吳曉剛

摘要：模糊推理中，合成規(guī)則推理方法（compositional rule of inference， CRI）與基于貼近度的方法（similarity based approximate reasoning，SAR）都是建立在只有一種否定的經(jīng)典模糊集上。針對廣義模糊集GFScom（generalized fuzzy sets with contradictory， opposite and medium negation）具有三種否定（矛盾否定、對立否定、中介否定）的特點(diǎn)，對模糊推理方法CRI的蘊(yùn)含算子作了擴(kuò)展。提出了具有三種否定的GFScom貼近度定義和公式，得到模糊近似推理的一種新的計算形式GSAR方法，證明了GSAR該方法具有FMP（fuzzy modus ponens）還原性。通過應(yīng)用實例對比，模糊推理GSAR的新方法不僅克服了CRI方法在建立模糊關(guān)系矩陣具有主觀性和隨意性的不足，而且客觀有效地反映了模糊推理中的3種否定信息，豐富了模糊推理的形式。

關(guān)鍵詞：廣義模糊集；三種否定；貼近度；模糊推理

中圖分類號：O159????????? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A????? 文章編號：1000-582X（2024）02-032-08

Fuzzy reasoning algorithm and its application with three types of negation

WU Xiaogang1，2

（1. School of Information Technology， Xingyi Normal University for Nationalities， Xingyi 562400， Guizhou， P. R. China; 2. Department of Computer Science and Technology， Tongji University， Shanghai 201804， P. R. China）

Abstract： In fuzzy reasoning， both the compositional rule of inference （CRI） and the similarity-based approximate reasoning （SAR） methods are built on classical fuzzy sets with only one negation. With considering the characteristics of the generalized fuzzy set（GFScom） that possesses three types of negation （contradiction， opposite and medium negation）， an extension is made to the implication operator of the CRI fuzzy reasoning method. The definition and formula of GFScom closeness degree， which incorporates three types of negation， are presented. A new computational method of fuzzy approximate reasoning， named GSAR（generalized similarity-based approximate reasoning）， is proposed. The method is proven to have reducibility for fuzzy modus ponens （FMP）. Through comparative examples， the new GSAR fuzzy reasoning method not only overcomes the subjectivity and arbitrariness of the CRI method in establishing fuzzy relation matrices， but also objectively and effectively reflects three types of negative information in fuzzy reasoning， thereby enriching the forms of fuzzy reasoning.

Keywords： generalized fuzzy set; three types of negation; similarity measure; fuzzy reasoning

模糊推理被廣泛地應(yīng)用于人工智能、模糊控制、數(shù)據(jù)挖掘等領(lǐng)域 [1?3]。其中，代表性的模糊推理方法有：Zadeh的合成規(guī)則推理方法（compositional rule of inference， CRI）[4]，王國俊的全蘊(yùn)涵三I算法[5]，Turksen等[6] 提出的基于貼近度的模糊推理算法（similarity-based approximate reasoning，SAR）。CRI方法采用模糊蘊(yùn)涵算子構(gòu)造模糊關(guān)系來推理，其運(yùn)算規(guī)則的語義不明確，有時會產(chǎn)生不合理的結(jié)果[6]。SAR方法是通過計算事實與規(guī)則前件模糊集合的貼近度（相似度）來推理結(jié)果，計算簡便且符合實際，引起國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注[7?10]。

隨著模糊知識的研究進(jìn)展，對“否定知識”的認(rèn)識和處理提出了新的要求，即只有一種否定的經(jīng)典邏輯已不能滿足知識處理的需要。不少學(xué)者提出了需要多種不同否定的思想和方法[11?13]。Pan[14]提出在模糊知識中存在三種不同的否定：矛盾否定、對立否定和中介否定。張勝禮等[15-16]構(gòu)建了一種區(qū)分三種否定的廣義模糊集GFScom，并應(yīng)用在模糊綜合評判、模糊系統(tǒng)設(shè)計領(lǐng)域。

非經(jīng)典模糊邏輯和模糊推理雖然不再具有“非此即彼”的二值特性，但在基礎(chǔ)概念上仍沒有區(qū)分對立否定和矛盾否定，其形式語言的表示仍為A， ?A（A的否定） [17]。因此，在模糊推理的各種算法中（如，CRI算法、三I算法等），也無法描述模糊概念間的三種不同否定關(guān)系。為此，在GFScom基礎(chǔ)上對CRI蘊(yùn)涵算子作三種否定形式的區(qū)分，從而拓展了模糊推理規(guī)則的形式。針對CRI方法的不足，研究了一種基于GFScom貼近度的模糊推理算法。該算法根據(jù)所給前提A*和所給規(guī)則的前提A之間的具有三種否定的貼近度，對所給規(guī)則后件B動態(tài)選擇調(diào)整函數(shù)得到結(jié)果B*。將該方法應(yīng)用在模糊推理的實例中，不僅計算方便而且有效地區(qū)分了模糊規(guī)則中的不同否定信息特別是中介否定信息。為方便論域X上的全體模糊集用F（X）表示，模糊集A∈F（X ）在點(diǎn)x∈X處的隸屬度為A （x），Ac表示A的補(bǔ)集，即 x∈X，Ac （x）=1-A（x），模糊集A、B的內(nèi)積與外積分別記為：A?B、A?B，復(fù)合運(yùn)算°取∨-∧運(yùn)算。

1 預(yù)備知識

定義1.1[15]映射f ： X→Y為論域X上的有限數(shù)值化區(qū)域映射，Y 形如[a， b]， （a， b]， [a， b）， （a， b）或{a=x1

定義1.2[15]映射T： [0，1]2→[0，1]稱為三角模，若T滿足交換律、結(jié)合律、單調(diào)性和邊界條件T（0， 0） = 0，T（1， 1） =1。若滿足T（a， 1） = a （?a ∈ [0，1]）， 則稱T為t-模（t-norm）; 若三角模T滿足T（a， 0） = a （?a ∈ [0，1]） 則稱T為t-余?；騭-模（s-norm）。

定義1.3[15] 設(shè)h： [0，1] → [0，1] 滿足

1） h（0） = 1，h（1） = 0;

2）?a，b ∈ [0，1]， 若a≤b，有h（b）≤h（a）.

3）h（h（a）） = a，?a ∈ [0，1]。

則稱h為補(bǔ)。

定義1.4[15]設(shè)A∈F（X），a，b為X的左、右端點(diǎn)，x∈X，*為t-模，h為補(bǔ)算子。

1） 若映射A^（? ）：X → [0，1]滿足A^（? ） （x）=h（A（x）），稱A^（? ）確定的模糊子集為A的矛盾否定集。特別地，若h為線性補(bǔ)，則稱A^（? ） （x） =h（A（x）） = 1-A（x） 確定的模糊子集為A的矛盾否定集。

2） 若映射A^╕ ∶X→ [0，1]滿足A^╕（x） = A（a + b - x），則稱A^╕確定的模糊子集為A的對立否定集。

3） 若映射A^～：X→ [0，1]滿足A^～（x） = A^（? ）（x） * （A^╕）? （x） = h（A（x）） * h（A^╕（x）） = h（A（x）） *h（A（a + b - x）），稱A^～確定的模糊子集為A的中介否定集。特別地，若t-模*取min，h取線性補(bǔ)，則稱A^～（x） = min{1 - A（x）， 1 - A（a + b - x）}為A的中介否定集。

上述定義中給出的模糊集稱為“區(qū)分矛盾否定、對立否定和中介否定的廣義模糊集”（generalized fuzzy sets with contradictory， opposite and medium negation），記為GFScom。

例1 若年齡集U=[0，100]，Y=“青年人”是U的一個模糊子集， 其隸屬函數(shù)為

Y（x）={（1??????????? ，???? 0≤x≤25，@ 1/（1+〖（（x-25）/15）〗^2 ）???? ，25

根據(jù)廣義模糊集GFScom定義，“青年人”的矛盾否定集是“非青年人”：Y ?（x）= f（Y （x））=1- Y （x），其對立否定集Y=“老年人”： Y╕（x）= Y（0+100-x）= Y（100-x），其中，介否定集M=“中年人”：Y～（x）= Y ?（x） * （Y╕）?（x） = f（Y（x））* f（Y╕（x））= f（Y （x））* f（Y（100-x））=min（1-Y（x）， 1-Y（100-x））。若有人的年齡x=35，則由式（1）可計算該年齡屬于青年人、非青年人、老年人、中年人的隸屬度分別為：0.69，0.31， 0.12，0.31。

其中，T模（S模）和補(bǔ)運(yùn)算h可根據(jù)實際選取不同的算子。

性質(zhì)1.1[16] 設(shè)A， B為論域X上的GFScom，a， b分別為X的左、右端點(diǎn)，則

1） A^（??）=A，（2）A^（??）=A，（3）A^～=A^（╕～）。

證明 1）?x∈X，A??（x） = 1 - A?（x） = 1 - （1-A（x）） = A（x），所以A^（??）=A。

2）?x∈X，A^（╕╕） （x）=A^╕ （a+b-x） = A（a + b-（a + b-x）=A（x），所以A^（??）=A。

3）?x∈X，A^（╕～） （x） = min {1-A╕（x）， 1-A╕（a + b -x）}=min {1-A^╕ （x），1-A（x）} =min{1-A（x）， 1-A（a + b - x）} = A～（x），所以 A^～=A^（╕～）。

性質(zhì)1.1反應(yīng)了 “否定之否定”（對立否定和矛盾否定）及“中介之對立”與其自身相等的中介思想。

性質(zhì)1.2[16] 設(shè)A， B為論域X上的GFScom，a， b分別為X的左、右端點(diǎn)，則

1） A?B ? B^（? ）?A^（? ）

2） A?B ? A╕?B╕

3） A?B ? B^～?A^～

定義1.5[18] F（X）是論域X上的模糊集，稱實值函數(shù)t： F（X）×F（X） → [0，1]為F（X）上的貼近度，如果t滿足以下條件：

1） ?a ∈F（X），t（A，A）=1；

2） ?A，B∈F（X），t（A，B）= t（B，A）；

3） ?a ∈F（X），t（A，Ac）=0；

4） 若A?B?C，則t（A，C）≤t（A，B），t（A，C）≤t（B，C）。

滿足定義1.5的映射函數(shù)不是唯一，貼近度的計算方法也不唯一，以下給出幾個常見的實例：

例2 海明貼近度N_H （A，B）與歐幾里德貼近度N_E （A，B）：[18]

N_H （A，B）=1-1/n ∑_（i=1）^n?〖|u_A （x_i ）-〗 u_B （x_i ）|，??? （2）

N_E （A，B）=1-√（1/n ∑_（i=1）^n?〖（u_A （x_i ）-〗 u_B 〖（x_i ））〗^2 ）。???? （3）

滿足貼近度公理化定義1.5的計算公式有多種形式。以上貼近度的定義是建立在只有一種否定的經(jīng)典模糊集F（X）上，定義1.5中條件（3）對于廣義模糊集的中介否定情形下，t（A， A～）=0不一定成立。為此，將討論區(qū)分三種否定的廣義模糊集GFScom上貼近度定義和性質(zhì)。

2 GFScom的貼近度

定義2.1 GF（X）是論域X上的GFScom，若?A，B，C∈GF（X），稱函數(shù)t： GF（X）×GF（X） → [0，1]為GF（X）的貼近度，如果t滿足以下條件：

1） t（A，A）=1，t（X，?）=0 ；

2） t （A， B） = t （B， A） ；

3）若A?B?C，則t（A，C）≤t（A，B），t（A，C）≤t（B，C） 。

性質(zhì)2.1 設(shè)t為GFScom的貼近度， 對?A， B， C∈GF（X）有：

1） t（A， A?）= t（A， A╕）=t（A， A～）=0當(dāng)且僅當(dāng)A=X;

2）當(dāng)A?B?C，則

t（A?，C?）≤min（t（A?，B?）， t（B?，C?）） ；

d （A╕，C╕）≤min（t（A╕，B╕）， t（B╕，C╕）） ；

t（A～， C～）≤min （t（A～， B～）， t （B～， C～）） 。

3）min{t（A，B?）， t（A，B╕）}≤ t（A，B～）≤max{t（A，B?）， t（A，B╕）}。

證明 1）由GFScom的定義知，A=X?A?=A╕=A～=0，所以t（A， A?）=t（A， A╕）=tA， A～）=0。

2） 由GFScom的定義1.2性質(zhì)知：

A?B?C?C??B???A， A╕?B╕?C╕，C～?B～?A～，

所以有：t（A?，C?）≤min（t（A?，B?）， t（B?，C?）） ；

t （A╕，C╕）≤min（t（A╕，B╕）， t（B╕，C╕））；

t（A～， C～）≤min （t （A～， B～），t （B～， C～））。

3）由GFScom的定義知：

min{B?， B╕}≤ B～≤max{B?， B╕}，所以有：

min{t（A，B?）， t（A，B╕）}≤ t（A，B～）≤max{t（A，B?）， t（A，B╕）};證畢。

定義2.1 給出了GFScom貼近度的公理化形式，以下討論具有該貼近度在實際應(yīng)用中的計算公式。

定理2.1 GF（X）是論域X上的GFScom，?A，B ∈GF（X），?x∈X，那么

N（A，B）=1-1/2n ∑_（i=1）^n?〖（|A（x_i）-〗 B（x_i ）|+|A^～ （x_i ）-B^～ （x_i ） |） 。???? （4）

是模糊集GFScom上的貼近度，其中，t-模*取min，h取線性補(bǔ)。其中：

A^～ （x）=A^? （x）? *（A^╕ ）^? （x），B^～ （x）=B^? （x）? *（B^╕ ）^? （x）。

證明 1） 顯然N（A，A）=1-0=1。

當(dāng)A =X，則?x∈X，A（x）=1，A^? （x）=1- A（x）=0，A^～ （x）=min （A^? （x），（A^╕ ）^? （x））=0；

當(dāng)A=?時，A（x）=0， A^? （x）=A^╕ （x）=1，則A^～ （x）=1，所以N（X，?）=1-1=0。

2） 顯然N（A，B）= N（B，A） 成立。

3） 對?x_i ∈ X，由GFScom的性質(zhì)，當(dāng)A?B?C時C～?B～?A～，有A（xi） ≤ B（xi）≤C（xi），C～（xi）≤B～（xi） ≤ A～ （xi），那么：A（xi）-C（xi）≤B（xi）-C（xi）， B～ （xi）-C～（xi） ≤ A～ （xi）-C～ （xi），所以

N（A，C） =1-（∑_（i=1）^n?〖|A（x_i ）-C（x_i ） |+|A^～ （x_i ）-C^～ （x_i ） 〗|）/2n≤1-（∑_（i=1）^n?〖|B（x_i ）-C（x_i））+|B^～ （x_i）-〗 C^～ （x_i ）|）/2n=N （B， C）。

同樣可證N （A，C）≤ N （A，B），所以 （4） 式是廣義模糊集GFScom上的貼近度。證畢。

定理2.2 若 A、 B是論域X上的GFscom，則N（A，B）=1/2[A?B+（1-A?B）]是模糊集GFScom的貼近度，其中A?B=1/2{∨[A（x_i）∧B（x_i ）]+∨[（1-A^～ （x_i ））∧（1-B^～ （x_i ））]}，A?B=1/2{∧[A（x_i）∨B（x_i ）]+∧[（1-A^～ （x_i ）））∨（1-B^～ （x_i ））]}，A?B為內(nèi)積，A?B為外積。

證明： 由N（A，A）=1，N（A，?）=0，N（A，B）=N（B，A），定義2.1的條件（1）（2）顯然成立。

再證條件（3）也成立。

對?x_i ∈ X，當(dāng)A?B?C時A（xi） ≤ B（xi）≤C（xi），C～（xi）≤B～（xi） ≤ A～ （xi）。

A?B=1/2{∨A（x_i）+∨（1-A^～ （x_i ）），A?C=1/2{∨A（x_i）+∨（1-A^～ （x_i ） ]，所以A?B= A?C。

A?B=1/2{∧B（x_i ）+∧（1-B^～ （x_i ） ]，A?C=1/2{∧C（x_i ）+∧（1-C^～ （x_i ）}，有 A?B≤ A?C，

1- A?C≤1- A?B。

所以，1/2 [A?C+（1-A?C） ]≤1/2 [A?B+（1-A?B） ]。即N（A，C）≤N（A，B）。

同樣可證，N（A，C）≤N（B，C）。證畢。

3 具有三種否定的模糊推理合成算法

模糊推理中，F(xiàn)MP（fuzzy modus ponens） [19]的表達(dá)式為：已知A→B輸入A^*，輸出B^*。FMT? （fuzzy modus tollens） [19]的表達(dá)式為：已知A→B輸入B^*，輸出A^*。其中A，A^*是某論域X上的模糊集，而B，B^*則是論域Y上的模糊集。

對這2種模型，模糊推理CRI方法[4]是將蘊(yùn)涵關(guān)系A(chǔ)→B轉(zhuǎn)化為一個X×Y上的模糊關(guān)系R，將A*與R合成就得到B*即：B*（y） = A*（x）°R（A（x）， B（y）），其中，R（A（x）， B（y））是在（x， y） 的隸屬函數(shù)，復(fù)合運(yùn)算°取∨-∧運(yùn)算，Zadeh使用的蘊(yùn)涵算子：

R_Z（a， b） = （1-a）∨（a ∧b）， a， b∈[0， 1]。???? （5）

模糊控制中常用的蘊(yùn)涵算子還包括Mamdani取小算子：

RM （a， b） =a ∧b， a， b∈[0， 1]。 （6）

對R_Z （a，b）算子推廣到區(qū)分三種否定（矛盾否定?、對立否定╕和中介否定～）的模糊集GFScom上，擴(kuò)展的蘊(yùn)涵算子表示為

R_z^?（a， b） = ?a ∨ （a ∧b）， a， b∈[0， 1] ；???? （7）

R_z^╕（a， b） = ╕a ∨ （a ∧b） ， a， b∈[0， 1] ；??? （8）

R_z^～（a， b） = ～a ∨ （a ∧b）， a， b∈[0， 1] 。???? （9）

GMP算法（fuzzy modus ponens base on GFScom）：A， B， A^*， B*為論域X上的GFScom，若A→B且x為A成立，如果x為A*成立，那么y為B*成立可表示為：B* = A*。?G，復(fù)合運(yùn)算取∨-∧運(yùn)算，區(qū)分三種否定的蘊(yùn)涵算子?G由式 （7）（8）（9） 定義。

GMT算法（fuzzy modus tollens base on GFScom）：A， B， A^*， B*為論域X上的GFScom，若A→B且y為B*成立，那么x為A^*成立可表示為：A^* = B*°? G -1，其中復(fù)合運(yùn)算。取∨-∧運(yùn)算，區(qū)分三種否定的蘊(yùn)涵算子? G -1（ a， b）= ? G （ b， a）由式（7）（8）（9）定義。

4 基于GFScom貼近度的模糊推理算法

基于廣義模糊集GFScom貼近度的模糊推理算法（similarity based approximate reasoning for GFScom，GSAR）是在SAR算法[6]基礎(chǔ)上作了改進(jìn)。GSAR算法根據(jù)所給前提A*和所給規(guī)則的前提A之間的具有三種否定的貼近度，對所給規(guī)則后件B通過梯度變化的方向來動態(tài)選擇調(diào)整函數(shù)得到結(jié)果B*。算法如下：

1） 計算前提A*和規(guī)則A之間的基于GFScom的貼近度N（A， A^*）。

2） 計算貼近度N（A， A*）的梯度變化方向。

f（A，A^*）=[A（x_i）-A^* （x_i ） ]。

3） 對規(guī)則后件B按梯度變化的方向選擇遞增或遞減的調(diào)整函數(shù)S_i，i=1，2，得到推理結(jié)果B*。

調(diào)整函數(shù)：S_1：B*=min {1， B/N （A*， A）};

S_2：B*= B×N（A*，A）。

調(diào)整算法：if? f（A，A^* ）≥0 then S_1 else S_2。

4）若有多條規(guī)則，則對推理結(jié)果進(jìn)行合成。GSAR模糊推理方法是面向產(chǎn)生式規(guī)則的推理，下面證明其FMP還原性問題。

定理4.1 GSAR算法具有FMP還原性。即在FMP算法的條件中，當(dāng)A*=A時，GSAR算法求得的B*=B。

證明：當(dāng)A*=A時，顯然有N（A，A*）=1。

當(dāng)調(diào)整函數(shù)取S_1時，

B*=min {1， B/N （A*， A）} =min {1， B}= B*。

當(dāng)調(diào)整函數(shù)取S_2時，

B*= B×N（A*，A）= B*。

綜上所述，當(dāng)A*=A時，B*=B證畢。

5 應(yīng)用實例

某水位控制系統(tǒng)，水位與閥門的開關(guān)程度有關(guān)，根據(jù)實踐經(jīng)驗總結(jié)的規(guī)則：“若水位高，則閥門打開程度大”。假定水位x的論域X與閥門的打開程度y的論域Y都分為5檔：X=Y= {1， 2， 3， 4， 5}。若A，B，C是GFScom模糊集，其中，A（x）代表水位“高”的隸屬度：A（x）=0.2/2+0.4/3+0.5/4+0.8/5， B（y）代表閥門打開程度“大”的隸屬度：B（y）=0.3/3+0.5/4+1/5。

問題：

1） 求水位“低”和“中”時的閥門打開程度。

2） 若已知水位A*，A*（x）=0.1/2+0.3/3+0.5/4+0.7/5，求此時閥門打開程度的模糊結(jié)論B*。

解：1） 根據(jù)定義1.5，對水位和閥門的論域通過映射轉(zhuǎn)換成有限數(shù)值集（x， y）即（0，6）。把模糊集A（x）、B（y）表示成向量：A（x）=（0 0.2 0.4 0.5 0.8），B（y）=（0 0 0.3 0.5 1.0）。模糊規(guī)則“若水位高，則閥門打開程度大”，表示為：A（x）→B（y）的模糊蘊(yùn)涵關(guān)系R（x，y）采用Mamdani取小蘊(yùn)涵算子∨-∧合成，則：

（R（x，y） = A〖（x）〗^T°B（y）=@??????????????????? （（0@0.2@0.4@0.5@0.8））°（0 0 0.3 0.5 1.0）=@?????????????????? （（0??? 0???? 0???? 0???? 0? @0??? 0?? 0.2? 0.2? 0.2@0??? 0?? 0.3? 0.4? 0.4@0??? 0?? 0.3? 0.5? 0.5@0??? 0?? 0.3? 0.5? 0.8））? 。）

GFScom的定義1.4，水位“低”是水位“高”的對立否定集，則A^╕ （x）=A（6-x）=0.8/1+0.5/2+0.4/3+0.2/4，寫成向量形式A^╕ （x）=（0.8，0.5，0.4，0.2， 0）。由模糊推理的CRI合成算法，取復(fù)合運(yùn)算°為∨-∧運(yùn)算，得

（B_（1 ） （y）=A^╕ （x） °R（x，y）=@??????????? ????（0.8，0.5，0.4，0.2，0） °（（0??? 0???? 0???? 0???? 0? @0??? 0?? 0.2? 0.2? 0.2@0??? 0?? 0.3? 0.4? 0.4@0??? 0?? 0.3? 0.5? 0.5@0??? 0?? 0.3? 0.5? 0.8））@??????????????? （ 0，0，0.3，0.4，0.4），）=

則水位低閥門打開程度為：B1 （y）=0.3/3+0.4/4+0.4/4 。

水位“中”是“高”和“低”的中介否定集。先求水位“不高”A^? （x）和“不低”A^（╕?） （x）的隸屬函數(shù)。A^? （x）=1/1+0.8/2+0.6/3+0.5/4+0.2/5，A^（╕?） （x）=0.2/1+0.5/2+0.6/3+0.8/4+1/5可得：A^～ （x）= 0.2/1+0.5/2+0.6/3+0.5/4+0.2/5，寫成向量：A^～ （x）=（0.2，0.5，0.6，0.5，0.2）。

由CRI合成運(yùn)算：

（B_（2 ） （y）=A^～ （x） °R （x，y）=@（0.2，0.5，0.6，0.5，0.2） °（（0??? 0???? 0???? 0???? 0? @0??? 0?? 0.2? 0.2? 0.2@0??? 0?? 0.3? 0.4? 0.4@0??? 0?? 0.3? 0.5? 0.5@0??? 0?? 0.3? 0.5? 0.8））@（0，0，0.3，0.5，0.5）。）=

則水位中閥門的打開程度B2 （y）= 0.3/3+0.5/4+0.5/5，可知閥門比水位高時打開的程度小，比水位低時打開的程度要大。

2）已知A*（x），根據(jù)GFScom定義可計算出A^（*～） （x）=0.2/1+0.5/2+0.6/3+0.5/4+0.2/5，依照GSAR算法，先求A*與A貼近度和梯度變化方向：

N （A， A*） =1-1/2n ∑_（i=1）^n?〖（|A（x_i）-〗 A^* （x_i ）|+|A^～ （x_i ）-A^（*～） （x_i ） |）=0.92，

f（A，A^*）=∑_（i=1）^n?〖（A^* （x_i）-A〗 （x_i ）） =-0.3，

選擇調(diào)整函數(shù)S_2：B*= B×N （A*， A），對"y∈Y ，有B1*（y）= B1*（y）×0.92=0/1+0/2+0.276/3+0.46/4+0.92/5 。

為方便對照，采用經(jīng)典的CRI方法計算結(jié)果：B2*（y）=0.3/3+0.5/4+0.5/5。

從結(jié)果分析，B1*（y）和B2*（y） 在{1，2，3，4}元素的隸屬度部分相同或基本相似，而{5}這個元素的隸屬度從直觀上很容易看出B1*（y）的結(jié)果0.92比B2*（y）的0.5更接近客觀實際。

6 結(jié)束語

1） 在具有三種否定的廣義模糊集GFScom上區(qū)分了CRI方法蘊(yùn)涵算子的不同否定形式，得到了擴(kuò)展的模糊取式和模糊拒式算法。在GFscom中，有A^～=A^?? *（A^╕ ）^?，而在經(jīng)典的CRI算法中，將對立否定與矛盾否定視為同一，從而有A^～=A^╕=A^?。

2） 研究了具有三種否定的貼近度公理化定義和性質(zhì)，給出了兩種不同的GFScom貼近度的計算公式。

3） 基于GFScom貼近度提出了一種區(qū)分三種否定的模糊推理新方法GSAR，證明了該算法滿足模糊推理原則的還原性。新算法采用規(guī)則前件命題與觀測事實的貼近度來實現(xiàn)近似推理，計算簡便且克服了CRI方法在建立模糊關(guān)系矩陣具有主觀性和隨意性的不足。

4） 給出了一個模糊推理的綜合應(yīng)用，通過實例表明，GSAR算法與經(jīng)典的CRI算法得到的結(jié)果稍有不同，但新算法考慮了模糊知識的三種不同的 “否定”，體現(xiàn)了模糊規(guī)則的中介否定信息，從邏輯角度上看，GSAR算法更符合客觀事實，為模糊近似推理提供了一種新的方法。

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（編輯? 陳移峰）