高原 張振 方勃

(沈陽航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院, 沈陽 110136)

引言

目前,國際上將總質(zhì)量介于1kg至10kg之間的衛(wèi)星稱為納米衛(wèi)星,總質(zhì)量介于11kg至100kg的衛(wèi)星稱為微衛(wèi)星[1,2].1990年5月,美國使用“偵察兵”火箭發(fā)射了兩顆6.8kg的“多路通信衛(wèi)星”.自此,諸多衛(wèi)星產(chǎn)業(yè)大國爭相開展了對微小衛(wèi)星的開發(fā)研究[3-5].

航天器在發(fā)射過程中會受到來自結(jié)構(gòu)內(nèi)部和外界環(huán)境的各種形式的振動干擾,強(qiáng)烈的振動會導(dǎo)致航天器中電子設(shè)備儀器的性能失效從而不能正常工作,甚至?xí)茐暮教炱鹘Y(jié)構(gòu),造成巨大損失.因此,改善航天器的振動環(huán)境是提高衛(wèi)星發(fā)射安全性和可靠性的關(guān)鍵[6].衛(wèi)星隔振最早是由美國CSA公司應(yīng)空軍研究室要求在1993年開展了對整星隔振器的研究[7,8].Johnson在1996年提出被動整星控制平臺,并取得很好減振效果[9].王曉雷等人在被動隔振的基礎(chǔ)上加入主動控制,改進(jìn)系統(tǒng)的低頻隔振性能,實(shí)現(xiàn)全頻帶隔振[10].

非線性能量匯(Nonlinear energy sink)最早是由Vakakis在2001年提出[11].NES具有吸振頻帶寬、快速高效的能量轉(zhuǎn)移等顯著優(yōu)點(diǎn)[12-16].常見的非線性能量匯主要有:杠桿式非線性能量匯、軌道式非線性能量匯、限幅式非線性能量匯等.這些研究表明非線性能量匯具有廣泛的應(yīng)用前景.

慣容器最早是由Smith在2002年提出[17].慣容器具有兩個連接終端,與質(zhì)量都可以作為慣性元件,但與質(zhì)量不同的是,慣容器可以提供比其質(zhì)量大得多的慣性系數(shù)且可以調(diào)節(jié).將慣容器集成到非線性能量匯中可以適當(dāng)?shù)卦鰪?qiáng)其減振效果,然而帶有慣容器的非線性能量匯仍有質(zhì)量大的缺陷[18].非線性能量匯中的質(zhì)量塊可以完全用慣容器替代,這種新型慣容型非線性能量匯幾乎不引入附加質(zhì)量,克服了傳統(tǒng)非線性能量匯的大質(zhì)量缺陷,且具有更高的減振性能[19].

負(fù)剛度最早是由英國工程師Molyneux在1957年提出[20].Molyneux使用兩個橫向彈簧元件形成了負(fù)剛度結(jié)構(gòu).而后大部分學(xué)者基于負(fù)剛度理論,將負(fù)剛度彈簧元件與正剛度彈簧元件相結(jié)合形成具有高靜態(tài)低動態(tài)剛度特性的準(zhǔn)零剛度隔振器[21,22].引入負(fù)剛度元件可以強(qiáng)化減振器的減振效果.Wu等[23]提出了一種新型負(fù)剛度磁彈簧(MS-NS)隔振器,并與沒有負(fù)剛度磁彈簧的隔振器進(jìn)行比較,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,帶有負(fù)剛度磁彈簧隔振器可以降低系統(tǒng)固有頻率并減小共振幅值,實(shí)現(xiàn)更好的減振效果.Zhou等[24]提出了一種應(yīng)用于浮板軌道的負(fù)剛度動力吸振器(NSDVA)并與傳統(tǒng)的Voigt型動力吸振器相比,帶有負(fù)剛度的動力吸振器具有更好的減振效果.

本文提出了一種帶有負(fù)剛度的慣容型非線性能量匯應(yīng)用于整星系統(tǒng)的振動抑制.同時,比較了不同激勵幅值下,負(fù)剛度慣容型非線性能量匯、慣容型非線性能量匯和正剛度慣容型非線性能量匯的減振效果,討論了負(fù)剛度元件對減振性能的影響.基于牛頓第二定律推導(dǎo)出耦合系統(tǒng)的動力學(xué)方程.應(yīng)用諧波平衡法得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的近似解析解,并通過Runge-Kutta法得到系統(tǒng)的數(shù)值解驗(yàn)證解析解的正確性.此外,討論了負(fù)剛度慣容型非線性能量匯的參數(shù)對其減振效果的影響.本項(xiàng)研究將促進(jìn)和拓寬負(fù)剛度和慣容型非線性能量匯的實(shí)際工程應(yīng)用.

1 負(fù)剛度慣容型非線性能量匯組合減振系 統(tǒng)動力學(xué)建模

圖1為耦合負(fù)剛度慣容型非線性能量匯的整星振動系統(tǒng),其中整星系統(tǒng)簡化為二自由度線性振子[25].圖中,m1,c1和k1分別為衛(wèi)星的質(zhì)量,阻尼和線性剛度.m2,c2和k2分別為衛(wèi)星適配器的質(zhì)量,阻尼和線性剛度.b為慣容器慣性質(zhì)量,其兩終端的作用力與兩終端的相對加速度成正比.慣容器的慣性質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其自身重量,因此數(shù)學(xué)建模過程中,慣容器的質(zhì)量可以忽略不計(jì)[17].c3為負(fù)剛度慣容型非線性能量匯的阻尼.負(fù)剛度慣容型非線性能量匯的負(fù)剛度和立方非線性剛度由兩個預(yù)壓縮的橫向線性彈簧實(shí)現(xiàn).k3為橫向彈簧剛度值,L0為彈簧初始長度.系統(tǒng)處于靜平衡時,橫向彈簧處于水平位置,此時彈簧長度為LH.x1,x2和x3分別為衛(wèi)星,衛(wèi)星適配器和慣容器的位移.系統(tǒng)的外激勵為諧波位移激勵xe=Acos(ωt),其中,A和ω分別為位移激勵的幅值和頻率.

圖1 耦合負(fù)剛度慣容型非線性能量匯的整星振動系統(tǒng)Fig.1 Whole-spacecraft vibration system coupled with negative stiffness inertial nonlinear energy sink

橫向彈簧在垂直方向上的非線性彈性力F推導(dǎo)如下:

(1)

由泰勒公式展開可得:

(2)

(3)

非線性彈性力F與位移差(x2-x3)的精確關(guān)系曲線和泰勒展開近似關(guān)系曲線如圖2所示.從圖中可以看出,在泰勒展開項(xiàng)數(shù)為三階的時候,就可以滿足對精度的需求.

圖2 非線性彈性力泰勒級數(shù)展開曲線Fig.2 Nonlinear elastic force Taylor series expansion curve

由牛頓第二定律推導(dǎo)出耦合負(fù)剛度慣容型非線性能量匯的整星系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

(4)

經(jīng)過無量綱化處理,可得:

(5)

無量綱變量和參數(shù)為

(6)

2 穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)

2.1 諧波平衡方法求解

由于系統(tǒng)方程中只包含立方非線性項(xiàng),故而只考慮奇次諧波項(xiàng),忽略偶次諧波項(xiàng)的影響.基于諧波平衡方法,設(shè)整星系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)位移解的形式為

b1,2i+1·sin[(2·i+1)·Ω·τ]}

b2,2i+1·sin[(2·i+1)·Ω·τ]}

b3,2i+1·sin[(2·i+1)·Ω·τ]}

(7)

諧波平衡方法為近似解析方法,其假設(shè)解取的諧波階數(shù)越多,得到的近似解析解就越精確.然而,階數(shù)過多,得到的系數(shù)方程就會越多,從而使得計(jì)算量大大增加.在這里,以一階諧波假設(shè)解為例給出求解過程.令i=0,則式(7)將變?yōu)?/p>

u1=a11cos(Ωτ)+b11sin(Ωτ)

u2=a21cos(Ωτ)+b21sin(Ωτ)

u3=a31cos(Ωτ)+b31sin(Ωτ)

(8)

將式(8)代入式(7)中,整理諧波系數(shù)方程組可得到一組非線性代數(shù)方程組.

(9)

-Ωξ1b11+Ωξ1b21-Ω2a21λ2+Ωξ2b21+

Ωξ1a11-Ωξ1a21-Ω2b21λ2-Ωξ2a21+

b21β2+b21α-b31α-b11+b21-

(10)

(11)

求解代數(shù)方程組可以得到諧波系數(shù)的常數(shù)值.將所得到的值代入到諧波假設(shè)解,可以得到位移的時域響應(yīng).通過提取不同激勵頻率下位移時域響應(yīng)的幅值,可以得到位移的幅頻響應(yīng)曲線.

2.2 數(shù)值驗(yàn)證

考慮到非線性能量匯中采用的是立方非線性,因此,諧波平衡假設(shè)解只保留1階和3階諧波,忽略偶次和高階諧波的影響.由Runge-Kutta數(shù)值方法求得系統(tǒng)的時間歷程,時間步長設(shè)置為一個周期T的0.01倍.然后從時間歷程中的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)部分提取出系統(tǒng)的響應(yīng)幅值.控制激勵頻率正向增大和反向減小,通過打點(diǎn)的方式,可以得到數(shù)值解的正向和反向掃頻幅頻響應(yīng)曲線,用以驗(yàn)證諧波平衡解的精確性.

系統(tǒng)仿真參數(shù)如表1所示.圖3(a)、圖3(b)分別為位移激勵A(yù)為0.0018m時的耦合負(fù)剛度慣容型非線性能量匯的整星系統(tǒng)的一階主共振和二階主共振的解析解與數(shù)值解對比.從圖中可以看出解析解和數(shù)值解的對比具有較好的重合度.

表1 系統(tǒng)量綱參數(shù)

(a)一階主共振

3 減振性能比較

本節(jié)對比研究負(fù)剛度慣容型非線性能量匯(NSI-NES)、正剛度慣容型非線性能量匯(PSI-NES)和慣容型非線性能量匯(I-NES)的減振性能.

未控系統(tǒng)位移響應(yīng)的最大幅值記為Au,控制系統(tǒng)的位移響應(yīng)的最大幅值記為Ac,控制系統(tǒng)的最大幅值減少百分比為

(12)

相同質(zhì)量下,激勵幅值為A=0.0014m 、A=0.0016m、A=0.0018m時的負(fù)剛度慣容型非線性能量匯、慣容型非線性能量匯和正剛度慣容型非線性能量匯的減振效果分別如圖4～圖6所示.其中,圖(a)、圖(b)分別為耦合負(fù)剛度慣容型非線性能量匯、慣容型非線性能量匯、正剛度慣容型非線性能量匯的整星系統(tǒng)一階主共振和二階主共振的減振效果的對比圖.

圖4 勵幅值A(chǔ)=0.0014m時減振效果:(a)一階主共振;(b)二階主共振Fig.4 Vibration damping effect when excitation amplitude A=0.0014 (a) First-order primary resonance;(b) Second-order primary resonance

圖5 勵幅值A(chǔ)=0.0016m時減振效果:(a)一階主共振;(b)二階主共振Fig.5 Vibration damping effect when excitation amplitude A=0.0016m: (a) First-order primary resonance;(b) Second-order primary resonance

圖6 勵幅值A(chǔ)=0.0018m時減振效果:(a)一階主共振;(b)二階主共振Fig.6 Vibration damping effect when excitation amplitude A=0.0018m: (a) First-order primary resonance;(b) Second-order primary resonance

激勵幅值A(chǔ)為0.0014 m時,負(fù)剛度慣容型非線性能量匯的減振百分比達(dá)到了87.86%,而在相同情況下的慣容型非線性能量匯的減振百分比則為48.35%,正剛度慣容型非線性能量匯的減振百分比為43.3%.在一階主共振中,激勵幅值A(chǔ)為0.0016m時,負(fù)剛度慣容型非線性能量匯的減振百分比達(dá)到了89.08%,而在相同情況下的慣容型非線性能量匯的減振百分比則為45.4%,正剛度慣容型非線性能量匯的減振百分比卻為39.6%.激勵幅值A(chǔ)為0.0018m時,負(fù)剛度慣容型非線性能量匯的減振百分比達(dá)到了90.72%,而在相同情況下的慣容型非線性能量匯的減振百分比則為43.6%,正剛度慣容型非線性能量匯的減振百分比卻為40.3%.通過對比可以發(fā)現(xiàn),在相同激勵幅值下,一階主共振中的負(fù)剛度慣容型非線性能量匯的減振效果要遠(yuǎn)優(yōu)越于慣容型非線性能量匯和正剛度慣容型非線性能量匯.

激勵幅值增大,一階主共振中的負(fù)剛度慣容型非線性能量匯和正剛度慣容型非線性能量匯的減振效果越好.隨著激勵幅值的增大,一階主共振中的慣容型非線性能量匯的減振效果,先降低后增高.從圖4(b)、5(b)、6(b)中可以看出,在二階主共振中,三者的減振性能都達(dá)到較好減振效果,也可以看出在二階主共振中,正剛度慣容型非線性能量匯的減振效果要略高于慣容型非線性能量匯,慣容型非線性能量匯的減振效果要略高于負(fù)剛度慣容型非線性能量匯.綜合考慮,隨著激勵幅值的增大,負(fù)剛度慣容型非線性能量匯的減振效果要優(yōu)于慣容型非線性能量匯和正剛度慣容型非線性能量匯.

4 負(fù)剛度慣容型非線性能量匯的參數(shù)影響

4.1 慣性質(zhì)量的影響

慣性質(zhì)量對主系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的影響如圖7所示.從圖7中可以看出,隨著慣性質(zhì)量值的增大,主結(jié)構(gòu)一階和二階幅頻響應(yīng)曲線的峰值均呈現(xiàn)出減小趨勢,最后歸于平穩(wěn).

圖7 不同慣性質(zhì)量下整星系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線:(a)一階主共振;(b)二階主共振Fig.7 Amplitude-frequency response curves of whole-spacecraft system under different inertial masses (a) First-order primary resonance;(b) Second-order primary resonance

4.2 負(fù)剛度的影響

負(fù)剛度對主系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的影響如圖8所示.在確保立方非線性剛度值不變的情況下,負(fù)剛度值可通過同時調(diào)節(jié)橫向彈簧水平長度值LH和彈簧線性剛度值k3來進(jìn)行改變.

圖8 不同負(fù)剛度下整星系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線:(a)一階主共振;(b)二階主共振Fig.8 Amplitude-frequency response curves of whole-spacecraft system under different negative stiffnesses (a) First-order primary resonance;(b) Second-order primary resonance

從圖8(a)中可以看出,在一階主共振中,當(dāng)負(fù)剛度的值為0(L0=LH)時,系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)的峰值最大.隨著負(fù)剛度絕對值的增大,主結(jié)構(gòu)幅頻響應(yīng)曲線的峰值呈現(xiàn)出先減小后增大的趨勢.在α從0到-0.0256的區(qū)間,主結(jié)構(gòu)位移有極為明顯的驟降趨勢.從圖8(a)也可以看出負(fù)剛度存在一個最優(yōu)值使得主結(jié)構(gòu)幅頻響應(yīng)曲線的峰值最小.當(dāng)負(fù)剛度α≈-0.0256時,主結(jié)構(gòu)幅頻響應(yīng)曲線的峰值最小.從圖8(b)中可以看出,在二階主共振中,隨著負(fù)剛度絕對值的增大,主結(jié)構(gòu)幅頻響應(yīng)曲線的峰值呈現(xiàn)增大的趨勢,且向左移動.綜合考慮第一階主共振和第二階主共振的振動,負(fù)剛度α=-0.0256時,負(fù)剛度慣容型非線性能量匯的減振效果較好.

4.3 立方非線性的影響

立方非線性對主系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的影響如圖9所示.在確保負(fù)剛度值不變的情況下,立方非線性剛度值可通過同時調(diào)節(jié)橫向彈簧水平長度值LH和彈簧線性剛度值k3來進(jìn)行改變.

圖9 不同非線性剛度下整星系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線:(a)一階主共振;(b)二階主共振Fig.9 Amplitude-frequency response curves of whole-spacecraft system under different nonlinearity stiffness (a) First-order primary resonance;(b) Second-order primary resonance

從圖9(a)中可以看出,在一階主共振中,隨著立方非線性剛度的增大,主結(jié)構(gòu)幅頻響應(yīng)曲線的峰值呈現(xiàn)出先減小再增大的趨勢.因此,立方非線性剛度存在一個最優(yōu)值使得主結(jié)構(gòu)幅頻響應(yīng)曲線的峰值最小.從圖9(b)中可以看出,在二階主共振中,隨著立方非線性數(shù)值的增大,主結(jié)構(gòu)幅頻響應(yīng)曲線的峰值呈現(xiàn)向下的趨勢但影響較小.綜合考慮第一階主共振和第二階主共振的振動,立方非線性剛度β4=0.03時,負(fù)剛度慣容型非線性能量匯的減振效果較好.

4.4 阻尼的影響

阻尼對主結(jié)構(gòu)幅頻響應(yīng)曲線的影響如圖10所示.從圖10(a)中可以看出,在一階主共振中,隨著阻尼的增大,主結(jié)構(gòu)幅頻響應(yīng)曲線的峰值也逐漸增大.從圖10(b)中可以看出,在二階主共振中,隨著阻尼數(shù)值的增大,主結(jié)構(gòu)幅頻響應(yīng)曲線的峰值呈現(xiàn)向下的趨勢.綜合考慮第一階主共振和第二階主共振的振動,當(dāng)ζ3=0.0173時,負(fù)剛度慣容型非線性能量匯的減振效果較好.

(a)一階主共振

4.5 阻尼和立方非線性剛度共同影響

通過負(fù)剛度慣容型非線性能量匯參數(shù)對幅頻響應(yīng)曲線的影響了解到,參數(shù)變化對系統(tǒng)第一階主共振響應(yīng)的影響較大,因此參數(shù)研究只考慮第一階主共振.對于不同的負(fù)剛度α=0、-0.0256和-0.05,當(dāng)負(fù)剛度慣容型非線性能量匯的阻尼和立方非線性同時變化時,主結(jié)構(gòu)的幅頻響應(yīng)曲線的最大幅值變化的二維等高線圖如圖11所示.隨著阻尼和立方非線性剛度參數(shù)增大,減振效果得到明顯改善.圖11(a)中,當(dāng)立方非線性和阻尼同時變化時,減振性能最優(yōu)區(qū)域形成“山谷”,在該區(qū)域最大幅值接近11.當(dāng)負(fù)剛度值為-0.0256時,如圖11(b)所示,“山谷”區(qū)域明顯增大了,最大幅值的最優(yōu)值也顯著降低了,約為8.當(dāng)負(fù)剛度值為-0.05時,如圖11(c)所示,最大幅值的最優(yōu)值約為6.比較發(fā)現(xiàn),隨著負(fù)剛度值絕對值的增大,實(shí)現(xiàn)的減振效果越好.

圖11 負(fù)剛度慣容型非線性能量匯的阻尼和立方非線性同時變化對主結(jié)構(gòu)頻響最大幅值的影響(a) α=0;(b) α=-0.0256;(c) α=-0.05Fig.11 The influence of the simultaneous change of damping and cubic nonlinearity of negative stiffness inertial nonlinear energy sink on the maximum amplitude of the frequency response of the main structure(a) α=0;(b) α=-0.0256;(c) α=-0.05

5 結(jié)論

本文使用了一種新型負(fù)剛度慣容型非線性能量匯對整星系統(tǒng)進(jìn)行減振,基于諧波平衡法求解系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線,討論了負(fù)剛度慣容型非線性能量匯的減振效果,并對其參數(shù)進(jìn)行了分析和優(yōu)化.以下是具體結(jié)論:

(1) 負(fù)剛度慣容型非線性能量匯應(yīng)用到整星系統(tǒng)中可以實(shí)現(xiàn)高效的振動抑制,其減振性能隨著激勵幅值的增加而增大.

(2) 參數(shù)研究表明,在合適區(qū)間范圍內(nèi),負(fù)剛度非線性能量匯的參數(shù)變化對一階主共振影響較大,當(dāng)其他參數(shù)是定常數(shù)時,負(fù)剛度、立方非線性、阻尼都具有最優(yōu)值,而慣性參數(shù)隨其數(shù)值增大,減振效果增強(qiáng)到一定程度后趨于穩(wěn)定.

(3) 參數(shù)優(yōu)化顯示,在合適區(qū)間范圍內(nèi),負(fù)剛度非線性能量匯的負(fù)剛度絕對值越大,可以實(shí)現(xiàn)的減振效果越好.