肖啟星

［摘? 要］ 初中數(shù)學的章起始課是數(shù)學教學中的重要課型. 研究者通過回顧一次函數(shù)學習活動經(jīng)驗，引導學生類比思考，讓學生整體建構(gòu)二次函數(shù)學習內(nèi)容；同時以大概念為指導，幫助學生在二次函數(shù)知識建構(gòu)的過程中形成數(shù)學思維方式，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 章起始課；大概念引領(lǐng)；整體化建構(gòu)；二次函數(shù)

初中數(shù)學的章起始課是數(shù)學教學中的重要課型. 通過章起始課，學生可以整體感知整個章節(jié)內(nèi)容，為后續(xù)學習奠定基礎(chǔ). 同時，章起始課還提供了師生、生生互動交流的機會，讓學生體會章節(jié)的學習方法和策略，有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和解決問題的能力. 因此，重視并有效利用章起始課，對于提高初中數(shù)學教學質(zhì)量和促進學生的全面發(fā)展具有重要意義.

2022年11月，筆者在廣東省教育科學研究院的安排下，錄制了廣東省中小學青年教師教學能力大賽一等獎優(yōu)質(zhì)教學資源課例——“二次函數(shù)”章起始課. 本節(jié)課的教學以“大概念引領(lǐng)，整體化建構(gòu)”為立意，按照先行組織、類比思考、整體建構(gòu)的思路展開. 接下來，筆者將闡述這節(jié)課的教學實踐與教學思考.

內(nèi)容分析

本節(jié)課是北師大版九年級下冊第二章第一節(jié)“二次函數(shù)”的內(nèi)容. 二次函數(shù)是初中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，它是學生學習代數(shù)式、方程、一次函數(shù)、反比例函數(shù)后的綜合學習內(nèi)容. 二次函數(shù)的學習不僅強化了學生對函數(shù)概念、圖象、性質(zhì)、應(yīng)用、研究方法等進一步的理解掌握，同時也為高中繼續(xù)學習其他函數(shù)和一元二次不等式奠定了基礎(chǔ).

學情分析

學生已經(jīng)經(jīng)歷了一些解決實際問題的活動，會從實際問題中抽象出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的概念，并會用列表、圖象、解析式三種方法研究函數(shù)，以及掌握了所學函數(shù)的表達式、圖象及其性質(zhì)，為學習二次函數(shù)新知識打下了基礎(chǔ). 同時在以前的數(shù)學學習活動中也積累了一定的合作交流經(jīng)驗，具備了一定的自主探究的能力.

目標設(shè)置

1. 在實際問題中建立變量間的二次函數(shù)關(guān)系，感悟其中的模型觀念.

2. 通過類比一次函數(shù)形成二次函數(shù)的研究方法，對本章內(nèi)容形成結(jié)構(gòu)化和整體性認識，提升自主建構(gòu)知識的能力.

3. 體會數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)抽象能力，發(fā)展幾何直觀.

重點難點

基于以上教學內(nèi)容和學情分析，本節(jié)課以章起始課引領(lǐng)二次函數(shù)定義的學習，確定教學重難點.

教學重點：根據(jù)實際問題建立二次函數(shù)模型；研究二次函數(shù)的基本思路.

教學難點：從實際問題中建立二次函數(shù)的表達式.

教學實踐

本節(jié)課從以下5個教學環(huán)節(jié)展開：回顧舊知，引入概念；歸納類比，形成概念；應(yīng)用新知，辨析概念；拓展提升，鞏固新知；總結(jié)思考，內(nèi)化升華.

環(huán)節(jié)1：回顧舊知，引入概念.

問題1：大家有沒有留意過噴泉水流經(jīng)過的路線？觀看籃球比賽時你是否留意過籃球入網(wǎng)的路線？它們會與某種函數(shù)有聯(lián)系嗎？這就是本章要學習的內(nèi)容.

設(shè)計意圖? 通過講解章引言和章頭圖，設(shè)疑引趣，喚起學生的求知欲. 同時明確本章的學習目標，為學生學習整個章節(jié)的知識起一個統(tǒng)領(lǐng)性的作用.

問題2：展示五個情境，學生思考.

情境1：在本月體育測試中，初三女生進行了長跑練習，平均速度為300 m/min.? 假設(shè)練習時間為t（min），女生跑的路程為s（m），那么s與t之間的函數(shù)關(guān)系式是什么？

情境2：小勤同學買了一本中考英語詞匯書，該書共有4000個單詞，假設(shè)她計劃用y天掌握全部單詞，平均每天需掌握的單詞數(shù)為 x（個），那么 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式是什么？

情境3：用總長為20 ｍ的籬笆，一面靠墻，圍成一個矩形的花圃. 設(shè)矩形垂直于墻的一邊長為x ｍ，矩形的面積y ｍ2，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是什么？

情境4：隨著中考臨近，初三某畢業(yè)班的每個同學都向其他同學贈送一張自己的照片留作紀念. 若學生有x人（x≥2），他們互相贈送的照片總數(shù)為y張. y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是什么？

情境5：某商場銷售一批衣服，每件進價40元，據(jù)市場分析，若按每件60元銷售，平均每天可售出10件. 經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，衣服單價每降1元，商場平均可多售出2件. 若每件衣服降價x元，商場銷售此種衣服的數(shù)量為y件，銷售此種衣服的總利潤為w元. y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是什么？w與x之間的函數(shù)關(guān)系式是什么？

設(shè)計意圖? 從生活實際出發(fā)，學生自主發(fā)現(xiàn)兩個變量之間具有某種數(shù)量關(guān)系，讓學生感知函數(shù)的價值. 書寫函數(shù)表達式的過程，就是將生活問題數(shù)學化的過程，進一步培養(yǎng)學生的模型觀念.

學生思考獲得以下函數(shù)表達式：（1）s=300t；（2）y=；（3）y= -2x2+20x；（4）y=x2-x；（5）y=10+2x，w=-2x2+30x+200.

問題3：其中有你熟悉的函數(shù)嗎？我們是從哪些方面研究這些函數(shù)的？

設(shè)計意圖? 通過對一次函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)、應(yīng)用的復習，喚醒學生已有的研究函數(shù)的基本范式，為后續(xù)研究二次函數(shù)做好鋪墊.

環(huán)節(jié)2：歸納類比，形成概念.

問題4：（3）（4）及（5）中第二個函數(shù)這三個函數(shù)表達式有什么共同特征，你覺得叫什么名字合適？類比一次函數(shù)你能否歸納這類函數(shù)的定義？

學生通過對一次函數(shù)的觀察和類比，能夠得到這三個函數(shù)的共同特點：它們是關(guān)于自變量的二次多項式. 由此可以得到二次函數(shù)的定義：兩個變量x，y之間的對應(yīng)關(guān)系可以表示成y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的形式，稱y是x的二次函數(shù). a，b，c分別叫作二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項.

設(shè)計意圖? 觀察到三個表達式的共同特征都是含有自變量的二次項. 學生通過類比一次函數(shù)的命名來對這三個函數(shù)表達式進行命名，在新知識與舊知識的對比中，教師引導學生歸納出二次函數(shù)的概念和表達式，從而培養(yǎng)他們的抽象能力.

環(huán)節(jié)3：應(yīng)用新知，辨析概念.

練習1：下列各式中，y是x的二次函數(shù)嗎？如果是，請指出各項系數(shù)a，b，c是多少；如果不是，請說明理由.

設(shè)計意圖? 通過交流分享，概念辨析，加深學生對二次函數(shù)概念的理解. 在對各項系數(shù)辨析的過程中，強化學生的符號意識，發(fā)展其模型觀念.

問題5：請同學們嘗試在生活中或熟悉的數(shù)學問題中尋找二次函數(shù)的實例.

學生根據(jù)上一章一元二次方程所學和生活實踐體會提出：圓的面積與半徑之間的關(guān)系、自由落體物體下落的高度與時間的關(guān)系、握手問題、增長率問題等都有二次函數(shù)的實例.

設(shè)計意圖? 通過尋找生活中二次函數(shù)模型并列出二次函數(shù)的關(guān)系，進一步發(fā)展學生的模型觀念. 通過感知二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，為學生今后學習二次函數(shù)的應(yīng)用奠定基礎(chǔ).

環(huán)節(jié)4：拓展提升，鞏固新知.

練習2：用總長為20 ｍ的籬笆，一面靠墻，圍成一個矩形的花圃. 設(shè)矩形垂直于墻的一邊AB的長為x ｍ，矩形的面積為y ｍ2．（1）求y與x之間的關(guān)系式和變量x的取值范圍. （2）當x取2 m、4 m、6 m、8 m時，相應(yīng)的y值分別是多少？（3）你還能提出什么問題？

在“你還能提出什么問題”這個環(huán)節(jié)中，學生有如下問題：

①AB邊為多長時，花圃的面積為49？

師：你是怎樣想到這個問題的？

生：之前一直都是已知x去求y，我想反過來. （培養(yǎng)學生逆向思維）

師：如何解決這個問題？

生：可以通過建立一元二次方程求解. （學生進一步感知二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系）

②AB邊為多長時，花圃的面積最大？

師：你是怎樣想到這個問題的？

生：x取2 m、4 m、6 m、8 m時，y的值都不一樣，我猜測能否有最大值.

師：如何解決這個問題？

生：多給一些數(shù)據(jù). （學生從特殊到一般去思考問題，發(fā)展抽象素養(yǎng)）

設(shè)計意圖? 學生通過編題，更加清晰地了解條件和結(jié)論的關(guān)系，能充分感知二次函數(shù)作為一個模型的主要作用是描述現(xiàn)實問題中的數(shù)量關(guān)系.

練習3：試填表（見表1），并觀察表格，你發(fā)現(xiàn)了什么？

學生通過自主描點、連線觀察，初步感知二次函數(shù)圖象為曲線，教師順勢提出了二次函數(shù)的圖象是拋物線的概念. 進一步觀察圖象，學生會發(fā)現(xiàn)隨著x的增大，y先增大再變小. 教師適時引導學生思考：這個二次函數(shù)的圖象還有什么樣的性質(zhì)？學生通過合作交流歸納出二次函數(shù)的開口方向、增減性、對稱性、最值性等，學習了數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展了模型觀念.

設(shè)計意圖? 探究“何時矩形的面積最大”的問題中，教師讓學生用列表、圖象、解析式三種方法去研究函數(shù)的最值的問題，為學生進一步學習二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)打好基礎(chǔ). 這也體現(xiàn)了研究二次函數(shù)的路徑：定義、圖象、性質(zhì)、應(yīng)用. 通過構(gòu)建二次函數(shù)單元的整體框架，有效幫助學生整體把握單元學習的主干知識，較好地體現(xiàn)了單元整體的教學理念.

環(huán)節(jié)5：總結(jié)思考，內(nèi)化升華.

問題6：（1）本節(jié)課我們學習了什么？我們是怎么得到二次函數(shù)的？（2）我們從哪些方面研究函數(shù)？后續(xù)我們將學習二次函數(shù)的哪些知識？

設(shè)計意圖? 學生經(jīng)過教師點撥、自主探究與合作交流，實現(xiàn)了知識的類比遷移，總結(jié)出了二次函數(shù)與之前所接觸的函數(shù)同樣遵循一定的研究路徑：先把函數(shù)的概念通過具體的事例中抽象出來，再對函數(shù)的圖象及性質(zhì)進行探究，最后用函數(shù)的概念和性質(zhì)解決實際問題. 給出二次函數(shù)的整體框架圖，為后續(xù)的課堂教學提供明確的方向.

作業(yè)布置：

（基礎(chǔ)性作業(yè)）隨堂練習第1題，習題2.1第1題；

（拓展性作業(yè)）對于函數(shù)表達式y(tǒng)=3x3+1你可以給它命名嗎？并說說你打算如何研究它？

設(shè)計意圖? 通過拓展性作業(yè)，讓學生對函數(shù)的學習內(nèi)容、研究方法、應(yīng)用價值有更深層次的理解，從而類比探索未知函數(shù)y=3x3+1，發(fā)展遷移能力. 學生在高中學習指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等知識時，知道從概念、圖象、性質(zhì)、應(yīng)用這些角度去研究.

教學思考

1. 重視大概念引領(lǐng)，凸顯函數(shù)本質(zhì)意義

通過對教材和課程標準進行研究，對具有相同的知識結(jié)構(gòu)、研究路徑、思想方法的教學內(nèi)容進行梳理，提煉出大概念. 在大概念的引領(lǐng)下，教學內(nèi)容由相同的研究路徑加以支撐，從而形成體現(xiàn)數(shù)學學科本質(zhì)，能發(fā)展學生未來學習力的結(jié)構(gòu)化知識體系.

筆者對“函數(shù)是研究客觀事物變化規(guī)律的重要模型”這一大概念進行提煉，通過具體實例讓學生感受豐富的函數(shù)問題背景，體驗一次函數(shù)與二次函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系. 學生在類比的學習過程中，對“函數(shù)”大概念有進一步的深入理解和掌握，從而更好地理解函數(shù)的本質(zhì)，掌握函數(shù)的思想和方法，提高函數(shù)的應(yīng)用能力.

2. 滲透整體化建構(gòu)，重視單元整體教學

在初中階段，學生通過學習一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)等單元，深入理解了函數(shù)的概念及其在實際問題中的應(yīng)用. 因此，初中函數(shù)的學習需要注重整體性和結(jié)構(gòu)性，幫助學生建立完整的函數(shù)知識體系，為學生進一步學習數(shù)學和其他學科打下堅實的基礎(chǔ).

筆者把比較宏觀的單元整體教學微縮到章起始課教學中，用單元整體教學的結(jié)構(gòu)、思路、方式，處理章起始課的課時教學. 在章起始課中，筆者既揭示了二次函數(shù)單元的知識架構(gòu)，又突出了本單元的核心問題，還滲透了本單元所需要的數(shù)學思想方法.

3. 注重思維的訓練，發(fā)展學生核心素養(yǎng)

課程目標以學生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導向. 核心素養(yǎng)是數(shù)學學習的關(guān)鍵，它有助于培養(yǎng)學生的思維能力，提高學生解決問題的能力.

筆者在教學二次函數(shù)時，通過實例引入二次函數(shù)的概念，讓學生從實際情境中抽象出數(shù)學模型，培養(yǎng)抽象能力；通過探究矩形面積問題的實際情境，讓學生進一步感受二次函數(shù)的模型，并理解如何運用二次函數(shù)模型解決實際問題，培養(yǎng)模型觀念；通過列表、描點、作圖，進一步體會二次函數(shù)表達式和函數(shù)圖象的相互轉(zhuǎn)換，感知數(shù)形結(jié)合思想.