黃 剛,萬雨龍
(湖南工業(yè)大學軌道交通學院,株洲 412007)
永磁同步電機(permanent magnet synchronous motor,PMSM)由于其結(jié)構(gòu)簡單、功率密度高、性能高和損耗低,被廣泛應(yīng)用于機器人、運輸、電梯和機床等工業(yè)領(lǐng)域中[1]。作為一個非線性系統(tǒng),永磁同步電機控制系統(tǒng)在各種條件下運行時,往往會因非線性、參數(shù)不確定性和外部擾動而失真,從而導致系統(tǒng)出現(xiàn)不理想的動態(tài)響應(yīng)[2]。在這種情況下,使用傳統(tǒng)的線性反饋控制可能無法保證電機系統(tǒng)的整體性能。因此,需要一種替代方法來保持電動機驅(qū)動器的高動態(tài)性能。目前已有多種非線性控制方法來提高電機系統(tǒng)的控制性能,包括反步控制[3]、自適應(yīng)控制[4]、模糊邏輯控制[5]、滑??刂芠6]和模型預(yù)測控制[7]等。在這些方法中,反步控制是一種基于Lyapunov穩(wěn)定性理論的非線性系統(tǒng)的系統(tǒng)迭代和遞歸方法,它確保了全局漸近穩(wěn)定性[8]。這種方法可以將復(fù)雜的非線性控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為簡單的降階子系統(tǒng)[9]。通過遞歸設(shè)計和虛擬控制變量,可以導出用于電機位置跟蹤或速度調(diào)節(jié)的控制方法。然而,反步控制方法是基于模型的,不能確保PMSM系統(tǒng)在存在不確定性和外部擾動的情況下的魯棒性[10]?;?刂?sliding mode control,SMC)因其對干擾的魯棒性、快速響應(yīng)時間和易于實現(xiàn)而日益受到關(guān)注[11]。該控制方法主要通過其非連續(xù)切換項獲得強魯棒性能,然而不適當?shù)那袚Q增益將會引起系統(tǒng)抖振[12]。將SMC與擾動觀測器相結(jié)合是提高基于SMC方法魯棒性的一種有效方法。擾動觀測器可以估計未知擾動(包括參數(shù)變化和外部擾動),并將其前饋給SMC,從而減少抖振[13]。非線性擾動觀測器(nonlinear disturbance observer,NDO)因其易于實現(xiàn)并產(chǎn)生可靠的擾動估計,成為目前的主流擾動觀測器技術(shù)[4]。然而,此類研究使用的NDO大都采用固定觀測器增益,這可能導致觀測器在某些關(guān)鍵場景下提供較慢的收斂速度,例如外部負載扭矩的突然變化[13]。
本文的主要目標是采用反步控制(Backstepping)和SMC結(jié)合的方法來設(shè)計一種反步滑??刂破?BSMC)用于位置跟蹤控制。然而,由于反步方法的固定收斂增益,BSMC可能會在位置步長分布中引起大的過沖。為了解決這個問題,本文提出了一種包含自適應(yīng)收斂增益的自適應(yīng)反步滑??刂品椒?ABSMC)。該方法,既可以將實際位置加速到目標位置,又可以減少過沖。此外,通過改進NDO的非線性觀測器增益函數(shù),可以估計參數(shù)不確定性和外部負載轉(zhuǎn)矩擾動,并為ABSMC提供前饋補償,保持ABSMC的魯棒性,減少穩(wěn)態(tài)誤差。
假定三相PMSM為理想電機,且滿足:忽略電機鐵心飽和;不計電機中的渦流與磁滯損耗;電機中的電流為對稱的三相正弦電流。則PMSM系統(tǒng)在轉(zhuǎn)子d-q參考系中的數(shù)學模型可以表示為[2]:
(1)
(2)
(3)
(4)
式中:id、iq分別為d-q坐標系下的定子電流,vd、vq分別為d-q坐標系下的定子電壓,Ld、Lq分別為d-q坐標系下的定子電感,ω為轉(zhuǎn)子機械角速度,θ為轉(zhuǎn)子機械角度,P為磁極對數(shù),Φ為電機永磁磁通,J為轉(zhuǎn)動慣量,R為定子相電阻,B為粘滯摩擦系數(shù),TL為負載轉(zhuǎn)矩。
假設(shè)TL為未知,但在較小的采樣間隔內(nèi)變化緩慢。在實際操作條件下,電機經(jīng)常會受到內(nèi)部參數(shù)變化和外部擾動的影響。根據(jù)式(3),力學方程可以改寫為:
(5)
式中:Jn和Bn分別是J和B額定值,并且J=Jn+ΔJ,B=Bn+ΔB。
為了便于控制器的設(shè)計,把PMSM系統(tǒng)式(1)~式(4)改寫為式(6)~式(9)。
(6)
(7)
(8)
(9)
式(6)~式(8)用于構(gòu)建q軸電流控制器(圖1中的步驟1~步驟3),式(9)用于構(gòu)建d軸電流控制器(圖1中的步驟4)。
圖1 基于ABSMC+NDO的PMSM控制原理圖
(10)
根據(jù)式(10),式(7)的虛擬控制輸入被設(shè)計為:
(11)
式中:c0>0是漸近收斂速度的正常數(shù)。
(12)
(13)
然后可以將式(8)的虛擬控制輸入確定為:
(14)
(15)
式(11)和式(15)中的正增益c0和c1表示反步控制器的收斂增益。如果這些增益較大,系統(tǒng)將具有更快的響應(yīng)和優(yōu)越的魯棒性,但在階躍信號中將發(fā)生較大的過沖。如果這些增益的值很小,系統(tǒng)將響應(yīng)緩慢,過沖將減少。因此,在穩(wěn)定時間和過沖之間存在權(quán)衡。這個問題將在2.3節(jié)中通過設(shè)計一個自適應(yīng)算法來解決。
(16)
結(jié)合式(14)和式(15),式(16)可改寫為:
(17)
滑動模塊的恒定比例速率趨近律[13]設(shè)計如下:
(18)
由此得到的控制系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的:
對e2求導可得:
(19)
式中:
(20)
結(jié)合式(7)和式(13),式(20)可改寫為:
(21)
基于上述方程,vq可表示為:
(22)
(23)
式中:α1>0,并且使用趨近律[13]得到:
(24)
并對式(23)求導得:
(25)
結(jié)合式(24)和式(25)可得:
(26)
非線擾動觀測器(NDO)設(shè)計為:
(27)
(28)
內(nèi)部狀態(tài)量z被定義為:
(29)
(30)
本文設(shè)計了一個非線性設(shè)計函數(shù)p(x1)為:
(31)
式中:L1和L2>0是常參數(shù)。該NDO采用了結(jié)合一階和二階狀態(tài)變量的非線性設(shè)計函數(shù)p(x1)。將非線性函數(shù)p(x1)對x1進行微分得到:
l(x1)=L1+2L2x1sgn(x1)≥L1
(32)
觀測器增益l(x1)被構(gòu)造為滿足觀測器誤差的全局指數(shù)穩(wěn)定性的條件[13]。很明顯,與文獻[15]中使用的恒定增益L1相比,本文的l(x1)具有更大的幅度。非線性增益l(x1)可以提供更快的收斂速度,同時也減少了觀測器誤差[13]。
式中:f(e0)=λe-η|e0|0.5,η>0是實驗確定的閾值。
利用MATLAB/Simulink仿真軟件對PMSM系統(tǒng)進行數(shù)值實驗,仿真模型如圖1所示,電機參數(shù)選取如表1所示。
表1 PMSM的參數(shù)值
控制器參數(shù)包括BSMC的參數(shù)c0、c1、k1、k2、k3、k4、α1;以及自適應(yīng)算法的參數(shù)δ、λ、η。其中c0=c1,k1=k3,k2=k4。在恒定比例速率趨近律[13]下,參數(shù)(k1、k2)和(k3、k4)與vq和vd有關(guān)。首先,我們通過運行具有梯形速度運動階躍信號但沒有NDO組合的電機來配置BSMC參數(shù)。初始值c0和c1被選擇為大于0.5an。根據(jù)實驗結(jié)果確定了恒定比例速率趨近律[13]的因子k1、k2、k3、k4和α1,以便有效地減少系統(tǒng)抖振;然后,我們逐漸增加c0、c1,以將瞬態(tài)位置誤差減小到可接受的值。在預(yù)先調(diào)整BSMC的參數(shù)后,將NDO與BSMC相結(jié)合,以減少電機系統(tǒng)中的擾動和不確定性的影響。添加NDO后,瞬態(tài)位置誤差應(yīng)減小。觀測器增益L2=0,L1首先選擇較小的值,然后L1逐漸增加以獲得可接受的位置誤差。類似地,在保持合適的L1的情況下,我們將L2配置為較小的值,并逐漸增加L2,以進一步減少穩(wěn)態(tài)位置誤差。在選擇了BSMC和NDO的參數(shù)后,調(diào)整自適應(yīng)增益(λ和η),從而調(diào)整收斂增益c0和c1。通過進行實驗,我們得到λ的值在1~4范圍內(nèi),η在0.1~2范圍內(nèi)時將得到更好的結(jié)果。閾值δ被配置為從一個小值開始,并逐漸增加,直到過沖減少。
(a) 位置跟蹤 (b) 自適應(yīng)收斂增益
(a) e0 (b) e1
(a) e0 (b) e1
本研究提出了一種基于ABSMC和NDO的提高PMSM系統(tǒng)位置響應(yīng)的有效方法。ABSMC位置控制器包括BSMC和自適應(yīng)收斂增益算法,BSMC是反步和滑??刂频慕Y(jié)合,簡化了控制結(jié)構(gòu),提高了位置跟蹤的動態(tài)響應(yīng),當電機在當電機在梯形階躍信號下運行時,使用自適應(yīng)收斂增益算法來減少大的過沖位置響應(yīng);并用具有非線性觀測器增益函數(shù)的NDO來估計參數(shù)和外部負載轉(zhuǎn)矩的不確定性,將其用作ABSMC的前饋補償。仿真對比結(jié)果證實了所提方法的有效性,表明該方法可以提高PMSM控制系統(tǒng)的整體性能,包括快速瞬態(tài)響應(yīng)、小的穩(wěn)態(tài)位置誤差、減少過沖量和對未知擾動的魯棒性。