? 新疆實(shí)驗(yàn)中學(xué) 阿麗米熱·艾尼

近幾年的高考對(duì)數(shù)列知識(shí)的考查切實(shí)吻合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》的要求.以數(shù)列的基本概念、基本類型、基本公式、基本性質(zhì)以及基本應(yīng)用等入手,堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向,重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與數(shù)學(xué)本質(zhì),突出能力為重,是高考命題中專注學(xué)科素養(yǎng)培養(yǎng)、體現(xiàn)關(guān)鍵能力考查的一個(gè)主要載體.同時(shí),數(shù)列知識(shí)可以很好回歸數(shù)列的函數(shù)屬性,巧妙聯(lián)系函數(shù)與方程、不等式等相關(guān)知識(shí),起到很好的知識(shí)交匯與融合的作用;數(shù)列知識(shí)又可以合理聯(lián)系生活實(shí)際,對(duì)于實(shí)際應(yīng)用與創(chuàng)新應(yīng)用也有很好的導(dǎo)向作用.

基于此,數(shù)列成為高考命題中的主干知識(shí)點(diǎn)之一,也是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一.為了更好地、更有針對(duì)性地對(duì)數(shù)列專題進(jìn)行復(fù)習(xí),筆者結(jié)合內(nèi)容給出如下備考建議.

1 把握復(fù)習(xí)方向,科學(xué)精準(zhǔn)研究

高考復(fù)習(xí)與備考,往往是基于對(duì)專題知識(shí)的精準(zhǔn)研究,充分把握備考方向?yàn)楦?深入研究“課標(biāo)”,回歸教材,研究歷年高考真題等,從中探尋一些高考命題的方向與特征,為更加有效的復(fù)習(xí)備考提供條件.

對(duì)于數(shù)列模塊的復(fù)習(xí)備考,必須基于數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí),通過“三靠”(靠知識(shí)、靠技能、靠思維)來解決數(shù)學(xué)能力問題,依托“三練”(練思路、練運(yùn)算、練表達(dá))來合理訓(xùn)練與提升,實(shí)現(xiàn)復(fù)習(xí)教學(xué)的“三會(huì)”(會(huì)觀察、會(huì)聯(lián)想、會(huì)轉(zhuǎn)化)目的.基于此,巧妙將數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式等加以綜合與交匯,有時(shí)還要將數(shù)列與概率等相關(guān)知識(shí)加以融合,實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新與應(yīng)用.

例1已知數(shù)列{an}滿足an=an+1+an-1(n≥2),設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S202=201,S201=202,則S203=______.

分析：根據(jù)題設(shè)條件,合理通過數(shù)列遞推關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化,確定數(shù)列{an}是周期為6的周期數(shù)列,進(jìn)而利用題設(shè)條件中的S202=201,S201=202,確定相應(yīng)項(xiàng)的值,進(jìn)而加以分析與求解.

解析：由an=an+1+an-1,可得an+1=an-an-1.

所以an+2=an+1-an=-an-1,an+3=an+2-an+1=-an,則有an+6=-an+3=an,故數(shù)列{an}是周期為6的周期數(shù)列.

又由an+3=-an,得an+an+3=0,從而an+an+1+an+2+an+3+an+4+an+5=0,即數(shù)列{an}中連續(xù)6項(xiàng)之和為0,而a1+a4=0,a197+a198+a199+a200+a201+a202=0,a3=a2-a1,所以S202=a1+a2+a3+a4+33(a197+a198+a199+a200+a201+a202)=a2+a3=201,S201=a1+a2+a3+33(a196+a197+a198+a199+a200+a201)=a1+a2+a3=2a2=202.

解得a2=101,a3=100.

又a1+a4=0,a2+a5=0,所以S203=a1+a2+a3+a4+a5+33(a198+a199+a200+a201+a202+a203)=a3=100.

點(diǎn)評(píng)：涉及陌生的數(shù)列問題,特別涉及數(shù)列的遞推關(guān)系式問題,往往可以通過多個(gè)式子,合理觀察相應(yīng)式子之間的關(guān)系,加以合理化歸與轉(zhuǎn)化,巧妙變形應(yīng)用,從而歸納與總結(jié)其基本規(guī)律,確定相應(yīng)的性質(zhì),為進(jìn)一步的分析與求解提供條件.

2 強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算,貫穿復(fù)習(xí)始終

數(shù)列試題,對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的要求是最為直接的,也是數(shù)學(xué)運(yùn)算能力與素養(yǎng)最常用的一種考查方式.

強(qiáng)化數(shù)列專題中基本量的運(yùn)算,優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算方法,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算效益等,都是復(fù)習(xí)備考中必須加以重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的一個(gè)基本點(diǎn).

在數(shù)列專題復(fù)習(xí)備考過程中,專注于數(shù)列模塊知識(shí)的“通性通法”的理解與掌握,合理優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算,可以進(jìn)行“一題多解”和“多題一解”等的訓(xùn)練與反思,這對(duì)強(qiáng)化與優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算等都有很大的益處.

例2已知數(shù)列{an}對(duì)任意k∈N*滿足ak+1+ak=4k+3,則a1+a2 024=______.(4 051)

分析：根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式合理配湊處理(常用待定系數(shù)法)構(gòu)建結(jié)構(gòu)相似的遞推式,利用迭代處理來構(gòu)建數(shù)列的通項(xiàng)公式,從而實(shí)現(xiàn)問題的分析與求解.

3 加強(qiáng)解題教學(xué),滲透思想方法

數(shù)列作為一類離散型的函數(shù)模型,知識(shí)點(diǎn)中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想與方法,除了函數(shù)中自身包含的函數(shù)與方程思想、分類與整合思想外,還有一些轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想等,在命題設(shè)置中往往都會(huì)有所體現(xiàn).因而,在數(shù)列專題的復(fù)習(xí)備考過程中,以基礎(chǔ)知識(shí)為背景,合理依托解題技巧與方法,融入基本的數(shù)學(xué)思想與方法,可以更加合理優(yōu)化邏輯推理,減少數(shù)學(xué)運(yùn)算,這些對(duì)于提升解題效益等都是非常有幫助的.特別是對(duì)于一些創(chuàng)新型應(yīng)用問題,回歸數(shù)列的本質(zhì)與內(nèi)涵,結(jié)合對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法來處理,可以更加有效地展示數(shù)學(xué)思維過程,體現(xiàn)解題技巧的思想化,達(dá)到最佳解題效益.

例3已知數(shù)列{an}中,a2=1,設(shè)Sn為{an}前n項(xiàng)和,2Sn=nan.

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(an=n-1)

分析：(1)根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn共存的問題場(chǎng)景,從特殊情況出發(fā)確定數(shù)列的前若干項(xiàng),利用2Sn=nan以及an=Sn-Sn-1的關(guān)系,合理進(jìn)行消參并化歸轉(zhuǎn)化,再結(jié)合連續(xù)兩項(xiàng)之間的比值關(guān)系,借助累乘法加以化歸與運(yùn)算;(2)利用cn的表達(dá)式的變形與轉(zhuǎn)化,合理裂項(xiàng)相消求和,通過數(shù)列不等式的求解來確定最小正整數(shù)n的值.

點(diǎn)評(píng)：求解數(shù)列綜合應(yīng)用問題的基本策略在于“歸”——化歸與歸納,“算”——基本量的運(yùn)算.特別是涉及數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和以及數(shù)列與不等式等相關(guān)知識(shí)的交匯與綜合應(yīng)用,合理加以化歸與轉(zhuǎn)化,結(jié)合數(shù)列運(yùn)算來分析與處理.

4 強(qiáng)調(diào)主題研究,提升創(chuàng)新應(yīng)用

數(shù)列是體現(xiàn)“重思維、重應(yīng)用、重創(chuàng)新”數(shù)學(xué)命題理念的重要載體,基于數(shù)列自身的基本特性,經(jīng)常以數(shù)列為場(chǎng)景設(shè)置一些創(chuàng)新應(yīng)用問題,更加契合生活實(shí)際,對(duì)于深化學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、創(chuàng)新應(yīng)用等方面都是有益處的.

因此,在數(shù)列模塊的復(fù)習(xí)備考過程中,引導(dǎo)學(xué)生全面理解與掌握數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí),進(jìn)而結(jié)合實(shí)例加以創(chuàng)新與應(yīng)用,突出數(shù)列的應(yīng)用性、創(chuàng)新性等方面,更加吻合試題對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)與關(guān)鍵能力的考查,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用.

分析：根據(jù)題設(shè)中的場(chǎng)景合理構(gòu)建數(shù)列{an}{bn}的遞推關(guān)系式,通過累加法和等差數(shù)列的求和公式來確定數(shù)列{an}的通項(xiàng),并結(jié)合等比數(shù)列的定義等來確定數(shù)列{bn}的通項(xiàng),再利用作商比較法,結(jié)合不等式的基本性質(zhì)來確定最值問題,實(shí)現(xiàn)合理的決策與判斷.

點(diǎn)評(píng)：在利用不等式性質(zhì)判斷數(shù)列{cn}的單調(diào)性時(shí),要注意這里的變量是正整數(shù)這一隱含條件.此類問題結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活實(shí)際,以實(shí)際決策問題來創(chuàng)新設(shè)置,巧妙融入等差數(shù)列與等比數(shù)列、數(shù)列及其基本性質(zhì)、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基本知識(shí).借助數(shù)學(xué)建模,通過數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建與解模,合理分析與求解,提供決策依據(jù)與判斷.

正確關(guān)注數(shù)列的基本概念、數(shù)列的本質(zhì)與性質(zhì)等,科學(xué)精準(zhǔn)研究基本考點(diǎn),貫穿高三復(fù)習(xí)教學(xué)的整個(gè)過程,合理滲透數(shù)學(xué)思想方法并把握技巧方法,提升數(shù)列知識(shí)的應(yīng)用性與創(chuàng)新性等方面的研究,從而不斷強(qiáng)化“四基”,提升數(shù)學(xué)能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).