一、學情分析

學生在上節(jié)課已經(jīng)復習了正余弦定理基本知識、面積公式等，這個知識在高一新授課學習過，但學生遺忘比較嚴重。因此，教師需要在教學過程中掌握學生的如下情況：第一，在基礎知識的理解方面，學生是否能正確地表達正余弦定理的公式？是否能夠根據(jù)已知條件正確代入數(shù)值并求解未知量？第二，在定理應用方面，學生是否能夠正確判斷在給定問題中使用余弦定理還是正弦定理？是否能在不同情境下選擇不同的定理以達到最有效解決問題的目的？第三，是否有學生在應用正余弦定理時遇到困難？是否存在常見的錯誤模式，如公式混淆、數(shù)值代入錯誤等？

授課教師則需要通過分析上述情況，觀察學生在課堂上的表現(xiàn)，如學生是否能夠積極參與課堂活動、提問或與同學合作，及時發(fā)現(xiàn)問題并提供反饋，進而更全面地了解學生在正余弦定理應用方面的問題，為個性化教學和針對性幫助提供有力的依據(jù)。

二、教學重難點與目標

本堂課的教學重點是通過概念回顧、題目訓練，使學生逐步理解并熟練掌握正余弦定理，進一步運用定理解決問題。而教學難點主要體現(xiàn)在熟練運用正余弦定理來解三角形中的面積和周長范圍問題。本節(jié)課擬通過復習回顧來引入概念，結(jié)合實例演示進行輔助講解，小組討論實現(xiàn)交互學習，最后設置作業(yè)來鞏固練習，進而達成如下教學目標：

1.通過課程教學熟練掌握正余弦定理、三角形面積公式以及邊角關系互化。

2.培養(yǎng)邏輯思維能力、獨立解決問題的能力。

3.通過小組合作交流解決問題培養(yǎng)合作意識，增強表達能力及自信心，提高學習的自覺性、主動性。

三、教學過程

（一）復習回顧，引入概念

教師：同學們好！上節(jié)課我們復習了正余弦定理及相關的三角形邊角之間的關系，下面同桌相互提問，通過一問一答來復習這些知識（時間2分鐘）。課后作業(yè)第2題（新教材必修第二冊54頁第22題），有些同學做錯了，下面小組交流一下這道題目，然后小組代表來講講解題過程（時間為3分鐘）。本節(jié)課主要包括對正弦定理、余弦定理、面積公式及其變形公式的回顧，以及邊角互化的解題技巧。

（設計意圖：第一，通過對公式的回顧為本節(jié)課解答問題提供工具;第二，相互提問復習給每個同學思考并表達的機會。）

例題1：已知a，b，c分別是△ABC三個內(nèi)角∠A，∠B，∠C的對邊，且acosC+asinC-b-c=0.問題：（1）求∠A.（2）若a=2，△ABC的面積為，求b，c.

教師：同學們相互提問得都很認真，作業(yè)題討論得也很深入。下面哪個小組同學來給大家講一講第（1）小題的解題思路。好，A同學來講。

A學生：第（1）小題求角A，可以把條件式子中的邊化成角，統(tǒng)一成角來解。

解：∵acosC+asinC-b-c=0，由正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入消掉2R可得：sinAcosC+sinAsinC-sinB-sinC=0.

∵A+B+C=π，

∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，

代入上式可得：sinAsinC-cosAsinC-sinC=0，

∵sinC≠0，∴sinA-cosA=1，

∴2（sinAsinC-cosA）=1，

∴sin（A-）=，

∵A是三角形內(nèi)角，∴A-=，A=.

教師：A同學講得非常好！過程很規(guī)范，大家給他鼓掌，A同學來談談解題后的體會！

A學生：這個解法是把條件式子中的邊化成角，這個式子的特點是邊的齊次式，常用正弦定理轉(zhuǎn)化統(tǒng)一成角的關系式來解題;第二就是轉(zhuǎn)化后式子中有三個角，常借助三角形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化減少式子中角的個數(shù);第三就是三角恒等變換公式要非常熟練，才能看到題目時及時想到這種解法。

（二）實例演示，輔助講解

教師：說得非常好！哪個小組同學還有不同的解法？這道題能否用角化邊來解呢？同學們小組討論交流2分鐘。（老師在多媒體上展示第二種解法）

（設計意圖：使學生能夠直觀感受邊化角和角化邊、正弦定理和余弦定理之間的轉(zhuǎn)化關系，能夠了解到同樣一道三角函數(shù)題可以用不同的方法來解決。）

解：由余弦定理得cosC=，

∴a·+asinC-b-c=0，

∵asinC=csinA，

∴a2+b2-c2+2bcsinA-2b2-2bc=0，

∴sinA-1=，∴sinA-1=cosA，

∴sinA-cosA=1，

∴sin（A-）=，A-=，A=.

教師：看來邊化角和角化邊兩種方法都是可行的，解三角形這類題一般都可以用這兩種方法，至于哪種方法更好，視具體題目而定。哪個小組同學來講第（2）小題的解題過程？好，B同學來講一下！

B學生：由（1）可知A=，a=2，S△ABC=，求b和c.

解：S△ABC=bcsinA=bc=，∴bc=4.由余弦定理得：a2=b2+c2-bc，

∴b2+c2-bc=4，（b-c）2-bc=0，

∴（b-c）2=0，b=c，

∵A=，

∴△ABC是等邊三角形，b=c=a=2.

教師：B同學講得清晰明了，很好！大家給她鼓掌。請B同學來談談解題后的體會。

B學生：題目中有面積條件，第一，用面積公式求出bc=4，所以想到邊的關系，用余弦定理;第二，解三角形要三個條件才行。

（三）小組討論，交互學習

教師：說得很好！還要注意解題過程中bc，b+c，b2+c2可以相互轉(zhuǎn)化;其次，該題的條件中a=2和A=是邊和對角，我們稱為邊對角模型。

（設計意圖：第一，討論講解作業(yè)題，可以強化學生對正余弦定理的靈活應用;第二，“兵教兵”來更正錯誤可引發(fā)更深度的學習;第三，可以培養(yǎng)學生反思的意識與合作精神;第四，引出新知識點。）

教師：這個題目把條件改一下，把面積為去掉，只余下兩個條件a=2和A=，三角形形狀不確定，請同學們來求解面積的范圍。即例題2：在△ABC中，a=2，A=，求S△ABC的取值范圍。接下來同學們交流5分鐘，哪個小組同學來講一講解題過程？好，C同學來講。

C學生：解：由余弦定理得a2=b2+c2-bc=4，∵b2+c2≥2bc，∴bc≤4，∴S△ABC=bcsinA=bc≤，∴△ABC面積范圍是（0，].

教師：C同學講得很好！b2+c2，b+c，bc三者再次說明轉(zhuǎn)化關系，這個條件下能求出周長的范圍嗎？

C同學：可以，b2+c2-bc=4，∴（b+c）2-3bc=4，bc≤，∴≤4，∴（b+c）2≤16，b+c≤4，∵b+c>2，∴周長的范圍是（4，6].

教師：C同學思維很敏捷，解題規(guī)范正確，大家鼓掌。哪個小組同學還有其他解法嗎？誰來講一講？能從“角”方面考慮嗎？好，D同學來講一下你的思路。

D學生：由正弦定理得a=2RsinA，∴2R=，bc=2RsinB·2RsinC=4R2·sinBsinC=sinBsinC，

∴S△ABC=bcsinA=bc=sinBsinC，

其中sinBsinC=sinBsin（A+B）=sinB（sincosB+cossinB）=sinBcosB+sin2B=sin2B+（1-cos2B）=（sin2B-cos2B）+

∵B∈（0，），∴2B-∈（-，）.

由正弦函數(shù)的單調(diào)性知sin（2B-）∈（-，1]，∴sinBsinC∈（0，]，∴S△ABC∈（0，].

對于周長的范圍，b+c=2R（sinB+sinC）=（sinB+sinC），其中sinB+sinC=sinB+sin（+B）=sinB+cosB+sinB=（sinB+cosB）=（sinB+cosB）=sin（B+）

∵B∈（0，） ∴B+∈（，）

∴sinB+sinC∈（，）

∴b+c∈（2，4]，那么周長范圍是（4，6].

教師：這種從“角”考慮的解法難度較大，D同學解得很清晰、明了、規(guī)范，你們要向他學習善于思考、勤于鉆研的好習慣，大家給他鼓掌。D同學來談談解題后的體會。

D學生：三角形周長和面積求范圍問題，一般都有兩種思路“化邊用余弦，化角用正弦”，對數(shù)的運算熟練?；?，對三角恒等變換公式熟練常化角。

教師：說得真好！如果把這個題目再加個條件：在銳角△ABC中，a=2，A=，面積和周長的范圍還能求出來嗎？大家討論交流2分鐘。哪個小組同學來說一說，好，E同學來講一講。

E學生：加了“銳角三角形”，第二種解法中角B范圍是B∈（，），2B-∈（，），sin（2B-）∈（，1]，∴sinBsinC∈（，]，

∴S△ABC∈（，），對于周長范圍：B+∈（，），∴sin（B+）∈（，1），∴sinB+sinC∈（，），∴b+c∈（2，4），∴周長的范圍是（2+2，6].

教師：E同學考慮得很好，解題很規(guī)范，提出表揚！這節(jié)課同學們學會了哪些知識，各小組交流2分鐘，哪個小組同學來總結(jié)一下？

G學生：這節(jié)課學習了在三角形中利用正余弦定理進行邊角互化，求“邊對角”“邊鄰角”以及三角形面積、周長的計算問題。

（四）設置作業(yè)，鞏固練習

教師：課堂上同學們表現(xiàn)都很優(yōu)秀，課下同學們根據(jù)課堂上學會的方法自己編制兩道三角形中求范圍的題目，各小組匯總選出三道最適合同學們鞏固的作為課后作業(yè)。

（設計意圖：鼓勵學生參與編制作業(yè)、布置作業(yè)，可以起到增強學生的學習興趣、延伸課堂以及繼續(xù)深入思考和開發(fā)創(chuàng)新思維的作用。）

四、教學反思

本節(jié)課使用多方法循序漸進地推進正余弦定理的應用學習，通過課程教學和實際觀察，發(fā)現(xiàn)多數(shù)學生對三角函數(shù)性質(zhì)較為熟練，對于基礎性題目能夠較好地解答，基本能夠針對題目恰當使用正余弦定理。但也存在諸多問題：一是部分學生對定理只是了解但不熟練，不能做到舉一反三。其二則是“眼高手低”，部分學生存在“一看就會，一做就錯”的問題。三是正余弦定理之間的轉(zhuǎn)化不夠靈活，做題較慢，且計算量稍大的題目容易出錯。四是小組討論時盡管多數(shù)學生可以有效地討論問題，但仍有部分學生不參與或消極參與小組討論。

針對以上存在的問題，教師應在接下來的教學過程中進行反思和改進，進一步通過展示不同類型問題、引導問題解決過程、聯(lián)系實際應用場景、注重與其他數(shù)學概念的聯(lián)系、提供足夠的練習機會以及關注學生的反饋來進一步提高教學質(zhì)量和學生的學習效率，最終促進學生鞏固知識，同時推動數(shù)學核心素養(yǎng)的形成。

（作者單位：山東省單縣第一中學）

編輯：趙飛飛

作者簡介：吳新永（1969—），男，漢族，本科，山東省單縣第一中學教師，研究方向：高中數(shù)學教學。