史娜

在高中數(shù)學教學中，不等式的性質(zhì)部分是十分基礎(chǔ)又十分重要的內(nèi)容。但傳統(tǒng)的教學模式達不到理想的教學效果，反而會影響學生的學習欲望，讓學生在面對越來越復雜、越來越難的數(shù)學知識時望而卻步。因此在教學中，教師要貫徹以生為本的理念，從學生的認知規(guī)律角度出發(fā)，以學生更易于接受、樂于接受的形式展開教學。

一、教學內(nèi)容和目標

不等式的性質(zhì)是高中數(shù)學中的重點和難點部分，其本質(zhì)是式與式之間的數(shù)量關(guān)系，也是實數(shù)序關(guān)系的一般化表現(xiàn)。實數(shù)的大小關(guān)系往往是客觀的現(xiàn)實，無法更改，這也是不等式性質(zhì)的基本邏輯。雖然等式和不等式都是“式”，但不等式具有明顯的方向性，在運算過程中更是如此。學生只有掌握不等式的基本性質(zhì)，才能為后續(xù)的數(shù)學學習打下良好基礎(chǔ)。

教學目標：

1.回顧等式的基本性質(zhì)，運用類比的方式推理出不等式的性質(zhì)。

2.合理運用不等式的性質(zhì)知識點，以及作差比較法、函數(shù)圖象等方式來證明不等式。

3.在不等式的性質(zhì)知識中，通過推理、猜想、證明等方式，鍛煉學生的邏輯推理能力。

4.掌握不等式的基本研究思路與方法。

5.通過該章節(jié)知識點的學習，將實際問題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學問題，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力。

二、教學實施

（一）課題導入

雖然高中生在數(shù)學方面已經(jīng)有了較為穩(wěn)固的學習基礎(chǔ)，但也要采用相對靈活、有趣的方法來導入新課，本次教學利用了一個簡單有趣的實物展示引起話題，之后引導學生根據(jù)事物內(nèi)在聯(lián)系推導出不等式的概念和性質(zhì)，從簡單的概念入手，以更加具象化的方式將不等關(guān)系表達出來。如圖1所示，先為學生展示三個大小個不相等的圓柱體，并讓學生說一說這三個圓柱體的大小關(guān)系是怎樣的。學生經(jīng)過觀察能夠快速答出a>b>c的結(jié)論，其實這一結(jié)果就能體現(xiàn)不等式的傳遞性。之后讓學生根據(jù)圖片進行總結(jié)，分別說出其大小關(guān)系，如a>b、b>c、a>c、c

（二）化繁為簡，理清知識概念

進入高中階段以后，很多學生會發(fā)現(xiàn)一個問題，隨著知識學習程度的加深，往往會接觸到越來越多的數(shù)學概念名詞。這些名詞是數(shù)學現(xiàn)象的一種總結(jié)，但有時候也會讓學生將原本理解的知識或現(xiàn)象變得復雜起來，給學習造成障礙。而作為教師，我們需要讓學生的這種學習壓力最小化，盡量采用生活化的語言將知識化繁為簡。在“不等式的性質(zhì)”的教學中，教師需要將數(shù)學符號語言轉(zhuǎn)變?yōu)閷W生易于理解的形式，通過生活化的表達降低理解難度，并讓學生在理解知識點時找到認知基礎(chǔ)。在“不等式的性質(zhì)”的學習中，學生會接觸到很多類似a>b、a+b>c、ab>b+c的式子。對此，在教學中，我們可以用通俗易懂的方式引導學生。之后就可以代入到不等式的性質(zhì)1，運用符號語言和文字語言兩種方式闡述，在比較兩個不同且不為0的數(shù)時，一般通過大于或小于兩種關(guān)系進行表示，要么這個數(shù)大于那個數(shù)，要么這個數(shù)小于那個數(shù)，這兩種說法表達的意思相同，轉(zhuǎn)換為符號語言即為如果a>b，則bb。在引入這一概念時，教師需要幫助學生理清前后的因果關(guān)系以及等效符號“”，這代表符號兩邊可互推，也就是可以通過等效符號左邊的不等式推導出右邊的不等式;不等式的性質(zhì)2：當一個數(shù)大于另一個數(shù)，另一個數(shù)又大于第三個數(shù)，根據(jù)它們的關(guān)系可以得出第一個數(shù)大于第三個數(shù)，即如果a>b，b>c，則a>c;不等式的性質(zhì)3：在不等式兩邊同時加上或減去一個相同的數(shù)，不等式符號不會發(fā)生改變，即如果a>b，則a+c>b+c;不等式的性質(zhì)4：在不等式兩邊同時乘以一個數(shù)，若該數(shù)大于0則不會改變不等式方向，若該數(shù)小于0則改變不等式方向，即如果a>b，c>0，則ac>bc;若c<0則acb，c>d，則a+c>b+d，其涉及了兩個數(shù)量關(guān)系的整合?？梢酝ㄟ^表格的方式幫助學生掌握不等式的基本性質(zhì)，同時和等式的性質(zhì)進行對比，理解兩者之間的共同點和不同點，加深知識印象。

（三）層層遞進，構(gòu)建完整的知識網(wǎng)絡

由于不等式的性質(zhì)中，性質(zhì)1到性質(zhì)3可以根據(jù)等式的學習經(jīng)驗輕松理解，但性質(zhì)4和性質(zhì)5則有所不同，性質(zhì)4是學習中的難點，所以可以采用層層遞進的方式，帶領(lǐng)學生根據(jù)性質(zhì)3試著推導出性質(zhì)4。

方法一：假設a-b的結(jié)果。

由于-a=（-1）×a，-b=（-1）×b，因此不等式兩邊同時乘以一個相同的負數(shù)，不等號的方向?qū)l(fā)生改變。通過性質(zhì)3，在原式中減去相同的（a+b），再將結(jié)果化簡就能得到一個將不等號兩邊互換的結(jié)果，經(jīng)過轉(zhuǎn)化順利推導出性質(zhì)4。之后讓學生試著探索a>b的情況是否能推導性質(zhì)4，其過程如下：

方法二：假設a>b，根據(jù)不等式性質(zhì)3，在不等號兩邊同時減去（a+b），可得a-（a+b）>b-（a+b），經(jīng)過化簡可得-b>-a，也就是-a<-b的結(jié)果。由于-a=（-1）×a，-b=（-1）×b，所以不等式兩邊同時乘以一個相同且小于0的數(shù)，不等號的方向會發(fā)生轉(zhuǎn)變，同樣能得到性質(zhì)4。

（四）新知舊識結(jié)合，強化類比思維

新舊知識結(jié)合能夠讓學生鞏固舊知識，同時為學習新知識打下基礎(chǔ)。與不等式的性質(zhì)相關(guān)的過往知識有很多，如等式、方程等，需要根據(jù)學習的進度和內(nèi)容選擇對應的關(guān)聯(lián)知識點。如將不等式部分與學生以往學習過的方程進行結(jié)合，并提出問題：類比方程x2-5x=0的根和函數(shù)y=x2-5x的圖象關(guān)系，分析不等式x2-5x≤0的解集。

首先，教師可以引導學生根據(jù)題目要求試著畫出函數(shù)的圖象，觀察函數(shù)圖象中的零點和方程x2-5x=0的根有什么關(guān)系。零點和兩邊值的符號應當是什么？可以用這個方法求得不等式x2-5x≤0的解集嗎？經(jīng)過思考和運算，學生能夠發(fā)現(xiàn)零點是方程的根，也就是0和5，再根據(jù)零點的性質(zhì)能夠了解到，0與5兩側(cè)的值分別大于0和小于0，所以不等式的解集為{x|0≤x≤5}。將方程知識與不等式結(jié)合，引導學生采用類比思維來探索新知識，可以培養(yǎng)學生歸納總結(jié)的能力，也可以讓學生學會主動探索數(shù)學問題，培養(yǎng)對數(shù)學知識的學習興趣。

（五）練習反饋，繼續(xù)提升

1.假設a>b，請將正確的不等號填入以下圓圈內(nèi)，并說明解答該題引用了不等式的哪一條性質(zhì)。

（1）a-3 ○?b+2? ? （2）-a ○ -b

（3）-3a ○ -3b? ? （4）a-5 ○ b-5

（5）a/2 ○ b/2? ? ?（6）3a+3 ○ 3b+3

2.在下列橫線上填上正確的不等號，并說明該題與不等式的哪一條性質(zhì)相關(guān)。

（1）若x+3>6，則根據(jù)不等式性質(zhì)可得x? ? ? ? ?3;

（2）若x-2<3，則根據(jù)不等式性質(zhì)可得x? ? ? ???5。

3.如>0，求x的取值范圍。

前兩大題均與不等式的基本性質(zhì)有關(guān)，需要學生根據(jù)基礎(chǔ)知識進行解答，難度相對較低。第三題屬于拓展題，是一種關(guān)于分數(shù)的不等式，也是學生后續(xù)會經(jīng)常接觸到的一種題型，該題涉及了分數(shù)通分的知識點，所以首先要將分子和分母進行通分，才能找到x的取值點，之后在數(shù)軸中將其標出，如圖3所示。

由于不等式大于0，所以在4的右邊可以取任意一個數(shù)，如將5帶入式中，得到的結(jié)果大于0。在數(shù)軸中，曲線部分在4的右邊部分，以及-1的左邊部分均處在數(shù)軸的上方，根據(jù)這一規(guī)律以及不等式的性質(zhì)，就可以得知x的取值范圍為（-∞，-1）U（0，1）U（4，+∞）。

（六）創(chuàng)設生活情境，增進知識理解

數(shù)學教學的生活化設計能夠讓學生從生活的角度思考數(shù)學問題，如此一來解決數(shù)學問題的過程也是在解決生活問題，能夠讓學生深刻體會到數(shù)學的實際應用價值，并學會從多個角度思考。

如創(chuàng)設問題情境：小瑩和小光拿著一個水壺去打水，小瑩的水壺比小光的要小一些，假設兩個水壺裝滿水的時間分別為t1、t2，并且食堂只有一個水龍頭有熱水，如何安排順序才能讓他們的等候時間最少？最少總時間為多少？

首先提問學生，如何將這個生活題轉(zhuǎn)換為抽象的數(shù)學問題？這一過程的本質(zhì)其實就是將文字語言轉(zhuǎn)變?yōu)榉栒Z言，根據(jù)題目中兩個人的打水順序以及打水等候時間來建立數(shù)學模型。之后再引導學生思考，總時間會有幾種情況？如何通過不等式將其表達出來？哪種情況下總時間會最少？

學生會先從兩個假設的角度分別出發(fā)。

假設一：小瑩先打水，T1=t1+t1+t2=2t1+t2

假設二：小光先打水，T2=t2+t2+t1=2t2+t1

將兩個結(jié)果作差可以得到T1-T2=2t1+t2-（2t2+t1）=t1-t2。

由于t1

生活化的情境探究活動，能夠提高學生的探究興趣，在數(shù)學探索的過程中發(fā)現(xiàn)與不等式相關(guān)的更多知識，以及知識在生活中的應用。同時，這一教學過程更加側(cè)重知識的生成過程，能讓學生體會到數(shù)學的趣味性和應用價值，體會到學習的樂趣。

三、教學反思

對于不等式的性質(zhì)，從學習難度上來看相對較為簡單，但卻關(guān)系著學生后續(xù)的數(shù)學學習，所以這也是數(shù)學教學中的一個重點。不等式性質(zhì)的本質(zhì)其實就是對數(shù)的認知，這對于學生來說從小學就已經(jīng)開始了，不管是認識自然數(shù)、分數(shù)、整數(shù)還是小數(shù)、百分數(shù)，實數(shù)的大小是客觀的、既定的。在實數(shù)集中，規(guī)定一個關(guān)系時通常用不等號或等號來表示，不等式的基本性質(zhì)包括對稱性、傳遞性、加法單調(diào)性（同向不等式可加性）、乘法單調(diào)性、同向正值不等式可乘性、正值不等式可乘方、正值不等式可開方、倒數(shù)法則等。例如，針對數(shù)集M的任意三個數(shù)a、b、c，若a>b，則a+c>b+c，且c>0，而a×c>b×c。

在教學過程中，不等式性質(zhì)的學習比較考驗學生對數(shù)大小的理解與判斷，直觀體現(xiàn)在不等號方向上，尤其是不等式兩邊同時乘以或除以同一個負數(shù)時，根據(jù)不等式的性質(zhì)4可以得知不等號的方向會發(fā)生轉(zhuǎn)變，而學生在觀察或計算時往往難以體會到這一原理，因此對性質(zhì)4的理解可能會產(chǎn)生一些疑問或不通的地方，從抽象的數(shù)學活動中探索數(shù)學結(jié)論具有一定難度。數(shù)有大小之分，同樣也有正負的區(qū)別，需要從學生現(xiàn)有的知識經(jīng)驗出發(fā)，從知識形成過程著手干預，才能讓學生真正理解不等式的性質(zhì)，掌握知識遷移能力，為后續(xù)的數(shù)學學習打下基礎(chǔ)，也掌握學習數(shù)學的正確方法。不等式的性質(zhì)是一個基礎(chǔ)概念知識，在教學過程中也要讓學生體會到知識的形成過程，通過自己的思考和努力得到的答案，往往比教師直接說出來更有價值，也能讓學生體會到自主學習的成就感與獲得感。因此，在數(shù)學教學中，我們要重視學生基礎(chǔ)知識的積累與技巧的訓練，為學生提供更自由的探索空間，安排適當?shù)摹⒈匾挠懻撆c探究項目，讓他們對所學的內(nèi)容有比較深入的了解與把握，進而養(yǎng)成良好的學習習慣，并在此過程中讓學生感受到“數(shù)式通性”，并訓練類推思維。

（作者單位：陜西省渭南市杜橋中學）

編輯：常超波