浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)海創(chuàng)園學(xué)校 (311121) 陶勇勝

圓錐曲線問題是考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和邏輯推理核心素養(yǎng)的重要抓手之一,在近幾年高考及各地模擬考試中,此類問題因在求解過程中含多個變量,往往具有較大且復(fù)雜的運算量,讓學(xué)生束手無策、望而生畏,是學(xué)生解題過程中的一個“痛”點.對于高考中的這一熱點和難點,如果能根據(jù)已知條件,選擇合適的直線參數(shù)方程,將會使得解題過程更為簡潔、高效.本文先介紹直線參數(shù)方程的相關(guān)概念,再以2023年圓錐曲線高考題為例,運用直線參數(shù)方程對其進(jìn)行探究,回歸教材尋求突破之法.

1.直線參數(shù)方程的相關(guān)概念

圖1

一般地,若過定點P0(x0,y0)直線l與二次曲線相交于P1、P2兩點,P1,P2對應(yīng)參數(shù)分別為t1,t2,則根據(jù)參數(shù)方程中的t幾何意義,有以下性質(zhì):

2.直線參數(shù)方程在圓錐曲線中的應(yīng)用

圖2

解:(1)易得p=2.

圖3

點評:該題設(shè)計巧妙、新穎,以一個邊長變化的矩形“搭”在拋物線上為載體,考查矩形在滑動過程中求矩形周長的最值問題,需要學(xué)生有一定的動態(tài)思維能力,又需要在變化過程中找到不變量的邏輯推理能力.本題選擇合適的直線參數(shù)方程,利用上述中的性質(zhì)(1),簡潔地得到矩形兩邊的邊長,進(jìn)而得到矩形周長L的表達(dá)式,突破本題的難點.由于(＊)式中各項均為正,周長L的最小值只有當(dāng)分子為零時取得,整個解題過程簡潔、高效,避免了繁雜的運算.

圖4

點評:該題以“若kAM+kAN為定值,則直線MN過定點”的定點問題為背景,其背景熟悉、表達(dá)簡練、切入口寬.本題的關(guān)鍵點是由直線AP、AQ的方程得到點M、N的坐標(biāo).設(shè)直線PQ的參數(shù)方程后,便捷得到點P、Q的坐標(biāo),再結(jié)合點A的坐標(biāo),得到直線AP、AQ的方程,突破本題的關(guān)鍵點.顯然,除了解決圓錐曲線中與長度有關(guān)的問題,直線的參數(shù)方程對于解決定點問題仍是一種十分高效的方法.實際上,此題與2022年全國數(shù)學(xué)理科乙卷第20題背景相似,也可以用直線的參數(shù)方程求解,讀者可以進(jìn)行嘗試.

圖5

點評:該題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,可以從多個角度理解直線MN,點M、N可以看成直線MA1、NA2與雙曲線的交點,也可以看成直線MN與雙曲線的交點,即選擇直線MN的初始參變量不同,將導(dǎo)致解題過程的運算量大小不同.本題把點M、N看成直線MN與雙曲線的交點,巧設(shè)直線MN的參數(shù)方程,整個解題過程中始終將t作為初始參變量,大大減少了運算量.與例3相比,例4出現(xiàn)了非對稱韋達(dá)結(jié)構(gòu),常將sinα或cosα用t1、t2表示,轉(zhuǎn)化為關(guān)于t1、t2的一次式進(jìn)行化簡運算,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學(xué)思想.

3.教學(xué)啟示

3.1 深究教材,為教學(xué)活動多元化奠定基礎(chǔ)

直線的參數(shù)方程這一部分內(nèi)容在新人教A版教材中以“探索與發(fā)現(xiàn)”的形式出現(xiàn),似乎在高考中直接考查并不多,故在平時教學(xué)中容易忽視,但高三復(fù)習(xí)時,教師應(yīng)充分挖掘新教材的思想,滲透新教材的方法,利用直線的參數(shù)方程開展多元化的教學(xué)活動,引導(dǎo)學(xué)生多題一解,拓寬學(xué)生的解題思路,在提高解題正確率的同時有助于學(xué)生擺脫解題慣性,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

3.2 尋法教材,為破解高考真題提供良策

從近幾年圓錐曲線的高考試題來看,基于教材中的數(shù)學(xué)思想和方法為出發(fā)點的命制試題不在少數(shù),教材是教師和學(xué)生學(xué)習(xí)知識的共同載體,也是高考命題的重要依據(jù),命題專家根據(jù)教材挖掘有價值的材料,進(jìn)行命題設(shè)計,能起到良好的導(dǎo)向作用,教師可與學(xué)生一起在教材中“尋法”,通過教材尋求破解方法,幫助學(xué)生實現(xiàn)“遷移數(shù)學(xué)知識、類比解題方法,從具體的教學(xué)情境中抽象出共性、方法和體系”[1],突破機械式“刷題”,使得“減負(fù)增效”落到實處.

3.3 回歸教材,為落實依標(biāo)施教精準(zhǔn)定位

章建躍博士認(rèn)為:“回歸教材、依標(biāo)施教是高考命題改革的大勢所趨,教材是從課標(biāo)到教學(xué)的橋梁紐帶,教學(xué)中注重用好教材,切實做到依標(biāo)施教”[2].如果教師脫離教材教學(xué),一味追求教輔上的“二級結(jié)論”,熱衷“秒殺大招”,將導(dǎo)致學(xué)生在知識和方法遷移上捉襟見肘,遇到新的面孔,不能套路化,不會思考,長期以往,師生苦教苦學(xué),教學(xué)效果甚微.唯有在課堂中注重教材中的通性通法,幫助學(xué)生在教師指導(dǎo)下,超越具體特技、特法深入到思維層面,注重學(xué)習(xí)的遷移運用和問題解決,在相似的情境中能夠做到“舉一反三”,才能使得學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人.

3.4 立足教材,為試題命制和解題教學(xué)把握方向

試題命制和解題教學(xué)都是教師在教學(xué)活動中不可缺少的重要技能,從教材中的數(shù)學(xué)思想和方法研究出發(fā)的試題命制和解題教學(xué),既能幫助教師把握命題邏輯的正確性,確保命題試題的廣度和深度,也能幫助教師從不同角度對高考試題引申、類比和拓展,把高考試題價值最大化,還能幫助教師能從數(shù)學(xué)的本質(zhì)出發(fā),呈現(xiàn)知識的生成過程,使得復(fù)習(xí)備考真正做到“精準(zhǔn)高效”.