李新亮，傅德薰，馬延文

（中國科學院力學研究所 高溫氣體動力學國家重點實驗室，北京 100190）

捕捉激波的群速度控制方法

李新亮，傅德薰，馬延文

（中國科學院力學研究所 高溫氣體動力學國家重點實驗室，北京 100190）

回顧及綜述了群速度控制方法基本原理、發(fā)展過程及最新進展。群速度控制方法是通過控制色散誤差以捕捉間斷的一種數值方法。該方法通過在間斷兩側采用不同色散類型的格式，將數值波的傳播壓制在間斷附近，避免數值振蕩向周圍擴散，從而達到抑制數值振蕩的效果。該方法主體上采用數值色散抑制振蕩，實際使用中僅需補充較低水平的數值耗散就可將振蕩壓制在可接受的范圍內。因而群速度控制格式的總體耗散水平較低，易于實現小尺度波的高分辨率捕捉，是復雜流動高分辨率數值模擬的有效方法。

群速度控制格式；激波捕捉格式；高分辨率；色散；耗散

0 引 言

高精度激波捕捉方法在計算流體力學領域占有重要地位。該方法要求具有較高的間斷分辨率（即，數值解間斷盡量銳利），且間斷周圍數值振蕩盡量小，而在非間斷區(qū)（光滑區(qū)）需具有較高的數值精度及分辨率［1］。傳統(tǒng)意義上講，不低于二階精度的激波捕捉方法均可稱為高精度激波捕捉方法。代表性的高精度激波捕捉格式有TVD格式［2］，NND格式［3］，WENO格式［4］以及高階保單調格式［5］等。這些格式在光滑區(qū)（非間斷區(qū)）采用較高數值精度及較低數值耗散的方法，以保證較高的數值分辨率，而在間斷附近則采用較低數值精度及較高數值耗散的格式以抑制數值振蕩。這些差分格式大多是通過數值粘性壓制數值波的傳播，從而起到抑制振蕩的效果。

群速度控制方法（Group Velocity Control Method，GVC）是傅德薰等人提出的一種新型激波捕捉方法［6-7］，與TVD及WENO等格式的機制不同，該格式并不直接通過耗散機制抑制激波，而是通過色散控制捕捉激波。該格式利用色散誤差控制數值波傳播的群速度，使得數值傳播的方向指向間斷，以避免從間斷發(fā)出的數值振蕩污染流場。由于采用數值色散抑制振蕩，因而群速度控制格式總體上數值耗散較小。且該方法實現簡潔，其計算量明顯低于WENO等高精度激波捕捉方法。利用該思想，先后構造了緊致型群速度控制格式［8］，優(yōu)化型群速度控制格式［9］，加權型群速度控制格式［10］以及助波器型群速度控制格式［11，7］等多種群速度控制格式，為含間斷復雜流動的數值模擬提供了有效的高分辨率計算方法。

1 群速度控制方法的基本思想

1.1 數值波的群速度：快格式、慢格式和混合格式

以線性對流方程

為例，討論數值波的群速度。

對于方程（1），假設初值為如下單波：

u（x，0）＝eikx

其中

為修正波數。對于給定的線性格式，該修正波數可以通過理論分析得到［12］。而對于非線性格式，該修正波數的特性也可通過數值方法近似獲得［13-14］。

該修正波數的虛部ki＝ki（α）反應了格式的色散誤差，即數值波傳播的相位（或波速）誤差。當ki（α）＝α時，數值波傳播速度與精確解相同；當ki（α）＞α時，數值波傳播快于精確解；反之，則慢于精確解。而對于一般情況，數值解中包含了多個波的傳播，因而觀測到波傳播的速度通常為波包的速度，即波的群速度，該群速度定義為［6-7］：

在整個波數范圍內（0＜α≤π），D0（α）＞0的格式稱為“快格式”，對于快格式，數值波傳播的群速度超過精確解；在整個波數范圍內D0（α）＜0的格式稱為“慢格式”，對于慢格式，數值波傳播的速度低于精確解；在部分波數范圍內D0（α）＞0，在另外部分波數范圍內D0（α）＜0的格式稱為“混合格式”。圖1給出了某些差分格式的群速度D0（α）＝dki／dα，從中可以看出2階中心格式以及6階對稱緊致格式為“慢格式”；2階迎風格式以及5階迎風緊致格式為“混合格式”，這兩種格式在低波數范圍內具有“快格式”特征。

圖1 某些差分格式的群速度［6］Fig.1 Group velocities for four finite difference schemes［6］

1.2 數值振蕩產生原因及群速度控制的基本思想

群速度控制理論將間斷周圍數值振蕩的原因歸結為由色散誤差導致的群速度誤差。假設方程（1）的初值具有間斷，則根據Fourier分解，該間斷可分解為不同波數波的疊加，如圖2所示。如果利用快格式進行數值計算，這些數值波傳播的速度均快于理論速度a，而且不同波傳播的群速度不同，通常情況下高波數成分的傳播群速度更快。經過一段時間后高波數成分傳播到了主波（間斷）的前方，在間斷前方形成了數值振蕩，而波后振蕩不明顯。同樣，利用慢格式計算時，所有數值波傳播的速度均低于理論速度a，但高波數成分傳播得更慢，因而數值解解在波后有明顯振蕩，而波前振蕩不明顯。

因而，如果混合使用“快格式”和“慢格式”，在波前使用“慢格式”，在波后使用“快格式”，則可以盡量壓縮數值振蕩的傳播范圍，從而起到抑制數值振蕩的作用。這就是群速度控制的基本思想［6-7］。

圖2 間斷分解為若干波的疊加Fig.2 Diagrammatic sketch for the decomposition of a discontinuity

實際情況中，純粹的“快格式”很難構造，而多數格式為混合型格式（如圖1所示）。很多情況下利用低波數區(qū)為“快格式”的“混合格式”來代替純“快格式”。這種情況下，由于這些“混合格式”在高波數范圍具有“慢格式”特征，會影響群速度控制的效果。但通常這些格式在高波數區(qū)具有較強的數值粘性，具有抑制振蕩效果，因而數值振蕩通常會被壓制在允許范圍內。

2 群速度控制方法的具體實現及應用

2.1 二階精度的群速度控制格式

在文獻［6］中，傅德薰等除了介紹了群速度控制的基本思想，還給出了一種具有二階精度的群速度控制格式，這是最早的群速度控制格式。該格式利用2階迎風型格式作為“快格式／混合格式（MXD）”，利用二階中心格式作為“慢格式（SLW）”。此外，該方法利用激波形狀函數（Shock-Structure function，簡稱SS函數）判斷激波前與激波后。SS函數的定義為：

對于向右傳播的間斷波，SS（u）＝－1為波前；SS（u）＝1為波后。圖3為數值解中間斷波的示意圖，圖中標示了SS函數如何區(qū)分波前和波后。

對于正通量，該二階精度群速度控制格式的數值通量為：

其中：

分別為作為“快格式／混合格式”使用的二階迎風格式以及作為“慢格式”使用的二階中心格式的數值通量。SS函數的值可由式（4）數值離散給出。

圖3 數值解中傳播的間斷波示意圖［8］Fig.3 Diagrammatic sketch for a N-Sshock［8］

2.2 緊致型群速度控制格式

在文獻［8］中，馬延文和傅德薰利用文獻［6］的群速度思想，構造了緊致型群速度控制格式。該方法利用文獻［6］的三階迎風緊致格式作為“快格式”（實際上，該格式為混合格式，但在低波數范圍內呈現快格式特征）；利用四階中心緊致格式［12］作為“慢格式”。利用以上兩種基礎格式，構造出一種含自由參數的緊致型差分格式［7-8，15］：

其中Fj／Δx是函數?f／?x的逼近式，

分別為一階及二階導數中心差分算子。σ為自由參數。顯然，當σ＝0時，格式為四階對稱緊致差分（“慢格式”）；當σ＝±1／6時，格式為三階迎風緊致差分（“快格式／混合格式”）。通過調節(jié)該自由參數的數值，在激波（間斷）前實現慢格式，在激波（間斷）后實現快格式，從而實現群速度控制。

對于正通量，緊致型群速度控制格式的具體表達式如下［8］：

其中

1≤σ0≤2，0.8≤γ0≤1是格式中的常數。δ－fj＝fjfj－1，δ＋fj＝fj＋1－fj是向后、向前差分算子。P和c分別為當地的壓力及聲速，利用這兩個參數的目的是探測激波的強度，并由此強化或弱化σ的變化范圍。

對于負通量的緊致型群速度控制格式同理構造，具體表達式見文獻［8］。

圖4為采用該群速度控制格式計算Sod激波管問題，得到i＝0．14時刻的流場分布圖（圖片引自文獻［8］）。從中可以看出，該計算具有很高的激波分辨率及較低的數值振蕩水平。從該格式的表達式可以看出，格式并沒有人為添加額外的數值耗散。計算結果顯示，格式的整體耗散保持在較低的水平，大致與迎風緊致格式持平，但激波捕捉能力得到了很大提升。需要指出的是，在文獻［8］中，并沒有利用到局部特征分解，而是直接基于Steger-Warming分裂后的通量進行差分計算。如果利用了局部特征分解，則激波附近的數值振蕩還可以進一步降低［16］。

圖4 Sod激波管問題t=0.14時刻的流場分布［8］Fig.4 Distributions of flow at t=0.14 of Sod problem［8］

2.3 八階精度的優(yōu)化型群速度控制格式

在文獻［9］中，李新亮等利用群速度控制思想，構造了八階精度的普通型（非緊致）群速度控制格式（GVC8）。在格式的構造過程中還采用了基于算例的優(yōu)化技術，針對具體算例（Sod激波管問題），以魯棒性為目標，對格式的系數進行優(yōu)化，從而在保證計算精度及激波分辨率的情況下，提高了方法的魯棒性。

針對方程（1），構造線性差分格式：

其中：

格式使用9個網格點構造數值通量，理論上最高可具有9階精度。GVC8要求格式具有8階精度，因而，有一個參數可以自由調節(jié)。通過優(yōu)化調節(jié)該系數，得到兩組不同的線性差分格式，使得一組為“快格式”（實際上是混合格式），另外一組為“慢格式”。在格式的構造過程中，系數的優(yōu)化除了考慮格式的群速度特性，還根據算例進行了系數優(yōu)化，使得格式具有更好的魯棒性。

在該格式采用更為簡潔的判據以判斷某點位于激波的前方還是激波的后方。判據為：對于向右傳播的波，如果|uj－uj－1|＜|uj＋1－uj|，則認為該點（j點）位于波后，否則，則認為該點位于波前。如示意圖5所示，通常情況下，越靠近激波（間斷），數值振蕩越激烈，因而振蕩（變差）大的方向為激波所在的位置。

圖5 激波附近數值解示意圖Fig.5 Diagrammatic sketch for numerical solution near a shock

對于正通量（方程（1），a＞0），GVC8格式為式（6），格式的系數為：

系數的具體值如表1［9］。

表1 的值［9］Table 1 Values of［9］

文獻［9］通過Shu-Osher問題以及可壓縮各向同性湍流DNS對該格式進行了測試，結果顯示，該格式具有較低的數值耗散及較高的尺度分辨率。此外，該格式的另外一個優(yōu)點是構造簡潔，計算量小。數值測試顯示，其計算量接近9階精度的線性格式，遠低于5階精度的WENO格式。該格式的不足是魯棒性略弱，尤其是對于高Mach數的算例。

2.4 加權型群速度控制格式（WGVC）

利用群速度控制思想，何志偉等人構造了加權群速度控制格式（WGVC，Weighted Group Velocity Control Scheme）［10］，并進一步構建了WGVC-WENO混合格式，提升了格式的魯棒性。

WGVC格式離散的正通量表達式為：

其中fj＋1／2（σ）是含有自由參數σ，且經過優(yōu)化的線性格式。隨著參數σ的變化，該格式可以表現出“慢格式”以及“混合格式／快格式”的特性。兩個自由參數σm和σs以及權重ωm、ωs根據流場特性數值計算產生［10］。在波前區(qū)，σs≈1，σm≈0，格式（7）表現出“慢格式”特征；反之在波后區(qū)格式表現出“混合格式／快格式”特征。格式的群速度特性由參數σm和σs根據流場的光滑性質自適應給出。在此基礎上，何志偉等人構造了WGVC-WENO混合格式，在間斷區(qū)借助WENO格式提升格式的魯棒性。圖6為Shu-Osher問題的計算結果（201網格點），從中可以看出，與7階WENO格式相比，7階精度的WGVC-WENO混合格式具有更好的數值分辨率。

2.5 群速度助推法

在文獻［11］中，馬延文等提出了一種群速度助波器（Group Velocity Booster，GVB），可將常規(guī)線性差分格式改造成群速度控制格式。

對于微分方程：

圖6 Shu-Osher問題計算結果：WGVC-WENO7 vs.WENO7，201網格點［10］Fig.6 Distributions of density for Shu-Osher problem：WGVC-WENO7 vs.WENO7，201 points［10］

其中Dh為“慢格式”型差分算子。實際上，很多迎風型差分算子為慢格式（例如三、五、七階迎風偏心型差分）［7］。通過添加“助波器”，可將式（8）改造成群速度控制格式。改造后的格式為：

其中，算子WB為群速度助波器，通過添加該助波器，可以將原先的“慢格式”改造成群速度控制格式。常見的助波器形式為［7，11］：

2.6 其他群速度控制格式

除了前文介紹的方法，還有很多研究者利用群速度控制思想進行了激波捕捉格式的構建及應用。

Zhu等人［17］運用群速度控制思想并結合系數優(yōu)化，構建了緊致型群速度控制格式，并通過飛船返回艙高速繞流算例進行了測試。結果顯示，該方法具有較好的魯棒性及激波分辨率。周超紅等人［18］利用群速度控制思想，構造了三階及四階精度的群速度控制格式，并將該方法推廣到求解淺水波方法，數值實驗表明，該方法可以很好地控制非物理振蕩并能保證計算精度。田保林等人［19］根據數值解的群速度特性，在三階迎風緊致格式的基礎上引入了群速度控制機制，使其能夠正確模擬含有強激波和強接觸間斷的復雜流動。計算結果表明，該方法對激波和接觸間斷的分辨效果是令人滿意的。Cheng等人［20］在原群速度控制格式的基礎上，進一步減小了數值耗散，構造了一種低耗散的群速度控制格式。高慧等人構造具有六階精度的緊致型群速度控制差分格式［21］，并通過Sod激波管問題、定常激波問題以及二維激波反射等問題進行了測試，結果顯示，該方法具有網格基架點小和捕捉激波能力較強的優(yōu)點。

3 結論及展望

低耗散、高分辨率激波捕捉方法是近年來計算流體力學領域研究的熱點。群速度控制方法則是近年來提出的一種新型的激波捕捉方法。不同于大多數通過耗散壓制數值振蕩的方法，群速度控制方法主張通過控制色散誤差抑制數值振蕩。該方法根據數值波傳播的特性，將格式區(qū)分為“快格式”和“慢格式”，并通過在間斷前使用“慢格式”，在間斷后使用“快格式”的方法，限制數值振蕩的傳播，從而起到抑制間斷附近數值振蕩的效果。由于該方法主體上采用數值耗散抑制振蕩，實際使用過程中僅需再添加少量數值耗散就可將振蕩抑制在可接受的范圍內。因而，該格式的總體耗散水平較低，適用于多尺度復雜流動的高分辨率數值模擬。此外，與WENO等格式相比，群速度控制格式實現簡單，計算效率較高。

群速度控制格式也有需要改進之處。通常情況下純粹的“快格式”比較難于構造，因而經常使用“混合格式”代替“快格式”，這種情況下高波數振蕩仍需要一定的耗散來壓制。但由于大多數“混合格式”本身的耗散特性具有壓制高波數振蕩能力，因而通常狀況下無需額外添加粘性（或僅需添加較弱的格式粘性即可）。此外，群速度控制格式的魯棒性與WENO等格式相比仍略顯不足，這可以通過構建混合型格式等方法來彌補。相信隨著數值計算技術的完善和發(fā)展，群速度控制格式也會逐漸發(fā)展并會獲得較好的應用。

致謝：感謝國家超級計算天津中心，中國科學院網絡中心超級計算中心以及國家超級計算濟南中心提供計算機時。

［1］PIROZZOLIS．Numerical methods for high-speed flows［J］．Annual Review Fluid Mechanics，2011，43：94-163．

［2］HARTEN A．High resolution schemes for hyperbolic systems of conservation laws［J］．Journal of Computational Physics，1983，49：357-393．

［3］張涵信．無波動、無自由參數的耗散差分格式［J］．空氣動力學報，1988，6（2）：143-164．

［4］JIANG G S，SHU C W．Efficient implementation of weighted ENO schemes［J］．Journal of Computational Physics，1996，126：202-228．

［5］SURESH A，HUYNH H T．Accurate monotonicity-preserving schemes with runge-kutta time stepping［J］．Journal of Computational Physics，1997，136：83-99．

［6］FU D X，MA Y W．A high order accurate difference scheme for complex flow fields［J］．Journal of Computational Physics，1997，134：1-15．

［7］傅德薰，馬延文，李新亮，等．可壓縮湍流直接數值模擬［M］．科學出版社，2010．

［8］MA Y W，FU D X．Fourth order accurate compact scheme with group velocity control（GVC）［J］．Science in China A，2001，44（9）：1197-1204．

［9］LI X L，FU D X，MA Y W．Optimized group velocity control scheme and DNS of decaying compressible turbulence of relativehigh turbulent Mach number［J］．International Journal for Numerical Methods in Fluids，2005，48：835-852．

［10］HE Z W，LI X L，LIANG X．Nonlinear spectral-like schemes for hybrid schemes［J］．Science China：Physics，Mechanics& Astronomy，2014，57（4）：753-763．

［11］MA Y W，FU D X，LI X L．A new high order accurate shock capture method with wave booster［C］．Proceeding of 2nd International Symposium on Computational Mechanics，Hong Kong and Macau，Nov 30-Dec 3，2009．

［12］LELE S K．Compact finite difference schemes with spectral-like resolution［J］．Journal of Computational Physics，1992，103：16-42．

［13］PIROZZOLI S．On the spectral properties of shock-capturing schemes［J］．J.Comput.Phys.，2006，219：489-497．

［14］LI X L，LENG Y，HE Z W．Optimized sixth-order monotonicity-preserving scheme by nonlinear spectral analysis international［J］．Journal for Numerical Methods in Fluids，2013，73：560-577．

［15］MA Y W，FU D X，Scheme construction with numerical flux residual correction（NFRC）and group velocity control（GVC）［J］．Progress in Natural Science，2006，16（12）：1252-1259．

［16］HE Z W，LI X L，FU D X，et al．Monotonicity-preserving upwind compact difference schemes［J］．Science in China G，2011，54（3）：511-522．

［17］ZHU Q Y，LI Y．An upwind compact approach with group velocity control for compressible flow fields［J］．International Journal for Numerical Methods in Fluids，2004，44（5）：463-482．

［18］ZHOU C H，YAO Q H，ZHU Q Y．The modified finite difference schemes with group velocity control for solving 2D shallow water equations［J］．ACTA Scientiarum Naturalium Universitatis Sungatseni，2012，51（1）：19-24．（in Chinese）

周超紅，姚清河，朱慶勇．求解二維淺水波方程的群速度修正法［J］．中山大學學報（自然科學版），2012，51（1）：19-24．

［19］TIAN B L，FU D X，MA Y W．Group velocity control scheme and two-dimensional Riemann slover［J］．Chinese Journal of Computational Mechanics，2005，22（1）：104-108．（in Chinese）

田保林，傅德薰，馬延文．群速度控制格式及二維Riemann解［J］．計算力學學報，

［20］CHENG J B，FU D X，MA Y W．Group velocity control scheme with low dissipation［J］．Chinese Journal of Aeronautics，2000，13（3）：138-145．

［21］GAO H，MA Y W，FU D X．Sixth order accurate compact scheme with group velocity control and application［J］．Journal of Aerospace Power，2003，18（1）：24-31．（in Chinese）

高慧，馬延文，傅德薰．六階精度的群速度直接控制緊致格式及其應用［J］．航空動力學報，2003，18（1）：24-31．

Review for group velocity control schemes

LI Xinliang，FU Dexun，MA Yanwen
（LHD，Institute of Mechanics，Chinese Academy of Sciences，Beijing 100190，China）

The basic principles and the recent developments of group velocity control（GVC）method are reviewed．GVC method is a new shock capture method by controlling the dispersion error of numerical schemes．In GVC method，the“fast”scheme is used in front of the shock and the“slow”one is used behind the shock，and in this way，the spread of numerical oscillations is limited in a very small region near the shock，and thus the oscillations are suppressed．The GVC method capture shock mainly by using dispersion technique，therefore，the dissipation of GVC schemes is relatively low．The recently developments of GVC schemes，such as compact GVC scheme，optimized GVC scheme，hybrid weighted GVC-WENO scheme and GVC scheme by group velocity booster，are also reviewed．GVC schemes are useful methods for detail simulation of multi-scale flows．

group velocity control；shock capture scheme；high resolution，dispersion；dissipation

V211.3

Adoi:10.7638／kqdlxxb-2014.0104

0258-1825（2014）05-0575-06

2014-08-20；

2014-09-10

國家自然科學基金（1372330，11472010，11472278）；863項目（2012AA01A304）；中國科學院知識創(chuàng)新工程項目（KJCX2-EWJ01，XXH12503-02-02-04）

李新亮（1972-），男，研究員，主要研究方向：計算流體力學，湍流．E-mail：lixl＠imech．ac．cn

李新亮，傅德薰，馬延文．捕捉激波的群速度控制方法［J］．空氣動力學學報，2014，32（5）：575-580．

10．7638／kqdlxxb-2014．0104． LI X L，FU D X，MA Y W．Review for group velocity control schemes［J］．ACTA Aerodynamica Sinica，2014，32（5）：575-580．