【摘 要】 “對(duì)勾函數(shù)”的實(shí)質(zhì)是一般雙曲函數(shù). 通過坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的方法和對(duì)曲線相關(guān)幾何性質(zhì)的分析，給出嚴(yán)格的推導(dǎo)，證明該曲線為雙曲線，從而對(duì)這類函數(shù)的頂點(diǎn)及其所對(duì)應(yīng)雙曲線的頂點(diǎn)位置進(jìn)行討論，通過甄別二者的差異，加深對(duì)方程與曲線的概念理解.

【關(guān)鍵詞】 “對(duì)勾函數(shù)”；坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)；數(shù)形結(jié)合

1 問題提出

數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.”這句話是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中數(shù)形結(jié)合思想的形象闡述. 數(shù)形結(jié)合思想是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要途徑，尤其是解決函數(shù)問題的“殺手锏”. 在學(xué)習(xí)基本初等函數(shù)時(shí)，有這樣一類特殊的函數(shù)［1］，其解析式可寫為f（x）=ax+b/x（a>0，b>0），由于其圖象酷似試卷上的對(duì)勾，故而得名“對(duì)勾函數(shù)”.根據(jù)均值不等式，當(dāng)x>0時(shí)，ax+b/x≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)x=b/a時(shí)取最小值，并且在0，b/a單調(diào)遞減，在b/a，+∞單調(diào)遞增，再利用其奇偶性，不難得出其在－b/a，0單調(diào)遞減，在－∞，－b/a單調(diào)遞增. 我們將函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或者最低點(diǎn)稱為函數(shù)的頂點(diǎn)，因此，點(diǎn)Ab/a，2ab，B－b/a，－2ab即為“對(duì)勾函數(shù)”的頂點(diǎn)，如圖1所示.

實(shí)際上，這里提到的函數(shù)的頂點(diǎn)，與曲線的頂點(diǎn)并不完全相同. 例如二次函數(shù)頂點(diǎn)，就是其圖象拋物線的頂點(diǎn)，這并無異議. 但是嚴(yán)格的說，我們還沒有弄清“對(duì)勾函數(shù)”圖象的類型，這樣的圖象是否有頂點(diǎn)還屬未知. 那么，對(duì)勾函數(shù)的圖象到底是什么曲線呢？這樣的曲線有頂點(diǎn)嗎？點(diǎn)A，B是不是這條曲線的頂點(diǎn)呢？接下來，我們先從其圖象屬性談起.

2 圖象分析

根據(jù)“對(duì)勾函數(shù)”的解析式，不難得出其圖象有兩條漸近線，即直線x=0和y=ax，綜合函數(shù)的其他性質(zhì)，結(jié)合學(xué)生所學(xué)的內(nèi)容，可以初步猜測(cè)函數(shù)的圖象雙曲線. 我們通過坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的方式推導(dǎo)其標(biāo)準(zhǔn)方程. 為簡(jiǎn)便且不失一般性，接下來的推導(dǎo)將函數(shù)簡(jiǎn)化為f（x）=x+1/x.

如果“對(duì)勾函數(shù)”的圖象確實(shí)為雙曲線，那么雙曲線的實(shí)軸和虛軸將在兩條漸近線的角平分線上，如圖2，

不難得出圖中虛線對(duì)應(yīng)的方程為y=x·tan3π/8，以此線為實(shí)軸，只需將圖中坐標(biāo)系順時(shí)針旋轉(zhuǎn)3π/8. 這里借助復(fù)數(shù)的三角形式進(jìn)行推導(dǎo).

3 頂點(diǎn)辨析

大部分學(xué)生并沒有嚴(yán)格推導(dǎo)過“對(duì)勾函數(shù)”圖象的屬性，因此很可能誤以為函數(shù)的頂點(diǎn)就是其曲線的頂點(diǎn). 現(xiàn)在曲線特征已經(jīng)清楚了，很顯然二者并不是同一位置的點(diǎn). 雙曲線的頂點(diǎn)，指的是雙曲線實(shí)軸的端點(diǎn)，也就是雙曲線與實(shí)軸所在直線的交點(diǎn). 按前面的推導(dǎo)，對(duì)函數(shù)f（x）=x+1/x來說，其頂點(diǎn)應(yīng)該在曲線與對(duì)稱軸y=x·tan3π/8的交點(diǎn)C，D處（由于數(shù)值較為復(fù)雜，此處不提供坐標(biāo)），而我們前面提到的點(diǎn)A（1，2）和點(diǎn)B（-1，-2）顯然不在直線y=

x·tan3π/8上，而是在直線y=2x上. 如圖3，以雙曲線的右支為例，可以直觀地認(rèn)為點(diǎn)A（1，2）是函數(shù)圖象的最低點(diǎn)，但C點(diǎn)則為曲線真正的頂點(diǎn).

如果我們將以上的推導(dǎo)結(jié)果呈現(xiàn)給學(xué)生，可能他們會(huì)有一點(diǎn)點(diǎn)失望，前面辛辛苦苦推導(dǎo)出來的雙曲線的頂點(diǎn)，并不是“對(duì)勾函數(shù)”的頂點(diǎn). 那我們的這一番辨析和證明，還有什么實(shí)際意義嗎？雙曲線的這兩個(gè)頂點(diǎn)，在函數(shù)運(yùn)算中好用嗎？

相信大部分學(xué)生的回答是否定的，不好用，以前甚至沒聽說過. 然而，這樣的辨析和推導(dǎo)非常有意義，至少我們能從中探究曲線類型的特征，能將解析幾何和函數(shù)圖象深入地有機(jī)結(jié)合，這樣的融合，不僅有實(shí)際意義，更具備很高的理論價(jià)值.

4 問題小結(jié)

學(xué)生對(duì)函數(shù)的基本知識(shí)和基本方法已經(jīng)有了較好的掌握，對(duì)基本初等函數(shù)的性質(zhì)和圖象有了比較深刻的認(rèn)識(shí). 隨著學(xué)習(xí)的深入，我們會(huì)不斷遇到曾經(jīng)熟悉的知識(shí)的新面孔. 例如前面提到的二次函數(shù)圖象是拋物線，那么這個(gè)函數(shù)圖象上的點(diǎn)是不是真的滿足拋物線“曲線上的點(diǎn)到平面內(nèi)定點(diǎn)距離與到定直線（定點(diǎn)不在定直線上）的距離相等”這一標(biāo)準(zhǔn)定義呢？還有學(xué)生初中學(xué)過的反比例函數(shù)，它的圖象也是雙曲線，那么曲線上的點(diǎn)也符合雙曲線的定義嗎？這其實(shí)是對(duì)老師和學(xué)生提出的更高要求，我們需要在不斷的學(xué)習(xí)新知識(shí)的過程中加深對(duì)已有知識(shí)內(nèi)涵的探究和理解，這樣的動(dòng)態(tài)過程非?？少F，值得堅(jiān)持和大力發(fā)揚(yáng).

當(dāng)然，本文中用到的一些方法也并非是最優(yōu)解法，學(xué)生完全可以提出自己的優(yōu)化方法. 例如坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)問題，如果有更加簡(jiǎn)潔的方式，也完全可以替換；還比如雙曲線特征的切入角度，大家也都可以不斷完善不斷修正. 我們引導(dǎo)學(xué)生用自己所學(xué)，探究課本上或生活中的數(shù)學(xué)問題，這將使他們的學(xué)習(xí)不斷生活化，不斷充滿挑戰(zhàn)，也必然不斷增添新的趣味.

回到前面的問題. 從實(shí)用性角度看，顯然A，B兩個(gè)點(diǎn)更加好用，或者說更“漂亮”. 但實(shí)事求是的說，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的真正意義是研究問題和解決問題，其前提是學(xué)習(xí)者必須要搞清楚問題的實(shí)質(zhì)，知道其所以然，那么關(guān)乎命名、稱謂等外圍的問題就“各花入各眼、各名歸各人”了. 就好比“對(duì)勾函數(shù)”，這并不是課本上給出的規(guī)范名稱，但其通用程度并不亞于指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等“正牌函數(shù)”. 可沿用至今，學(xué)生似乎并沒有對(duì)這個(gè)名稱左右挑揀：“對(duì)勾函數(shù)”能體現(xiàn)這個(gè)函數(shù)的什么性質(zhì)呢？反映函數(shù)冪次了嗎？體現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)了嗎？涉及到運(yùn)算特征了嗎？都沒有. 但是，論形象，論生動(dòng)，這又是最佳的名稱，而我們廣泛提到的所謂數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)［2］，往往在這樣形象和生動(dòng)的意象中慢慢醞釀成型，深入同學(xué)們的內(nèi)心.

總而言之，通過不斷的探究、辨析、對(duì)比、認(rèn)定，我們應(yīng)該更加清楚地認(rèn)識(shí)到，既合情又合理的現(xiàn)象固然大家喜聞樂見，但真理的存在及其意義是我們每個(gè)人都無法改變的，我們需要探究它、優(yōu)化它，但前提必須是保護(hù)它、尊重它；同樣，實(shí)際的稱謂和意義是我們可以適當(dāng)賦予的，我們需要使之科學(xué)化、規(guī)范化，但目的一定是使我們所學(xué)知識(shí)更加生動(dòng)化、形象化. 這既是數(shù)形結(jié)合的較高境界，也是理論和現(xiàn)實(shí)的完美融合.

參考文獻(xiàn)

［1］ 人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心編著. 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（B版）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 章建躍. 樹立課程意識(shí)，落實(shí)核心素養(yǎng)［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2016，55（05）：1-4.

作者簡(jiǎn)介 崔鵬（1984—），男，高級(jí)教師，年級(jí)組長(zhǎng)，北京數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)員，海淀區(qū)學(xué)科帶頭人，海淀區(qū)名師工作站出站；主要研究數(shù)學(xué)課堂教學(xué)、教材教法分析以及數(shù)學(xué)學(xué)科德育教學(xué).

基金項(xiàng)目 北京市海淀區(qū)教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃重點(diǎn)課題“基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)情境設(shè)計(jì)與研究”（HDGH20210216）.