何智超 樂源 李高磊 劉潤

(西南交通大學(xué)力學(xué)與航空航天學(xué)院,成都 611756)

引言

當(dāng)船舶在波浪上航行時(shí),在波浪的作用下可能產(chǎn)生圍繞其原始平衡位置做6個(gè)自由度的搖蕩運(yùn)動,分別為縱蕩、橫蕩、垂蕩、橫搖、縱搖以及首搖[1].在上述運(yùn)動方式中,尤其以橫搖運(yùn)動造成的危害最大,輕則造成大量的財(cái)產(chǎn)損失,重則影響船舶設(shè)備正常運(yùn)行,導(dǎo)致船舶傾覆,威脅船舶及船員的安全.因此,船舶的橫搖運(yùn)動狀態(tài)一直是學(xué)者研究的重點(diǎn)之一.Nayfeh[2]利用多尺度法求解了單自由度船舶橫搖運(yùn)動微分方程的二階近似解,并利用Floquet理論確定了不同參數(shù)域下穩(wěn)態(tài)解的存在區(qū)間.趙文浩等[3]研究了船舶系統(tǒng)存在的多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象,引入間歇控制方法將系統(tǒng)的運(yùn)動軌跡控制到期望的周期軌道上.袁遠(yuǎn)等[4]利用分岔分析方法對規(guī)則橫浪中船舶橫搖運(yùn)動的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析,提出了船舶奇異傾覆的概念,驗(yàn)證了周期倍化分岔是船舶傾覆的機(jī)理之一.劉利琴等[5]運(yùn)用Melnikov函數(shù)和路徑積分法研究了隨機(jī)橫浪中船舶的混沌運(yùn)動特性和發(fā)生混沌運(yùn)動的臨界參數(shù)條件,發(fā)現(xiàn)當(dāng)系統(tǒng)作用有幅值較大的白噪聲激勵(lì)時(shí),船舶響應(yīng)存在兩種情況,并會在這兩種狀態(tài)間隨機(jī)跳躍,導(dǎo)致船舶發(fā)生傾覆.胡開業(yè)等[6]用一種有界隨機(jī)噪聲模型模擬船舶在隨機(jī)橫浪中所受的外激勵(lì),運(yùn)用隨機(jī)Melinikov方法對船舶在隨機(jī)橫浪中的全局穩(wěn)定性進(jìn)行了分析,得到了船舶穩(wěn)定橫搖運(yùn)動的噪聲激勵(lì)幅值區(qū)間.D Deleanu等[7]研究了隨機(jī)橫浪作用下船舶橫搖安全池隨參數(shù)變化的演變情況,當(dāng)隨機(jī)激勵(lì)幅值增大時(shí),安全池內(nèi)部和外部均會受到侵蝕,并且通過對比發(fā)現(xiàn)舭龍骨能夠有效防止船舶發(fā)生傾覆.Liu等[8]考慮船舶同時(shí)受風(fēng)荷載和隨機(jī)波浪荷載的作用,利用離散傅里葉方法對船舶橫搖運(yùn)動的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析,通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)風(fēng)荷載會導(dǎo)致原先對稱的異宿軌道喪失對稱性,同時(shí)風(fēng)荷載幅值的增大會使得橫搖運(yùn)動的安全池快速收縮.關(guān)于船舶系統(tǒng)在隨機(jī)激勵(lì)下的奇異非混沌動力學(xué)特性,目前尚無相關(guān)研究.

奇異非混沌吸引子(strange nonchaotic attractors,SNAs)是奇異但非混沌的吸引集,在動力學(xué)中,這些吸引子被認(rèn)為是介于規(guī)則性與混沌性之間的過渡,在這種轉(zhuǎn)變中,“奇異”出現(xiàn)在“混沌”之前.“奇異”指的是在相平面上動力學(xué)變量的關(guān)系是非光滑的,具有幾何結(jié)構(gòu)上的分形;“非混沌”指的是吸引子不敏感依賴于系統(tǒng)的初始條件,即最大李雅普諾夫指數(shù)為負(fù)數(shù),這也是SNAs不同于混沌吸引子的地方之一.研究表明,SNA不是在一些特殊參數(shù)值上存在的退化現(xiàn)象,而是在擬周期激勵(lì)系統(tǒng)中普遍存在的一種獨(dú)立于混沌和周期之外的新型運(yùn)動狀態(tài)[9].自Grebogi等[10]于1984年首次揭示了SNAs的存在性以來,人們意識到“奇異”并非等價(jià)于“混沌”,并通過理論分析和數(shù)值模擬對各類非線性動力系統(tǒng)產(chǎn)生的SNAs進(jìn)行了廣泛的研究.目前,奇異非混沌吸引子已經(jīng)成為非線性動力學(xué)領(lǐng)域重要的研究內(nèi)容之一.

Ding等[11]等從數(shù)值和解析的角度證實(shí)了SNAs在擬周期系統(tǒng)中的存在,并舉例說明了在典型的擬周期系統(tǒng)中可能出現(xiàn)的多種動力學(xué)行為.Lindner等[12]等利用開普勒太空望遠(yuǎn)鏡記錄了天琴座內(nèi)一些恒星的亮度在主頻率和次頻率上波動的光線曲線,這兩種頻率的比率接近于黃金分割值,而由次頻率驅(qū)動的非線性動力系統(tǒng)通常存在SNAs,這是實(shí)驗(yàn)室外首次證實(shí)SNAs的存在.Khovanov等[13]研究了隨機(jī)激勵(lì)對擬周期激勵(lì)下Duffing振子運(yùn)動特性的影響,利用頻閃截面法和局部最大李雅普諾夫指數(shù)驗(yàn)證了系統(tǒng)在隨機(jī)激勵(lì)作用下吸引子的奇異性與非混沌性.Wang等[14]發(fā)現(xiàn)SNAs除了在擬周期激勵(lì)系統(tǒng)中存在以外,自治系統(tǒng)以及周期激勵(lì)系統(tǒng)在隨機(jī)激勵(lì)擾動下也會產(chǎn)生SNAs,并通過功率譜,奇異連續(xù)譜,分形圖等工具進(jìn)行了驗(yàn)證.Aravindh等[15]研究了受周期激勵(lì)的Duffing振子不同周期窗口在隨機(jī)激勵(lì)擾動下周期吸引子的演變情況,從數(shù)值上證明了在周期窗口的末端混沌鞍和周期軌道共存.曾青等[16]考慮了一類擬周期激勵(lì)的分段非線性軋機(jī)輥系系統(tǒng),用有理數(shù)逼近無理數(shù)和相敏感函數(shù)刻畫其奇異性,通過數(shù)值結(jié)果發(fā)現(xiàn)有三種路徑可以演變成奇異非混沌吸引子,即分形路徑、陣發(fā)路徑和Heagy-Hammel路徑.Li等[17]將隨機(jī)激勵(lì)作用在一類單自由度分段線性系統(tǒng)上,發(fā)現(xiàn)隨機(jī)激勵(lì)同樣可以誘導(dǎo)該系統(tǒng)的周期吸引子演變成SNAs,并揭示了SNAs的演變過程.此外,在邊界激變附近的周期三吸引子也可以在隨機(jī)激勵(lì)擾動下演變成SNAs,利用相圖闡明了該SNAs具有陣發(fā)性.

考慮到實(shí)際海況,船舶在航行的過程往往除了受到波浪激勵(lì)的作用外,不可避免地還會受到隨機(jī)的風(fēng)荷載.本文考慮一類單自由度的船舶橫搖系統(tǒng),研究其在簡諧激勵(lì)和隨機(jī)激勵(lì)共同作用下的奇異非混沌動力學(xué).通過數(shù)值模擬探究了不同周期吸引子在隨機(jī)激勵(lì)作用下演變成SNAs的具體過程.利用奇異連續(xù)譜和分形圖刻畫了吸引子的奇異性,利用最大李雅普諾夫指數(shù)驗(yàn)證了非混沌性.

1 船舶非線性橫搖運(yùn)動模型

當(dāng)船舶在正橫規(guī)則波作用下,將產(chǎn)生橫搖運(yùn)動.一般情況下,船舶發(fā)生橫搖運(yùn)動時(shí),其受到恢復(fù)力矩、阻尼力矩、慣性力矩以及波浪擾動力矩的作用.假設(shè)波長遠(yuǎn)大于船長,并且附加轉(zhuǎn)動慣量為常數(shù),根據(jù)達(dá)朗貝爾原理,船舶在正橫波作用下的運(yùn)動微分方程可寫為[2]:

(1)

式中,I為轉(zhuǎn)動慣量,δI為附加轉(zhuǎn)動慣量,φ為絕對橫搖角,η為波傾角.

對于正橫波,η(t)可表示為:

η=FcosΩt

令相對橫搖角θ=φ-η,方程(1)可寫為:

(2)

加入隨機(jī)激勵(lì),并重寫方程(2),得到正橫規(guī)則波與隨機(jī)激勵(lì)共同作用下船舶的橫搖運(yùn)動方程:

fcosΩt+Dξ

(3)

2 刻畫吸引子的奇異性及非混沌性

2.1 最大李雅普諾夫指數(shù)

(4)

引入二維Poincaré映射

Π:Σ→Σ

Σ≡{(x,y,φ)∈R×R|φmod2π=0}

(5)

則映射方程寫為

xn+1=f1(xn,yn),yn+1=f2(xn,yn)

(6)

根據(jù)定義,李雅普諾夫指數(shù)可表示為[19]:

(7)

當(dāng)最大李雅普諾夫指數(shù)為非正時(shí),表明系統(tǒng)對初值沒有敏感依賴性,即具有非混沌性.此外,李雅普諾夫指數(shù)還能呈現(xiàn)相空間內(nèi)軌道沿不同方向的拉伸或壓縮速率,當(dāng)李雅普諾夫指數(shù)為正時(shí),表明軌道在沿給定方向上以指數(shù)級別的速率拉伸,相反,當(dāng)李雅普諾夫指數(shù)為負(fù)時(shí),表明軌道在沿給定方向上以指數(shù)級別的速率壓縮.

2.2 奇異連續(xù)譜

在動力系統(tǒng)中,當(dāng)系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)是周期或擬周期時(shí),功率譜是離散的,存在某些頻率的δ峰;當(dāng)系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)是混沌或隨機(jī)時(shí),功率譜是連續(xù)的;當(dāng)系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)是奇異非混沌時(shí),對應(yīng)的功率譜呈現(xiàn)一種奇異連續(xù)的形態(tài),介于離散和連續(xù)之間.

將系統(tǒng)的狀態(tài)變量x通過傅里葉變換離散,其部分和可表示為:

(8)

如果吸引子是奇異非混沌吸引子,X(ω,T)與T與存在以下冪律關(guān)系[20]:

|X(ω,T)|2～Tk

(9)

其中1

3 系統(tǒng)在無噪聲擾動下從周期倍化通向混沌

選取Wright等所研究的低干舷船模作為研究對象[21],其相關(guān)參數(shù)如表1所示

表1 低干舷船舶參數(shù)表

取波浪遭遇頻率Ω=8,以波傾角幅值F為分岔參數(shù),考慮D=0情況下系統(tǒng)隨參數(shù)F變化的分岔圖,如圖1所示.當(dāng)F=F1=1.0695時(shí),通過打靶法得到系統(tǒng)相應(yīng)的Floquet乘子,分別為λ1(F1)=-1.0和λ2(F1)=-0.237.當(dāng)參數(shù)F經(jīng)過F1時(shí),一個(gè)Floquet乘子通過-1離開單位圓,且另一個(gè)特征乘子的模小于1,系統(tǒng)發(fā)生周期倍化分岔,原先的周期1吸引子演變?yōu)橹芷?吸引子.當(dāng)F=F2=1.1049,系統(tǒng)相應(yīng)的Floquet乘子分別為λ1(F2)=-1和λ2(F2)=-0.038,當(dāng)參數(shù)F經(jīng)過F2時(shí),系統(tǒng)發(fā)生第二次周期倍化分岔,周期2吸引子演變?yōu)橹芷?吸引子.當(dāng)F=F3=1.1116,系統(tǒng)相應(yīng)的Floquet乘子分別為λ1(F3)=-1和λ2(F3)=-0.00135,系統(tǒng)發(fā)生第三次周期倍化,周期4吸引子演變?yōu)橹芷?吸引子.當(dāng)F?[1.1133, 1.13]時(shí),系統(tǒng)處于混沌狀態(tài),其最大李雅普諾夫指數(shù)為正.系統(tǒng)最大李雅普諾夫指數(shù)隨參數(shù)F變化如圖2所示.由圖2可以看出,在周期倍化分岔的分岔點(diǎn),最大李雅普諾夫指數(shù)會發(fā)生突變,逼近零的位置,但仍然保持為負(fù)數(shù).在周期軌道窗口,混沌鞍(非吸引的混沌不變集)與周期吸引子共存,相軌線通常會沿著混沌鞍的穩(wěn)定流形向混沌鞍運(yùn)動,并在混沌鞍附近停留有限時(shí)間,之后沿著混沌鞍的不穩(wěn)定流形向周期吸引子靠近.于是當(dāng)外界沒有噪聲擾動作用時(shí),在這些臨界點(diǎn)上,雖然存在著暫態(tài)混沌的現(xiàn)象,但最后的吸引子仍然是周期吸引子[14].

圖1 分岔圖Fig.1 The bifurcation diagram

圖2 隨F變化的最大李雅普諾夫指數(shù)Fig.2 The maximum Lyapunov exponent with F

當(dāng)外界的噪聲作用不夠強(qiáng)時(shí),不足以使周期吸引子的軌線擾動到混沌鞍的穩(wěn)定流形上,這時(shí)吸引子仍然是一個(gè)近似的周期吸引子.只有當(dāng)噪聲幅值D超過臨界值Dm時(shí),原周期吸引子的相軌線才有可能被擾動到混沌鞍的穩(wěn)定流形上,并在之后趨于混沌鞍.

4 噪聲擾動下吸引子的演變

分別以F=1.095,F=1.109,F=1.112為例,研究噪聲作用下不同周期吸引子的演變情況.當(dāng)D=0,F=1.095時(shí),系統(tǒng)處于周期2吸引子狀態(tài),如圖3(a)所示.當(dāng)噪聲強(qiáng)度D=0.0040時(shí),吸引子失去光滑性并開始相互融合,如圖3(b)所示.當(dāng)D=0.025時(shí),原周期2吸引子完全失去光滑性并融合到一起,如圖3(c)所示;當(dāng)D=0,F=1.109時(shí),系統(tǒng)處于周期4吸引子狀態(tài),如圖4(a)所示.當(dāng)噪聲強(qiáng)度D增加到0.0019時(shí),吸引子局部融合在一起,如圖4(b)所示.當(dāng)D=0.0095時(shí),吸引子完全融合在一起,如圖4(c)所示;當(dāng)D=0,F=1.112時(shí),系統(tǒng)處于周期8吸引子狀態(tài),如圖5(a)所示.當(dāng)噪聲強(qiáng)度增加到0.0002時(shí),吸引子局部融合在一起,如圖5(b)所示.當(dāng)D=0.0029時(shí),吸引子完全融合在一起,如圖5(c)所示.

圖3 F=1.095時(shí)相平面(T,x)上的相圖Fig.3 The phase diagram in the (T,x) plane with F=1.095

圖4 F=1.109時(shí)相平面(T,x)上的相圖Fig.4 The phase diagram in the (T,x) plane with F=1.109

圖5 F=1.112時(shí)相平面(T,x)上的相圖Fig.5 The phase diagram in the (T,x) plane with F=1.112

5 噪聲擾動下的奇異非混沌動力學(xué)

5.1 噪聲作用下不同周期窗口的奇異非混沌吸引子

圖6 當(dāng)F=1.095,D=0.025時(shí),(a)在平面(xn,yn)上的相圖; (b)最大李雅普諾夫指數(shù)圖Fig.6 For F=1.095,D=0.025, (a) The phase diagram in the (xn,yn) plane; (b) The maximum Lyapunov exponent

圖7 當(dāng)F=1.109,D=0.0095時(shí),(a)在平面(xn,yn)上的相圖; (b)最大李雅普諾夫指數(shù)圖Fig.7 For F=1.109, D=0.0095, (a) The phase diagram in the (xn,yn) plane; (b) The maximum Lyapunov exponent

圖8 當(dāng)F=1.112,D=0.0029時(shí),(a)在平面(xn,yn)上的相圖; (b)最大李雅普諾夫指數(shù)圖Fig.8 For F=1.112, D=0.0029, (a) The phase diagram in the (xn,yn) plane; (b) The maximum Lyapunov exponent

5.2 奇異性刻畫

以下主要通過奇異連續(xù)譜方法和X(ω,T)在復(fù)平面上的分形圖來驗(yàn)證吸引子的奇異性.當(dāng)F=1.095,D=0.025時(shí),吸引子是周期2吸引子,系統(tǒng)的奇異連續(xù)譜如圖9(a)所示,此時(shí)標(biāo)度因子k=1.4877,處于1和2之間,滿足奇異非混沌存在的冪律比例.X(ω,T)在復(fù)平面(ReX,ImX)上的路徑圖像如圖9(b)所示,可以看出其具有明顯的分形結(jié)構(gòu),進(jìn)一步說明了吸引子的奇異性.類似的,當(dāng)吸引子是周期4吸引子以及周期8吸引子時(shí),其奇異連續(xù)譜和分形圖分別如圖10(a)(b)、圖11(a)(b)所示.標(biāo)度因子k分別為1.2753和1.5475,均滿足1

圖9 當(dāng)F=1.095,D=0.025時(shí),(a)奇異連續(xù)譜;(b)分形圖Fig.9 For F=1.095, D=0.025,(a) the singular continuous spectrum;(b)the fractual structure of trajectories in the complex (Re X,Im X) plane

圖10 當(dāng)F=1.109,D=0.0095時(shí),(a)奇異連續(xù)譜;(b)分形圖Fig.10 For F=1.109, D=0.0095,(a) the singular continuous spectrum; (b)the fractual structure of trajectories in the complex (Re X,Im X) plane

圖11 當(dāng)F=1.112,D=0.0029時(shí),(a)奇異連續(xù)譜;(b)分形圖Fig.11 For F=1.112,D=0.0029,(a) the singular continuous spectrum; (b)the fractual structure of trajectories in the complex (Re X, Im X) plane

6 遭遇頻率對系統(tǒng)響應(yīng)的影響

分別取波浪遭遇頻率Ω=7.8以及Ω=8.2,考慮在無隨機(jī)激勵(lì)作用下系統(tǒng)隨波傾角幅值 的分岔行為,如圖12(a)(b)所示.當(dāng)Ω=7.8時(shí),系統(tǒng)在F=1.0663發(fā)生第一次周期倍化,同樣通過打靶法可以求出此時(shí)的Floquet乘子,分別為λ1=-1.0和λ2=-0.244.當(dāng)F=1.0956時(shí),Floquet乘子分別為λ1=-1.0和λ2=-0.041,代表系統(tǒng)發(fā)生第二次周期倍化.當(dāng)F=1.1012時(shí),Floquet乘子分別為λ1=-1.0和λ2=-0.002,系統(tǒng)發(fā)生第三次周期倍化,此時(shí)吸引子為周期8吸引子.對比波浪遭遇頻率Ω=8時(shí)發(fā)生三次周期倍化的波傾角幅值F1=1.0695、F2=1.1049、F3=1.1116,可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)波浪遭遇頻率Ω有所減小時(shí),發(fā)生周期倍化的分岔點(diǎn)均有所前移.

圖12 分岔圖 (a) Ω=7.8;(b) Ω=8.2Fig.12 The bifurcation diagram (a) Ω=7.8;(b) Ω=8.2

圖13 當(dāng)Ω=7.8,D=0.0185時(shí),(a) 在平面(xn,yn)上的相圖 (b) 奇異連續(xù)譜Fig.13 For Ω=7.8,D=0.0185, (a) The phase diagram in the (xn,yn) plane; (b) The singular continuous spectrum

圖14 當(dāng)Ω=8.2,D=0.0275時(shí),(a) 在平面(xn,yn)上的相圖 (b) 奇異連續(xù)譜Fig.14 For Ω=8.2,D=0.0275, (a) The phase diagram in the (xn,yn) plane; (b) The singular continuous spectrum

當(dāng)Ω時(shí),系統(tǒng)在F=1.0737發(fā)生第一次周期倍化,此時(shí)的Floquet乘子分別為λ1=-1.0和λ2=-0.229.當(dāng)F=1.1153時(shí),系統(tǒng)發(fā)生第二次周期倍化,Floquet乘子分別為λ=-1.0和λ2=-0.034.當(dāng)F=1.1233時(shí),Floquet乘子分別為λ1=-1.0和λ2=-0.001,系統(tǒng)發(fā)生第三次周期倍化,此時(shí)吸引子演變?yōu)橹芷?吸引子.對比波浪遭遇頻率Ω=8時(shí)發(fā)生三次周期倍化的波傾角幅值,可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)波浪遭遇頻率Ω有所增大時(shí),發(fā)生周期倍化的分岔點(diǎn)均有所后移.

固定參數(shù)F=1.095,此時(shí)系統(tǒng)均為周期2吸引子.當(dāng)Ω=7.8,D=0.0185時(shí),周期2吸引子演變?yōu)槠娈惙腔煦缥?此時(shí)最大李雅普諾夫指數(shù)λmax=-0.0446,標(biāo)度因子k=1.47,與Ω=8時(shí)產(chǎn)生奇異非混沌吸引子所需要的隨機(jī)激勵(lì)幅值相比有所降低.當(dāng)Ω=8.2,D=0.0275時(shí),周期2吸引子同樣演變?yōu)槠娈惙腔煦缥?此時(shí)最大李雅普諾夫指數(shù)λmax=-0.33,標(biāo)度因子k=1.6938,與Ω=8時(shí)產(chǎn)生奇異非混沌吸引子所需要的隨機(jī)激勵(lì)幅值相比有所增大.

7 結(jié)論

本文以一類單自由度船舶橫搖系統(tǒng)作為研究對象,考慮其在簡諧激勵(lì)和隨機(jī)激勵(lì)共同作用下不同周期窗口的動力學(xué)特性.運(yùn)用最大李雅普諾夫指數(shù)、奇異連續(xù)譜、分形圖等工具,揭示了船舶橫搖系統(tǒng)中不同周期窗口所存在的奇異非混沌現(xiàn)象,研究結(jié)果如下:

1)除了擬周期激勵(lì)下的動力系統(tǒng)會產(chǎn)生奇異非混沌現(xiàn)象外,受周期激勵(lì)的動力系統(tǒng)在噪聲作用下也存在奇異非混沌現(xiàn)象.

2)在周期倍化通往混沌的過程中,周期吸引子在噪聲作用下會演變成奇異非混沌吸引子,狀態(tài)變量在龐加萊截面上的軌跡具有明顯的分形結(jié)構(gòu).隨著噪聲幅值的不斷增大,周期吸引子開始融合,首先演變成奇異非混沌吸引子,當(dāng)幅值超過臨界值時(shí),吸引子最終變成混沌吸引子.

3)在離混沌吸引子越遠(yuǎn)的周期窗口需要越大的噪聲強(qiáng)度才可以誘導(dǎo)產(chǎn)生奇異非混沌吸引子.

本文的研究方法和結(jié)論可以為光滑連續(xù)動力系統(tǒng)中的奇異非混沌動力學(xué)理論提供思路,同時(shí)在工程上也可為船舶的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供一定的理論支持.