賀鳳梅 李昌成

摘 要：圓錐曲線問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).每年的高考題，都會涉及圓錐曲線問題，既有選擇題、填空題，也有作為壓軸題的解答題，其特點(diǎn)是綜合性和系統(tǒng)性強(qiáng).這不僅需要學(xué)生掌握最基本的知識點(diǎn)，提高運(yùn)算的速度和準(zhǔn)確性，還需要學(xué)生能快速找到解題的突破口，成功解答.2023年高考全國乙卷也不例外，這類題充分考查學(xué)生的邏輯思維能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力以及運(yùn)算求解能力等.

關(guān)鍵詞：橢圓；定點(diǎn)；推廣

中圖分類號：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）07-0057-05

直線與圓錐曲線的綜合題一直是高考命題的熱點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，大部分學(xué)生對這部分知識的學(xué)習(xí)有畏懼心理.在學(xué)習(xí)過程中，他們僅停留在記憶相關(guān)概念、結(jié)論，或者模仿教材和教師的解題思路，并沒有真正理解概念、結(jié)論的意義，也沒有總結(jié)圓錐曲線中各種題型的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，或僅僅流于形式，因此考試時往往只能得一部分基礎(chǔ)分［1］.據(jù)此，以此次高考試題中圓錐曲線的解答為契機(jī)，談?wù)勛约旱目捶?，以期拋磚引玉.

1 題目呈現(xiàn)

（1）求C的方程；

（2）過點(diǎn)（-2，3）的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ與y軸的交點(diǎn)分別為M，N，證明：線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn).

2 總體分析

此題是2023年全國乙卷的解答題第20題，屬于壓軸題.這道圓錐曲線題的第（1）問實(shí)屬常規(guī)的送分題，而第（2）問落腳點(diǎn)雖然是定點(diǎn)問題，但與平時訓(xùn)練時見到的題的問法還是有差異.考后筆者了解了一下，在考場上不少考生只是設(shè)出直線PQ方程的點(diǎn)斜式，與橢圓方程聯(lián)立，但由于計(jì)算復(fù)雜，沒有學(xué)會合理轉(zhuǎn)化，止步于此了.

其實(shí)，直線與圓錐曲線的綜合問題，主要是以位置關(guān)系為載體，所以根據(jù)題意設(shè)直線方程，與圓錐曲線進(jìn)行聯(lián)立，借助根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解；同時將問題進(jìn)行分步拆解，需要設(shè)未知量時果斷設(shè)未知量以及必要的方程，最終設(shè)而不求，成功突破.筆者通過思考、解答與總結(jié)，嘗試?yán)迩鍐栴}的本質(zhì)，現(xiàn)分享于此，以饗讀者.

3 試題解答

以下著重探討第（2）問.

視角1 常規(guī)轉(zhuǎn)化.

解法1 （直線的斜截式方程聯(lián)合求解）

如圖1，易知直線PQ的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+m，過點(diǎn)（-2，3），所以m=2k+3.①

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），

消y，整理得

（4k2+9）x2+8kmx+4m2-36=0，

△=64k2m2-4（4k2+9）（4m2-36）>0，

即m2<4k2+9.

由根與系數(shù)的關(guān)系，得

y1=kx1+m，y2=kx2+m.③

聯(lián)合③整理，得

將②代入，繼續(xù)化簡整理得

由①

可得m-2k=3.

所以線段MN中點(diǎn)為定點(diǎn)（0，3）［2］.

解法2 （直線的點(diǎn)斜式方程聯(lián)合求解）

設(shè)直線PQ方程為y-3=k（x+2），

即y=kx+（2k+3）.

（4k2+9）x2+8k（2k+3）x+4（2k+3）2-36=0.

不妨設(shè)直線AM為y=k1（x+2），令x=0，則y=2k1，所以點(diǎn)M（0，2k1）.

同理N（0，2k2）.

故線段中點(diǎn)坐標(biāo)為N（0，k1+k2）.

將④代入整理，得

所以線段MN中點(diǎn)為定點(diǎn)（0，3）.

評注 以上兩種解法大同小異，解法1設(shè)直線PQ的斜截式方程，將點(diǎn)（-2，3）代入，明確數(shù)量關(guān)系m=2k+3；同時與橢圓方程進(jìn)行聯(lián)立，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理得出兩根之和與兩根之積待用.接著進(jìn)行下一步轉(zhuǎn)化，結(jié)合條件設(shè)法將點(diǎn)M的坐標(biāo)表示出來，再利用同一法表示點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出MN中點(diǎn)的坐標(biāo). 此時，隨著問題的分步求解，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)上就是求兩直線AP與AQ的斜率之和為定值.分式進(jìn)行通分，非對稱性轉(zhuǎn)化為對稱性，代入韋達(dá)定理的式子化簡等都屬于常規(guī)操作.因此，解決問題的關(guān)鍵還是在于我們拿到試題后進(jìn)行思考、分析、整合，將未知轉(zhuǎn)化為已知，將陌生轉(zhuǎn)化為熟悉，這也是當(dāng)前新課改后國家選拔人才的要求.解法2只是設(shè)直線方程不同，求解路徑稍有不同，進(jìn)行部分分離變量后，式子更簡單明了，這也需要通過一定的訓(xùn)練才能達(dá)到熟能生巧，靈活變通，不再贅述.

視角2 齊次化轉(zhuǎn)化.

解法3 （平移齊次化求解）

將圖象整體向右平移兩個單位，則點(diǎn)（-2，3）平移至（0，3），點(diǎn)A（-2，0）平移至（0，0）.

相應(yīng)直線PQ的方程可設(shè)為

y=kx+3，

將平移后的橢圓化簡整理，得

齊次化，得

4y2+9x2-36·y-kx3=0.

進(jìn)一步整理得

從而平移后線段MN中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）.

故線段MN中點(diǎn)為定點(diǎn)（0，3），得證［3］.

解法4 （配湊齊次化求解）

將4y2+9x2-36=0進(jìn)行配湊得

4y2+9（x+2）2-36（x+2）=0.

與直線y=k（x+2）+3聯(lián)立并整理，得

4y2+（9k+12）（x+2）2-12y（x+2）=0.

故線段MN中點(diǎn)為定點(diǎn)（0，3），得證.

評注 解法3是將點(diǎn)A平移至坐標(biāo)原點(diǎn)，其余點(diǎn)與直線、橢圓均移至相應(yīng)的位置，通過齊次化轉(zhuǎn)化，大大減少了運(yùn)算量. 不過此法建議給學(xué)習(xí)程度好、學(xué)有余力的同學(xué)嘗試，一定要講清原理，平移前與平移后的關(guān)系，再輔以適當(dāng)?shù)木毩?xí)加以鞏固，這樣才能收到成效. 解法4則是通過構(gòu)造法整體處理，同樣需要老師給學(xué)生講清原理，感興趣的同仁不妨一試！

視角3 向量法.

解法5 （設(shè)線求點(diǎn)及向量共線求解）

設(shè)直線AM：y=m（x+2），AN：y=n（x+2），則M（0，2m），N（0，2n），

線段MN中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，m+n），即證m+n為定值.

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），

（4m2+9）x2+16m2x+16m2-36=0.

易得12m-4m2-9=12n-4n2-9.

又m≠n，所以m+n=3.

故線段MN中點(diǎn)為定點(diǎn)（0，3），得證.

視角4 曲線系.

解法6 （借助曲線系巧妙消元代點(diǎn)求解）

結(jié)合解法5，經(jīng)過三點(diǎn)的二次曲線為

［y-m（x+2）］［y-n（x+2）］=0.

即y2-（m+n）（x+2）y+mn（x+2）2=0.

消去y2，得

顯然x≠-2，所以

即PQ的直線方程過點(diǎn)（-2，3），

代入整理并求解得m+n=3.

故線段MN中點(diǎn)為定點(diǎn)（0，3），得證.

評注 曲線系在課本上有涉及，只是平時使用較少，所以大家并不熟悉，從以上解答來看，若能理解、掌握并應(yīng)用到解題中去，確實(shí)有不一樣的效果，大家可以根據(jù)需要選擇！

4 嘗試推廣

此題的出題背景本質(zhì)上就是極點(diǎn)極線，可以推廣得到以下兩個結(jié)論.

>b>0），左頂點(diǎn)為A（-b，0），上頂點(diǎn)為B（0，a），過點(diǎn)B（-b，a）的直線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ與y軸的交點(diǎn)分別為M，N，證明：線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)（0，a）.

以上是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的一般結(jié)論，對于焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的一般結(jié)論，大家可以參照得出，不再贅述.

5 試題鏈接

（1）求E的方程；

簡析 該題中的同一法求解是本次真題中所用到的方法，包括直線過定點(diǎn)問題. 只是設(shè)置的問題情境不盡相同. 因此，在平時的學(xué)習(xí)及高考復(fù)習(xí)備考中，我們一定要關(guān)注和積累一些通性通法，所謂萬變不離其宗，很多試題均可以追本溯源，不管在知識上還是方法上，都有異曲同工之妙！

簡析 該題是比較典型的已知斜率之和為定值，證明直線過定點(diǎn)問題，可以利用文中的常規(guī)方法求解，也可以利用平移齊次化或構(gòu)造齊次化求解. 相信大家只要學(xué)會整合與反思，一定能有收獲！

6 結(jié)束語

高中圓錐曲線的試題對學(xué)生思維能力及計(jì)算能力的要求都很高，教師在教學(xué)時要把握好重、難點(diǎn)，循序漸進(jìn)，保證學(xué)生在夯實(shí)基礎(chǔ)的前提下，逐步提高難度. 教學(xué)過程中，建議結(jié)合學(xué)生的學(xué)情來規(guī)劃教學(xué)的進(jìn)度和難易程度，耐心細(xì)致地解答學(xué)生提出的問題及計(jì)算中的盲點(diǎn)及卡點(diǎn). 同時還需要有意識地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力，從而穩(wěn)步提高圓錐曲線的教學(xué)效率.

命題專家指出，根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的要求，今年高考數(shù)學(xué)全國卷全面考查考生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，充分體現(xiàn)基礎(chǔ)性、應(yīng)用性以及創(chuàng)新性的考查要求，突出理性思維，發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科在人才選拔中的重要作用.在全面推行素質(zhì)教育的今天，新一輪國家教育課程改革之際，對新教材、學(xué)生新的學(xué)習(xí)方式的研究與探討顯得尤為重要. 只有充分發(fā)揮青年一代的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，才能提高全民素質(zhì)，造就新一代的高質(zhì)量新型人才！

參考文獻(xiàn)：

［1］曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2005.

［2］ 賀鳳梅，李冒成.活用定義 巧解圓錐曲線考題：以2022屆八省聯(lián)考第5題為例［J］.數(shù)理化解題研究，2022（31）：64-66.

［3］ 賀鳳梅，李昌成.多視角探究2022年全國高考甲卷理數(shù)第20題［J］.數(shù)理化解題研究，2023（28）：2-5.