劉毅 易旺民 姚建濤 王興達(dá) 余鵬 趙永生

摘要 ：針對(duì)艙體類狹長空間內(nèi)部待安裝設(shè)備種類多、批量大、載荷重、空間余量微小、裝配路徑復(fù)雜、裝配風(fēng)險(xiǎn)高等問題，設(shè)計(jì)了一種重載調(diào)姿裝配機(jī)器人。在機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)研究的基礎(chǔ)上，建立了誤差模型，并以最小包圍球半徑為約束條件，通過遺傳算法將誤差參數(shù)的辨識(shí)結(jié)果補(bǔ)償?shù)綑C(jī)器人控制系統(tǒng)。以機(jī)柜裝配為例，針對(duì)空間約束條件規(guī)劃工作路徑，基于動(dòng)力學(xué)約束能耗函數(shù)模型，以時(shí)間、沖擊和能耗為優(yōu)化目標(biāo)，得到多目標(biāo)最優(yōu)軌跡。樣機(jī)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了誤差參數(shù)辨識(shí)的有效性，減小了機(jī)器人的絕對(duì)定位誤差，且多目標(biāo)最優(yōu)軌跡的關(guān)節(jié)總沖擊小、運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)，實(shí)現(xiàn)了機(jī)柜類設(shè)備高效、平穩(wěn)、可靠的安裝。

關(guān)鍵詞 ：裝配機(jī)器人；運(yùn)動(dòng)學(xué)建模；多目標(biāo)優(yōu)化；誤差補(bǔ)償

中圖分類號(hào) ：TH69

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2024.02.017

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

Design and Research of Heavy-duty Posture-adjusting Assembly Robots in

Narrow Space

LIU Yi ?1，3 ?YI Wangmin 2 YAO Jiantao 1 WANG Xingda 1 YU Peng 1 ZHAO Yongshen 1

1.Laboratory of Parallel Robotics and Mechatronic Systems in Hebei Province，Yanshan University，

Qinhuangdao，Hebei，066004

2.Institute of General Assembly and Environmental Engineering，China Academy of Space

Technology，Beijing，100094

Abstract ： In response to the issues of a wide variety of equipment， large batches， heavy payloads， limited space， complex assembly paths， and high assembly risks inside the cabin， a heavy-duty positioning and assembly robot was designed. Based on the study of the robot kinematics， an error model was established. With the radius of minimum bounding sphere as the constraint condition， the ?identification ?results of error parameters by genetic algorithm were compensated into the robot control system. Taking cabinet assembly as an example， a working path was planned based on spatial constraint conditions. By a dynamic constraint energy consumption function model， multi-objective optimal trajectories were obtained with time， impact， and energy consumption as optimization objectives. Prototype testing verified the effectiveness of the error parameter identification， which reduces the absolute positioning errors of the robot. Moreover， the multi-objective optimal trajectory has a small total joint impact and smooth motion， achieving efficient， smooth， and reliable installation of cabinet-type equipment.

Key words ： assembly robot； kinematics modeling； multi-objective optimization； error compensation

0 引言

航天艙體內(nèi)部空間狹小，縱深空間大， 待安裝設(shè)備種類多、批量大、載荷重，裝配風(fēng)險(xiǎn)高，難以采用通用工裝設(shè)備對(duì)不同類型設(shè)備實(shí)現(xiàn)高效自動(dòng)化裝配 ?［1］ 。機(jī)器人型裝備具有自動(dòng)化程度高、運(yùn)動(dòng)靈活性好、定位精度高、生產(chǎn)布置可重構(gòu)等優(yōu)點(diǎn) ?［2-3］ ，已成為提高航空航天工業(yè)裝配自動(dòng)化水平的重要工具 ?［4］ ，是當(dāng)前機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

目前，國內(nèi)外先進(jìn)宇航企業(yè)的機(jī)器人裝配系統(tǒng)主要用于結(jié)構(gòu)板部裝、大型結(jié)構(gòu)裝配、推進(jìn)系統(tǒng)對(duì)接等場(chǎng)景。國內(nèi)的艙體內(nèi)儀器總裝任務(wù)主要采用人工操作，超重與超大儀器單元主要采用吊具安裝 ?［5］ 。孫剛等 ?［6］ 提出了基于六自由度并聯(lián)機(jī)器人和激光跟蹤儀的太陽翼數(shù)字化對(duì)接方法。高麗麗等 ?［7］ 將雙機(jī)器人自動(dòng)鉆鉚系統(tǒng)用于運(yùn)載火箭錐體殼段的壁板鉚接裝配。孟少華等 ?［8］ 基于機(jī)器人雙目視覺進(jìn)行路徑規(guī)劃，在狹小凹艙內(nèi)實(shí)現(xiàn)了大型部件的自主裝配。張嶠等 ?［9］ 利用仿人靈巧手與柔性機(jī)器人進(jìn)行面向航天裝備的在軌裝配和拆卸試驗(yàn)。邱鐵成等 ?［10］ 利用工業(yè)機(jī)器人和激光跟蹤儀搭建了衛(wèi)星艙板裝配系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了半自動(dòng)和自動(dòng)模式的艙板對(duì)接功能，并針對(duì)不同形式的大質(zhì)量航天器的裝配需求，提出了機(jī)械臂柔性力控輔助裝配方法 ?［11-13］ ，在機(jī)械臂末端安裝感知力和力矩的六維力傳感器，輔助完成大質(zhì)量航天器的裝配任務(wù)。日本宇宙航空研究所研制了用于貨運(yùn)飛船大型機(jī)柜的艙內(nèi)安裝機(jī)器人系統(tǒng) ?［14］ 。

ABB、FANUC、庫卡和安川等公司的各型工業(yè)機(jī)器人已實(shí)際用于航空裝配。布仁等 ?［15］ 利用配合六維力傳感器的重載工業(yè)機(jī)械臂，提出一種航天大部件的柔性力輔助裝配方法。王杰鵬等 ?［16］ 完成了由庫卡KR機(jī)械臂、ATI六維力傳感器、F/D力反饋操作儀等組成的機(jī)械臂精密交互裝配系統(tǒng)。劉仁偉等 ?［17］ 采用庫卡KR300型機(jī)械臂與大量程六維力傳感器構(gòu)建了機(jī)械臂輔助柔順裝配系統(tǒng)。TAO等 ?［18］ 研制了集成移動(dòng)平臺(tái)與機(jī)械臂的移動(dòng)加工機(jī)器人系統(tǒng)。ABB、庫卡、新松、史陶比爾、安川、FANUC、哈工大、愛普生、配天、中川、天行、新時(shí)達(dá)、川崎、輝科、沈陽一博、博信科技、銀光、華數(shù)工業(yè)、珞石科技、天拓智能和埃夫特等品牌的22款關(guān)節(jié)式和直角式機(jī)器人的負(fù)載為4～600 kg，自重為21.5～4575 kg。國內(nèi)外裝配機(jī)器人以關(guān)節(jié)式機(jī)器人為主，隨著機(jī)器人末端承載能力的增加，本體質(zhì)量也明顯增加。

綜上，針對(duì)艙體類狹長空間環(huán)境的多種部件裝配需求，工業(yè)機(jī)械臂具有更高的柔性和靈活性，但受限于有限的空間和較弱的結(jié)構(gòu)剛度，工業(yè)機(jī)器人在高精裝配任務(wù)中的負(fù)載能力受限，難以發(fā)揮出其靈巧性的優(yōu)勢(shì) ?［19］ 。目前尚未找到一種機(jī)器人能夠兼顧承載、自重、定位精度，并滿足航天器艙內(nèi)狹長工作空間的裝配調(diào)姿需求。

筆者提出一種基于PPRRPR構(gòu)型，用于艙內(nèi)狹長空間的輕量化、大負(fù)載、大工作空間的六自由度重載調(diào)姿裝配機(jī)器人系統(tǒng)，以解決艙段類產(chǎn)品總裝流程復(fù)雜、工作量大、安全性要求高的問題。筆者在運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)上建立機(jī)器人誤差模型，基于遺傳算法進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，針對(duì)通道布局狹窄、空間余量微小、裝配路徑復(fù)雜、待裝儀器設(shè)備種類多、載荷重、防碰難度大的裝配工況，結(jié)合艙內(nèi)設(shè)備總裝要求，開展裝配機(jī)器人運(yùn)動(dòng)分析及多目標(biāo)最優(yōu)軌跡規(guī)劃研究。以機(jī)柜裝配為例，通過基于動(dòng)力學(xué)約束的能耗函數(shù)模型多目標(biāo)軌跡優(yōu)化得到最優(yōu)軌跡。搭建了樣機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，將應(yīng)用遺傳算法進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)的結(jié)果補(bǔ)償?shù)綑C(jī)器人控制系統(tǒng)，并對(duì)補(bǔ)償效果進(jìn)行評(píng)價(jià)。模擬裝配實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了軌跡規(guī)劃的合理性。

1 狹長空間內(nèi)機(jī)器人的裝配系統(tǒng)設(shè)計(jì)

為研發(fā)適用于艙內(nèi)狹長空間（圖1）的重載裝配機(jī)器人系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了適用于該系統(tǒng)的重載裝配機(jī)器人。

如圖2所示，機(jī)器人裝配系統(tǒng)包括機(jī)器人本 體、機(jī)器人艙內(nèi)折疊導(dǎo)軌、艙外移動(dòng)導(dǎo)軌、設(shè)備對(duì)接轉(zhuǎn)移平臺(tái)。機(jī)器人在艙外導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)至對(duì)接位置后，由對(duì)接平臺(tái)將待安裝設(shè)備轉(zhuǎn)移至機(jī)器人。機(jī)器人與安裝設(shè)備組合后，沿折疊導(dǎo)軌進(jìn)入艙內(nèi)，完成調(diào)姿裝配。

機(jī)器人在定位調(diào)姿過程中，遵循先宏觀后微觀的原則，將機(jī)器人的6個(gè)自由度按照運(yùn)動(dòng)范圍從大到小的原則進(jìn)行排列，將移動(dòng)關(guān)節(jié)和旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)進(jìn)行綜合后得到的排列順序?yàn)镻 ?z -P ?y -R ?x -R ?z -P ?x -R ?y ，其中，P表示移動(dòng)關(guān)節(jié)，R表示轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)。如圖3所示，機(jī)器人結(jié)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)末端待安裝設(shè)備6個(gè)自由度的調(diào)姿。移動(dòng)機(jī)構(gòu)由伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)滾珠絲桿提供動(dòng)力，第一、第三轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)由伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)的轉(zhuǎn)臺(tái)軸承提供動(dòng)力，第二轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)可化簡為偏置曲柄滑塊機(jī)構(gòu)。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的分析與誤差補(bǔ)償 模型

建立機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型，采用牛頓迭代法求解帶有預(yù)設(shè)參數(shù)偏差的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解。將最小包圍球作為約束條件辨識(shí)誤差參考，并將辨識(shí)結(jié)果用于修正機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型 ?［20］ 。

2.1 裝配機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析與動(dòng)力學(xué)分析

建立圖4所示的D-H連桿坐標(biāo)系，各連桿的D-H參數(shù)如表1所示。

機(jī)器人位置正解為

0 6 T = ?n x o x a x p x n y o y a y p y n z o z a z p z 0 0 0 1 ???（1）

n x=c 4s 6 ?n y=c 3c 6－s 3s 4s 6

n z=c 6s 3+c 3s 4s 6 ?o x=c 4c 6

o y=－c 3s 6－c 6s 3s 4 ?o z=c 3c 6s 4－s 3s 6

a x=s 4 ?a y=c 4s 3 ?a z=－c 3c 4

p x=a 1+d 3－d 5c 4+a 4s 4+d 6s 4

p y=a 3s 3－d 2+a 4c 4s 3+d 6c 4s 3+d 5s 3s 4

p z=d 1－a 3c 3－a 4c 3c 4－d 6c 3c 4－d 5c 3s 4

c j= sin ?θ j ?s j= sin ?θ j ?j=3，4，6

采用反變換法求解裝配機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，求得六自由度裝配機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解為

θ 4= arcsin ?a x

θ 3= arctan ?2（a y，－a z）

θ 6= arctan ?2（n x，o x）

d 5= a 1+d 3+a 4s 4+d 6s 4－p x c 4

d 1=p z+a 3c 3+a 4c 3c 4+d 6c 3c 4+d 5c 3s 4

d 2=a 3s 3+a 4c 4s 3+d 6c 4s 3+d 5s 3s 4－p y ??（2）

如圖5所示，第二轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)為曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，由幾何關(guān)系可得Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)單元轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ 4與移動(dòng)滑臺(tái)移動(dòng)量p之間的關(guān)系：

θ 4= arcsin ?p 2+l 2 3+l 2 4－l 2 1+e 2 2 （p 2+e 2）（l 2 3+l 2 4） ?+

arctan ?e p + arctan ?l 3 l 4 ??（3）

由蒙特卡羅法得到裝配機(jī)器人的可達(dá)工作空間大于700 ?mm ×2000 ?mm ×9000 ?mm ，對(duì)應(yīng)的工作空間點(diǎn)云如圖6所示。

由牛頓 歐拉法遞推得到的機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型為

Input ： j p ??j+1 為連桿坐標(biāo)系{j+1}的原點(diǎn)在坐標(biāo)系{j}中的位置； c ?i為連桿質(zhì)心在其坐標(biāo)系的位置；m i為連桿i的質(zhì)量； I ?i為連桿i的慣性張量（以上的機(jī)器人連桿物理參數(shù)由模型測(cè)量得出）。

Output ：機(jī)器人各連桿與關(guān)節(jié)的速度、加速度、力、力矩。

正向遞推算法：

for ?i=1∶6

j+1 ?w ??i+1 = ???j+1 ????i ?R ?j w ?i+ θ ?· ??i+1 ??j+1 ?z ??i+1

j+1 ?w ?· ??i+1 = ???j+1 ????i ?R ?j w ?· ?i+ ??j+1 ????i ?R ?j w ?i× θ ?· ??i+1 ??j+1 ?z ??i+1 +

θ ??¨ ??i+1 ??j+1 ?z ??i+1

j+1

v ?· ???c ，i+1 = ???j+1 ?v ?· ??i+1 + ??j+1 ?w ?· ??i+1 × ??j+1 ?r ???c ，i+1 + ??j+1 ?w ??i+1 ×（ ?j+1 ?w ??i+1 × ??j+1 ?r ???c ，i+1 ）

j+1 ?v ?· ??i+1 = ???j+1 ???i ?R ?j v ?· ?i+ ???j+1 ????i ?R ?j w ?i× j p ??i+1 + ???j+1 ????i ?R ?j w ?i×（ j w ?i×

j p ??i+1 ）+ d ??¨ ??i+1 ??j+1 ?z ??i+1 +2 ?j+1 ?w ??i+1 × d ?· ??i+1 ??j+1 ?z ??i+1

End

Return

逆向遞推算法：

for ?i=6∶-1∶2

j+1 ?F ???c ，i+1 = M ??i+1 ??j+1 ?v ?· ???c ，i+1

j+1 ?N ???c ，i+1 = ???j+1 ?I ???c， i+1 ??j+1 ?w ?· ??i+1 + ??j+1 ?w ??i+1 ×（ ??c ，j+1 ?I ???i+1 ???j+1 ?w ??i+1 ）

j F ?i= ????i ???i+1 ?R ??j +1 ??F ??i+1 + ?i F ???c ，i

j N ?i= ????i ??i+1 ?R ??j+1 ?N ??i+1 + ?j N ???c ，i + ?j r ???c ，i × ?j F ???c ，i + ?j p ??i+1 ×

i ???i+1 ?R ??j+1 ?F ??i+1

End

Return

其中， θ ?· ??i+1 、 θ ??¨ ??i+1 分別為關(guān)節(jié)i+1相對(duì)于坐標(biāo)系{j+ 1}的角速度和角加速度； j w ?i、 j w ?· ?i分別為連桿i相對(duì)于坐標(biāo)系{j}的角速度和角加速度； ?j+1 ?v ?· ???c ，i+1 、 ?j+1 ?v ?· ??i+1 分別為連桿i+1的質(zhì)心和原點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)系{j+1}的加速度； d ?· ??i+1 、 d ??¨ ??i+1 分別為關(guān)節(jié)i+1相對(duì)于坐標(biāo)系{j+1}的速度和加速度； ?j+1 ?F ???c ，i+1 、 ?j+1 ?N ???c ，i+1 分別為連桿i+1相對(duì)于質(zhì)心坐標(biāo)系{j+1}的作用力和作用力矩； j F ?i、 j N ?i分別為機(jī)器人關(guān)節(jié)i處相對(duì)于坐標(biāo)系{j}作用力和作用力矩。

2.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型

含偏差 D-H 參數(shù)如表2所示。

轉(zhuǎn)動(dòng)角θ 4的偏差主要來自偏置曲柄滑塊的幾何參數(shù)偏差，含偏差曲柄滑塊幾何尺寸參數(shù)如下：l 1=600+ Δ l 1，l 3=50+ Δ l 3，l 4=400+ Δ l 4，e=37+ Δ e，p 1= p+ Δ p。

在考慮關(guān)節(jié)偏差情況下，連桿變換矩陣為

i－1 ????i ?T ??e = R （z， ?i） T （z， ?i） T （x，a - ??i－1 ） R （x，α - ??i－1 ） ?（4）

i=θ i+ Δ θ i ???i=d i+ Δ d i

a - ??i－1 =a ?i－1 + Δ a ?i－1 ??α - ??i－1 =α ?i－1 + Δ α ?i－1

在考慮偏差的情況下，θ 4可表示為

θ 4= arcsin ?（p - ） 2+（ ?3） 2+（ ?4） 2－（ ?1） 2+（e - ） 2 2 （（p - ） 2+（e - ） 2）（（ ?3） 2+（ ?4） 2） ?+

arctan ?e - ?p - ?+ arctan ???3 ??4 ??（5）

1=l 1+ Δ l 1 ???3=l 3+ Δ l 3 ???4=l 4+ Δ l 4

e - =e+ Δ e ?p - =p 1+ Δ p

為方便確定誤差模型中有關(guān)的幾何尺寸，在錐尖建立標(biāo)定錐坐標(biāo)系，如圖7所示。

標(biāo)定錐坐標(biāo)系和Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)單元坐標(biāo)系之間的位姿變換矩陣為

6 ??E ?T = ?1 0 0 p x 0 1 0 p y 0 0 1 p z 0 0 0 1 ???（6）

在考慮關(guān)節(jié)偏差的情況下，標(biāo)定錐相對(duì)于基坐標(biāo)系的齊次變換矩陣為

0 ??E ?T ??e = ??0 ?1 T ??e ??1 ?2 T ??e ??2 ?3 T ??e ??3 ?4 T ??e ??4 ?5 T ??e ??5 ?6 T ??e ??6 ??E ?T ??（7）

式（7）即為機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型，待辨識(shí)的 D-H 偏差參數(shù)為

Δ =（ Δ θ 1， Δ θ 2，…， Δ θ 6， Δ α 0， Δ α 1，…， Δ α 5， Δ a 0， Δ a 1，…，

Δ a 5， Δ d 1， Δ d 2，…， Δ d 6， Δ l 1， Δ l 3， Δ l 4， Δ e， Δ p） ?T ??（8）

2.3 誤差參數(shù)辨識(shí)與補(bǔ)償

工作空間內(nèi)，選取靶標(biāo)錐尖點(diǎn)相對(duì)于基坐標(biāo)系位置 ?0 ??T ?P =（728.292 ?mm ，392.723 ?mm ，2000 ?mm ） ?T 。預(yù)設(shè)16組不含偏差的預(yù)設(shè)目標(biāo)位置姿態(tài)齊次變換矩陣 ?0 ??E ?T ????temp ???i，使每組齊次變換矩陣中相對(duì)于基坐標(biāo)系位置為 ?0 ??T ?P 。采用預(yù)設(shè) D-H參數(shù)偏差的方式求解運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)變量值。預(yù)設(shè)D-H參數(shù)偏差見表3。

偏置曲柄滑塊幾何參數(shù)理論值與預(yù)設(shè)定偏差值：l 1=600 ?mm ， Δ l 1=1 ?mm ，l 3=50 ?mm ?， Δ l 3= 1 ?mm ，l 4=400 ?mm ?， Δ l 4=1 ?mm ，e=37 ?mm ， ?Δ e=1 ?mm ， Δ p=0。

將預(yù)設(shè)偏差值代入式（7），得到只含有d 1、d 2、θ 3、p 1、d 5、θ 6的齊次變換矩陣 ?0 ??E ?T ??e ?i，令

0 ??E ?T ??e ?i－ ??0 ??E ?T ????temp ???i=0 ?i=1，2，…，16 ?（9）

由于式（9）中有包括 6個(gè)未知量，求解方程組中方程數(shù)量多于未知量數(shù)量，出現(xiàn)超靜定問題，方程組得不到精確解，在此采用牛頓迭代法求解近似解，設(shè)定收斂判斷值為0.0001，結(jié)果如表4 所示。

將16個(gè)標(biāo)定錐錐尖點(diǎn)坐標(biāo)位置點(diǎn)定義為空間點(diǎn)集P，使點(diǎn)集P所有點(diǎn)在半徑R最小的空間球體中，得到包圍球半徑R和誤差參數(shù) Δ 之間的函數(shù)關(guān)系式

R=f（ Δ ） ?（10）

式（10）作為遺傳算法適應(yīng)度函數(shù)，利用遺傳算法辨識(shí)誤差參數(shù)，得到適應(yīng)度函數(shù)最小值 0.2028， 即最小包圍球半徑約為0.2028 ?mm 。辨識(shí)結(jié)果如表5所示。

曲柄滑塊幾何尺寸誤差辨識(shí)結(jié)果為： Δ l 1= 0.986 ?mm ， ?Δ l 3=0.842 ?mm ， Δ l 4=-1.059 ?mm ， Δ e=0.879 ?mm ， Δ p=0.025 ?mm 。

如圖8所示，辨識(shí)得到的結(jié)果和預(yù)設(shè)定的偏差值基本上一致，圖中，參數(shù)序號(hào)1～29對(duì)應(yīng)的辨識(shí)參數(shù)為 Δ θ 1、 Δ θ 2、 Δ θ 3、 ?Δ l 1、 Δ l 3、 Δ l 4、 Δ p、 Δ e、? Δ θ 4、 Δ θ 5、 Δ θ 6、 Δ α 0、 Δ α 1、 Δ α 2、 Δ α 3、 ?Δ α 4、 Δ α 5、 Δ a 0、

Δ a 1、 Δ a 2、 Δ a 3、 Δ a 4、 Δ a 5、 Δ d 1、 Δ d 2、 Δ d 3、 Δ d 4、 ?Δ d 5、 Δ d 6。

根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型得到真實(shí)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，將表4、表5中的關(guān)節(jié)變量分別代入理論模型 ?0 ??E ?T 和真實(shí)模型 ?0 ??E ?T ??e ，得到補(bǔ)償前后標(biāo)定錐錐尖點(diǎn)組成的空間點(diǎn)集P 1和P 2，靶標(biāo)錐錐尖點(diǎn)分別與點(diǎn)集P 1、P 2 組合形成的空間點(diǎn)集P′ ?1和P′ ?2，然后求解P′ ?2和P′ ?2的最小包圍球半徑。如圖9所示，補(bǔ)償前的最小包圍球半徑為21.567 ?mm ，補(bǔ)償后的最小包圍求半徑為0.695 ?mm ，機(jī)器人絕對(duì)定位精度明顯提高。

3 裝配機(jī)器人軌跡規(guī)劃與多目標(biāo)優(yōu)化

3.1 機(jī)器人艙內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃

以柜體安裝定位為例，為保證機(jī)器人和待安裝設(shè)備在艙內(nèi)轉(zhuǎn)運(yùn)時(shí)與艙內(nèi)部結(jié)構(gòu)保持安全距離，因此降低整體重心。待安裝設(shè)備在艙內(nèi)轉(zhuǎn)運(yùn)過程中先水平放置， 運(yùn)動(dòng)至指定位置后，再由水平位置翻轉(zhuǎn)至豎直位置進(jìn)行安裝，設(shè)備運(yùn)動(dòng)路徑如圖10所示。

依據(jù)碰撞安全余量大、路徑短原則，確定裝配機(jī)器人末端執(zhí)行器所要經(jīng)過的路徑點(diǎn)序列，如表6所示。

由運(yùn)動(dòng)學(xué)反解得到裝配機(jī)器人各關(guān)節(jié)位置序列（表7），機(jī)器人艙內(nèi)安裝路徑如圖11所示。

使用樣條函數(shù)曲線插值法與五次非均勻 B 樣條插值法對(duì)裝配機(jī)器人進(jìn)行軌跡規(guī)劃研究與仿真。設(shè)定六自由度裝配機(jī)器人各關(guān)節(jié)通過艙內(nèi)位置節(jié)點(diǎn)序列的時(shí)間序列 t =（0，2.5，6.0，12.5， 16.5， 21.0，25.0，28.0） s 。

設(shè)定各關(guān)節(jié)初始時(shí)刻與終止時(shí)刻的速度與加速度為0。結(jié)合表6中數(shù)據(jù)，將五次非均勻B樣條曲線的型值點(diǎn)序列輸入五次非均勻B樣條插值算法，得到裝配機(jī)器人各關(guān)節(jié)的軌跡規(guī)劃結(jié)果。

3.2 機(jī)器人艙內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡多目標(biāo)優(yōu)化

以五次非均勻B樣條插值為基礎(chǔ)，利用NSGA-Ⅱ算法 ?［21］ 建立多目標(biāo)軌跡優(yōu)化模型，以時(shí)間、沖擊、能耗為優(yōu)化目標(biāo)，綜合考慮運(yùn)動(dòng)學(xué)約束和動(dòng)力學(xué)約束。

時(shí)間目標(biāo)函數(shù)即機(jī)器人運(yùn)行軌跡總時(shí)間為

f 1=T=∑ n－1 i=0 （t ?i+1 －t i）=∑ n－1 i=0 ?Δ t i ?（11）

式中，T為軌跡運(yùn)動(dòng)總時(shí)間。

沖擊目標(biāo)函數(shù)為平均加加速度：

f 2=∑ 6 m=1 ??1 T ∫ T 0j 2 m d t ??（12）

式中，j m為任意時(shí)刻關(guān)節(jié)m的加加速度。

能耗目標(biāo)函數(shù)為

f 3=E=∑ 6 m=1 ??1 T ∫ T 0（θ mτ m） 2 d t ??（13）

式中，θ m為任意時(shí)刻第m關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)變量值；τ m為任意時(shí)刻關(guān)節(jié)m的力（移動(dòng)關(guān)節(jié)）或力矩（轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)）。

通過NSGA-Ⅱ優(yōu)化算法獲得的Pareto最優(yōu)解集合包含多個(gè)最優(yōu)解。為對(duì)這些解進(jìn)行評(píng)估和排序，我們可以建立對(duì)應(yīng)于3個(gè)目標(biāo)函數(shù)的適應(yīng)度函數(shù)：

f 1=T f 2=J f 3=W ??（14）

運(yùn)動(dòng)學(xué)約束為

|v m（t）|≤v ?m， max

|a m（t）|≤a ?m， max

|j m（t）|≤j ?m， max

q ?m， min ?≤q≤q ?m， max ????（15）

式中，v ?m， max ?、a ?m， max ?、j ?m， max ?分別為裝配機(jī)器人關(guān)節(jié)m的最大速度、加速度和加加速度；q ?m， min ?、q ?m， max ?分別為關(guān)節(jié)m可以到達(dá)位置的最小值和最大值。

動(dòng)力學(xué)約束主要是指機(jī)器人在運(yùn)行過程中，對(duì)各關(guān)節(jié)力或力矩的最大值的限制，即

|τ m（t）|≤ τ ?m， max ???（16）

m=1，2，5時(shí)，τ ?m， max ?為第m關(guān)節(jié)的最大驅(qū)動(dòng)力； ?m=3， 4，6時(shí)，τ ?m， max ?為第m關(guān)節(jié)的最大驅(qū)動(dòng)力矩。

六自由度裝配機(jī)器人各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)約束如表8、表9所示。選用罰函數(shù)法處理非線性性約束。采用死亡懲罰法，在初始化過程中，淘汰掉不滿足約束條件的初始個(gè)體；同理，經(jīng)過遺傳操作產(chǎn)生的子代個(gè)體若不滿足約束條件也將被淘汰。處理非線性約束的罰函數(shù)為

F（x，ρ）=f（x）+ρh（x） ?（17）

個(gè)體x滿足約束條件時(shí)，罰因子ρ=0；個(gè)體x不滿足約束條件時(shí)，罰因子ρ=+∞。

設(shè)置NSGA-Ⅱ算法參數(shù)，優(yōu)化得到的Pareto 最優(yōu)前沿面如圖12所示。由圖12可知，3個(gè)目標(biāo)（時(shí)間、能耗、沖擊）相互制約，越靠近A點(diǎn)，機(jī)器人運(yùn)行時(shí)間越短，但能耗與沖擊指標(biāo)較差；越靠近B點(diǎn)，機(jī)器人關(guān)節(jié)沖擊越小，運(yùn)行時(shí)間長；越靠近C點(diǎn)，機(jī)器人能量消耗越低。從解集中選出5組最優(yōu)解，如表10所示。

為優(yōu)化機(jī)器人的時(shí)間、沖擊和能耗，先使用NSGA-Ⅱ算法進(jìn)行單目標(biāo)優(yōu)化，獲得3組最優(yōu)解，再將這些解與多目標(biāo)優(yōu)化的Pareto前沿面中的最優(yōu)時(shí)間、最優(yōu)沖擊和最優(yōu)能量進(jìn)行比較，結(jié)果如表11所示，其中， A 1、A 2、A 3分別為時(shí)間、沖擊和能耗的單目標(biāo)優(yōu)化解，A 4、A 5、A 6 分別為多目標(biāo)優(yōu)化解集中時(shí)間、沖擊和能耗的最優(yōu)解。

時(shí)間和沖擊的多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果略優(yōu)于單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果，能耗的多目標(biāo)優(yōu)化略優(yōu)于單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果。為與多目標(biāo)優(yōu)化軌跡進(jìn)行對(duì)比，時(shí)間最優(yōu)解A 1的各點(diǎn)時(shí)間間隔序列為

Δ ?t =（1.425，2.099，4.455，1.801，2.175，1.288，1.652）

將多目標(biāo)最優(yōu)軌跡對(duì)應(yīng)的機(jī)器人關(guān)節(jié)的位置 ?時(shí)間序列與對(duì)時(shí)間進(jìn)行單目標(biāo)優(yōu)化的機(jī)器人關(guān)節(jié)的位置 時(shí)間序列，分別用五次非均勻 B 樣條算法插值，得到裝配機(jī)器人關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)的2組數(shù)據(jù)。將驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)數(shù)據(jù)依次導(dǎo)入仿真模型得到機(jī)器人的多目標(biāo)最優(yōu)軌跡和時(shí)間最優(yōu)軌跡中，各關(guān)節(jié)的位移、驅(qū)動(dòng)力、驅(qū)動(dòng)力矩、速度、加速度、加加速度如圖13～圖16所示。

針對(duì)多目標(biāo)最優(yōu)軌跡與時(shí)間最優(yōu)軌跡，對(duì)裝配機(jī)器人關(guān)節(jié)的加加速度和角加加速度取絕對(duì)值并求和，得到移動(dòng)關(guān)節(jié)與轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的總沖擊曲線，如圖17所示。

裝配機(jī)器人關(guān)節(jié)功耗曲線能更直觀地展現(xiàn)多目標(biāo)最優(yōu)軌跡與時(shí)間最優(yōu)軌跡消耗的能量。裝配機(jī)器人移動(dòng)關(guān)節(jié)的功率與轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的功率為

W i=F iv i ??i=1，2，5

W j=M jω j j=3，4，6 ??（18）

式中，F(xiàn) i、v i分別為關(guān)節(jié)i（移動(dòng)關(guān)節(jié)）的驅(qū)動(dòng)力和速度；M j、ω j分別為關(guān)節(jié)j（轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)）的驅(qū)動(dòng)力矩和角速度。

對(duì)裝配機(jī)器人各關(guān)節(jié)的功率取絕對(duì)值并求和，得到機(jī)器人關(guān)節(jié)總功耗曲線，如圖18所示。

由圖13～圖16可知，裝配機(jī)器人各關(guān)節(jié)的位移、速度、加速度、加加速度、驅(qū)動(dòng)力和驅(qū)動(dòng)力矩均滿足設(shè)定的運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)約束條件，各關(guān)節(jié)及末端執(zhí)行器的運(yùn)行軌跡平滑，移動(dòng)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力和轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩變化平穩(wěn)。對(duì)比圖17可知，多目標(biāo)最優(yōu)軌跡關(guān)節(jié)的總沖擊比時(shí)間最優(yōu)軌跡的更小，運(yùn)動(dòng)更平穩(wěn)；多目標(biāo)最優(yōu)軌跡減小了安裝設(shè)備時(shí)的關(guān)節(jié)沖擊力，有利于提高設(shè)備總裝的安全性。由圖18可知，多目標(biāo)最優(yōu)軌跡各關(guān)節(jié)的總功耗比時(shí)間最優(yōu)軌跡的?。欢嗄繕?biāo)最優(yōu)軌跡減小了關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力、驅(qū)動(dòng)力矩的峰值，有利于提高裝配機(jī)器人安裝設(shè)備的可靠性。

4 實(shí)驗(yàn)

4.1 誤差修正實(shí)驗(yàn)

如圖19、圖20所示，控制機(jī)器人以不同姿態(tài) 對(duì)接兩錐尖30次，并采集30組關(guān)節(jié)數(shù)據(jù)。以最小包圍球?yàn)榧s束條件，應(yīng)用遺傳算法對(duì)誤差參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，將所得誤差修正值加入機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制程序，具體實(shí)驗(yàn)步驟如圖21所示。

應(yīng)用遺傳算法對(duì)誤差參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，將30個(gè)標(biāo)定錐的錐尖點(diǎn)放入球體內(nèi)，得到包圍球半徑R與誤差參數(shù)δ的函數(shù)關(guān)系式（遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)）。迭代1462次后得到的最優(yōu)解為0.3871，即最小包圍球半徑為0.3871 ?mm ，誤差參數(shù)如表12所示。曲柄滑塊幾何尺寸誤差辨識(shí)結(jié)果為： ?Δ l 1=0.9280 ?mm ， Δ l 3=0.8536 ?mm ， Δ l 4=-0.6956 ??mm ， Δ e=0.3111 ?mm ， Δ p=-0.3217 ?mm 。

將誤差參數(shù)辨識(shí)結(jié)果代入運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型，并在機(jī)器人控制系統(tǒng)中進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)修正。如圖19所示，通過點(diǎn)1和點(diǎn)2對(duì)補(bǔ)償效果進(jìn)行驗(yàn)證，控制機(jī)器人使其末端標(biāo)定錐的錐尖與點(diǎn)1重合，各關(guān)節(jié)的數(shù)據(jù)如表13所示。根據(jù)補(bǔ)償前后的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型 ?0 ??E ?T 和 ?0 ??E ?T ??t ，求解點(diǎn)1補(bǔ)償前后的齊次變換矩陣 ?0 ??E ?T ?1與 ?0 ??E ?T ??t ?1，繼而求得點(diǎn)2補(bǔ)償前后的齊次變換矩陣 ?0 ??E ?T ?2和 ?0 ??E ?T ??t ?2。

利用牛頓迭代法求解 ?0 ??E ?T ?2和 ?0 ??E ?T ??t ?2，得到機(jī)器人末端標(biāo)定錐的錐尖與點(diǎn)2重合時(shí)的各關(guān)節(jié)數(shù)據(jù)，如表14、表15所示。

按照所得關(guān)節(jié)數(shù)據(jù)控制機(jī)器人運(yùn)動(dòng)，可分別得到補(bǔ)償前和補(bǔ)償后機(jī)器人末端標(biāo)定錐錐尖到點(diǎn)2處靶標(biāo)錐錐尖的距離。選用點(diǎn)1和點(diǎn)3按照上述操作進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，測(cè)量結(jié)果如圖22所示。

由圖22可知，補(bǔ)償前標(biāo)定錐錐尖點(diǎn)和靶標(biāo)錐錐尖點(diǎn)距離較大，經(jīng)過補(bǔ)償后，兩錐尖點(diǎn)距離明顯 減小，點(diǎn)2補(bǔ)償前的平均距離為4.653 mm，補(bǔ)償后的平均距離為1.445 mm，減小了68.9%，同理，點(diǎn)3距離減小了67.8%。 綜合考慮點(diǎn)2和點(diǎn)3的距離縮小率，可將其平均值作為評(píng)價(jià)機(jī)器人誤差補(bǔ)償效果的指標(biāo)。由此可知，兩點(diǎn)的平均距離縮小率約為68.3%，這有效提高了機(jī)器人的定位精度。

4.2 機(jī)器人功能實(shí)驗(yàn)

采用R80 RADIAN激光跟蹤儀進(jìn)行檢測(cè)（圖23）的結(jié)果如下：機(jī)器人第一移動(dòng)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)范圍是0～9000 mm，精度0.5 mm；第二移動(dòng)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)范圍是-390mm ～390 mm，精度0.1 mm； 第一轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)范圍 是-105°～105°，精度0.1°；第二轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)范圍是-5°～85°，精度0.1°；第三移動(dòng)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)范圍是-138.5 mm～-756.5 mm，精度0.1 mm； 第三轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)范圍是-95°～95°，精度0.1°。

如圖24所示，重載裝配機(jī)器人可按規(guī)劃軌跡運(yùn)動(dòng)。機(jī)器人在小空間余量的狹長通道內(nèi)精確完成了機(jī)柜的定位、調(diào)姿、裝配，無干涉碰撞，運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)無沖擊，驗(yàn)證了軌跡優(yōu)化的實(shí)用性與有效性。

5 結(jié)論

筆者基于PPRRPR機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的串聯(lián)式六自由度大負(fù)載裝配調(diào)姿機(jī)器人系統(tǒng)在狹長空間內(nèi)具有良好的適用性。 建立了重載調(diào)姿裝配機(jī)器人誤差模型，采集機(jī)器人多姿態(tài)對(duì)接靶標(biāo)錐關(guān)節(jié)位置，利用遺傳算法對(duì)重載調(diào)姿裝配機(jī)器人進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，誤差補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)表明機(jī)器人絕對(duì)定位誤差減小68.3%，補(bǔ)償效果良好。以機(jī)柜裝配為例，通過NSGA-Ⅱ算法建立了多目標(biāo)軌跡優(yōu)化模型，以時(shí)間、沖擊、能耗為優(yōu)化目標(biāo)，綜合考慮裝配機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束和動(dòng)力學(xué)約束條件，得到裝配機(jī)器人末端在艙內(nèi)狹窄空間下的多目標(biāo)最優(yōu)軌跡。激光跟蹤儀精度檢測(cè)與加載實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了機(jī)器人的定位精度。

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（ 編輯 張 洋 ）

作者簡介 ：

劉 毅 ，男，1991年生，博士研究生。研究方向?yàn)闄C(jī) 器人理論及應(yīng)用、自動(dòng)化調(diào)姿裝配裝備。發(fā)表論文10篇。

姚建濤 （通信作者），男，1980年生，教授，博士研究生導(dǎo)師。研究方向?yàn)橹剌d機(jī)構(gòu)學(xué)與機(jī)器人技術(shù)。發(fā)表論文90余篇。E-mail：jtyao@ysu.edu.cn。