喻曹豐,魏益軍,鄭 爽,楊 坤,陶雪楓,肖志豪

(1.安徽理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,淮南 232001;2.浙江大學(xué)流體動(dòng)力基礎(chǔ)件與機(jī)電系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,杭州 310027)

0 引言

精密加工技術(shù)在微電子制造行業(yè)中具有重要地位。隨著中國(guó)微電子制造行業(yè)的發(fā)展,對(duì)精密定位平臺(tái)的工作性能提出了更高的要求[1]。在傳統(tǒng)單級(jí)平臺(tái)中,由于其結(jié)構(gòu)的限制,無(wú)法同時(shí)實(shí)現(xiàn)大行程和高精度定位的特性[2]。為了克服這個(gè)問(wèn)題,提出了宏微復(fù)合驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),它采用了宏動(dòng)臺(tái)和微動(dòng)臺(tái)的復(fù)合結(jié)構(gòu),宏動(dòng)臺(tái)負(fù)責(zé)實(shí)現(xiàn)大行程運(yùn)動(dòng),而微動(dòng)臺(tái)則負(fù)責(zé)實(shí)現(xiàn)短行程的精密定位[3]。宏微復(fù)合驅(qū)動(dòng)方式主要有兩種,即堆棧疊加式(微動(dòng)臺(tái)堆棧于宏動(dòng)臺(tái)之上)和同軸對(duì)中式(微動(dòng)臺(tái)與宏動(dòng)臺(tái)在同一軸線上)。其中堆棧疊加式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,但對(duì)于位移的測(cè)量存在阿貝誤差,影響了定位精度;而同軸對(duì)中式避免了測(cè)量時(shí)的阿貝誤差,但安裝時(shí)需要保持宏動(dòng)和微動(dòng)的軸線對(duì)齊,對(duì)結(jié)構(gòu)安裝提出了較高的要求[4]。為解決上述問(wèn)題,課題組將音圈電機(jī)(voice coil motor,VCM)與超磁致伸縮驅(qū)動(dòng)器(giant magnetostrictive actuator,GMA)結(jié)合,提出一種大行程、高精度特性的同軸集成式宏微復(fù)合驅(qū)動(dòng)器,并成功研制了試驗(yàn)樣機(jī)[5]。該方案將宏動(dòng)部分與微動(dòng)部分集成在同一體中,避免了安裝時(shí)對(duì)軸線對(duì)齊的要求,同時(shí)也避免了堆棧疊加式中的阿貝誤差,提高了定位精度[6]。

精密定位平臺(tái)方面的控制策略一直是國(guó)內(nèi)外學(xué)者的熱點(diǎn)研究領(lǐng)域。程苗苗等[7]設(shè)計(jì)了基于正反弦弦函數(shù)的自學(xué)習(xí)非線性 PID 控制器作為音圈電機(jī)的控制策略,有效提高了系統(tǒng)的魯棒性和定位精度,但定位時(shí)間沒(méi)有得到有效改善。LIN等[8]提出了一種自適應(yīng)動(dòng)態(tài)滑模模糊小腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制(cerebellar model articulation controller,CMAC)方法,用于音圈電機(jī)的軌跡跟蹤控制,但該方法在多輸入-多輸出系統(tǒng)中控制難度較大?？禒柫嫉萚9]提出一種以線性自抗擾控制(LADRC)為核心的PMSM無(wú)位置傳感器控制方法,但實(shí)現(xiàn)相對(duì)困難。

針對(duì)上述問(wèn)題,本文提出了一種基于分?jǐn)?shù)階PID的控制策略,以提高宏微復(fù)合驅(qū)動(dòng)器宏動(dòng)系統(tǒng)的定位性能。該策略采用遺傳算法對(duì)分?jǐn)?shù)階PID控制器進(jìn)行次最優(yōu)參數(shù)整定,并仿真分析了系統(tǒng)采用分?jǐn)?shù)階PID控制器的理階躍論響應(yīng)曲線,確認(rèn)該控制策略的理論可行性,最后通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定分?jǐn)?shù)階PID控制器的實(shí)際有效性。

1 同軸集成式宏微復(fù)合驅(qū)動(dòng)器結(jié)構(gòu)及宏動(dòng)部分?jǐn)?shù)學(xué)模型

1.1 同軸集成式宏微復(fù)合驅(qū)動(dòng)器結(jié)構(gòu)

同軸集成式宏微復(fù)合驅(qū)動(dòng)器宏動(dòng)部分主要由永磁體、宏動(dòng)線圈架、內(nèi)外磁軛、宏微結(jié)合架等部分構(gòu)成。宏動(dòng)部分驅(qū)動(dòng)磁場(chǎng)由6個(gè)安裝在外磁軛內(nèi)表面的永磁體提供,與安裝在內(nèi)、外磁軛之間的宏微線圈架共同構(gòu)成了宏動(dòng)部分的磁路。微動(dòng)部分由超磁致伸縮(GMM)棒、微動(dòng)線圈、微動(dòng)線圈架、導(dǎo)磁塊、隔磁筒、輸出桿、后頂桿等組成。微動(dòng)線圈纏繞在微動(dòng)線圈架上,GMM棒通過(guò)導(dǎo)磁塊分別與后頂桿和輸出桿同軸連接。當(dāng)宏動(dòng)部分定位完成后,向微動(dòng)線圈通電后線圈產(chǎn)生磁場(chǎng),GMM棒在磁場(chǎng)作用下發(fā)生軸向形變,補(bǔ)償宏動(dòng)部分定位誤差。工作臺(tái)整體結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 同軸式宏微復(fù)合驅(qū)動(dòng)器結(jié)構(gòu)示意圖

1.2 宏微復(fù)合驅(qū)動(dòng)器宏動(dòng)部分的數(shù)學(xué)模型

宏動(dòng)線圈繞組可以看做1個(gè)等效的RL電路,其等效電路圖如圖2所示。

圖2 宏動(dòng)線圈繞組等效電路圖

圖2中,Uc是電源的輸出電壓,V;RL是線圈回路的電阻,Ω;Lθ是線圈回路的電感,H;Ur是線圈回路運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生的反電動(dòng)勢(shì),V。

當(dāng)線圈中通入直流電時(shí),宏動(dòng)線圈會(huì)受到安培力產(chǎn)生軸向運(yùn)動(dòng),此時(shí)產(chǎn)生的反電動(dòng)勢(shì)Ur如式(1)所示。

Ur=BnLov

(1)

線圈回路的電壓平衡方程為:

(2)

綜合上式得到:

(3)

對(duì)式(3)進(jìn)行拉氏變換,化簡(jiǎn)得到宏動(dòng)部分輸入電壓U(s)與輸出位移X(s)傳遞函數(shù):

(4)

根據(jù)式(4)得到宏動(dòng)部分的數(shù)學(xué)模型框圖如圖3所示。

宏動(dòng)部分相關(guān)參數(shù)具體數(shù)值由表1給出。

表1 宏動(dòng)部分參數(shù)表

2 分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)

2.1 分?jǐn)?shù)階微積分定義及算法實(shí)現(xiàn)

分?jǐn)?shù)階微積分作為一種推廣的微積分形式,其導(dǎo)數(shù)和積分的階數(shù)可以是任意實(shí)數(shù),而不僅僅是正整數(shù)或正實(shí)數(shù)。分?jǐn)?shù)階微積分算子定義為:

(5)

式中:θ是分?jǐn)?shù)階的階次,θ∈R;t是自變量,σ是該變量的下界。

本文采用分?jǐn)?shù)階微積分基于RL定義。對(duì)于β(0<β<1),f(t)是t的因果函數(shù),即有當(dāng)t<0時(shí),f(t)=0,則RL分?jǐn)?shù)階積分和微分定義分別為:

(6)

(7)

分?jǐn)?shù)階微分方程用分?jǐn)?shù)階傳遞函數(shù)描述方式通常為:

(8)

本文使用Oustaloup中近似給定近似頻段的范圍[γa,γb]及近似階次H。根據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分的階次θ,得到近似傳遞函數(shù)為:

(9)

式中:

(10)

(11)

(12)

2.2 分?jǐn)?shù)階PID控制器簡(jiǎn)述

分?jǐn)?shù)階PID控制器原理圖如圖4所示,其中,e(t)為系統(tǒng)輸入值;u(t)為系統(tǒng)輸出值。

圖4 分?jǐn)?shù)階PID控制原理圖

分?jǐn)?shù)階PID控制器在頻域下的傳遞函數(shù)為:

(13)

與傳統(tǒng)的PID控制器相比,分?jǐn)?shù)階PID控制器增加了控制參數(shù)積分階數(shù)λ和微分階數(shù)μ,使得其調(diào)節(jié)范圍擴(kuò)大, 控制效果更優(yōu)。

2.3 基于遺傳算法的分?jǐn)?shù)階PID控制器參數(shù)整定

鑒于遺傳算法可適用于復(fù)雜非線性、非凸優(yōu)化問(wèn)題,且具有全局優(yōu)化、自適應(yīng)性、并行性、可處理等式、不等式約束等優(yōu)點(diǎn),所以選用遺傳算法對(duì)分?jǐn)?shù)階PID控制器進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化。

在使用遺傳算法整定參數(shù)時(shí)不僅要考慮整定效果,還需要考慮整定時(shí)間。若直接對(duì)5個(gè)參數(shù)整定,會(huì)大大增加計(jì)算機(jī)的計(jì)算負(fù)擔(dān),降低整定效率。為提高參數(shù)整定的效率,同時(shí)又兼顧控制效果,采用定階次的次最優(yōu)分?jǐn)?shù)階PID控制器參數(shù)整定方法對(duì)分?jǐn)?shù)階PID五個(gè)參數(shù)進(jìn)行整定。次最優(yōu)分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)整定過(guò)程如圖5所示。

圖5 分?jǐn)?shù)階PID控制器參數(shù)整定流程圖

圖中,比例系數(shù)Kp、積分系數(shù)Ki和微分系數(shù)Kd的整定步驟與整數(shù)階PID控制器參數(shù)整定步驟大致相同,雖然如此得到的參數(shù)不是最優(yōu)的,但為了避免某個(gè)固定階次可能帶來(lái)階次不匹配、系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性和可調(diào)性受限的不好后果,后續(xù)則將階次在一定范圍內(nèi)以一定步長(zhǎng)進(jìn)行變化,得到一系列仿真曲線,在進(jìn)行比較尋優(yōu),最終可得出控制效果最好的積分階次λ和微分階次μ。次最優(yōu)分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)整定方法雖然沒(méi)有將5個(gè)參數(shù)同時(shí)進(jìn)行整定,但卻得到了相較于傳統(tǒng)PID控制器控制效果更好的分?jǐn)?shù)階PID控制器,并且控制器參數(shù)由軟件仿真得到,保證了最終得到的分?jǐn)?shù)階控制器具有良好的控制效果。

3 仿真分析

為驗(yàn)證基于遺傳算法的分?jǐn)?shù)階PID控制器的控制性能,利用遺傳算法模型得到最優(yōu)整數(shù)階PID控制器參數(shù),再基于宏微復(fù)合驅(qū)動(dòng)器宏動(dòng)系統(tǒng)搭建了分?jǐn)?shù)階PID控制器。通過(guò)對(duì)微分階次λ和積分階次μ以一定的仿真步長(zhǎng)在一定范圍內(nèi)仿真尋優(yōu)的方式,得出次最優(yōu)分?jǐn)?shù)階PID控制器的5個(gè)參數(shù)。其中采樣時(shí)間為0.1 ms。為獲取滿(mǎn)意的響應(yīng)曲線,將超調(diào)量(overshoot)和調(diào)節(jié)時(shí)間(settingTime)作為適應(yīng)度函數(shù)的兩個(gè)指標(biāo),適應(yīng)度函數(shù)C為:

C1=1/(settlingTime+overshoot)

(14)

C2=overshoot

(15)

C=ω1C1+ω2C2

(16)

式中:ω1與ω2為權(quán)重系數(shù),其值都為0.5。

遺傳算法種群大小選擇為popsize=30,交叉概率和變異概率分別選擇為Pc=0.8、Pm=0.001-[1:1:popsize]×0.001/popsize,選取參數(shù)Kp的取值范圍是[0,10],Ki取值范圍為[0,30],Kd取值范圍為[0,1],終止進(jìn)化代數(shù)G=100。經(jīng)過(guò)100代迭代,獲得的最優(yōu)適應(yīng)度C=0.706 5,PID整定優(yōu)化參數(shù)為Kp=9.016 0,Ki=25.527 0,Kd=0.740 7。整定過(guò)程中適應(yīng)度函數(shù)C變化過(guò)程如圖6所示。

圖6 適應(yīng)度值C變化過(guò)程

為了得到最終具有良好控制效果的控制器,選取階次λ=[0.2,1.4]、μ=[0.2,1.4]范圍內(nèi)變化,步長(zhǎng)選取為0.1,這樣可以得到一系列的仿真曲線,階躍響應(yīng)曲線如圖7所示(μ值為λ以0.1步長(zhǎng)變化中對(duì)應(yīng)的最優(yōu)值)。

由圖7可知,分?jǐn)?shù)階PID控制器的階次對(duì)系統(tǒng)的控制效果影響較大。經(jīng)過(guò)多次仿真和選擇,得到當(dāng)λ=0.3、μ=1.2時(shí)分?jǐn)?shù)階PID控制器的控制效果最優(yōu)。由此可得到基于遺傳算法的次最優(yōu)分?jǐn)?shù)階PID控制器的5個(gè)最優(yōu)參數(shù)為Kp=9.016 0、Ki=25.527 0、Kd=0.740 7、λ=0.3、μ=1.2,其控制器形式如式(17)所示。

(17)

最優(yōu)控制器階躍響應(yīng)曲線如圖8所示。階躍響應(yīng)對(duì)比如圖9所示。

圖8 次最優(yōu)分?jǐn)?shù)階PID階躍響應(yīng)

由仿真結(jié)果可知,采用遺傳算法整定的次最優(yōu)分?jǐn)?shù)階PID控制器雖然階次采用的為定階次,但由于是采用在一定范圍內(nèi)的定階次整定方法,最后得到的控制系統(tǒng)具有穩(wěn)態(tài)誤差小、超調(diào)量低、上升速度快、調(diào)節(jié)時(shí)間短的優(yōu)點(diǎn),尤其是在動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)定性能上都大大優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制器。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證次最優(yōu)分?jǐn)?shù)階PID控制器的控制性能,搭建了實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)實(shí)物圖如圖10所示。開(kāi)關(guān)電源型號(hào)MEANWELL HRP-600-30,驅(qū)動(dòng)器型號(hào)為PAC-483A,直流供電電壓為24～48 V,峰值電流為6 A。光柵位移傳感器型號(hào)RENISHAW RGH24I30D00A,分辨率為10 nm。

圖10 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)搭建實(shí)物圖

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)通訊流程圖如11所示。

圖11 實(shí)驗(yàn)通訊流程圖

實(shí)驗(yàn)對(duì)10 mm大行程、5 mm和1 mm中小行程及0.1 mm微行程分別進(jìn)行傳統(tǒng)PID控制器與分?jǐn)?shù)階PID控制器對(duì)比實(shí)驗(yàn),以此來(lái)突出分?jǐn)?shù)階PID控制器在實(shí)際控制效果上的有效性。

由圖12～圖15可知,分?jǐn)?shù)階PID控制器相較于傳統(tǒng)PID控制器,在10 mm大行程中超調(diào)量由1.407 mm下降至0.641 mm,下降了54.28%,調(diào)節(jié)時(shí)間由1261 ms減少至809 ms,減少了35.84%;在5 mm中行程中超調(diào)量由1.143 mm下降至0.482 mm,下降了57.83%,調(diào)節(jié)時(shí)間由1167 ms減少至885 ms,減少了24.16%;在1 mm中小行程中超調(diào)量由0.298 mm下降至0.276 mm,下降了7.38%,調(diào)節(jié)時(shí)間由718 ms減少至561 ms,減少了21.87%;在0.1 mm微行程中超調(diào)量由0.021 mm下降至0.020 mm,下降了4.76%,調(diào)節(jié)時(shí)間由230 ms減少至209 ms,減少了9.58%。

圖12 10 mm行程響應(yīng)曲線

圖14 1 mm行程響應(yīng)曲線

5 結(jié)論

本文提出了一種次最優(yōu)分?jǐn)?shù)階PID控制方法,并將其與傳統(tǒng)PID控制方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比驗(yàn)證。得出了以下結(jié)論:

(1)系統(tǒng)采用分?jǐn)?shù)階PID控制器的位移超調(diào)量相較于傳統(tǒng)PID控制器得到了較大的抑制。且行程越大,抑制效果越明顯。

(2)分?jǐn)?shù)階PID控制方法可確保系統(tǒng)在較短時(shí)間內(nèi)達(dá)到目標(biāo)位移,相較于傳統(tǒng)PID控制方法在調(diào)節(jié)時(shí)間上得到了有效改善。