王云林 劉瑤璐 胡寧

摘要：提出了一種基于蘭姆波的正交鋪層復(fù)合材料板彈性模量測量方法。正交鋪設(shè)層合板相當(dāng)于具有9個獨立彈性常數(shù)的單層正交各向異性板。研究了正交各向異性板中S0模態(tài)蘭姆波（S0波）群速度對9個工程彈性常數(shù)的敏感性。研究發(fā)現(xiàn)，在低頻率厚度積下，S0波的群速度僅與正交各向異性板的拉伸彈性模量和面內(nèi)泊松比有關(guān)。通過分析正交鋪設(shè)層合板等效工程彈性常數(shù)的變化范圍，發(fā)現(xiàn)正交鋪設(shè)層合板的面內(nèi)泊松比變化很小，足以忽略其對S0波群速度的影響。因此，可以用S0波的群速度來估計正交鋪層復(fù)合材料板的拉伸彈性模量，并建立了S0波群速度與拉伸彈性模量的映射關(guān)系。該方法已在碳纖維增強正交鋪設(shè)層合板上進行了數(shù)值模擬和實驗驗證。數(shù)值模擬和傳統(tǒng)的靜態(tài)拉伸實驗驗證了該方法的有效性。結(jié)果表明，該方法得到的復(fù)合材料板拉伸彈性模量與實際值的誤差小于10%，為航空航天等工業(yè)領(lǐng)域相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)的測量提供了方便。

關(guān)鍵詞：正交鋪層復(fù)合材料板；蘭姆波；群速度；拉伸彈性模量

中圖分類號：TB553????????? 文獻標(biāo)志碼：A????? 文章編號：1000-582X（2024）02-084-11

A method for measuring the tensile elastic modulus of cross-ply composite plates based on S0 Lamb waves

WANG Yunlin1a， LIU Yaolu1a，1b， HU Ning1a，2

（1a. College of Aerospace Engineering; 1b. Chongqing Key Laboratory of Heterogeneous Material Mechanics， Chongqing University， Chongqing 400044， P. R. China; 2. College of Mechanical Engineering， Hebei University of Technology， Tianjin 300401， P. R. China）

Abstract： This paper introduces a method for measuring the elastic modulus of cross-ply composite plates based on Lamb waves. Cross-ply composite plates are equivalent to a single-layer orthotropic plate with 9 independent elastic constants. The sensitivity of the group velocity of S0 Lamb waves to elastic constants is studied. It is observed that the group velocity of S0 Lamb waves is only related to the tensile elastic modulus and the in-plane Poissons ratio of the orthotropic plate at the low-dispersive frequency-thickness products range. By analyzing the change ranges of equivalent engineering elastic constants for cross-ply composite plates， it is discovered that the change in the in-plane Poisson's ratio of cross-ply composite plates is small enough to ignore its effect on the group velocity of S0 Lamb waves. Therefore， the group velocity of S0 Lamb waves can be used to estimate the tensile elastic modulus of the cross-ply composite plates， and a mapping relationship between the group velocity of S0 Lamb waves and the tensile elastic modulus can be established. The method has been verified by numerical simulation and experiment， and the error between the tensile modulus and the actual value of the composite plate obtained by this method is less than 10%. This provides convenience for the measurement of relevant structural parameters in aerospace and other industrial fields.

Keywords： cross-ply composite plate; Lamb waves; group velocity; tensile elastic modulus measurement

纖維增強復(fù)合材料具有比強度高、耐疲勞、耐高溫、耐腐蝕等優(yōu)點，因此被廣泛應(yīng)用于航空航天[1?3]領(lǐng)域。材料力學(xué)性能的測量對各種復(fù)雜載荷條件下結(jié)構(gòu)的仿真建模、力學(xué)行為和可靠性評估具有重要意義。而彈性模量作為力學(xué)性能測量和評價的基礎(chǔ)，如何快速、準(zhǔn)確地測量彈性模量就成為了工業(yè)上的熱點和難點問題。傳統(tǒng)的彈性模量測量方法主要有靜態(tài)拉伸法和動態(tài)拉伸法[4]。這些方法或復(fù)雜費時或?qū)Σ牧蠐p傷大、重復(fù)使用率低，不適用于價格昂貴的材料和已經(jīng)成型的材料。因此展開對材料力學(xué)性能的無損檢測和評價至關(guān)重要。

在各種無損檢測方法中，超聲波檢測技術(shù)具有高靈敏度、可重復(fù)性、非侵入性和無污染性等優(yōu)點，因此逐漸成為國內(nèi)外研究的重點。使用超聲波測量材料力學(xué)性能的方法主要分為體波法和導(dǎo)波法，White[5]在1963年通過建立模型描述了縱波在固體材料中的傳播，文獻[6-8]根據(jù)固體中體波波速與材料彈性模量、泊松比和密度的關(guān)系，通過對聲速的測量計算出材料的彈性模量。當(dāng)超聲波波長與試樣厚度為相同數(shù)量級時，超聲波在固體中以導(dǎo)波的形式傳播，陳倩櫟等[9]利用超聲導(dǎo)波法檢測了Ni，Cu，Ag，Au等薄膜涂層的彈性模量。Spicer等[10]通過有限元模擬得到蘭姆波在板中的傳播速度，并對比超聲實驗結(jié)果，通過調(diào)整參數(shù)反演得到近似彈性模量。Cao等[11]提出了一種基于改進粒子群優(yōu)化算法的板厚和彈性常數(shù)反演方法，基于該算法可以從測量的零階模態(tài)蘭姆波相速度頻散曲線中準(zhǔn)確獲得板的楊氏模量、泊松比和厚度，并在各向同性材料鋁板中得到了驗證。Eremin等[12]基于遺傳算法程序建立了S0波和A0波的群速度與復(fù)合材料的5個彈性模量之間的關(guān)系，并成功測試了單向和交叉鋪層碳纖維增強塑料板。

盡管目前取得了很多進展，但采用這些方法測量材料的力學(xué)性能仍有許多不足，或需要人工繁瑣地調(diào)節(jié)參數(shù)，或需要復(fù)雜的數(shù)據(jù)支持，如多傳播路徑、多模態(tài)、多頻率等信息，在操作中存在困難。由于在實際的工程應(yīng)用中，相較于剪切模量，材料拉伸模量的測量仍為主要需求，例如文獻[13-15]在研究三維機織復(fù)合材料和橡膠復(fù)合材料在結(jié)構(gòu)中的受力分析時，大量考慮材料受外部拉伸力的變形和破壞，以及王正等[16]和趙劍等[17]在研究定向刨花板和蜂窩結(jié)構(gòu)時，發(fā)現(xiàn)材料的拉伸性能通常比剪切性能更容易測量和控制。因此筆者提出了一種基于蘭姆波的測量正交鋪層復(fù)合材料板等效拉伸彈性模量的簡單方法，首先，分析蘭姆波傳播對正交各向異性板中9個獨立彈性常數(shù)的敏感性，確定S0波在正交鋪層復(fù)合材料板內(nèi)的傳播群速度主要與拉伸彈性模量和面內(nèi)泊松比相關(guān)。然后，根據(jù)經(jīng)典層合板理論計算了正交鋪層復(fù)合材料板各面內(nèi)彈性常數(shù)變化范圍，排除面內(nèi)泊松比影響后，建立了拉伸彈性模量與S0波群速度和頻厚積之間的映射關(guān)系。最后，在數(shù)值模擬的基礎(chǔ)上進行超聲實驗和拉伸試驗，并對結(jié)果進行了討論。

1 理論

1.1 基于層合板理論的等效模量計算

單層板在宏觀上屬于橫向各向同性或正交各向異性體。根據(jù)線彈性理論，單層板的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為：

（[（σ_1@σ_2@τ_12 ）]=[（Q_11&Q_12&0@Q_21&Q_22&0@0&0&Q_66 ）][（ε_1@ε_2@γ_12 ）]。） （1）

由于層合板是由單層板按一定的順序和角度疊合而成，需要將每個鋪層的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)系中，通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，可以得到偏軸剛度矩陣表達式為

[Q ? ]=T^T QT，???? （2）

式中：

（T=[（m^2&n^2&mn@n^2&m^2&-mn@-2mn&2mn&m^2-n^2 ）]，） （3）

m=cos θ，????????? n=sin θ。 （4）

式中，θ為鋪層角度。根據(jù)經(jīng)典層合板理論，整理得到層合板內(nèi)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系：

（[（N_x@N_y@N_xy@M_x@M_y@M_xy ）]=[（A_11&A_12&A_16&B_11&B_12&B_16@A_21&A_22&A_26&B_21&B_22&B_26@A_16&A_26&A_66&B_16&B_26&B_66@B_11&B_12&B_16&D_11&D_12&D_16@B_21&B_22&B_26&D_21&D_22&D_26@B_16&B_26&B_66&D_16&D_26&D_36 ）][（ε_x^0@ε_y^0@γ_xy^0@k_x@k_y@k_xy ）]。）???? （5）

其中拉伸剛度矩陣元素：

A_ij=∑_（k=1）^N?〖（Q ?_ij ）_k （z_k-z_（k-1） ） 〗；???? （6）

耦合剛度矩陣元素：

B_ij=1/2 ∑_（k=1）^N?〖（Q ?_ij ）_k （z_k^2-z_（k-1）^2 ） 〗；?? （7）

彎曲剛度矩陣元素：

D_ij=1/3 ∑_（k=1）^N?〖（Q ?_ij ）_k （z_k^3-z_（k-1）^3 ） 〗 。 （8）

以處于單軸向載荷作用下的對稱層合板為例，式（5）前兩項為：

N_x=A_11 ε_x^0+A_12 ε_y^0，???? （9）

0=A_12 ε_x^0+A_22 ε_y^0? 。 （10）

解得：

N_x=（（A_11 A_12-A_12^2 ））/A_22? ε_x^0? 。??? （11）

令層合板厚度為h，則該層合板沿x軸的面內(nèi)拉伸彈性模量為

E_xx=（（A_11 A_12-A_12^2 ））/（hA_22 ）； （12）

面內(nèi)剪切彈性模量：

G_xy=A_66/h； （13）

面內(nèi)泊松比：

ν_xy=-A_12/A_22? 。??? （14）

1.2 正交各向異性單層板的彈性參數(shù)對S0波頻散曲線的影響

正交鋪設(shè)層壓板的鋪層角度為0°或90°，由于其每一層都表現(xiàn)為特殊的正交各向異性單層板，因此，正交鋪設(shè)層壓板整體可等效為同厚度的正交各向異性單層板，如圖1所示，該單層板的彈性參數(shù)即為正交鋪設(shè)層壓板的等效彈性參數(shù)。由于蘭姆波的波長與板厚處于同一數(shù)量級，蘭姆波在復(fù)合材料層合板中的傳播可等效為在對應(yīng)的等效均質(zhì)單層板中的傳播。因此，通過研究正交各向異性單層板的9個工程彈性常數(shù)對S0波頻散曲線的影響，探究利用S0波測量正交鋪設(shè)層壓板的有效面內(nèi)拉伸彈性模量的方法。

以密度1 500 kg/m?、厚度1 mm的正交各向異性復(fù)合板為例，材料屬性如表1所示。依次改變其中1個彈性參數(shù)，考察該彈性常數(shù)對S0波頻散曲線的影響。將單層板的工程彈性常數(shù)變化設(shè)定在正交各向異性復(fù)合材料的實際變化范圍，如E1和E2從40 GPa變化到120 GPa，ν13和ν23從0.1到0.5[18]，ν12從0.01到0.7[19]。利用倫敦帝國理工學(xué)院NDT實驗室開發(fā)的頻散曲線計算軟件DISPERSE，得到了S0波沿單層板主方向1傳播時其群速度頻散曲線對拉伸彈性模量、剪切彈性模量和泊松比的敏感性，分別如圖2所示。

從圖2中觀察到，當(dāng)頻厚積處于較低范圍時（0～ 0.8 MHz·mm），S0波的群速度僅與拉伸彈性模量E1和面內(nèi)泊松比ν12相關(guān)，彈性常數(shù)E3只影響S0波的頻散范圍。由于材料的正交各向異性的特性，可知在相同的頻厚積范圍，S0波沿單層板主方向2傳播時，其群速度僅與拉伸彈性模量E2和面內(nèi)泊松比ν12有關(guān)。

對于正交鋪設(shè)層合板[0a/90b]c （a， b， c>0），考慮到不同的基體材料和纖維種類，其單層結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)變化范圍大致如表2所示。將9個工程彈性常數(shù)均設(shè)為隨機變量，基于層合板理論計算了105次正交鋪設(shè)層合板的等效工程彈性常數(shù)，獲取各面內(nèi)等效工程彈性常數(shù)的變化范圍，如表3所示。表3顯示正交鋪設(shè)層合板的面內(nèi)泊松比ν12的變化范圍小于一般鋪設(shè)層合板，約為0.01～0.3。特別是，研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)a=b時，均衡正交鋪設(shè)層合板的ν12甚至小于0.1。于是，接下來研究正交鋪設(shè)層合板中S0波群速度受面內(nèi)泊松比ν12的影響。如圖3（a）所示，以0.5 MHz·mm頻厚積時情況為例，固定E1而改變ν12，泊松比ν12從0.01變化到0.3所引起的S0波群速度的增加不超過283 m/s。若取ν12=0.1時的群速度為參考值，ν12在變化范圍內(nèi)引起的群速度變化小于4.6%，如圖3（b）所示。因此，對于正交鋪設(shè)層合板，面內(nèi)泊松比ν12對S0波群速度的影響可以忽略不計。

根據(jù)前文分析，發(fā)現(xiàn)可以用S0波來預(yù)測正交鋪層復(fù)合材料板的等效彈性模量，需要建立S0波的群速度與板的等效彈性模量之間的映射關(guān)系。圖4（a）給出了固定頻厚積下正交各向異性板的拉伸彈性模量與S0波群速度的關(guān)系。為了減少誤差，將平面內(nèi)泊松比ν12設(shè)為0.1?？梢钥闯?，拉伸彈性模量與S0波群速度幾乎呈線性關(guān)系，頻厚積對S0波群速度影響不大，這是由于S0波在低頻厚積范圍內(nèi)（0～0.8 MHz·mm）頻散性較低。圖4（b）進一步給出了S0波群速度在低頻厚積域（0～0.8 MHz·mm）與拉伸彈性模量的映射關(guān)系。因此，一旦測量了正交鋪層復(fù)合材料板沿主方向傳播的S0波群速度，就可以得到復(fù)合材料板的拉伸彈性模量。

最后，需要注意的是這種映射關(guān)系與板的密度有關(guān)。這是因為材料密度影響蘭姆波的速度。因此，一旦密度發(fā)生變化，映射關(guān)系也會被修改。

2 數(shù)值模擬和實驗驗證

2.1 數(shù)值模擬

圖5為本研究所用的復(fù)合材料板模型。其幾何尺寸設(shè)置為600 mm×600 mm×1.6 mm，鋪層順序為[0/90]2s，層數(shù)共計8層。單層復(fù)合板材料屬性如表1所示，材料密度為1 500 kg/m3。

在激勵點處施加沿3方向的位移邊界條件作為激勵信號，信號函數(shù)為5周正弦加窗信號，如圖6所示。沿測量方向1設(shè)置8個接收點，每個間隔5 cm，接收3方向的位移信號并計算群速度，激勵頻率設(shè)置為0.1 MHz。此外，為了消除反射波的影響，板的有限元模型在邊緣處采用了無限單元，根據(jù)要求，除無限單元外的網(wǎng)格尺寸應(yīng)小于波長的1/10，因此將網(wǎng)格尺寸設(shè)置為1 mm，共計2 880 000，并采用動態(tài)顯示算法進行仿真計算。

以P1和P6接收點的信號圖為例，如圖7所示，可以看到由于S0波群速度要比A0波群速度快得多，兩者在傳播過程中呈逐漸分離的趨勢。包絡(luò)的群速度表示其能量傳遞速度，因此通過Hilbert變換得到S0波包峰值到達2個測量點的時間點t1和t6，就能計算出S0波從P1點到P6點的平均群速度，根據(jù)各測量點數(shù)據(jù)最終可以計算出S0波在此測量方向上傳播的平均群速度。根據(jù)第1節(jié)的內(nèi)容，預(yù)測該正交鋪設(shè)層合板模型在1方向上的等效拉伸模量為77.6 GPa，與理論等效拉伸模量進行比較，如表4所示。數(shù)值模擬結(jié)果表明了該方法的正確性和實驗方案的可行性。

2.2 實驗與討論

待表征的復(fù)合材料板鋪層方式為[0/90]3s，構(gòu)成了一個準(zhǔn)各向同性結(jié)構(gòu)。板的三維尺寸設(shè)計為700 mm×700 mm×1.4 mm，密度為1 524 kg/m3。信號發(fā)生器和高壓放大器通過BNC數(shù)據(jù)線連接，最后連接超聲換能器。通過聲發(fā)射（AE）傳感器接收復(fù)合材料板中沿相互垂直的1、2兩個主方向傳播的蘭姆波信號，并與示波器連接觀察并保存數(shù)據(jù)。超聲測量實驗系統(tǒng)如圖8所示。

實驗過程中，將加窗調(diào)制的5周期信號導(dǎo)入信號發(fā)生器，作為激勵信號驅(qū)動中心頻率為0.1 MHz的超聲換能器。同時，將聲發(fā)射傳感器沿所規(guī)定的方向手動掃描接收信號，如圖9所示。在每個方向上設(shè)置11個接收點，每個接收點之間的間隔為2 cm。

圖10為兩個測量方向上P1和P5點的信號，表5為兩個測量方向上S0波群速度計算結(jié)果以及據(jù)此計算的出的相對應(yīng)的等效拉伸模量。同時，為了評估測量方法的可靠性，設(shè)計了1組單軸拉伸試驗，如圖11所示。采用銑床切割技術(shù)，將復(fù)合板沿1和2兩個方向分別切割5個單軸拉伸標(biāo)準(zhǔn)試件（共10個），進行拉伸試驗，實驗結(jié)果如表6所示。表7展示了2種方法測量得到的拉伸模量結(jié)果，與由拉伸試驗得到的實際拉伸模量相比，由S0波群速度測量得到的拉伸模量結(jié)果在1方向的相對誤差為7.71%，2方向的相對誤差為3.61%，比較結(jié)果證明了該方法的準(zhǔn)確性。對誤差來源的分析，主要有兩個原因：一是在原理上該方法忽略了面內(nèi)泊松比ν12的影響，導(dǎo)致方法誤差；二是實驗時各接收點的信號通過手動移動傳感器掃描得到，產(chǎn)生測量誤差。

3 結(jié)? 論

1） 分析了S0模態(tài)蘭姆波在正交各向異性板中傳播的群速度對9個獨立彈性常數(shù)的敏感性。結(jié)果表明在低頻厚積范圍內(nèi)S0波在正交鋪層復(fù)合材料板內(nèi)的傳播群速度主要與拉伸彈性模量有關(guān)，因此可以用S0波群速度來對正交鋪層復(fù)合材料板拉伸模量進行表征和測量。

2） 通過建立有限元模型對使用S0波測量拉伸模量進行了數(shù)值模擬，仿真結(jié)果表明使用S0波群速度來測量正交鋪層復(fù)合材料板拉伸模量是可行的，并且精度較高，為實驗設(shè)計和測量提供了指導(dǎo)。

3） 用超聲導(dǎo)波測量方法實際測量了碳纖維增強正交鋪層復(fù)合材料板，同時對測量用板進行了拉伸試驗，獲得了實際拉伸模量，將兩者作了對比，結(jié)果表明通過超聲導(dǎo)波測量方法得到的復(fù)合材料板拉伸模量與實際值的誤差很小，為工業(yè)中測量拉伸模量提供了方便。

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（編輯? 鄭潔）