǎn)D和點(diǎn)D2，可得下式：

圖1 直線與平面空間幾何模型

其中，P1到平面的距離為：

P2到平面的距離即其在法向量上的投影為：

P1到D2距離為：

通過計(jì)算可得式（1）中n和向量OP：

通過向量OP的坐標(biāo)P（x，y，z）類推，計(jì)算所有相鄰兩點(diǎn)形成的直線與平面的交點(diǎn)，得到一個(gè)與原始數(shù)據(jù)排列順序一致的交點(diǎn)集。 當(dāng)交點(diǎn)在原始數(shù)據(jù)相鄰兩點(diǎn)之間，且平面穿過兩點(diǎn)形成的線段，則記錄此點(diǎn)，最后將記錄的交點(diǎn)繪制成散點(diǎn)圖，即為所求的龐加萊截面。

為證明本文所提方法的正確性，用頻閃法和本文方法分別繪制出經(jīng)典杜芬方程（式8）的龐加萊截面（圖2），默認(rèn)ω=1、γ=1，調(diào)整參數(shù)δ=1.15，系統(tǒng)做擬周期運(yùn)動(dòng)。 由圖中可看出，兩種方法繪制的截面圖完全相同，證明了本文所提出的空間向量法的可行性。

圖2 杜芬方程龐加萊截面

1.4 差分龐加萊截面及量化表征

傳統(tǒng)龐加萊截面能夠定性分析電流密度時(shí)間序列的演變形態(tài)， 但無法更直觀地反映電流密度的局部波動(dòng)程度。 差分龐加萊截面通過去除時(shí)間序列的整體變化趨勢(shì)而突出局部變化率[27]，即通過去趨勢(shì)化作用直觀表達(dá)出時(shí)間序列的局部波動(dòng)程度。 設(shè)電流密度時(shí)間序列為j（t），其一階差分序列為△j（t），以（△ji，△ji+1）為坐標(biāo)繪制差分龐加萊截面。

本文采用分布熵量化表征差分龐加萊截面，可以分析不同象限、 不同半徑區(qū)域內(nèi)的差分龐加萊截面散點(diǎn)的分布聚集程度， 其值越大說明散點(diǎn)分布越均勻，反之說明散點(diǎn)趨近于集中在某些子區(qū)域[17]。分布熵計(jì)算以原點(diǎn)為中心作N個(gè)同心圓，rmax為最大同心圓的半徑，第k個(gè)圓的半徑為rk：

計(jì)算任意環(huán)形子區(qū)域或不同象限的扇形子區(qū)域的散點(diǎn)占總區(qū)域散點(diǎn)數(shù)的比例pi， 根據(jù)信息熵的定義計(jì)算差分龐加萊散點(diǎn)圖的分布熵ED：

2 結(jié)果與分析

2.1 電流密度曲線

圖3 是在不同電解液壓力下TiAl 合金的電流密度時(shí)間序列曲線。在溶解初期，各條件電流密度的整體波動(dòng)比較大，隨著時(shí)間延長(zhǎng)波動(dòng)逐漸平穩(wěn)，最終電流密度依次為0.4、0.2、0.5、0.3 MPa。 隨著電解液壓力增加， 電流密度曲線的局部波動(dòng)逐漸變小，在0.4 MPa 和0.5 MPa 下局部波動(dòng)基本相同。從電流密度曲線的整體與局部波動(dòng)可知，TiAl 合金溶解經(jīng)歷了非均勻溶解逐漸轉(zhuǎn)變到均勻溶解的過程， 隨著電解壓力增加溶解越來越平穩(wěn)。

圖3 不同電解液壓力TiAl 合金的電流密度時(shí)間序列

2.2 相空間重構(gòu)分析

圖4 是選取電解液壓力為0.4 MPa，在40～41 s時(shí)間范圍的原始時(shí)間序列與用VMD-DFA 方法去噪后的時(shí)間序列。 對(duì)比去噪前、后信號(hào)可知，去噪信號(hào)基本保留了原始信號(hào)的波動(dòng)形態(tài)，僅刪除了大量隨機(jī)信號(hào)，證明了本文去噪方法的可行性。

圖4 0.4 MPa 在40～41 s 區(qū)間的原始信號(hào)與去噪信號(hào)

以{j（t），t=1，2，3，…，n}表示電流密度時(shí)間序列，重構(gòu)序列則為Ji={j（i），j（i+τ），j（i+2τ），…，j[i+（m-2）τ]，j[i+（m-1）τ]}，通過計(jì)算時(shí)延和嵌入維數(shù)計(jì)算0.2～0.5 MPa 時(shí)延τ=10/5/5/5， 嵌入維數(shù)m=10/8/8/7。 以{j[i+（m-2）τ]，j[i+（m-1）τ]}為坐標(biāo)繪制二維相空間重構(gòu)圖，不同電解液壓力下的相空間重構(gòu)圖如圖5 所示，箭頭表示軌跡線運(yùn)動(dòng)方向。 由圖可見，四種條件下的吸引子軌跡均對(duì)稱分布在45°對(duì)角線上且具有復(fù)雜的拉伸、折疊和伸縮結(jié)構(gòu)，在對(duì)角線方向的長(zhǎng)度和具體結(jié)構(gòu)均受電解壓力的影響。 當(dāng)電解壓力為0.2 MPa 時(shí)，吸引子軌跡呈棒球狀，且隨著溶解時(shí)間延長(zhǎng)垂直對(duì)角線方向的寬度逐漸變大；當(dāng)電解壓力為0.3 MPa 時(shí)，吸引子軌跡呈粗桿狀，垂直對(duì)角線的方向變粗而對(duì)角線方向的長(zhǎng)度在四個(gè)電解壓力下最短；當(dāng)電解壓力為0.4 MPa 時(shí)，吸引子軌跡呈細(xì)桿狀，對(duì)角線方向的長(zhǎng)度變長(zhǎng)而垂直對(duì)角線的方向變細(xì)；當(dāng)電解壓力為0.5 MPa 時(shí)，吸引子軌跡在對(duì)角線方向的長(zhǎng)度繼續(xù)變長(zhǎng)而垂直對(duì)角線的方向未見明顯變化，但有少數(shù)竹節(jié)結(jié)構(gòu)。

圖5 不同電解液壓力下相空間重構(gòu)圖

2.3 龐加萊截面分析

2.3.1 局部典型特征分析

此處用空間平面x=y切割三個(gè)具有典型特征的10 s 電流密度時(shí)間序列的三維相空間重構(gòu)圖， 包括上升小局部波動(dòng)階段、上升大局部波動(dòng)階段、平穩(wěn)小局部波動(dòng)階段， 分別繪制龐加萊截面和差分龐加萊截面[28]如圖6 所示。以截面坐標(biāo)軸過原點(diǎn)的45°對(duì)角線為參照， 平行對(duì)角線的散點(diǎn)分布范圍定義為龐加萊截面的長(zhǎng)度， 垂直對(duì)角線的散點(diǎn)分布范圍定義為龐加萊截面的寬度。 如圖6a、圖6d 所示，上升小局部波動(dòng)和上升大局部波動(dòng)的電流密度整體波動(dòng)基本相同，但圖6d 的電流密度局部波動(dòng)更大，其對(duì)應(yīng)的龐加萊截面（圖6e）的散點(diǎn)分布更分散，對(duì)應(yīng)的差分龐加萊截面的散點(diǎn)（圖6f）主要分布在第二和第四象限；如圖6a、圖6g 所示，上升小局部波動(dòng)和平穩(wěn)小局部波動(dòng)的電流密度局部波動(dòng)程度相似，但圖6a的電流密度整體變化程度更大， 其對(duì)應(yīng)的龐加萊截面更長(zhǎng)（圖6b），兩者的差分龐加萊截面散點(diǎn)（圖6c和圖6i）均主要分布在第二象限。

圖6 局部典型特征分析圖

總結(jié)可知，當(dāng)電流密度整體波動(dòng)較大時(shí)，龐加萊截面長(zhǎng)度較長(zhǎng)， 合金從非均勻溶解過渡到均勻溶解過程較長(zhǎng)；當(dāng)電流密度整體和局部波動(dòng)均較小，龐加萊截面短且窄， 合金快速進(jìn)入均勻且穩(wěn)定的溶解過程，系統(tǒng)較平穩(wěn)；當(dāng)連續(xù)時(shí)間內(nèi)相鄰電流密度差值較大時(shí)，即局部波動(dòng)大，龐加萊截面寬度較寬，合金局部溶解劇烈，系統(tǒng)平穩(wěn)性較差。 而差分龐加萊截面主要反映了電流密度局部波動(dòng)大小，散點(diǎn)分布集中且趨近于第二象限時(shí)，表明電流密度局部波動(dòng)小，合金均勻溶解，系統(tǒng)更穩(wěn)定。

2.3.2 整體特征分析

由不同階段電流密度時(shí)間序列的龐加萊截面和差分龐加萊截面的特征和規(guī)律延伸至對(duì)全時(shí)段電流密度時(shí)間序列分析，如圖7 所示。 由圖可見，不同電解液壓力下電流密度時(shí)間序列的龐加萊截面均呈現(xiàn)大量分散堆積的散點(diǎn)，證明了TiAl 合金流動(dòng)溶解系統(tǒng)是一個(gè)典型的非線性非平穩(wěn)的混沌系統(tǒng)[29]，且龐加萊截面的散點(diǎn)分布和相空間重構(gòu)圖的吸引子軌跡形狀相似，但截面散點(diǎn)能夠更清晰地反映出系統(tǒng)的形態(tài)特征和部分演變規(guī)律[30]。當(dāng)電解壓力為0.2 MPa時(shí)，龐加萊截面散點(diǎn)分布經(jīng)歷了從稀疏到集中過程，說明合金在溶解初期局部波動(dòng)較小， 隨著溶解時(shí)間延長(zhǎng)局部波動(dòng)變大后又逐漸變小再變大， 也說明該條件的電化學(xué)系統(tǒng)經(jīng)歷了發(fā)散到逐漸收斂的過程，也反映出合金在溶解過程中經(jīng)歷了由非均勻溶解緩慢過渡到均勻溶解的過程； 當(dāng)電解壓力為0.3 MPa時(shí)，龐加萊截面的長(zhǎng)度變小而寬度變大，說明電流密度的整體波動(dòng)變小、局部波動(dòng)變大，合金快速進(jìn)入均勻但不穩(wěn)定的溶解過程；當(dāng)電解壓力為0.4 MPa 時(shí)，龐加萊截面的長(zhǎng)度變大而寬度變小， 說明電流密度的整體波動(dòng)又變大而局部波動(dòng)變小， 合金快速進(jìn)入均勻且穩(wěn)定的溶解過程；當(dāng)電解壓力為0.5 MPa 時(shí)，龐加萊截面的長(zhǎng)度繼續(xù)變大而寬度未見明顯變化，但有少數(shù)明顯的散點(diǎn)凹陷現(xiàn)象，說明電流密度的整體波動(dòng)進(jìn)一步變大而局部波動(dòng)基本不變，合金快速進(jìn)入整體均勻而少數(shù)局部不穩(wěn)定的溶解過程。

圖7 不同電解液壓力下的龐加萊截面

由于龐加萊截面寬度變化幅度并不明顯，故采用差分龐加萊截面判斷不同電解液壓力下的電流密度變化速率。 圖8 是在不同電解液壓力下的差分龐加萊截面，在截面中的散點(diǎn)均主要分布在第二象限，隨著電解液壓力變大， 截面在0.3 MPa 時(shí)散點(diǎn)分布最均勻且分布區(qū)域最大， 在0.4 MPa 時(shí)散點(diǎn)分布最集中且分布區(qū)域最小。

圖8 不同電解液壓力下的差分龐加萊截面

表1 是通過計(jì)算截面整體及第二象限散點(diǎn)的分布熵對(duì)系統(tǒng)做定量分析， 可見電解壓力為0.3 MPa時(shí)，全局和第二象限的散點(diǎn)分布熵均最大，說明此時(shí)差分龐加萊截面的散點(diǎn)分布最為均勻， 即電流密度變化速度最快、局部波動(dòng)最大，系統(tǒng)穩(wěn)定性差；而電解壓力為0.4 MPa 時(shí)， 全局和第二象限的散點(diǎn)分布熵均最小，散點(diǎn)分布最集中，即電流密度變化速度最慢，合金溶解程度更為平緩，系統(tǒng)穩(wěn)定性更好。 對(duì)不同壓強(qiáng)下電流密度時(shí)間序列的定性和定量分析表明，雖然在0.3 MPa 電解壓力下，電流密度整體變化程度不大， 但其較大的分布熵表示在局部溶解上反應(yīng)過于劇烈，而在0.4 MPa 電解壓力下，樣品的整體變化程度和電流密度幅值波動(dòng)起伏較小， 合金整體和局部的溶解平緩且均勻， 表明0.4 MPa 的電解壓力更適合流動(dòng)溶解實(shí)驗(yàn)，此時(shí)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定。

表1 不同電解液壓力下差分龐加萊截面的分布熵

3 結(jié)論

本文提出了空間向量法繪制龐加萊截面， 結(jié)合差分龐加萊截面和分布熵分析電解液壓力對(duì)Ti-48Al-2Cr-2Nb 合金高電位電化學(xué)溶解系統(tǒng)的穩(wěn)定性及影響規(guī)律，得出以下結(jié)論：

（1）TiAl 合金高電位溶解的電流密度時(shí)間序列的龐加萊散點(diǎn)分布在45°對(duì)角線上， 其長(zhǎng)度和寬度分別與電流密度的整體波動(dòng)和局部波動(dòng)密切相關(guān)。

（2） 電流密度時(shí)間序列的龐加萊截面能夠一定程度反映出合金溶解過程的動(dòng)力學(xué)行為規(guī)律， 截面的形狀大小隨著電解液壓力的增加而發(fā)生改變，截面的長(zhǎng)寬與電流密度整體和局部波動(dòng)變化成正比。

（3） 電流密度時(shí)間序列的差分龐加萊截面能夠更直觀反映合金局部溶解的劇烈程度， 該截面的分布熵與電流密度局部變化成反比。