謝仕堉,孫 偉

(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 聊城 252059)

0 引言

早在上世紀(jì)五六十年代,前蘇聯(lián)學(xué)者Utkin和Emelyanov就提出滑模控制的概念[1]。近年來,滑?？刂埔蚱淇刂平Y(jié)構(gòu)簡單、強魯棒性等優(yōu)點逐漸成為許多專家學(xué)者的研究熱點?；？刂票举|(zhì)上是一類特殊的非線性控制方法,其主要特征還表現(xiàn)為控制的非連續(xù)性。滑?？刂剖贡豢叵到y(tǒng)的狀態(tài)有目的變化,即閉環(huán)系統(tǒng)按照預(yù)定的滑動模態(tài)軌跡運動并到達(dá)指定位置?；瑒幽B(tài)是指滑?？刂崎]環(huán)系統(tǒng)發(fā)生在滑動模態(tài)面(空間中的一類超平面,簡稱滑模面)上的運動形式。一般地,滑?？刂崎]環(huán)系統(tǒng)的運動包括到達(dá)和滑動兩個階段,即系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)到達(dá)滑模面,然后沿著滑模面滑動到系統(tǒng)平衡點。隨著研究的深入,二階滑模控制理論(SOSM)在前期理論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來[2,3]。與傳統(tǒng)的一階滑模方法相比,二階滑模具有削弱抖振的優(yōu)點。然而,SOSM控制算法的局限性在于滑動變量的相對程度為2,限制了該算法的應(yīng)用的范圍。因此,研究任意階次的高階滑?？刂扑惴ň哂兄匾囊饬x。

高階滑模(HOSM)的概念由Arie Levant在20世紀(jì)80年代提出[4]。與傳統(tǒng)一階滑模控制相比,高階滑模的本質(zhì)在于避免相對階限制問題并削弱抖振,且能保留滑?？刂频膹婔敯粜浴⒖垢蓴_性等優(yōu)點。與現(xiàn)有的模糊控制[5, 6]、超螺旋算法[7]、自適應(yīng)控制[8-10]、非周期采樣控制[11]等方法不同,現(xiàn)在發(fā)展的高階滑?？刂评碚搹浹a了控制理論存在的不足并得到了廣泛的應(yīng)用。目前,HOSM理論已應(yīng)用于電氣動執(zhí)行器[12]、降壓變換器[13]、自動駕駛汽車[14]等多個領(lǐng)域。因此,HOSM方法不僅僅是對傳統(tǒng)滑?？刂评碚摰倪M(jìn)一步推廣,而且有著廣泛的實際應(yīng)用背景[15-21]。

柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂是一個非線性、強耦合的復(fù)雜系統(tǒng),具有精度高、能耗低、質(zhì)量輕和工作效率高等特點。同時,柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂還具有較好的可控性,因此在許多領(lǐng)域具有很高的應(yīng)用價值。在一些工業(yè)領(lǐng)域,有時并不需要機(jī)械手臂具有完整的六個自由度,而只需其中的一個或幾個自由度。例如,直角坐標(biāo)系機(jī)械臂可以由單軸機(jī)械手臂組合而成,使用單軸機(jī)械臂有很多的優(yōu)點,其中最為重要的一點是單軸機(jī)械臂能夠大大降低工業(yè)設(shè)計的成本,因此越來越多的研究者從控制算法等角度研究單連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂[22-24],使得單連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)在控制領(lǐng)域成為一個熱點話題。

由于不確定性問題在許多實際系統(tǒng)中是不可避免的,柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)也不例外。那么通過高階滑?？刂萍夹g(shù)可以有效削弱柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)不確定性帶來的影響。本文主要研究高階滑?？刂茖τ趩芜B桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制問題,創(chuàng)新點和研究意義主要有以下三個方面。(1)針對柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)設(shè)計的高階滑?？刂破?避免了一階滑模中存在的相對階限制的問題,擴(kuò)展了滑模控制的應(yīng)用范圍。(2)利用構(gòu)造的李雅普諾夫函數(shù),使系統(tǒng)的輸出信號始終保持在有限時間內(nèi)收斂。(3)與文獻(xiàn)[24]相比,本文將高階滑模算法應(yīng)用到單連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng),用實例驗證該算法的有效性和優(yōu)越性,對于單連桿機(jī)械臂的算法研究具有重要意義。

符號表示R表示所有實數(shù)的集合,Rn表示n維的歐幾里德空間,[x]α=sign(x)|x|α。

1 系統(tǒng)描述及引理

本文以歐拉-拉格朗日方程為基礎(chǔ),用以下動力學(xué)模型描述單連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂[26, 27]

(1)

(2)

式中xi∈R,i=1,2,3,4為系統(tǒng)狀態(tài)。

滑動變量s是系統(tǒng)輸出,令

將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為

(3)

式中s(4)=J-1M-1(x1)K(-Bx4-K(x3-x1))+M-1(x1)(-C(x1,x2)-G(x1)-M-1(x1)Kx3+M-1(x1)(-C(x1,x2)-G(x1)-F(x2)-Kx1)))+J-1M-1(x1)Ku。且A(t,x)=J-1M-1(x1)K(-Bx4-K(x3-x1))+M-1(x1)(-C(x1,x2)-G(x1)-F(x2)-K(M-1(x1)Kx3+M-1(x1)(-C(x1,x2)-G(x1)-F(x2)-Kx1)))和B(t,x)=J-1M-1(x1)K是光滑函數(shù)。

引理1[28]如果p1>0和0

|[x]p1p2-[y]p1p2|≤21-p2|[x]p1-[y]p1|p2。

引理2[29]設(shè)c和d為正的常數(shù)。給定任意實數(shù)γ>0,得到

引理3[30]對于?xi∈R,i=1,2,3,…,n,不等式成立(|x1|+…+|xn|)p≤|x1|p+…+|xn|p。

2 主要結(jié)果

定理若系統(tǒng)(1)滿足假設(shè)1,則存在常數(shù)βi>0,i=1,2,3,4,建立HOSM控制器

(4)

證明第一步,選擇候選李雅普諾夫函數(shù)

(5)

對V1沿系統(tǒng)(1)求時間的導(dǎo)數(shù)可得

(6)

(7)

(8)

將上式代入(8)式可得

(9)

(10)

由引理2可得

(11)

第三步,選擇候選李雅普諾夫函數(shù)

(12)

(13)

(14)

注意,(3)式中后兩項可以合成一項,由引理1和引理2可得

(15)

(16)

式中η2是一個正的常數(shù)。

由引理2,可以推出

(17)

(18)

第四步,選擇候選李雅普諾夫函數(shù)為

(19)

(20)

進(jìn)一步,(20)式中的兩項通過引理1和引理2,可化簡為

(21)

(22)

(23)

(24)

將(21)和(24)代入(20)式,可得

(25)

(26)

注意,根據(jù)(7)式,(12)式以及(19)式可得

3 仿真例子

針對單連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)[32]

(27)

表1 單連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人系統(tǒng)的參數(shù)

(28)

仿真結(jié)果如圖1,2所示。圖1為本文所定義的滑動變量s隨時間t的變化曲線,不難發(fā)現(xiàn),在本文提出的高階滑模控制器作用下,滑動變量s能夠快速精準(zhǔn)的收斂到零。保證快速、高效的實現(xiàn)鎮(zhèn)定,有助于提升系統(tǒng)的魯棒性。圖2表示的是控制輸入u的曲線,當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)干擾影響時,控制器會迅速響應(yīng),削弱不確定性造成的抖振現(xiàn)象,快速收斂,極大地提高了對柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)的控制性能。

圖2 控制輸入u的軌跡

為了更好地說明所提方法的優(yōu)越性,我們對單連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)設(shè)計的算法與文獻(xiàn)[33]中提出的SOSM控制方法進(jìn)行仿真比較,模擬結(jié)果如圖3,4所示。

圖3 HOSM控制器μ1和SOSM控制器μ2的軌跡

從圖3和圖4可以看出,雖然兩種控制方法都能獲得良好的控制性能,但是本文研究的HOSM控制方法使滑動變量s收斂速度更快、時間更短、控制器的響應(yīng)更加迅速。因此,與文獻(xiàn)[33]中SOSM控制方法相比,本文研究的HOSM控制方法具有更好地收斂性,大大縮短了系統(tǒng)的響應(yīng)時間。此外,從圖3,4中可以清楚地看出,在HOSM控制器的作用下,滑動變量s抖振幅度小、收斂快,說明本文提出的HOSM控制器能更好地抑制擾動的影響,削弱抖振現(xiàn)象。綜上所述,實現(xiàn)了預(yù)期的控制目標(biāo)。同時,對比仿真結(jié)果證明了高階滑?？刂扑惴☉?yīng)用于單連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)的優(yōu)越性。

圖4 在HOSM控制器u1和SOSM控制器u2條件下滑動變量s1和s2的軌跡

4 結(jié)論

本文針對單連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)設(shè)計了一個高階滑?？刂破?。通過設(shè)計的李雅普諾夫函數(shù),保證輸出信號在有限時間內(nèi)收斂到零。其次,在控制器中引入符號函數(shù)抑制了抖振現(xiàn)象。最后,通過有限時間理論和李雅普諾夫穩(wěn)定性理論,證明了該控制算法能夠使單連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)在有限時間內(nèi)實現(xiàn)鎮(zhèn)定控制。通過一個仿真例子證明了所提出控制算法的有效性。未來的工作將集中于將該方法擴(kuò)展到n-連桿機(jī)械臂系統(tǒng)的控制問題。