文/南京師范大學(xué)第二附屬初級中學(xué) 王梓琦
比較冪的大小是我們經(jīng)常遇到的題目。于是,我總結(jié)了一些常用的冪的大小比較方法,與小伙伴們進(jìn)行分享。
1.比較23與32的大小。
我比較喜歡此類題目,因?yàn)橐容^的數(shù)值小,只需口算就行。像這類冪的數(shù)值比較小的題目,我們可以直接先運(yùn)算,計(jì)算式子結(jié)果,然后再比較即可。23=8,32=9。因?yàn)?<9,所以23<32。
2.已知a=350,b=440,c=530,則a、b、c的大小關(guān)系是________。
仔細(xì)對比,我發(fā)現(xiàn)三個(gè)數(shù)字的指數(shù)都有因數(shù)10,于是想到將指數(shù)先統(tǒng)一成三個(gè)指數(shù)的最大公因數(shù),然后比較底數(shù),問題就迎刃而解了。a=(35)10=24310,b=(44)10=25610,c=(53)10=12510。因 為125<243<256,所以12510<24310<25610,即c<a<b。
3.已知a=8131,b=2741,c=961,則a、b、c的大小關(guān)系是________。
有了方法二的經(jīng)驗(yàn),我想到老師說的類比思想,于是試著將所有的底數(shù)都統(tǒng) 一。a=8131=(34)31=3124,b=2741=(33)41=3123,c=961=(32)61=3122。因 為124>123>122,所以3124>3123>3122。即a>b>c。該方法需要我們對數(shù)字有較高的敏感性,能看到指數(shù)、底數(shù)之間的關(guān)聯(lián)哦。
4.已知M=62001+72003,N=62003+72001,比較M、N的大小。
這種類型的題目顯然無法用以上三種方法解題,但我觀察到M、N均有底數(shù)6 與7,想到:若a-b>0,則a>b。也就是說,若M-N>0,則M>N。于是我將M、N作差,M-N=62001+72003-62003-72001=72001×(72-1)+62001×(1-62)=72001×48-62001×35>0,所以M>N。
像這類指數(shù)龐大、底數(shù)有一定聯(lián)系的題目,我們可以采用作商法進(jìn)行比較。
所以P=Q。
當(dāng)然,這道題也可以通過化簡P直接得到結(jié)論,感興趣的小伙伴可以試一試。
6.已知a=1996,b=9618,c=1996,d=6199,則這四個(gè)數(shù)的大小關(guān)系為________。
若要證明a>b,可以尋找一個(gè)中間量c,證明a>c且c>b,從而得到a>b。這道題目要比較的數(shù)比較多,于是我試著尋找中間量。因?yàn)?199>6198,而6198=3699>1996,1996=36148>9618,而9618=(963)6>1996,所以d>a>b>c。
感悟:在求解比較冪的大小相關(guān)的題目時(shí),我們不能被龐大的數(shù)字嚇到,而應(yīng)該勤練習(xí)、多總結(jié),積累更多的答題方法,從而游刃有余地解決各類問題。
教師點(diǎn)評
小作者通過“冪的運(yùn)算”一章的學(xué)習(xí),比較系統(tǒng)地總結(jié)出六種“冪的大小比較”題型的解法,從最簡單的“直接運(yùn)算法”到較復(fù)雜的“放縮法”,循序漸進(jìn),思維縝密。其實(shí),我們研究其他類型的數(shù)學(xué)題時(shí),也需要由淺入深,自然也會收到“水到渠成”“撥云見日”的效果。