【摘 要】 對(duì)山東省2023年高三模擬考試中一道新定義——“α旋轉(zhuǎn)函數(shù)”試題的分析、解答，比較兩種解法的特點(diǎn)，揭示問(wèn)題的內(nèi)涵實(shí)質(zhì)和解法背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.通過(guò)對(duì)試題的遷移發(fā)散和與例題的比較，總結(jié)提煉解析此類(lèi)問(wèn)題的一般思路.

【關(guān)鍵詞】 α旋轉(zhuǎn)函數(shù)；坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換；等價(jià)轉(zhuǎn)化；比較；遷移

高考評(píng)價(jià)體系從核心功能、考查內(nèi)容、考查要求三個(gè)方面回答了為什么考、考什么、怎么考，明確了“一核四層四翼”，強(qiáng)調(diào)了試題應(yīng)具備基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，以立德樹(shù)人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)為目標(biāo)，考查學(xué)生的必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)和核心價(jià)值.山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024屆高三一診數(shù)學(xué)試卷第12題就是這樣一道兼具綜合性和創(chuàng)新性的具有較好選拔功能的題目.

1 試題呈現(xiàn)與解析

例1 （山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024屆高三一診數(shù)學(xué)第12題，多選題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將函數(shù)y=f（x）的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°<α≤90°）后，所得曲線仍然是某個(gè)函數(shù)的圖象，則稱(chēng)f（x）為“α旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則（）.

4 一點(diǎn)思考和建議

4.1 抽象問(wèn)題具體化是試金石也是敲門(mén)磚

數(shù)學(xué)是一門(mén)高度抽象的學(xué)科，而新定義題中的新概念、新性質(zhì)、新運(yùn)算、新模型等對(duì)于學(xué)生而言就更加抽象、更加陌生了.如何將陌生的、未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的、已知的問(wèn)題呢？抽象問(wèn)題具體化是試金石也是敲門(mén)磚.如文章例1中對(duì)于A，B兩個(gè)選項(xiàng)的解答，就是很好的抽象問(wèn)題具體化的體現(xiàn)：“α旋轉(zhuǎn)函數(shù)”對(duì)于學(xué)生而言非常抽象，但是對(duì)于選項(xiàng)A，很容易聯(lián)想到斜率之積為-1的兩條直線互相垂直，考慮特殊情況就是函數(shù)y=x與y=－x，再結(jié)合函數(shù)的定義，就能判斷出A正確；同理選項(xiàng)B也是用特殊的、具體的函數(shù)y=（tan10°）x來(lái)處理.抽象問(wèn)題具體化一下子就將陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了熟悉的問(wèn)題.

4.2 等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想是關(guān)鍵也是核心

抽象問(wèn)題具體化能解決問(wèn)題的特殊情形，但是對(duì)于一般的情況則需要用到等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，這是將陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題進(jìn)而解決問(wèn)題的關(guān)鍵也是核心.如例1中C，D選項(xiàng)，在假設(shè)學(xué)生知道坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換公式的前提下，還需要結(jié)合函數(shù)的定義將原問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為f（x）為“45°旋轉(zhuǎn)函數(shù)”函數(shù)y=f（x）－x在定義域內(nèi)是一一映射.進(jìn)而轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)的單調(diào)性.在假設(shè)學(xué)生不知道坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換公式的前提下，還可以用“相對(duì)”的思想，將原問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為斜率為1的直線與原函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，最后也可以歸結(jié)到判斷函數(shù)y=f（x）－x在定義域內(nèi)的單調(diào)性上來(lái)，兩種思路和解法殊途同歸.由此可見(jiàn)，要想將學(xué)生陌生的、未知的、儲(chǔ)備知識(shí)之外的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的、已知的、能力范圍內(nèi)的問(wèn)題，逆向思維、相對(duì)思想、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想必不可少，這其中又以等價(jià)轉(zhuǎn)化思想最為關(guān)鍵.

4.3 比較聯(lián)想、發(fā)散遷移是深入研究問(wèn)題的必由之路

做一題會(huì)一題是必須的，但是做一題會(huì)一類(lèi)題，做一題能對(duì)數(shù)學(xué)解題甚至對(duì)數(shù)學(xué)本身有更深層次的認(rèn)識(shí)和理解才是解題教學(xué)的追求.“α旋轉(zhuǎn)函數(shù)”問(wèn)題，表面上就是兩個(gè)問(wèn)題：一個(gè)是旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，一個(gè)是函數(shù)定義問(wèn)題.通過(guò)解題，又能聯(lián)想并提出許多新的、有價(jià)值的問(wèn)題.例2的設(shè)置，就是對(duì)例1的發(fā)散遷移、深入研究，并且結(jié)合極坐標(biāo)、三角、數(shù)列、函數(shù)等知識(shí)探究了問(wèn)題的一般性結(jié)論.比較例1例2中四個(gè)選項(xiàng)、解法1和解法2、例1和例2，會(huì)對(duì)此類(lèi)問(wèn)題及其解法有更深的認(rèn)識(shí)和理解.綜合聯(lián)想所學(xué)知識(shí)、思想方法，發(fā)散遷移，深入研究問(wèn)題，理解問(wèn)題的實(shí)質(zhì)和解題的本質(zhì)，能促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法形成體系，使各種解題方法融會(huì)貫通、織成網(wǎng)絡(luò)，有利于引導(dǎo)學(xué)生更深入地認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)，培養(yǎng)和發(fā)展其數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

［1］ 李鴻昌. “斜橢圓”面積的八種求解方法［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志， 2023（09）：43-46.

［2］ 徐潑. 一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換函數(shù)問(wèn)題［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)，2019（08）：21-23.

作者簡(jiǎn)介 陳超（1989—），男，湖北應(yīng)城人，中學(xué)一級(jí)教師；主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究；發(fā)表論文多篇.