孫海竹， 張建心,韓鍇，黃寶歆

(濰坊學院物理與光電工程學院，山東 濰坊 261061)

?

法拉第效應對N摻雜硅耦合腔光波導群速度的調(diào)控研究

孫海竹， 張建心*,韓鍇，黃寶歆

(濰坊學院物理與光電工程學院，山東 濰坊 261061)

摘要：耦合腔光波導是由光子晶體點缺陷的缺陷模式相互耦合而實現(xiàn)的，群速度是其重要的性能指標。本文模擬了由N摻雜半導體硅構成的光子晶體耦合腔光波導的能帶結構。模擬發(fā)現(xiàn)，借助N摻雜半導體硅的法拉第效應，逆著光的傳播方向施加磁場，缺陷模式所對應的相對介電參數(shù)會變小，群速度也隨之逐漸降低，可以獲得2.088×10-4c的群速度，證實了法拉第磁光效應對波導群速度的調(diào)控作用。這一性能為如何在太赫茲或更低頻段實現(xiàn)慢光效應提供了一種新的有效方式。

關鍵詞：光子晶體；耦合腔光波導；群速度；太赫茲頻段

1引 言

光子晶體作為一種新型的人工材料受到廣泛的關注，一個主要的原因就是其存在帶隙[1-2]。帶隙的存在使得人們可以調(diào)控電磁場的傳播，為光調(diào)制器[3]、光開關[4]和可調(diào)諧的共振腔[5]的設計提供了可能。光子晶體的調(diào)諧性能依賴于其中至少一種構成材料的電容率和磁導率的可調(diào)制性能。材料的電容率和磁導率的調(diào)制可以通過施加靜電場[6]、溫度[7]、流體靜壓力[8]和外加磁場[9]等外加參量來實現(xiàn)。由于法拉第磁光效應，磁場對于色散介質(zhì)的介電參數(shù)具有較強的調(diào)控作用，因此磁場調(diào)制光子晶體的帶隙的速度可以更快也更容易。目前為止，人們的研究主要集中其利用垂直方向施加磁場來調(diào)制光子晶體的帶隙并用來設計器件[10-14]，對于基于法拉第效應的N摻雜半導體硅光子晶體及其器件的研究比較少。Aly等[15]研究了N摻雜半導體硅光子晶體能帶的可調(diào)諧性，證明外加磁場可以強烈地調(diào)制N摻雜半導體硅光子晶體的能帶結構，但并沒有利用這一性能設計相關光子晶體器件的報道。

太赫茲頻段包含了大量的物理和化學信息，在星際觀測、國土安全以及醫(yī)療診斷等方面都有巨大的應用價值。在此背景下，人們一直致力于實現(xiàn)高效率、低成本、室溫下工作的太赫茲源和探測器[16]。如果能夠在太赫茲頻段實現(xiàn)慢光效應，將為常溫下太赫茲波的直接探測提供新的思路和方法。耦合腔光波導作為一種很重要的慢光器件，被廣泛應用于光波傳輸、限制自發(fā)輻射等領域[17]。耦合腔光波導的光傳輸是通過相鄰缺陷腔模式之間的耦合來實現(xiàn)的。通過減弱相鄰微腔的耦合強度可以很容易地實現(xiàn)慢光效應。本文計算了二維正方晶格N摻雜硅光子晶體點缺陷和由點缺陷構成的耦合腔光波導的能帶結構。模擬發(fā)現(xiàn)，在逆著光的傳播方向施加磁場，缺陷頻率所對應的相對介電參數(shù)變小，可以獲得較小的群速度，這為如何在太赫茲或更低頻段實現(xiàn)慢光效應提供了一種新的有效方式。

2理論模擬和結果分析

基于法拉第效應，N型半導體硅的相對介電參數(shù)為[15]：

(1)

其中相對介電參數(shù)ε的下標正號表示右旋圓偏振，即順著光的傳播方向加外磁場,負號表示左旋圓偏振，即逆著光的傳播方向加外磁場。公式中的ε∞=11.7，ωc=eB/m*為回旋頻率，m*=0.26m0，m0為電子靜質(zhì)量，即ωc和外加磁場的強度成正比，ωp=6.465 1×1011Hz為N摻雜硅中電子的等離子體共振頻率，采用歸一化頻率ωp=1.001 (2πc/a)，a為晶格常數(shù)，ω為光的頻率。圖1為N型半導體硅圓柱ωc=0.25ωp、0.15ωp和ωc=-0.25ωp、-0.15ωp時的相對介電參數(shù)ε+ε-。從圖1a和圖1b可以看出，在不同的ωc下，N型半導體硅的不同光頻率所對應的相對介電參數(shù)可以相差很大。

圖1　N型Si的相對介電參數(shù)ε+和ε-Fig. 1　Relative permittivity ε+ and ε- of N-type Si

硅圓柱按照圖2a所示正方晶格排列在空氣中，晶格常數(shù)a為2.9156 mm，r為硅圓柱的半徑，占空比(πr2/a2)為0.3632,并假定其平行于Z方向且長度無限長。如果從中抽取一根硅圓柱就構成光子晶體點缺陷。圖2b為相應的第一布里淵區(qū)。模擬時首先設定ωc=0.25ωp、-0.25ωp，采用專門針對偏微分方程組求解的有限元分析軟件COMSOL進行模擬。COMSOL軟件基于有限元法將如圖2a所示光子晶體結構的原胞離散為若干個求解區(qū)域，并通過求解區(qū)域交界面上的結點相互連接成組合體。每個求解區(qū)域內(nèi)的近似函數(shù)由未知場函數(shù)在求解區(qū)域各個結點上的數(shù)值和與其對應的插值函數(shù)來表達。利用和原問題數(shù)學模型等效的變分原理或加權余量法，建立求解基本未知量的代數(shù)方程組或常微分方程組。最后用數(shù)值方法求解方程。對于光子晶體的能帶和模式分布的求解，COMSOL不需要編制復雜的偏微分方程組的求解器，只需要將方程中各變量在軟件界面中一一對應即可求解[18]。

圖2　二維完美正方晶格光子晶體的橫截面a及其相對應的第一布里淵區(qū)bFig.2　Transverse cross section of perfect square lattice PCs and its corresponding first Brillouin zone

圖3　二維完美光子晶體的能帶結構Fig.3　Band structure of 2D perfect PCs

圖4　光子晶體點缺陷的能帶和ωc=0.25ωp時第一缺陷模式的場分布Fig.4　Band structure of a point defect and first defect mode field distribution at ωc=0.25ωp

圖3為模擬得到的完美光子晶體沿圖2b所示ΓΧ和ΓΜ方向的前三條能帶。在M點，第一和第二條能帶之間的帶隙寬度ω±分別為0.200 79(2πc/a)和0.092 99(2πc/a)?？梢钥闯觯豤=0.25ωp時形成的帶隙寬于ωc=-0.25ωp。雖然在兩種情形下，光子晶體的結構參數(shù)完全一致，但是由于法拉第效應，硅圓柱的相對介電參數(shù)有較大差別，這就造成了光子晶體能帶的移動和帶隙寬度的變化。在完美光子晶體的內(nèi)部去除一根硅圓柱得到點缺陷腔，圖3給出了相應的能帶和ωc=0.25ωp時的第一缺陷模式的電場Ez的場分布。從圖4可以看出，新出現(xiàn)的三個缺陷模式的頻率均低于完美光子晶體的最低能帶的頻率。ωc=0.25ωp時形成的缺陷模式頻率ω+(0.434 47、0.639 59和0.639 59(2πc/a))比ωc=-0.25ωp時形成的缺陷模式頻率ω-(0.461 19、0.682 46和0.682 46(2πc/a))略低，后兩個模式是簡并的偶極模式。兩種情形下，第一缺陷模式之間的頻率差比第二缺陷模式之間的頻率差小，其他對應模式也存在這一現(xiàn)象。如圖5所示ωc=0.25ωp時的第一缺陷模式的電場主要是局域在點缺陷里面，ωc=-0.25ωp時的電場分布與其類似。

如果只考慮最近鄰點缺陷的耦合，耦合腔光波導的群速度與點缺陷的局域模式的頻率和相鄰點缺陷的耦合強度有關，所以，通常降低耦合腔光波導的群速度的做法是增大相鄰點缺陷之間的距離、選用其他缺陷模式等方法。為了獲得較低的群速度，下文模擬時設定相鄰點缺陷之間的距離為三倍晶格常數(shù)，也即以3a為重復單元。如圖5所示，ωc=0.25ωp時第一缺陷模式ω+的頻率為0.436(2πc/a)，由公式(1)可知其對應的體材料Si的ε+為-132.8679,群速度變?yōu)?.9×10-4c。ωc=-0.25ωp時第一缺陷模式ω-的頻率為0.457 986 962(2πc/a)，由公式(1)可知其對應的體材料Si的ε-為-30.369 45,群速度變?yōu)?.088×10-4c。這一結果和其他報道的最優(yōu)結果相當[19]，證實了基于法拉第效應降低半導體光子晶體耦合腔光波導群速度的有效性，同時群速度還可以通過優(yōu)化占空比等方法進一步降低。雖然這兩種缺陷模式頻率對應的體材料硅的相對介電參數(shù)為負值，但是群速度vg代表能量傳播的方向，因此光仍可以在波導中傳播。

圖5　耦合腔光波導的能帶和相應的群速度Fig.5　Band structure and its corresponding group velocity of coupled-resonator optical waveguide

3結論

本文主要研究了半導體材料構成的點缺陷和耦合腔光波導的可調(diào)諧性能。模擬發(fā)現(xiàn)第一缺陷模式的頻率低于完美光子晶體的最低頻率，同樣也會隨著外加磁場的變化而發(fā)生移動，這就為調(diào)控耦合腔光波導的群速度提供了可能。通過模擬以3a為重復單元的耦合腔光波導的能帶，證實逆著光傳播的方向施加磁場可以獲得2.088×10-4c的群速度。半導體光子晶體耦合腔光波導中傳播模式的頻率恰好處在太赫茲頻段，這就為如何在太赫茲或更低頻段設計集成的半導體光子晶體探測器，以實現(xiàn)常溫下直接探測太赫茲波提供了新思路。

參考文獻：

[1]YABLONOVITCH E. Inhibited spontaneous emission in solid-state physics and electronics[J]. Physical Review Letters. 1987, 58(20)： 2059-2062.

[2]JOHN S. Strong localization of photons in certain disordered dielectric superlattices[J]. Physical Review Letters,1987, 58(23)：2486-2489.

[3]HOSSEINI S, JAMSHIDI K. Modulation efficiency enhancement of an optical phase modulator using one dimensional photonic crystal structures[C]//SPIE OPTO. [S.L.]:International Society for Optics and Photonics, 2015: 93670I-93670I-6.

[4]MAKTOOBI S, BAHADORI-HAGHIGHI S. Investigation and simulation of photonic crystal directional coupler switch[J]. Electronics Letters, 2015, 51(13): 1016-1018.

[5]LIN T, ZHANG X, ZOU Y, et al. Out-of-plane nano-electro-mechanical tuning of the Fano resonance in photonic crystal split-beam nanocavity[J]. Applied Physics Letters, 2015, 107(15): 153107.

[6]MENG Q B, FU C H, HAYAMI S, et al. Effects of external electric field upon the photonic band structure in synthetic opal infiltrated with liquid crystal[J]. Journal of Applied Physics, 2001, 89(10): 5794-5796.

[7]ELSAYED H A, EL-NAGGAR S A, ALY A H. Thermal properties and two-dimensional photonic band gaps[J]. Journal of Modern Optics, 2014, 61(5): 385-389.

[8]PORRAS-MONTENEGRO N, DUQUE C A. Temperature and hydrostatic pressure effects on the photonic band structure of a 2D honeycomb lattice[J]. Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures, 2010, 42(6): 1865-1869.

[9]DUQUE C A, PORRAS-MONTENEGRO N, CAVALCANTI S B, et al. Photonic band structure evolution of a honeycomb lattice in the presence of an external magnetic field[J]. Journal of Applied Physics, 2009, 105(3): 034303.

[10]TZUANG L D, FANG K, NUSSENZVEIG P, et al. Non-reciprocal phase shift induced by an effective magnetic flux for light[J]. Nature photonics, 2014, 8(9): 701-705.

[11]JIANG B, ZHANG Y, WANG Y, et al. Magnetically controlled photonic crystal binary digits generator[J]. Applied Physics Letters, 2012, 101(4): 043505.

[12]HE C, CHEN X L, LU M H, et al. Tunable one-way cross-waveguide splitter based on gyromagnetic photonic crystal[J]. Applied Physics Letters, 2010, 96(11): 111111.

[13]WANG Z, CHONG Y D, JOANNOPOULOS J D, et al. Reflection-free one-way edge modes in a gyromagnetic photonic crystal[J]. Physical review letters, 2008, 100(1): 013905.

[14]FAN C Z, WANG G, HUANG J P. Magnetocontrollable photonic crystals based on colloidal ferrofluids[J]. Journal of Applied Physics, 2008, 103(9): 094107.

[15]ALY A H, EL-NAGGAR S A, ELSAYED H A. Tunability of two dimensional n-doped semiconductor photonic crystals based on the Faraday effect[J]. Optics express, 2015, 23(11): 15038-15046.

[16]CHEN X, LIU H, LI Q, et al. Terahertz detectors arrays based on orderly aligned in N nanowires[J]. Scientific reports, 2015, 5: 13199.

[17]YARIV A, XU Y, LEE R K, et al. Coupled-resonator optical waveguide: a proposal and analysis[J]. Optics letters, 1999, 24(11): 711-713.

[18]孫培德，楊東全，陳奕柏. 多物理場耦合模型及數(shù)值模擬導論[M]. 北京：中國科學技術出版社，2007:146-146.

[19]李長紅,萬勇,毛強明. 橢圓柱微腔光子晶體耦合腔波導的慢光特性研究[J]. 光學學報, 2015, 35(4): 0416002.

DOI:10.3976/j.issn.1002-4026.2016.03.019

收稿日期：2015-03-23

基金項目：濰坊學院博士基金(2014BS01)；濰坊科技發(fā)展計劃(2015GX022)；國家自然科學基金青年科學基金(61404093)

作者簡介：孫海竹(1986-)，女，助教，研究方向為光子晶體及其器件。 *通訊作者。Email:zhjx_aa@126.com

中圖分類號：TN252

文獻標識碼：A

文章編號：1002-4026(2016)03-0110-05

Tunability of Faraday Effect to group velocity of N-doped silicon coupled-resonator optical waveguide

SUN Hai-zhu, ZHANG Jian-xin*, HAN Kai, HUANG Bao-xin

(Department of Physics and Electro-Optical Engineering, Weifang University, Weifang 261061, China)

Abstract∶Coupled-resonator optical waveguide is implemented through mutual coupling of defect mode of point defects of photonic crystals, and group velocity is its important parameter. We simulate band structures of N-doped silicon coupled-resonator optical waveguide. Simulation results show that if N-doped silicon Faraday Effect based magnetic field is applied against the direction of light propagation, relative permittivity at the frequency of the defect mode will decrease. The group velocity will also decrease to 2.088×10-4c. We therefore confirm regulation of Faraday Effect to waveguide group velocity. Such discovery provides a new and effective way for implementation of slow light effect at terahertz or even lower bands.

Key words∶photonic crystal; coupled-resonator optical waveguide; group velocity; THz band