周子融 楊柳 王清艷

在給定兩個(gè)附加觀測(cè)數(shù)據(jù)的條件下，本文基于Tikhonov正則化方法研究了對(duì)流擴(kuò)散方程的對(duì)流速度和源函數(shù)的同時(shí)反演問(wèn)題. 鑒于原問(wèn)題是一個(gè)初始值非零的對(duì)流擴(kuò)散方程，本文通過(guò)將初始值轉(zhuǎn)化為源項(xiàng)得到了一個(gè)組合源項(xiàng)， 首先將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)具有齊次條件的對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題. 由于所得問(wèn)題是不適定的， 本文進(jìn)而利用Tikhonov正則化方法構(gòu)建了相應(yīng)的極小化目標(biāo)泛函，得到了問(wèn)題最優(yōu)解的存在性和應(yīng)滿足的必要條件. 最后，對(duì)終端時(shí)刻較小的特殊情形，本文證明了最優(yōu)解的唯一性和穩(wěn)定性.

對(duì)流擴(kuò)散方程; 反問(wèn)題; 源函數(shù); Tikhonov正則化方法

O175.23 A 2024.011003

Simultaneously inverting the convection velocity and source function of ?convection-diffusion equations by using the Tikhonov regularization method

ZHOU Zi-Rong， YANG Liu， WANG Qing-Yan

（College of Mathematics and Physics， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， China）

In this paper， given additionally two observation data， the inverse problem of simultaneously inverting the convection velocity and source function of the convection diffusion equations is studied. The original problem belongs to a class of convection-diffusion equations with non-zero initial value. First， by transforming the information of the initial value into a source function and then combining it with the ?source function， we transform the original problem into a convection-diffusion problem with homogeneous conditions. Further， to handle the ill-posedness of the new problem， we construct the corresponding minimization objective functional by using the Tikhonov regularization method， and the existence and necessary conditions for the optimal solution are discussed. Finally， for the special case of small terminal time， the uniqueness and stability of the optimal solution are obtained.

Convection-diffusion equation; Inverse problem; Source function; Tikhonov regularization ??method

1 引 言

對(duì)流擴(kuò)散方程反問(wèn)題在環(huán)境科學(xué)、能源開(kāi)發(fā)等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用. 例如，在對(duì)醫(yī)療或化學(xué)試劑泄露造成的污染進(jìn)行快速跟蹤、預(yù)防和處置時(shí)，污染物的對(duì)流速度、污染源的位置及強(qiáng)度信息非常關(guān)鍵，而要取得這些信息就需要求解對(duì)流擴(kuò)散方程（模型）的反問(wèn)題.

本文旨在利用Tikhonov正則化方法研究對(duì)流擴(kuò)散方程的反問(wèn)題. Tikhonov正則化方法是研究不適定問(wèn)題最重要的正則化方法之一 ?［1］ . 早在上世紀(jì)八十年代，人們就已經(jīng)開(kāi)始用Tikhonov正則化方法研究不適定性反問(wèn)題 ?［1-5］ . 文獻(xiàn)［6］基于優(yōu)化方法將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問(wèn)題，重構(gòu)了熱傳導(dǎo)方程中的初始溫度和熱輻射系數(shù)的反問(wèn)題.文獻(xiàn)［7］在終端時(shí)刻 t f 和時(shí)刻 t 1∈（0，t f） 同時(shí)反演了傳熱系數(shù)和初始溫度.文獻(xiàn)［8］則基于有限元方法在小分區(qū)域 ω 上得到附加的觀測(cè)噪聲數(shù)據(jù)，并同時(shí)反演了對(duì)流擴(kuò)散方程的對(duì)流速度和源函數(shù).

周子融， 等： 用Tikhonov正則化方法同時(shí)反演對(duì)流擴(kuò)散方程的對(duì)流速度和源函數(shù)

受文獻(xiàn)［8］的啟發(fā)，本文用Tikhonov正則化方法，以兩個(gè)時(shí)刻的觀測(cè)數(shù)據(jù)為附加條件，同時(shí)反演對(duì)流擴(kuò)散方程的對(duì)流速度和源函數(shù). 這是一個(gè)全新的反問(wèn)題，少有人研究. 本研究的難點(diǎn)在于這是一個(gè)多參數(shù)反演問(wèn)題，其中的對(duì)流速度項(xiàng)是一個(gè)二維矢量函數(shù)，其分量是兩個(gè)未知函數(shù)，加上源函數(shù)后共有三個(gè)未知函數(shù)待確定，理論分析較復(fù)雜.

2 最優(yōu)解的存在性

考慮如下反問(wèn)題（P1）：

u t-Δu+

·（uv（x））=f（x）R（x，t），

（x，t）∈Q= Ω × 0，T ，

u（x，t）=0， （x，t）∈??Ω ×（0，T］，

u（x，0）=φ（x）， x∈ Ω ?（1）

其中Ω R ?2是一個(gè)具有 C ?2類邊界 ??Ω的有界開(kāi)連通域， ?x=（x 1，x 2） 表示Ω中的任意點(diǎn)， ?φ（x）∈ ??H 2 0（ Ω） 為 u 在 t=0 時(shí)的初值， ?f（x）R（x，t） 為熱源函數(shù)， 且 f（x）∈L 2（ Ω）， ?R（x，t）∈L 2（0，T; ??L ∞（ Ω）） . 此外，系數(shù) v（x）=（v 1（x），v 2（x）） 是對(duì)流速度， 其可允許集假設(shè)為

A 1={v= v 1，v 2 ∈H 1 （ Ω ） ?2： v 1 ?- ≤v 1（x）≤

v 1 ?， v 2 ?_ ≤v 2（x）≤ v 2 ???a.e.in Ω}.

設(shè) u 為方程（1）的解， ?R（x，t） ， φ（x） 已知， 給定 u 在Ω ×（0，T］ 上的兩個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù) g 1（x） ， ?g 2（x） ，我們?cè)噲D同時(shí)反演對(duì)流速度 v（x） 和源函數(shù) f（x） ，其中

u（x，T 1）=g 1（x）， u（x，T）=g 2（x），

T 1∈（0，T），x∈ Ω （2）

理論上， 如果條件（2）是精確給出的，則根據(jù)方程（1）和條件（2）可以同時(shí)反演未知函數(shù)對(duì) （v，f） . ?然而在實(shí)際應(yīng)用中，由于測(cè)量誤差等因素的影響，這卻難以做到. ?實(shí)際測(cè)得的數(shù)據(jù) （g δ 1，g δ 2） 總是不可避免地含有噪聲. 本文中我們總假設(shè) （g δ 1，g δ 2） 滿足

‖g δ 1-g 1‖ ??L 2（ Ω ） ≤δ ， ??‖g δ 2-g 2‖ ??L 2（ Ω ） ≤δ ?（3）

其中 δ 為噪聲水平.

假設(shè) φ（x），f（x） 和 R（x，t） 足夠光滑， 且滿足一些相容性條件， 如齊次邊界條件、角點(diǎn)條件，等. 令 w（x，t）=u（x，t）-φ（x） . 方程（1）可轉(zhuǎn)化為以下的等價(jià)形式：

w t-Δw+

·（wv（x））=F（x，t），

（x，t）∈Q= Ω ×（0，T］，

w（x，t）=0， （x，t）∈??Ω × 0，T ，

w（x，0）=0，x∈ Ω ?（4）

這里的 F（x，t）=Lφ+f（x）R（x，t） 稱為組合源項(xiàng)， 其中 Lφ=Δφ-

·（φv（x）） . 由 f，R 及 φ 的正則性， F（x，t） 在以下可允許集中：

A 2= ?B x ， t ?B x ， t ∈L 2 0，T;L 2（ Ω ） ?，

相應(yīng)的附加條件（2）和（3）可轉(zhuǎn)化為

w δ 1（x，T 1）=g δ 1（x）-φ（x），x∈ Ω ， ?T 1∈ 0，T ， w δ 2（x，T）=g δ 2（x）-φ（x），x∈ Ω.

這樣，（P1）可轉(zhuǎn)化為求解以下問(wèn)題：

（P2）設(shè) w 為方程（4）的解， ?R（x，t），φ（x） 已知， 給定 w 在Ω ×（0，T］ 上的兩個(gè)觀測(cè)噪聲數(shù)據(jù) w δ 1（x，T） ， ?w δ 1（x，T） ， 同時(shí)反演對(duì)流速度 v（x） 和組合源項(xiàng) F（x，t） .

可以看到， 若能證明 v（x） 和 F（x，t） 的存在性， 即可證明 v（x） 和 f（x） 的存在性.

進(jìn)一步，由于上述反問(wèn)題的不適定性， 我們將其描述為一個(gè)穩(wěn)定的Tikhonov正則化的極小化目標(biāo)泛函

min ???v×F∈A 1×A 2 ?J v ， F =

1 2 ?‖w x，T 1;v，F(xiàn) -g δ 1+φ‖ ?2 ?L 2（ Ω ） +

1 2 ?‖w x，T;v，F(xiàn) -g δ 2+φ‖ ?2 ?L 2（ Ω ） +

1 2 α ‖v‖ ?2 ?H′ （ Ω ） ?2 + 1 2 β ‖F(xiàn)‖ ?2 ?L 2（0，T;L 2（ Ω ）） ??（5）

其中 α，β>0 為正則化參數(shù). 此外，與對(duì)流擴(kuò)散方程（4）相關(guān)的變分系統(tǒng)為

∫ ?Qw ?tη d x d t+∫ ?Q

w·

η d x d t-

∫ ?Q（wv）·

η d x d t=

∫ ?QFη d x d t，η∈L 2 0，T;H 1 0（ Ω ） ??（6）

引理2.1 ???假設(shè) （v，F(xiàn)）∈A 1×A 2 . 則正問(wèn)題（4）存在唯一弱解

w（x，t）∈L 2（0，T;H 2 0（ Ω ））∩L ∞（0，T;H 1 0（ Ω ））

滿足以下先驗(yàn)估計(jì)：

ess sup ???0≤t≤T ??‖w（t）‖ ??H 1 0（ Ω ） + ‖w‖ ??L 2（0，T;H 2 0（ Ω ）） +

‖w t‖ ??L 2 0，T;L 2（ Ω ） ?≤C ‖F(xiàn)‖ ??L 2（0，T;L 2（ Ω ）） ??（7）

其中常數(shù) C>0 .

定理2.2 ???極小化問(wèn)題（5）至少存在一個(gè)最優(yōu)解.

證明 ?第一步，找到 （ v ??，F(xiàn) ?） . 由于函數(shù) ?J v ， F ??以0為下界， 我們可以找到一個(gè)最小化序列 ???v ?n ， F n ?∈A 1×A 2 ， 使得

lim ???n→∞ ?J ?v ?n ， F n = ?inf ???（v，F(xiàn)）∈A 1×A 2 ?J（v，F(xiàn)） .

由 ????v ?n， F n ，n∈ ?N ?在 A 1×A 2 上的一致有界性， 存在一個(gè)弱收斂的子序列， 同樣記為 ???v ?n ， F n ??， 以及 ?v ??∈H 1 （ Ω ） ?2，F(xiàn) ?∈A 2 ， 使得 v n v ???， in ??H 1 （ Ω ） ??2， ?v ?n → v ???， in ?L 2 （ Ω ） ?2， F nF ??， in ?L 2（0，T;L 2（ Ω ）） .

注意到可允許集 A 1 為 H 1 （ Ω ） ?2 的閉凸子集， 則 A 1 是弱封閉的， 從而 ?v ??∈A 1 .

第二步，找到 w ??. 令 w n≡w（ v ?n， F n） . 由 ?w（ v ?n， F n） ?的定義及（6）式有

∫ ?Qw ?n tη d x d t+∫ ?Q

w ?n·

η d x d t-

∫ ?Q w ?n v ??n

η d x d t=

∫ ?QF ?nη d x d t， η∈L 2 0，T;H 1 0（ Ω ） ???（8）

由引理2.1中的先驗(yàn)估計(jì)式（7），序列 {w n≡w（ v ?n， F n）; n∈ ?N }在

W - ={w：w∈L 2（0，T; ?H 1 0（ Ω ）∩ H 2 0（ Ω ）） ， w t∈L 2 0，T;L 2（ Ω ） }

上一致有界. 故存在一個(gè)弱收斂的子序列， 仍用 ?w n ?表示， 以及 w ?∈W - ?， 使得 w nw ??， in ?W - ?.

第三步，證明 w ?=w ?v ??， F ???. 由序列 w n 的性質(zhì)， 對(duì)任意 η∈L 2 0，T;H 1 0（ Ω ） ?有

lim ???n→∞ ?∫ ?Qw ?n tη d x d t=∫ ?Qw ???tη d x d t，

lim ???n→∞ ?∫ ?Q

w ?n

η d x d t=∫ ?Q

w ?·

η d x d t，

又 F nF ??， in ?A 2 ， 故

lim ???n→∞ ?∫ ?QF ?nη d x d t=∫ ?QF ?η d x d t .

下面我們考慮

∫ ?Q w ?n v ??n ·

η d x d t-∫ ?Q w ??v ???·

η d x d t=

∫ ?Q ?w ?n-w ???v ??n ·

η d x d t+

∫ ?Qw ???v ??n- v ???·

η d x d t=

I 1+I 2.

當(dāng) σ∈ 0， 1 4 ?，ε∈ 0， 1-4σ 2 ??時(shí)， 空間 W - ?連續(xù)嵌入 H σ 0，T;H ??1 2 +ε （ Ω ） ???［9］ . 又由于 H σ（0，T; ??H ??1 2 +ε （ Ω ）） ?緊嵌入 L 2 0，T;L 2（ Ω ） ?， 則有 w nw ??， in ?W - ?， 即

w n→w ??， in ?L 2（0，T;L 2（ Ω））.

由 ?v ?n∈A 1 和Cauchy-Schwarz不等式， 我們得到

I 1 ≤C ‖w n-w ?‖ ??L 2（0，T;L 2（ Ω ）） ???‖

η‖ ??L 2（0，T;L 2（ Ω ）） →0 .

同時(shí)，由于 ?v ?n→ v ???， in ?L 2 （ Ω ） ?2 且 w ?∈W - ?， 我們有

I 2 ≤C ‖w ?‖ ??L 2（0，T;H 2 0（ Ω ））

‖ v ?n- v ??‖ ??L 2 （ Ω ） ?2 ?‖

η‖ ??L 2（0，T;L 2（ Ω ）） →0， n→∞.

則

lim ???n→∞ ?∫ ?Q w ?n v ??n ·

η d x d t=

∫ ?Q w ??v ???·

η d x d t .

因此，當(dāng) n→∞ 時(shí)，由（8）式有

∫ ?Qw ???tη d x d t+∫ ?Q

w ?·

η d x d t-

∫ ?Q w ??v ???·

η d x d t=∫ ?QF ?η d x d t，

η∈L 2 0，T;H 1 0（ Ω ） .

第四步. 由范數(shù)的弱下半連續(xù)性， 我們有

J ?v ??，F(xiàn) ??= 1 2 ‖w x，T 1; v ??，F(xiàn) ??-g δ 1+

φ‖ 2 ?L 2（ Ω ） + 1 2 ‖w x，T; v ??， F ??-g δ 2+

φ‖ 2 L 2（ Ω ）+ 1 2 α ‖ v ??‖ ?2 ?H′ （ Ω ） ?2 +

1 2 β ‖F(xiàn) ?‖ ?2 ?L 2（0，T;L 2（ Ω ）） =

lim ???n→∞ ?{ 1 2 ‖w x，T 1; v ?n， F n -g δ 1+

φ‖ 2 ?L 2（ Ω ） + 1 2 ?‖w x，T; v ?n， F n -g δ 2+φ‖ ?2 ?L 2（ Ω ） }+

1 2 α ‖ v ??‖ ?2 ?H′ （ Ω ） ?2 + 1 2 β ‖F(xiàn) ?‖ ?2 ?L 2（0，T;L 2（ Ω ）） ≤

lim inf ???n→∞ ???1 2 ?‖w x，T 1; v ?n， F n -g δ 1+φ‖ ?2 ?L 2（ Ω ） ?+

1 2 ?‖w x，T; v ?n， F n -g δ 2+φ‖ ?2 ?L 2（ Ω ） +

1 2 α ‖ v ?n‖ ?2 ?H′ （ Ω ） ?2 + ?1 2 β ‖F(xiàn) n‖ ?2 ?L 2（0，T;L 2（ Ω ）） ?=

inf ???（v， F）∈A 1×A 2 ?J（v，F(xiàn)）.

綜上， ?（ v ??， F ?） 為問(wèn)題（5）的最優(yōu)解. 證畢.

源函數(shù) f（x） 可由 F（x，t）=Lφ+f（x）R（x，t） 得到， 從而我們也證明了 f（x） 的存在性. 綜上，我們得到了反問(wèn)題（P1）最優(yōu)解的存在性. 下面我們證明極小化問(wèn)題（5）關(guān)于不適定問(wèn)題（P2）對(duì)于觀測(cè)誤差的變化是穩(wěn)定的.

定理2.3 ???令 {w δ ?1n ，w δ ?2n } 是 L 2（0，T;L 2（ Ω ）） 中收斂到 {w δ 1，w δ 2} 的子序列， ?{（ v ?n， F n）} 是擾動(dòng)函數(shù)極小化子的一個(gè)序列，且

1 2 ?‖w x，T 1;v， F -g δ ?1n +φ‖ ?2 ?L 2（ Ω ） +

1 2 ?‖w x，T;v， F -g δ ?2n +φ‖ ?2 ?L 2（ Ω ） +

1 2 α ‖v‖ ?2 ?H′ （ Ω ） ?2 + 1 2 β ‖F(xiàn)‖ ?2 ?L 2（0，T;L 2（ Ω ）） .

則在 A 1×A 2 中存在序列 ???v ?n， F n ??的一個(gè)子序列弱收斂于極小化問(wèn)題（5）的最優(yōu)解.

證明 ?由序列 ???v ?n， F n ??的定義， ?對(duì)任意的（v，F(xiàn)）∈A 1×A 2 ， 有

1 2 ?‖w x，T 1; v ?n， F n -g δ ?1n +φ‖ ?2 ?L 2（ Ω ） +

1 2 ?‖w x，T;v n， F n -g δ ?2n +φ‖ ?2 ?L 2（ Ω ） +

1 2 α ‖ v ?n‖ ?2 ?H′ （ Ω ） ?2 + 1 2 β ‖F(xiàn) n‖ ?2 ?L 2（0，T;L 2（ Ω ）） ≤

1 2 ?‖w x，T 1;v ， F -g δ ?1n +φ‖ ?2 ?L 2（ Ω ） +

1 2 ?‖w x，T;v ， F -g δ ?2n +φ‖ ?2 ?L 2（ Ω ） +

1 2 α ‖v‖ ?2 ?H′ （ Ω ） ?2 + 1 2 β ‖F(xiàn)‖ ?2 ?L 2（0，T;L 2（ Ω ）） .

類似定理2.2的證明， 存在 {（ v ?n， F n）} 的子序列， 同樣用 {（ v ?n， F n）} 表示， 以及 （ v ??，F(xiàn) ?）∈A 1×A 2 ， 使得

v ?n v ???， in ?H 1 （ Ω ） ?2， F nF ??， in ?L 2（0，T;L 2（ Ω ）） .

由于序列 w（ v ?n， F n） 在 ?‖·‖ ??W - ??上一致有界， 則存在一個(gè)弱收斂的子序列， 同樣用 w（ v ?n， F n） 表示， 以及 w ?∈W - ?， 使得 w nw ??， in ?W - ?. 同樣， 我們可證明 w ?=w ?v ??， F ???，且

lim ???n→∞ ?{ 1 2 ?‖w x，T 1; v ?n， F n -g δ ?1n +φ‖ ?2 ?L 2（ Ω ） +

1 2 ?‖w x，T; v ?n， F n -g δ ?2n +φ‖ ??2 ??L 2（ Ω ） }=

1 2 ?‖w x，T 1; v ??， F ??-g δ 1+φ‖ ?2 ?L 2（ Ω ） +

1 2 ?‖w x，T; v ??， F ??-g δ 2+φ‖ ??2 ??L 2（ Ω ） .

最后， 由范數(shù)的弱下半連續(xù)性得

J ?v ??， F ??= 1 2 ‖w x，T 1; v ??， F ??-g δ 1+

φ‖ 2 ?L 2（ Ω ） + 1 2 ‖w x，T; v ??， F ??-g δ 2+

φ‖ 2 ?L 2（ Ω ） + 1 2 α ‖ v ??‖ ?2 ?H′ （ Ω ） ?2 +

1 2 β ‖F(xiàn) ?‖ ?2 ?L 2（0，T;L 2（ Ω ）） =

lim ???n→∞ ???1 2 ?‖w x，T 1; v ?n， F n -g δ ?1n +

φ‖ 2 ?L 2（ Ω ） + ?1 2 ?‖w x，T; v ?n， F n -g δ ?2n +φ‖ ?2 ?L 2（ Ω ） ?+

1 2 α ‖ v ??‖ ?2 ?H′ （ Ω ） ?2 + 1 2 β ‖F(xiàn) ?‖ ?2 ?L 2（0，T;L 2（ Ω ）） ≤

lim inf ???n→∞ ???1 2 ?‖w x，T 1; v ?n， F n -g δ ?1n +

φ‖ 2 ?L 2（ Ω ） + 1 2 ‖w x，T; v ?n， F n -g δ ?2n +

φ‖ 2 ?L 2（ Ω ） + 1 2 α ‖v n‖ ?2 ?H′ （ Ω ） ?2 +

1 2 β ‖F(xiàn) n‖ ?2 ?L 2（0，T;L 2（ Ω ）） }≤

lim inf ???n→∞ ???1 2 ??‖w x，T 1;v n， F n -g δ 1+φ‖ ?2 ?L 2（ Ω ） +

1 2 ?‖w x，T;v n， F n -g δ 2+φ‖ ?2 ?L 2（ Ω ） +

1 2 α ‖ v ?n‖ ?2 ?H′ （ Ω ） ?2 + 1 2 β ‖F(xiàn) n‖ ?2 ?L 2（0，T;L 2（ Ω ）） ?=

inf ???（v，F(xiàn)）∈A 1×A 2 ?J（v， F）.

因而 （ v ??， F ?） 為問(wèn)題（5）（6）的最優(yōu)解. 證畢.

3 必要條件

定理3.1 ???令 （v，F(xiàn)） 為極小化目標(biāo)泛函（5）的解. 那么， ?對(duì)任意（v，F(xiàn)）∈A 1×A 2 ，有

∫ Ω w x，T 1 -g ?δ 1+ ??ζ x，T 1 +

x，T 1 ??d x+∫ Ω w（x，T）-g δ 2+ ???［ζ（x，T）+ （x，T）］ d x+α∫ Ω［v·（h-v）+

～ v·

～ （h-v）］ d x+β∫ ?QF（k-F） d x d t≥0 ???（9）

且 ζ（x，t）， （x，t） 分別滿足以下方程：

ζ t-Δζ+

·（ζv）=-

· w（h-v） ， ??（x，t）∈Q，

ζ ?????Ω ?=0， ?ζ ???t=0 =0，

t-Δ +

· ?v =k-F，（x，t）∈Q， ?????????Ω ?=0， ??????t=0 =0.

證明 ??任意h= h 1，h 2 ∈A 1，k∈A 2， 0≤λ， γ≤1 ?， 有 ??v ?λ≡ 1-λ v + λh∈A 1 ， ?F γ≡ 1-γ F + γk∈A 2. ?那么

J ??λ，γ ≡J（ v ??λ， F ?γ）= 1 2 ‖w x，T 1; v ??λ，F(xiàn) ?γ -

g ?δ 1+ ‖ ?2 ?L 2（ Ω ） + 1 2 ‖w x，T; v ??λ，F(xiàn) ?γ -g ?δ 2+

‖ ?2 ?L 2（ Ω ） + 1 2 α ‖ v ??λ‖ ?2 ??H′ （ Ω ） ?2 +

1 2 β ‖F(xiàn) ?γ‖ ??2 ?L 2（0，T;L 2（ Ω ）） =

1 2 ∫ Ω ?w x，T 1; v ??λ， F ?γ -g ?δ 1+ ???2 d x+

1 2 ∫ Ω ?w x，T; v ??λ， F ?γ -g δ 2+ ???2 d x+

1 2 α∫ Ω ???v ??λ ??2+

v ??λ ??2 ?d x+

1 2 β∫ Q ?F ?γ ??2 d x d t.

對(duì)任意向量值函數(shù) u= u 1，u 2 ∈H′ （ Ω ） ?2 ， 引入記號(hào)

～ ?，

～ u=

u 1，

u 2 ??T ， 其中

是通常意義下的梯度算子. 對(duì)任意 u，v∈H′ （ Ω ） ?2 ， 定義

～ u·

～ v=

u 1·

v 1+

u 2·

v 2 .

當(dāng) v= v ?λ，F(xiàn)=F γ 時(shí)， 令 W ?λ，γ ?為方程（4）的解. 因 （v，F(xiàn)） 是最優(yōu)解， 我們有

J ??λ，γ ??λ ?????λ=0，γ=0 =

∫ Ω w x，T 1 -g ?δ 1+ ?????W ??λ，γ ??λ ?????λ=0，γ=0 ?d x+

∫ Ω w（x，t）-g ?δ 2+ ?????W ??λ，γ ??λ ?????λ=0，γ=0 ?d x+

α∫ Ωv·（h-v）+

～ v·

～ （h-v） d x≥0，

J ??λ，γ ??γ ?????λ=0，γ=0 =

∫ Ω w x，T 1 -g ?δ 1+ ?????W ??λ，γ ??γ ?????λ=0，γ=0 ?d x+ ?∫ Ω w（x，t）-g ?δ 2+ ?????W ??λ，γ ??γ ?????λ=0，γ=0 ?d x+

β∫ QF（k-F） d x d t≥0.

令 ?W λ ?= ?W ?λ，γ ??λ ?. 直接計(jì)算可得方程

t （ W λ ?）-Δ W λ ?+

· ?W λ ??v ?λ =

-

· W ?λ，γ （h-v） ， （x，t）∈Q， ???W λ ???????Ω ?=0， ???W λ ?????t=0 =0.

令 ζ= ??W λ ?????λ=0，γ=0 ?. 那么 ζ 滿足方程

ζ ?t -Δζ+

· ζv =-

· w（h-v） ， ??（x，t）∈Q，

ζ ?????Ω ?=0， ?ζ ???t=0 =0 ??（10）

因此，

∫ Ω w x，T 1 -g ?δ 1+ ?ζ x，T 1 ?d x+

∫ Ω w（x，T）-g ?δ 2+ ?ζ（x，T） d x+

α∫ Ω v·（h-v）+

～ v·

～ （h-v） ?d x≥0.

同樣，令 ?W γ ?= ?W ?λ，γ ??γ ?. 直接計(jì)算得

t （ W γ ?）-Δ W γ ?+

· ?W γ ??v ?λ =k-F，

（x，t）∈Q，

W γ ???????Ω ?=0， ??W γ ?????t=0 =0.

令 ?= ??W γ ?????λ=0，γ=0 ?. 那么 ??滿足方程

t-Δ +

· ?v =k-F， （x，t）∈Q，

Ω ?=0， ??????t=0 =0 ??（11）

因此，

∫ Ω w x，T 1 -g ?δ 1+ ???x，T 1 ?d x+

∫ Ω w（x，T）-g ?δ 2+ ??（x，T） d x+

β∫ QF k-F ?d x d t≥0.

證畢.

注1 ???由拋物方程的共軛理論， 我們可以獲得必要條件不等式左邊第二項(xiàng)的另一種形式.令

Lζ=ζ t-Δζ+

· ζv ?.

假設(shè) ζ ?^ ?為以下方程的解：

L ?ζ ?^ = -ζ ?^ ??t-Δζ ?^ -v·

ζ ?^ =0， （x，t）∈Q， ??ζ ?^ ??????Ω ?=0， ?ζ ?^ ????t=T =w（x，t）-g δ 2（x）+ （x） ??（12）

其中 L ??為 L 的共軛算子. 由（10）式和（12）式，我們有

0= ∫ ??T 0∫ ΩζL ?ζ ?^ ?d x d t=

-∫ Ωζ（x，T） w（x，T）-g ?δ 2+ ??d x+

∫ ??T 0∫ Ωζ ?^ Lζ d x d t=-∫ Ωζ（x，T）［w（x，T）-

g ?δ 2+ ］ d x+ ∫ ??T 0∫ Ωw （h-v）·

ζ ?^ ??d x d t，

即

∫ Ωζ（x，T） w（x，T）-g δ 2+ ??d x=

∫ ??T 0∫ Ωw （h-v）·

ζ ?^ ??d x d t .

同樣，令 L = ?t-Δ +

·（ v） . 假設(shè) ???^ ?為以下方程的解：

L ????^ =- ???^ ??t-Δ ????^ -v·

^ =0， （x，t）∈Q， ?????^ ??????Ω ?=0， ????^ ????t=T =w（x，t）-g δ 2（x）+ （x） ??（13）

這里 L ??為 L 的共軛算子.由（11）式和（13）式，我們有

0= ∫ ??T 0∫ Ω L ????^ ?d x d t=

-∫ Ω （x，T） w（x，T）-g ?δ 2+ ??d x+

∫ ??T 0∫ Ω ??^ L ?d x d t=

-∫ Ω （x，T）［w（x，T）-

g ?δ 2+ ］ d x+ ∫ ??T 0∫ Ω ??^ ?k-F ?d x d t，

即

∫ Ω （x，T） w（x，T）-g δ 2+ ??d x=

∫ ??T 0∫ Ω ??^ ?k-F ?d x d t ?（14）

結(jié)合（9）式， （13）式和（14）式可得

∫ Ω w x，T 1 -g ?δ 1+ ??ζ x，T 1 + ?x，T 1 ??d x+

∫ ??T 0∫ Ωw （h-v）·

ζ ?^ ?+ ??^ ?k-F ?d x d t+

α∫ Ω v·（h-v）+

～ v·

～ （h-v） ?d x+

β∫ QF k-F ?d x d t≥0.

4 唯一性和穩(wěn)定性

注意到

F（x，t）=Lφ+f（x）R（x，t）=

Δφ-

·（φv（x））+f（x）R（x，t）

中的未知函數(shù)為 v（x） 和 f（x） 均與時(shí)間 t 無(wú)關(guān)， 我們可將泛函（5）改為

min ???v×F∈A 1×A 2 ?J（v，F(xiàn)）= 1 2 ‖w（x，T 1;v，F(xiàn)）-

g δ 1+φ‖ 2 ?L 2（ Ω ） + 1 2 ‖w（x，T;v，F(xiàn)）-g δ 2+

φ‖ 2 ?L 2（ Ω ） + 1 2 α ‖v‖ ?2 ?H′ （ Ω ） ?2 + 1 2 β ‖F(xiàn)‖ ?2 ?L 2（ Ω ） .

上述改變不會(huì)對(duì)問(wèn)題產(chǎn)生本質(zhì)影響， 只是必要條件（9）將變?yōu)?/p>

∫ Ω w（x，T 1）-g ?δ 1+φ ?ζ x，T 1 +φ x，T 1 ??d x+

∫ Ω w（x，T）-g ?δ 2+φ ?ζ（x，T）+ （x，T） ?d x+

α∫ Ω v·（h-v）+

～ v·

～ （h-v） ?d x+

β∫ ΩF（k-F） d x≥0 ?（15）

為得到與源函數(shù) f（x） 有關(guān)的穩(wěn)定性， 我們還需對(duì) R（x，t）∈L 2 0，T;L ∞（ Ω ） ?附加上條件 R（x，t）≥R 0>0， ?其中 R 0 為一個(gè)正常數(shù).

令

z x，T 1 =g δ 1（x）-φ（x），

z（x，T）=g δ 2（x）-φ（x） .

假設(shè) ??v ?i，F(xiàn) i ，i=1，2 是反問(wèn)題（P2）相對(duì)于 ?z i x，T 1 ，z i（x，T） ?的最優(yōu)解. 令

w 1（x，t）=w x，t; v ?1，F(xiàn) 1 ?，

w 2（x，t）=w x，t; v ?2，F(xiàn) 2

以及 ?w 1-w 2=W - ， v ?1- v ?2= v ?，F(xiàn) 1-F 2=F - ?. 那么 W - ?滿足以下方程：

W - ??t-ΔW - +

· W - ?v ?1 =F - -

· w 2 v ??，

（x，t）∈Q， ??W - ??????Ω ?=0， ?W - ????t=0 =0 ?????????（16）

在（15）式中， 當(dāng) （v，F(xiàn)）= ?v ?1，F(xiàn) 1 ?時(shí)令 ?h，k = ?v ?2，F(xiàn) 2 ?，當(dāng) （v，F(xiàn)）= ?v ?2，F(xiàn) 2 ?時(shí)令 ?h，k = ?v ?1，F(xiàn) 1 ?，則有

α∫ Ω ?v ?1· ?v ?2- v ?1 +

～ ?v ?1·

～ ??v ?2- v ?1 ??d x+

β∫ ΩF 1 F 2-F 1 ?d x+∫ Ω w 1-z 1 ·，T 1

ζ 1+ ?1 ?d x+∫ Ω w 1-z 1 ·，T

ζ 1+ ?1 ?d x≥0 ?（17）

和

α∫ Ω ?v ?2· ?v ?1- v ?2 +

～ ?v ?2·

～ ??v ?1- v ?2 ??d x+

β∫ ΩF 2 F 1-F 2 ?d x+∫ Ω w 2-z 2 ·，T 1

ζ 2+ ?2 ?d x+∫ Ω w 2-z 2 ·，T

ζ 2+ ?2 ?d x≥0 ?（18）

由（17）式和（18）式可得

α∫ Ω ???v ?1- v ?2 ??2+

～ ??v ?1- v ?2 ???2 ?d x+

β∫ Ω ?F 1-F 2 ??2 d x≤

α∫ Ω ???v ?1- v ?2 ??2+

～ ??v ?1- v ?2 ???2 ?d x+

β R 2 0∫ Ω ?f 1-f 2 ??2 d x+∫ Ω

· φ v ?????2 d x ≤

∫ Ω w 1-z 1 ·，T 1 ??ζ 1+ ?1 +

w 2-z 2 ·，T 1 ??ζ 2+ ?2 ?d x+

∫ Ω w 1-z 1 ·，T ??ζ 1+ ?1 +

w 2-z 2 ·，T ??ζ 2+ ?2 ?d x≡I 1+I 2 ?（19）

對(duì)于 I 1 ，我們有

I 1=∫ Ω w 1-z 1 ·，T 1 ??ζ 1+ ?1 -

w 2-z 2 ·，T 1 ??ζ 1+ ?1 ???+

w 2-z 2 ·，T 1 ??ζ 1+ ?1 +

w 2-z 2 ·，T 1 ??ζ 2+ ?2 ?d x=

∫ Ω w 1-w 2 ?ζ 1+ ?1 ?d x+

∫ Ω z 2 ·，T 1 -z 1 ·，T 1 ??ζ 1+ ?1 ?d x+

∫ Ω w 2-z 2 ·，T 1 ??ζ 1+ζ 2 ?d x+

∫ Ω w 2-z 2 ·，T 1 ????1+ ?2 ?d x≡

≡I ?11 +I ?12 +I ?13 +I ?14 .

其中 w i，ζ i， ?i，i=1，2 關(guān)于 t 的取值均為 T 1 .

同理， 對(duì)于 I 2 我們有

I 2=∫ Ω w 1-w 2 ?ζ 1+ ?1 ?d x+

∫ Ω z 2 ·，T -z 1 ·，T ??ζ 1+ ?1 ?d x+

∫ Ω w 2-z 2 ·，T ??ζ 1+ζ 2 ?d x+

∫ Ω w 2-z 2 ·，T ????1+ ?2 ?d x≡

I ?21 +I ?22 +I ?23 +I ?24 .

其中 w i，ζ i， ?i，i=1，2 關(guān)于 t 的取值均為 T ， 以后不再贅述. 注意到 ζ 1，ζ 2， ?1， ?2 分別滿足以下方程：

ζ ?1t -Δζ 1+

· ζ 1 v ?1 =

· w 1 v ??，

ζ 1 ?????Ω ?=0， ?ζ 1 ???t=0 =0 ??（20）

ζ ?2t -Δζ 2+

· ζ 2 v ?2 =-

· w 2 v ??，

ζ 2 ?????Ω ?=0， ?ζ 2 ???t=0 =0 ??（21）

1t -Δ ?1+

· ??1 v ?1 =- F，

1 ?????Ω ?=0， ???1 ???t=0 =0 ??（22）

2t -Δ ?2+

· ??2 v ?2 =F ，

2 ?????Ω ?=0， ???2 ???t=0 =0 ??（23）

令 ζ 1+ζ 2=E， ??1+ ?2=N， ζ 1+ ?1=H . 則 E，N，H 分別滿足以下的方程：

E t-ΔE+

· E v ?1 =

· ζ 2 v ??+

· W ?v ??，

E ?????Ω ?=0， ?E ???t=0 =0

N t-ΔN+

· N v ?1 =

· ??2 v ??，

N ?????Ω ?=0 ?，N ???t=0 =0，

H t-ΔH+

· H v ?1 =

· w 1 v ??- F ?，

H ?????Ω ?=0， ?H ???t=0 =0

引理4.1 ???對(duì)方程（16），我們有如下估計(jì)：

max ???0≤t≤T ?∫ Ω W - ??2 d x+ ?∫ ??T 0∫ Ω

W - ???2 d x d t≤

C ??∫ ??T 0∫ ΩF - ??2 d x d t+ ?∫ ??T 0∫ Ω w 2 v ????2 d x d t ??（24）

這里的 C 與 T 無(wú)關(guān).

證明 ?對(duì) 0

∫ Ω ∫ ??t 0 ???W - ??2 2 ????t d x d t+ ?∫ ??t 0∫ Ω

W - ???2 d x d t-

∫ ??t 0∫ ΩW - ?v ?1·

W - ?d x d t=

∫ ??t 0∫ Ω F - -

· w 2 v ???W - ?d x d t ?（25）

由Young不等式和（25）式， 利用分部積分可得

∫ Ω ???W - ??2 2 ?????（x，t） ?d x+ ?∫ ??t 0∫ Ω

W - ???2 d x d t=

∫ ??t 0∫ ΩW - ?v ?1·

W - ?d x d t+ ∫ ??t 0∫ ΩF - W - ?d x d t+

∫ ?t 0∫ Ωw 2 v ?·

W - ?d x d t≤ 1 2 ?∫ ??t 0∫ Ω F - ??2 d x d t+

C ∫ ?t 0∫ Ω ?w 2 v ????2 d x d t+C ∫ ?t 0∫ Ω W - ??2 d x d t+

1 2 ?∫ ?t 0∫ Ω

W - ???2 d x d t，

即

∫ Ω ???W - ??2 2 ?????（x，t） ?d x+ 1 2 ??∫ ??t 0∫ Ω

W - ???2 d x d t≤

1 2 ?∫ ??t 0∫ Ω F - ??2 d x d t+C ∫ ??t 0∫ Ω ?w 2 v ????2 d x d t+

C ∫ ??t 0∫ Ω W - ??2 d x d t，

由Gronwall不等式和上式， 得

∫ Ω W - ??2 d x+ ?∫ ??T 0∫ Ω

W - ???2 d x d t≤

C ?∫ ??T 0∫ Ω ?w 2 v ????2 d x d t+ ∫ ??T 0∫ Ω F - ??2 d x d t ，

這里的 C 與 T 無(wú)關(guān). 證畢.

類似引理4.1的證明，我們有以下結(jié)果.

引理4.2 ???對(duì)方程（21）和方程（23），我們有如下估計(jì)：

max ???0≤t≤T ?∫ Ωζ 2 ??2 d x+ ?∫ ??T 0∫ Ω

ζ 2 ??2 d x d t≤

C ?∫ ??T 0∫ Ω w 2 v ????2 d x d t ?（26）

max ???0≤t≤T ?∫ Ω ?2 2 d x+ ?∫ ??T 0∫ Ω

2 ??2 d x d t≤

C ?∫ ??T 0∫ Ω F - ???2 d x d t ?（27）

這里的 C 與 T 無(wú)關(guān).

引理4.3 ???對(duì)于 E，N，R ， 我們有以下估計(jì)：

max ???0≤t≤T ?∫ ΩE 2 d x+ ?∫ ??T 0∫ Ω

E ??2 d x d t≤

CT max ???v ????2 ??∫ ??T 0∫ ΩF - ??2 d x d t+ ?∫ ?T 0∫ Ω w 2 v ????2 d x d t ????（28）

max ???0≤t≤T ?∫ ΩN 2 d x+ ?∫ ??T 0∫ Ω

N ??2 d x d t≤ ?CT max ???v ????2 ?∫ ??T 0∫ ΩF - ??2 d x d t ?（29）

max ???0≤t≤T ?∫ ΩH 2 d x+ ?∫ ??T 0∫ Ω

H ??2 d x d t≤

C ??∫ ??T 0∫ ΩF - ??2 d x d t+ ?∫ ??T 0∫ Ω w 1 v ????2 d x d t ??（30）

這里的 C 與 T 無(wú)關(guān).

證明 ?因（29）（30）式的證明與（28）式的證明類似， 我們僅需證明（28）式. 對(duì) 0

∫ Ω ∫ ??t 0 ??E 2 2 ????t d x d t+ ?∫ ??t 0∫ Ω

E ??2 d x d t-

∫ ??t 0∫ ΩE v ?1·

E d x d t=

∫ ??t 0∫ Ω

· ζ 2 v ??+

· W - ?v ???E d x d t ?（31）

由Young不等式和（31）式， 利用分部積分可得

∫ Ω ??E 2 2 ?????（x，t） ?d x+ ?∫ ??t 0∫ Ω

E ??2 d x d t=

∫ ??t 0∫ ΩEv 1·

E d x d t- ∫ ??t 0∫ Ωζ 2 v ?·

E d x d t-

∫ ??t 0∫ ΩW - ?v ?·

E d x d t≤C ∫ ??t 0∫ Ω ?E v ?1 ??2 d x d t+

C ∫ ?t 0∫ Ω ?ζ 2 v ????2 d x d t+C ∫ ?t 0∫ Ω ?W - ?v ????2 d x d t+

1 2 ?∫ ??t 0∫ Ω

E ??2 d x d t≤

C ∫ ??t 0∫ ΩE 2 d x d t+

1 2 ?∫ ??t 0∫ Ω

E ??2 d x d t+ ?CT max ????v ?????2 ??∫ ??t 0∫ ΩF - ??2 d x d t+

∫ ?t 0∫ Ω w 2 v ????2 d x d t ??（32）

即

∫ Ω ??E 2 2 ?????（x，t） ?d x+ 1 2 ??∫ ??t 0∫ Ω

E ??2 d x d t≤

C ∫ ??t 0∫ ΩE 2 d x d t+CT max ????v ?????2 ??∫ ??t 0∫ ΩF - ??2 d x d t+

∫ ??t 0∫ Ω w 2 v ????2 d x d t .

這里我們使用了估計(jì)式（24）和（26）. 由Gronwall不等式， 得

∫ ΩE 2 d x+ ?∫ ??T 0∫ Ω

E ??2 d x d t≤

CT max ???v ????2 ??∫ ?T 0∫ ΩF - ??2 d x d t+ ?∫ ??T 0∫ Ω w 2 v ????2 d x d t ，

這里 C 與 T 無(wú)關(guān). 證畢.

注2 ???下面我們將給出估計(jì)式（28）（29）的另一種形式. 注意到當(dāng) n=2 ， 且 m=n 時(shí)我們有 ?［10］ ??W ?1，m （ Ω ）L q（ Ω ），1≤q<∞ ， 且對(duì)任意 u∈ ??W ?1，m （ Ω ） ?有 ?‖u‖ ??L q（ Ω ） ≤C ‖u‖ ??W ?1，m （ Ω ） ?. 特別地， 當(dāng) m

W ?1，m （ Ω ）L q（ Ω ）， 1≤q

且對(duì)任意 u∈W ?1，m （ Ω ） 有

‖u‖ ??L q（ Ω ） ≤C ‖u‖ ??W ?1，m （ Ω ） ，1≤q

由（33）式和Poincaré不等式， 可得

‖ v ?‖ ?2 ?L 4 （Ω） ?2 = ?∫ Ω ????v ????2 ??2 d x ????1 2 ?≤

C ‖ v ?· v ?‖ ???W ?1，1 ?（ Ω ） ?2 ≤

C ‖ v ?‖ ??L 2 （Ω） ?2 · ‖

～ ?v ?‖ ??L 2 （Ω） ?2 .

因此， 在估計(jì)式（32）中有

∫ ??T 0∫ Ω ?W - ?v ????2 d x d t≤ ??∫ ??T 0∫ Ω ??v ????4 d x d t ????1 2 ?·

∫ ??T 0∫ Ω ?W - ???4 d x d t ????1 2 ?≤C T ?‖ v ?‖ ?2 ?L 4 （Ω） ?2 ·

‖W - ‖ ?2 ??L 4（Q） ≤C T ?‖ v ?‖ ??L ?2 （ Ω ） ?2 ·

‖

～ ?v ?‖ ???L 2 （ Ω ） ?2 · ‖W - ‖ ??L ?2（Q） · ‖

W - ‖ ???L 2（Q） ??（34）

那么，由（24）式、（34）式和Poincaré不等式可得

∫ ??T 0∫ Ω ?W - ?v ????2 d x d t≤CT ‖

～ ?v ?‖ ?2 ??L 2 （ Ω ） ?2 ·

∫ ??T 0∫ ΩF - ??2 d x d t+ ?∫ ??T 0∫ Ω w 2 v ????2 d x d t .

同樣， 對(duì) ??ζ 2 v ????2 有如下估計(jì)：

∫ ??T 0∫ Ω ?ζ 2 v ????2 d x d t≤CT ‖

～ ?v ?‖ ?2 ??L 2 （ Ω ） ?2 ·

∫ ??T 0∫ Ω w 2 v ????2 d x d t.

這樣， 我們可以再次寫(xiě)出引理4.4的另一種形式：

max ???0≤t≤T ?∫ ΩE 2 d x+ ?∫ ??T 0∫ Ω

E ??2 d x d t≤ ?CT ‖

～ ?v ?‖ ?2 ??L 2 （ Ω ） ?2 · ??∫ ??T 0∫ ΩF - ??2 d x d t+

∫ ??T 0∫ Ω w 2 v ????2 d x d t ??（35）

max ???0≤t≤T ?∫ ΩN 2 d x+ ?∫ ??T 0∫ Ω

N ??2 d x d t≤ ?CT ‖

～ ?v ?‖ ?2 ??L 2 （ Ω ） ?2 · ?∫ ??T 0∫ Ω w 2 v ????2 d x d t ?（36）

定理4.4 ???令 ??v ?1，F(xiàn) 1 ， ?v ?2，F(xiàn) 2 ?是最優(yōu)控制問(wèn)題（P2） 相對(duì) ?z 1 x，T 1 ，z 1（x，T） ?， {z 2 x，T 1 ， z 2（x，T）} 的最優(yōu)解. 如果 ???v ?1 ?????Ω ?= ??v ?2 ?????Ω ?， ?F 1 ?????Ω ?= ?F 2 ?????Ω ??，則存在一個(gè)適當(dāng)小的常數(shù) T 0， ?對(duì)于任意的 0

‖ v ?1- v ?2‖ ??H′ （ Ω ） ?2 + ‖f 1-f 2‖ ??L 2（ Ω ） ≤

C（ ‖z 1 ·，T 1 -z 2 ·，T 1 ‖ ??L 2（ Ω ） +

‖z 1 ·，T -z 2 ·，T ‖ ??L 2（ Ω ） ），

其中的 C 與 T 無(wú)關(guān).

證明 ?證明的主要思想是利用第3節(jié)中得到的必要條件.對(duì)（19）式中定義的 I 1 ，有

I 1 = I ?11 +I ?12 +I ?13 +I ?14 ?≤

I ?11 ?+ I ?12 ?+ I ?13 ?+ I ?14 ?≤

∫ Ω W - ??H ?d x+∫ Ω z 2 ·，T 1 -

z 1 ·，T 1 ??H ?d x+

∫ Ω w 2-z 2 ·，T 1 ??E ?d x+

∫ Ω w 2-z 2 ·，T 1 ??N ?d x≤

∫ Ω W - ???2 d x · ?∫ Ω H ??2 d x +

∫ Ω z 2 ·，T 1 -z 1 ·，T 1 ???2 d x+

∫ Ω H ??2 d x+ ?∫ Ω w 2-z 2 ·，T 1 ???2 d x ×

∫ Ω E ??2 d x + ?∫ Ω N ??2 d x ???（37）

‖W - ‖ ??L 2（ Ω ） · ‖H‖ ??L 2（ Ω ） + ‖w 2-z 2 ·，T 1 ‖ ??L 2（ Ω ） ×

‖E‖ ??L 2（ Ω ） + ‖N‖ ??L 2（ Ω ） ?+ ‖H‖ ?2 ?L 2（ Ω ） +

‖z 2 ·，T 1 -z 1 ·，T 1 ‖ ?2 ?L 2（ Ω ） ≤

‖w 2-z 2 ·，T 1 ‖ ??L 2（ Ω ） ×

‖E‖ ??L 2（ Ω ） + ‖N‖ ??L 2（ Ω ） ?+

‖W - ‖ ?2 ?L 2（ Ω ） +2 ‖H‖ ?2 ?L 2（ Ω ） +

‖z 2 ·，T 1 -z 1 ·，T 1 ‖ ?2 ?L 2（ Ω）

及 z 2 ·，T 1 ∈L 2（ Ω ） . 由引理2.1知

∫ Ω w 2-z 2 ·，T 1 ???2 d x≤C ?（38）

這里的 C 與 T 無(wú)關(guān). 由引理4.2以及（35）式～（38）式可得

I 1 ≤CT ‖

～ ?v ?‖ ???L 2 （ Ω ） ?2 × ???∫ ??T 0∫ ΩF - ??2 d x d t+ ?∫ ??T 0∫ Ω w 2 v ????2 d x d t + ??∫ ??T 0∫ Ω w 2 v ????2 d x d t ?+

C ??∫ ??T 0∫ ΩF - ??2 d x d t+ ∫ ??T 0∫ Ω ??w 2 v ????2+ ?w 1 v ????2 + d x d t + ∫ Ω z 2 ·，T 1 -z 1 ·，T 1 ???2 d x≤

CT ‖

～ ?v ?‖ ???L 2 （ Ω ） ?2 +C（T+1） ?∫ ??T 0∫ ΩF - ??2 d x d t+CT ‖ v ?‖ ?2 ??L 2 （ Ω ） ?2 + ‖z 2 ·，T 1 -z 1 ·，T 1 ‖ ?2 ??L 2（ Ω ） ≤

CT ‖

～ ?v ?‖ ??L 2 （ Ω ） ?2 +C（T+1）TR 2 0 ‖f 1-f 2‖ ?2 ??L 2（ Ω ） +C（T+1）T ‖

· φ v ??‖ ?2 ??L 2（ Ω ） +

CT ‖ v ?‖ ?2 ?L 2 （ Ω ） ?2 + ‖z 2 ·，T 1 -z 1 ·，T 1 ‖ ??2 ?L 2（ Ω ） ??（39）

類似可得

I 2 ≤CT ‖

～ ?v ?‖ ??L 2 （ Ω ） ?2 +

C（T+1）TR 2 0 ‖f 1-f 2‖ ?2 ?L 2（ Ω ） +

C（T+1）T ‖

· φ v ??‖ ?2 ?L 2（ Ω ） +

CT ‖ v ?‖ ?2 ?L 2 （ Ω ） ?2 +‖z 2 ·，T -

z 1 ·，T ‖ 2 ?L 2（ Ω ） ??（40）

結(jié)合（19）式， （39）式和（40）式， 我們有

α∫ Ω ???v ????2+

～ ?v ????2 ?d x+

β R 2 0∫ Ω ?f 1-f 2 ??2 d x+∫ Ω

· φ v ?????2 d x ≤

2CT ?‖ v ?‖ ?2 ??L 2 （ Ω ） ?2 + ‖

～ ?v ?‖ ???L 2 （ Ω ） ?2 ?+

2C（T+1）T R 2 0 ‖f 1-f 2‖ ?2 ??L 2（ Ω ） +

‖

· φ v ??‖ ?2 ??L 2（ Ω ） ?+

‖z 2 ·，T 1 -z 1 ·，T 1 ‖ ?2 ??L 2（ Ω ） +

‖z 2 ·，T -z 1 ·，T ‖ ?2 ??L 2（ Ω ） ??（41）

這里的 C 與 T 無(wú)關(guān). 因此，對(duì)于固定的 α 和 β ， 我們可以選擇一個(gè)比較小的 T 0 ，使得

C T 0 ??2+T 0 ≤ min ?α，β /2 ?（42）

由（41）式和（42）式， 注意到

～ ?的定義， 則對(duì)任意的 0

‖ v ?1- v ?2‖ ??H′ （ Ω ） ?2 + ‖f 1-f 2‖ ??L 2（ Ω ） ≤

C ?‖z 1 ·，T 1 -z 2 ·，T 1 ‖ ??L 2（ Ω ） +

‖z 1 ·，T -z 2 ·，T ‖ ??L 2（ Ω） ?，

這里的 C 與正則化參數(shù) α 和 β 相關(guān). 證畢.

5 結(jié) 論

本文利用兩個(gè)時(shí)刻的觀測(cè)數(shù)據(jù)值同時(shí)反演了對(duì)流擴(kuò)散方程的對(duì)流速度和源函數(shù).通過(guò)將初始時(shí)刻值轉(zhuǎn)化為源項(xiàng)條件， 本文得到了一個(gè)組合源項(xiàng)，然后利用Tikhonov正則化方法構(gòu)造了目標(biāo)泛函，并證明了最優(yōu)解的存在的必要條件及解的唯一性和穩(wěn)定性.這將為接下來(lái)的數(shù)值模擬提供強(qiáng)有力的支撐. 在以后的工作中， 我們將考慮使用交替方向迭代法同時(shí)反演對(duì)流速度和源函數(shù).

參考文獻(xiàn)：

［1］ ??Fu ?C L， Li H F， Xiong X T. Iterative Tikhonov regularization method for ill-posed problems ［J］. Math Numer Sin， 2006， 3： 237.［傅初黎，李洪芳，熊向團(tuán).不適定問(wèn)題的迭代Tikhonov正則化方法［J］.計(jì)算數(shù)學(xué)， 2006， 3： 237.］

［2］ ?Zhang G R. Tikhonov regularization method for ill-posed problems ［J］. Shandong Sci， 1995， 8： 15.［張改榮.不適定問(wèn)題的Tikhonov正則化方法［J］.山東科學(xué)， 1995， 8： 15.］

［3］ ?Chen D H， Jiang D， Zou J. Convergence rates of Tikhonov regularizations for elliptic and parabolic inverse radioactivity problems ［J］. Inverse Probl， 2020， 36： 075001.

［4］ ?Yang F， Fu C L. A simplified Tikhonov regularization method for determining the heat source ［J］. Appl Math Model， 2010， 34： 3286.

［5］ ?Engl H W， Kunisch K， Neubauer A. Convergence rates for Tikhonov regularization of nonlinear ill-posed problems ［J］. Inverse Probl， 1989， 5： 523.

［6］ ?Deng Z C， Yang L， Chen N. Uniqueness and stability of the minimizer for a binary functional arising in an inverse heat conduction problem ［J］. J Math Anal Appl， 2011， 382： 474.

［7］ ?Cao K， Lesnic D， Liu J. Simultaneous reconstruction of space-dependent heat transfer coefficients and initial temperature ［J］. J Comput Appl Math， 2020， 375： 112800.

［8］ ?Cheng T， Hu J， Jiang D. Simultaneous identification of convection velocity and source strength in a convection–diffusion equation ［J］. Appl Anal， 2020， 99： 2170.

［9］ ?Chrysafinos K， Gunzburger M D， Hou L S. Semidiscrete approximations of optimal Robin boundary control problems constrained by semilinear parabolic ［J］. J Math Anal Appl， 2006， 323： ?891.

［10］ ?Adams R A. Sobolev spaces ［M］. New York： Academic Press， 1975.

收稿日期： ?2023-06-02

基金項(xiàng)目： ?國(guó)家自然科學(xué)基金（61663018， 11961042）; 甘肅省自然科學(xué)基金（22JR5RA341）

作者簡(jiǎn)介： ??周子融（1998-）， 女， 山東菏澤人， 碩士研究生， 主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)物理反問(wèn)題. E-mail： zhouzirong2020@163. com

通訊作者： ?楊柳. E-mail： l_yang218@163. com