胡坤　任蘭蘭

【摘 要】 馬爾科夫鏈本質(zhì)上是一條時間序列，下一時刻的狀態(tài)只依賴于上一時刻的結(jié)果.在最新的計算數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)科研領(lǐng)域中，常用馬爾科夫鏈蒙特卡羅方法（MCMC）進(jìn)行參數(shù)估計.由于馬爾科夫鏈具備良好的概率性質(zhì)，因此，在高中數(shù)學(xué)概率問題中引用馬爾科夫鏈成為了熱潮.同時，由于概率問題的求解常會遇到遞推公式，所以，借助數(shù)列方法顯得格外重要.以兩個馬爾科夫鏈模型——“賭徒破產(chǎn)”和“懸崖漫步”為例，敘述解題方法和相關(guān)結(jié)論.

【關(guān)鍵詞】 高中數(shù)學(xué)；概率數(shù)列模型；馬爾科夫鏈；MATLAB;仿真分析

概率統(tǒng)計是高中數(shù)學(xué)的重要一章.近年來，隨著概率題的不斷升級，以條件概率和全概率為基礎(chǔ)的數(shù)列模型被挖掘出來，不斷上升為考試熱點.以2023年新高考全國Ⅰ卷為例，第21題也考查了概率數(shù)列模型，重視程度可見一斑.目前，有文獻(xiàn)表明，概率數(shù)列模型的應(yīng)用場景非常廣泛，涉及博弈、金融、預(yù)測等領(lǐng)域［1］.下文以近期較熱門的馬爾科夫鏈為例［2］，闡述概率數(shù)列模型在這類問題中的解決辦法，并利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB進(jìn)行仿真分析，得出背后的一些數(shù)理結(jié)果.

1 馬爾科夫鏈——“賭徒破產(chǎn)”模型

馬爾科夫鏈的數(shù)學(xué)定義：假設(shè)序列狀態(tài)是…，Xt－2，Xt－1，Xt，Xt+1，…，那么Xt+1時刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)Xt，即P（Xt+1|…，Xt－2，Xt－1，Xt）=P（Xt+1|Xt）.

現(xiàn)實生活中存在著許多馬爾科夫鏈，如著名的“賭徒破產(chǎn)”模型［3］.假如一名賭徒進(jìn)入賭場參與一個賭博游戲，每一局賭贏的概率為1/2，且每局賭贏可以贏得1元；每一局賭輸?shù)母怕室彩?/2，且賭輸就要輸?shù)?元.賭徒會一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會結(jié)束賭博游戲：一種是手中的賭金為0元，即賭徒輸光；另一種是賭金達(dá)到預(yù)期的B元，賭徒停止賭博.記賭徒的本金為A元（A∈N*，A

3 結(jié)語

高中階段，概率是高考的必考一章，從各地區(qū)的模擬題和高考題可看出，概率的數(shù)列模型已成為研究熱點［1-2］.學(xué)生對古典概型、二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布（連續(xù)型和離散型）等學(xué)習(xí)可能較為熟悉，而對數(shù)列和概率交叉形成的模型較為陌生，特別是復(fù)雜的構(gòu)造問題.經(jīng)過本文的敘述可以得出，教師在概率教學(xué)中要大膽創(chuàng)新，積極研究考試熱點，啟發(fā)學(xué)生用發(fā)展的眼光看問題，用交叉的思路解題，為大學(xué)不同專業(yè)的學(xué)習(xí)和發(fā)展打下基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)

［1］ 劉海濤.探析隱藏在高考概率題中的數(shù)列模型［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2021，40（05）：63-67.

［2］ 董曉立.數(shù)學(xué)精微何處尋，紛紜題海有模型——一類基于馬爾科夫鏈的概率試題研究［J］.數(shù)學(xué)之友，2022，36（18）：80-81+84.

［3］ 王穎俐，嚴(yán)俊秀.賭徒輸光問題的解法［J］.太原師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2016，15（01）：6-8+12.

作者簡介 胡坤（1992—），男，安徽池州人，碩士，中學(xué)一級教師；研究方向為反問題計算及資料同化方法；發(fā)表SCI論文2篇，高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究論文7篇.

任蘭蘭（1991—），女，江蘇蘇州人，碩士，中學(xué)一級教師；研究方向為初等數(shù)學(xué)教學(xué)；發(fā)表論文2篇.

基金項目 江蘇省現(xiàn)代教育技術(shù)研究2021年度立項課題“基于現(xiàn)代信息技術(shù)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式創(chuàng)新研究”（2021-R-94387）；2022年度“姑蘇教育人才”項目“基于‘自研·共習(xí)·自求的中學(xué)數(shù)學(xué)教師協(xié)同發(fā)展路徑的實踐研究”（RCZZ202209）.