李紅偉 姜付錦

摘 要：本文通過(guò)對(duì)高中力學(xué)一道題展開分析與研究，發(fā)現(xiàn)了十種不同的解法，從而拓展了學(xué)生的思維，將數(shù)學(xué)與物理知識(shí)融會(huì)貫通，提升了學(xué)生的關(guān)鍵能力.

關(guān)鍵詞：勻速運(yùn)動(dòng)；拉力最小值；數(shù)形結(jié)合

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2024）07-0121-03

高中物理力學(xué)中有一類問(wèn)題很有趣——極值問(wèn)題[1-2]，這類問(wèn)題與高中數(shù)學(xué)聯(lián)系非常緊密.解決這類問(wèn)題通常是兩類方法，一類是解析法，所用的思想是三角函數(shù)、不等式、判別式等思想；另一類是圖解法，所用的思想基本上是點(diǎn)到直線垂線的距離最短[3-4].這些思想與方法若用熟練后，還可以融會(huì)貫通到其他章節(jié)中使用，這也印證了物理學(xué)一種說(shuō)法：千題萬(wàn)題源自母題，千變?nèi)f變方法不變.

1 題目

如圖1所示，物體與水平面之間的摩擦因數(shù)為μ，物體的質(zhì)量為m，為了使物體在水平面上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則拉力的最小值是多少？

2 解析

2.1 方法一： 積化和差，方顯物理的數(shù)學(xué)本質(zhì)

設(shè)拉力為F，拉力與水平面的夾角為θ，對(duì)物體進(jìn)行受力分析后，得

上式中的分子為一個(gè)定值，只要能求出分母的極值就可以得到拉力的最小值.

2.2 方法二：矢量三角形，盡顯平面幾何的魅力

如圖2所示，可以將地面的支持力與摩擦力合成為一個(gè)力，它與豎直方向的夾角為α，則tanα=μ.三物體受到的三個(gè)力的矢量可以組成一個(gè)閉合的矢量三角形，再根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短，可以得

2.3 方法三：判別式法，體現(xiàn)代數(shù)的無(wú)窮能力

設(shè)cosθ+μsinθ=a，則化簡(jiǎn)消去cosθ得

（1+μ2）sin2θ-2aμsinθ+a2-1=0

因?yàn)閟inθ有解，所以上面的等式中的Δ≥0，可以求得（2aμ）2-4（1+μ2）（a2-1）≥0，

整理后得

2.4 方法四：柯西不等式，具有深入淺出的能力

2.5 方法五：向量點(diǎn)乘，也可以化腐朽為神奇

上式中的α為兩個(gè)向量的夾角，當(dāng)且僅當(dāng)它們夾角為零時(shí)，向量積有最大值，即

2.6 方法六：函數(shù)求導(dǎo)，讓復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化

將cosθ+μsinθ對(duì)角度求導(dǎo)并使其為零，則

2.7 方法七：勾股定理，也可以另辟蹊徑

如圖4所示，構(gòu)造下面的直角梯形ABED，取∠ACD=θ，AC=1，BC=μ，則AG=cosθ+μsinθ

2.8 方法八：構(gòu)造對(duì)偶式，柳暗花明又一村

令a=cosθ+μsinθ，其對(duì)偶式為b=sinθ-μcosθ

將這兩個(gè)式子的平方相加得：

a2+b2=1+μ2

2.9 方法九：線性規(guī)劃，也可以妙筆生花

如圖5所示，令圓和直線分析為，x2+y2=1，z=x+μy=cosθ+μsinθ，則

當(dāng)直線z=x+μy平移到與圓相切時(shí)最大，根據(jù)點(diǎn)到直線距離求出

所以拉力的最小值為

2.10 方法十：極坐標(biāo)方程，完美再現(xiàn)解析幾何的威力

當(dāng)ρ2有最大值時(shí)，ρcosθ+μρsinθ最大， 即cosθ+μsinθ=ρ有最大值.

ρ2=x2+y2即圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.

3 兩道例題

下面通過(guò)兩道例題來(lái)展示這道母題的特點(diǎn)與規(guī)律.

例1 如圖7所示，質(zhì)量m＝5.2 kg的金屬塊放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0＝2.0 m/s的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)．已知金屬塊與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.2，g＝10 m/s2.求所需拉力F的最小值．

例2 如圖8（a）所示，木板與水平地面間的夾角θ可以隨意改變，當(dāng)θ＝30°時(shí)，可視為質(zhì)點(diǎn)的一小物塊恰好能沿著木板勻速下滑．如圖8（b），若讓該小物塊從木板的底端每次均以大小相等的初速度v0＝10 m/s沿木板向上運(yùn)動(dòng)，隨著θ的改變，小物塊沿木板向上滑行的距離x將發(fā)生變化，重力加速度g取10 m/s2.

（1）求小物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)；

（2）當(dāng)θ角滿足什么條件時(shí)，小物塊沿木板向上滑行的距離最小，并求出此最小值.

4? 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)以上十種方法的分析不難發(fā)現(xiàn)，在物理題目中處理極值問(wèn)題時(shí)，方法基本都是數(shù)學(xué)中的常見的知識(shí)，平面幾何、解析幾何、向量法、判別式法、不等式法都是用武之地，就是線性規(guī)劃也能有精彩的分析.這樣的分析方法不僅體現(xiàn)了物理學(xué)科數(shù)學(xué)本質(zhì)，也充分證明了數(shù)學(xué)思想的多樣性和靈活性.

參考文獻(xiàn)：

［1］王志良.芻議物理極值問(wèn)題中常用的數(shù)學(xué)方法[J].中學(xué)物理，2022，40（09）：43-47.

[2] 汪俊，葉玉琴.例析數(shù)學(xué)知識(shí)在中學(xué)物理極值問(wèn)題中的應(yīng)用[J].湖南中學(xué)物理，2019，34（08）：88-90.

[3] 魏謙.高中物理中的極值問(wèn)題[J].中學(xué)生數(shù)理化，2018（11）：47-48.

[4] 竺斌.高中物理極值問(wèn)題的物理求解方法[J].物理教師，2018，39（10）：68-70.