姚昞暉,鄧林宵,許立新*

(1.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 核探測與核電子學(xué)國家重點實驗室,合肥 230026,中國;2.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 物理學(xué)院 安徽省光電子科學(xué)與技術(shù)重點實驗室,合肥 230026,中國;3.先進激光技術(shù)安徽省實驗室,合肥 230026,中國)

0 引 言

從早期的黑白顯示到現(xiàn)在蓬勃發(fā)展的激光顯示[1],顯示一直在人們的生活中扮演著重要的角色,人們對它的要求也越來越高。顯示色彩的優(yōu)劣直接影響顯示的效果。對于顯示系統(tǒng),通常使用色域來衡量其顯示顏色的能力[2]。色域越大,則顯示系統(tǒng)可渲染的顏色越豐富。為了定量表征顏色,國際照明委員會(Commission Internationale de I’Eclairage,CIE)首先提出了CIEXYZ顏色空間,并將其簡化為xy色度圖[3],其直觀的特點讓其被廣泛應(yīng)用在顯示領(lǐng)域來表征色域。但顏色是一個3維的物理量,2維的xy色品圖為了直觀而犧牲了亮度屬性,這也導(dǎo)致其準確性相對較低[4]。為了更準確地描述人眼感知的顏色,CIE進一步提出了CIEL*a*b*顏色空間,它是目前應(yīng)用最廣泛的均勻顏色空間[5]。立體顏色空間中的色域稱為立體色域。在均勻顏色空間中,精確定量描述顏色成為可能[6]。MAcADAM最早于1935年提出了計算色域的方法[7],但由于時代限制,只將色域在xy色品圖中進行了表示[8]。MASAOKA改進了他的方法,并將其應(yīng)用于立體顏色空間,獲得了立體色域[9]。而WANG等人繼續(xù)改進了MAcADAM的方法,使其適用于當(dāng)前常見的基色顯示系統(tǒng)[10]。WANG等人進一步研究了色溫或者說白平衡點色坐標對色域的影響[11]。根據(jù)這些研究可以看出,目前的三基色顯示系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)已經(jīng)較為完備。在此基礎(chǔ)上,為了方便不同設(shè)備之間色彩還原的準確性,美國國家電視標準委員會(National Television Standards Committee, NTSC)與電影和電視工程師協(xié)會等提出了NTSC Rec.709[12]、Rec.2020[13]等色域標準,其對應(yīng)的色域大小也不盡相同,其中Rec.2020是當(dāng)今最先進的色域標準?！吨袊圃?025》中明確提出,2020年激光顯示的色域要達到160% NTSC標準所對應(yīng)的色域,2025年要進一步達到200% NTSC標準所對應(yīng)的色域,這說明色域有重要意義且具有很高的研究價值。

隨著激光光源的發(fā)展,三基色激光顯示系統(tǒng)已經(jīng)達到149% NTSC的平面色域面積[14],這說明減小基色譜寬是提升色域的重要方法,但基色譜寬過窄會導(dǎo)致激光散斑增大的問題[15],并且三基色顯示系統(tǒng)的上限較為明顯[16]。為了進一步提升色域,勢必要采用多基色顯示的方案[17]。隨著多基色顯示技術(shù)的發(fā)展,目前已經(jīng)有相關(guān)的研究,成功搭建了六基色顯示系統(tǒng),并使其立體色域的體積超過了180% NTSC[18]。在作者團隊前期的研究中,提出了多基色顯示系統(tǒng)基色亮度通解的計算方案,利用格拉斯曼定律來獲得多基色顯示系統(tǒng)對應(yīng)的亮度解空間,以得到其所有可能的基色搭配,并采用實際的六基色顯示系統(tǒng)進行了驗證[19],但這些探究尚不完善。本文作者將對之前提出的解空間理論計算的數(shù)學(xué)形式進行規(guī)范化,并對其數(shù)學(xué)形式上的完備性和等價性進行證明。進一步地,將探究了解空間的幾何性質(zhì),并采用理想的多基色顯示系統(tǒng)進行演示。為簡化起見,本文中的討論僅限于顏色可加性良好的顯示系統(tǒng),為了探究顯示系統(tǒng)的基本特性,本文中不考慮不同環(huán)境光源對顏色外觀帶來的顏色變化,即認為顯示系統(tǒng)位于一個理想暗室中。

1 多基色顯示系統(tǒng)的基色峰值亮度推導(dǎo)

對于顯示系統(tǒng)而言,存在一個最基本的約束條件,即所有基色的最高亮度之和為白色,該白色也稱為該系統(tǒng)的白平衡點。為了更好地說明多基色顯示系統(tǒng)亮度通解的求解,此處對作者團隊之前的工作進行了數(shù)學(xué)形式的優(yōu)化。根據(jù)格拉斯曼定律,一個顏色可以由3種在顏色空間中不共線的顏色混合而得到,利用公式表達,即為:

(1)

(2)

式中:X,Y,Z及其下標1,2,3分別代表三基色的三刺激值;x,y,z代表對應(yīng)的色坐標,下文同理;下標mix代表混合后的顏色。如果令混合后的顏色為白色,則最終得到的計算結(jié)果就是常見的三基色顯示系統(tǒng)。在已知基色和白色的色坐標的前提下,上述6個方程可以簡化成含有3個未知數(shù)的三方程組,因此對應(yīng)特定的基色和白色,三基色顯示系統(tǒng)只有一組特定的Y刺激值的解。需要說明的是,Y刺激值和亮度存在對應(yīng)的轉(zhuǎn)化關(guān)系,因此獲得了Y刺激值即相當(dāng)于獲得了基色的亮度比例。而對于N(N>3)基色顯示系統(tǒng),令j=N-3,公式則變?yōu)?

(3)

(4)

式中:下標white代表白色。顯然,對于多基色系統(tǒng),上述方程由于增加了新的未知數(shù),因此變?yōu)椴欢ń夥匠?不存在如同三基色系統(tǒng)的一組定解來獲得白平衡,而是有無數(shù)種解。這對控制多基色顯示系統(tǒng)的白平衡,以及優(yōu)化系統(tǒng)的基色參數(shù)提出了挑戰(zhàn)。

對于一個N(N>3)基色顯示系統(tǒng),假設(shè)已知所有基色的色坐標和白色的色坐標。首先任意選取其中3個基色,得到如下刺激值條件限制:

(5)

(6)

式中:下標o代表選取的初始三基色混合成白色的情形。計算得到Y(jié)o,1,Yo,2,Yo,3,該結(jié)果代表選取的初始三基色混合成白色所需要的Y刺激值。在理論計算中通常令Ywhite=100來簡化計算,再將第j+3 (j≥1)個基色用前3個基色進行表示,有:

(7)

(8)

式中:下標j代表初始三基色混合成第j+3個基色的情形;Xj+3′,Yj+3′,Zj+3′代表此時第j+3個基色的三刺激值;xj+3,yj+3,zj+3代表其對應(yīng)色坐標,下文同理。假設(shè)第j+3個基色的Y刺激值為kjYj+3′,引入kj參數(shù)作為變量,并令Yj+3′為常數(shù)方便計算,用這6個式子可以計算出Yj,1,Yj,2和Yj,3。由于多基色系統(tǒng)的定義是每個基色都不能由其它基色混合得到,因此此時Yj,1,Yj,2和Yj,3必然有負值,但并不影響后續(xù)計算,則此時多基色系統(tǒng)滿足:

(Yj,1+Yj,2+Yj,3)]=Ywhite

(9)

即:

(10)

上述兩個式子的物理意義是:為了增加新基色的Y刺激值,則必須按照比例降低原有三基色的Y刺激值;不難看出,式中每一項即對應(yīng)每一個基色的Y刺激值。對于多基色顯示系統(tǒng),每個基色的Y刺激值都應(yīng)該大于0,因此有:

(11)

此不等式組即為N(N>3)基色系統(tǒng)的解空間,根據(jù)不等式組的性質(zhì),不難得出解空間的維度為N-3,而此時解空間中的點(k1,k2, …,kj, …)對應(yīng)的多基色系統(tǒng)的基色亮度解為:

(12)

式中:Yj+3′都為常數(shù),為了計算方便,通常設(shè)置為100。獲得了每個基色的Y刺激值后,根據(jù)每個基色的色坐標(xi,yi)(其中i=1,2,…,N)求出所有基色的三刺激值,將顯示系統(tǒng)的亮度按照Y刺激值的比例進行設(shè)置,即可得到一個多基色顯示系統(tǒng)。

在獲得了三刺激值后,在立體顏色空間中,根據(jù)參考文獻[20]中的計算方法,即得到立體色域,代表此多基色顯示系統(tǒng)可以顯示顏色的集合,目前最常用的立體顏色空間為CIEL*a*b*顏色空間。對于一組特定的基色和白平衡點參數(shù),比較解空間中不同點對應(yīng)的立體色域,即可獲得某組基色的最優(yōu)亮度組合;而對比不同的基色和白平衡點參數(shù)組合的解空間,即可獲得最優(yōu)的基色組合。

2 對解空間完備性和等價性的討論

首先,只有獲得多基色顯示系統(tǒng)的所有可能的參數(shù)組合前提下,才能進行最優(yōu)化。因此有必要證明上述推導(dǎo)中的解空間是完備的,即該解空間包含了該特定基色和白色參數(shù)組合下所有的Y刺激值的可能搭配。

此處證明采用反證法。假設(shè)在某基色和白色參數(shù)組合下,存在一組Y刺激值(Y1′,Y2′,…,Yj′,…)在解空間中不存在點(k1,k2,…,kj,…)和其對應(yīng)。將(Y1′,Y2′,…,Yj′,…)代入式(12),由于式(12)的未知數(shù)為Yo,1′,Yo,2′,Yo,3′和kj′,未知數(shù)數(shù)目和方程數(shù)一致,且方程互相線性無關(guān),故該方程可必然反解出唯一解(k1′,k2′,…,kj′,…),此點不在解空間內(nèi),故該點必然不滿足式(11),即Yj′中存在負值。因為Y刺激值和亮度可按照比例對應(yīng),由于負亮度不存在,故不存在這樣一組Y刺激值不在式(11)和式(12)的包含范圍內(nèi)。因此解空間是完備的。

然后需要證明解空間的等價性。從之前的推導(dǎo)中可以看出,解空間的推導(dǎo)基于最先選擇的三基色的參數(shù)。不同的初始三基色計算出來的解空間的范圍顯然不同。但是,解空間中的點對應(yīng)的基色Y刺激值是等價的,即一個初始三基色計算出的解空間中的點(k1,k2,…,kj,…)對應(yīng)的一組基色Y刺激值,必然可以在另一組初始三基色計算出的解空間找到一個對應(yīng)點(k1*,k2*,…,kj*,…)。

對于解空間1,其中的坐標點(k1,k2,…,kj,…)對應(yīng)的基色Y刺激值如下式所示:

(13)

其對應(yīng)的解空間為:

(14)

對于解空間2,初始三基色更換后,其解空間和基色Y刺激值如下所示:

(15)

(16)

注意此時的兩套符號中,雖然仍為原基色組,但編號順序發(fā)生了變化,這是由于選取的初始三基色不同導(dǎo)致的,也即式(13)和式(14)中的Yi與式(15)及式(16)中的Yi*(其中i=1,2,…,N)代表不同的基色,相當(dāng)于交換了順序,更換了初始三基色,原先用來表征其它基色的顏色變成了被表征顏色,而Yj+3′和Yj+3對應(yīng),Yj+3″和Yj+3*對應(yīng),形式的含義和式(11)、式(12)表征的解空間的基本形式一致。根據(jù)解空間的完備性,即式(13)和式(15)對應(yīng)的解空間都是完備的,則解空間1中的基色Y刺激值組,必然滿足式(15),因此根據(jù)式(16)必然可以反解出解空間2中的唯一點(k1*,k2*,…,kj*,…)。因此不同初始三基色的選擇雖然會導(dǎo)致解空間的差異,但是由解空間中的點導(dǎo)出的基色Y刺激值組,是完備并且一致的。由此可以得出結(jié)論:該方案對于多基色系統(tǒng)的基色亮度計算是成功的。

3 計算范例及解空間的相關(guān)性質(zhì)

為了進一步說明本文中的算法,現(xiàn)采用模擬樣例進行說明。表1中給出了模擬樣例的色坐標,這里從三基色激光顯示系統(tǒng)出發(fā),添加新基色擴展為四基色、五基色和六基色系統(tǒng),觀察其解空間的演化。最初的三基色顯示系統(tǒng),選擇其色坐標匹配Rec.2020色域標準。白色的色坐標(xwhite,ywhite)均設(shè)置為(0.3127,0.3290),其Y刺激值設(shè)置為100。表中3P,4P,5P,6P分別代表三基色、四基色、五基色、六基色激光顯示系統(tǒng),R1,R2,G1,G2,B1,B2分別代表不同波長的兩種紅基色、綠基色和藍基色。

表1 模擬中采用的基色色坐標Table 1 Chromatic coordinates in the simulation

對于三基色系統(tǒng),根據(jù)式(5)和式(6)可計算出:

(17)

根據(jù)MASAOKA提出的方案[20]來計算立體色域,在CIEL*a*b*空間中畫出其立體色域,如圖1所示。圖中,L*為亮度,a*軸正負分別代表紅綠色,b*軸正負分別代表黃藍色,其立體色域的體積為1854900。

圖1 R2,G1,B1構(gòu)成的理想三基色顯示系統(tǒng)的色域Fig.1 Gamut of the ideal three-primary color display composed of R2,G1,B1

利用式(1)和式(2),將第4個基色G2用初始的三基色R2,G1,B1進行表示,有:

(18)

代入式(11),得到四基色顯示系統(tǒng)的解空間:

0

(19)

圖2a中給出了四基色顯示系統(tǒng)的色域體積隨k1變化的趨勢。利用MASAOKA提出的多基色立體色域計算方法[20]對色域體積進行計算,可以看出,在k1=0.34時,色域體積取最大值2185100,此時色域如圖2b所示。

圖2 a—解空間及對應(yīng)的k1的取值范圍和色域體積 b—當(dāng)k1=0.34時的色域Fig.2 a—solution space and the range of k1 and the corresponding values of color gamut volume b—the gamut when k1= 0.34

再添加基色R1,同樣按照上述步驟,有:

(20)

圖3a為五基色顯示系統(tǒng)的解空間,在一個平面范圍;圖3b為k1=0.34和k2=0.15時的立體色域,色域體積為2258400。

圖3 a— 解空間及對應(yīng)的k1和k2的取值范圍 b—當(dāng)k1=0.34,k2=0.15時的色域Fig.3 a—solution space and the range of k1 and k2 b—the gamut when k1=0.34 and k2=0.15

對于六基色顯示系統(tǒng),添加基色B2,同樣的,有:

(21)

其解空間如圖4所示。當(dāng)k1=0.34、k2=0.15、k3=0.01時,立體色域如圖4b所示,色域體積為2395800。

圖4 a—解空間及對應(yīng)的k1,k2和k3的取值范圍 b—當(dāng)k1=0.34,k2=0.15,k3=0.01時的色域Fig.4 a—solution space and the range of k1, k2 and k3 b—the gamut when k1=0.34, k2=0.15 and k3=0.01

4 討 論

根據(jù)圖例中的解空間可以看出,每增加一個基色,解空間就增加一個維度。本文中的解空間獲取,是在基色亮度無限制的情況下進行計算的。在實際應(yīng)用中,考慮到實際光源的亮度和成本限制,必然存在更多的約束條件,比如要求某種基色的亮度低于某個值。在這種情況下,就需要對計算添加更多的約束條件,即增加不等式的數(shù)目,但這并不改變解空間的維度,只是改變了解空間的形狀。在約束后的解空間中,依舊可以采取同樣的方式,來獲得需要的基色亮度配比。從上述的計算樣例中可以發(fā)現(xiàn),四基色顯示系統(tǒng)的解空間,為五基色顯示系統(tǒng)的解空間的一條邊界,而五基色顯示系統(tǒng)的解空間,為六基色顯示系統(tǒng)解空間的底面。因為解空間由式(11)構(gòu)成,其邊界應(yīng)當(dāng)為其中某些不等式等于0的情形,即對應(yīng)維數(shù)降低的顯示系統(tǒng)。因此N基色顯示系統(tǒng)的解空間的邊界實際上涵蓋了(N-1),(N-2)…,一直到三基色,所有以這些參數(shù)作為基色的理論顯示系統(tǒng)的解空間。本文作者提出的方法成功解決了多基色顯示系統(tǒng)中基色亮度選擇的問題。結(jié)合色域體積的計算,可以對多基色顯示系統(tǒng)的光源參數(shù)進行適當(dāng)?shù)膬?yōu)化,以滿足實際的顯示需求。

5 結(jié) 論

基于多基色顯示系統(tǒng)和和三基色顯示系統(tǒng)的差異,本文作者通過參數(shù)不等式的方式,在給定白平衡點和基色色坐標的情況下,理論上推導(dǎo)了多基色顯示系統(tǒng)中基色亮度的設(shè)置問題。求解出多基色顯示系統(tǒng)的亮度所對應(yīng)的解空間,并對解空間的等價性和完備性進行了證明。同時,本文中采用理想的四基色、五基色和六基色顯示系統(tǒng)對整體算法進行了演示,并探究了解空間的相關(guān)性質(zhì)。結(jié)合立體色域的計算,通過遍歷解空間,可以很容易地得到理論最大色域體積。該算法可以推廣至任意種光源的多基色顯示系統(tǒng)。結(jié)合色域體積的計算,該理論可用于指導(dǎo)基色波長、譜寬和亮度的選擇。在未來的工作中,將繼續(xù)探索基于該方法的顏色管理理論,提升色彩的還原程度和表現(xiàn)力。