孫 紅 (江蘇省灌云高級中學 222200)

1 性質

已知x,y,z>0,且x+y+z+2=xyz,則

性質1xyz≥8．

性質2x+y+z≥6．

性質3xy+yz+zx≥2(x+y+z)．

(2)由條件x+y+z+2=xyz及性質1,得x+y+z=xyz-2≥6．

2 應用

為了代換方法的統(tǒng)一,對以下部分例題中的符號進行了改寫．

2.1 約束條件x+y+z+2=xyz的不等式證明

例2(《數學通訊》2016年第3期問題250)設x≥1,y≥1,z≥1,且x+y+z+2=xyz,求證:3(x+y+z)≥xy+yz+zx+6．

例3(2019年奧地利數學奧林匹克國家級決賽)設正實數x,y,z滿足x+y+z+2=xyz,證明:(x+1)(y+1)(z+1)≥27．

評注前3個例題利用條件x+y+z+2=xyz的等價形式簡化了證明過程,后2個例題通過代換方法轉化為比較容易證明的不等式．

2.2 無約束條件的不等式證明

(2)作代換a=cotAcotB,b=cotBcotC,c=cotCcotA(A,B,C為銳角三角形ABC的內角),并注意到三角恒等式cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1,則由例8可得

3 代換方法的延伸

例9(2015年希臘數學奧林匹克)已知a,b,c>0,且ab+bc+ca+2abc=1,求證:4a+b+c≥2．

例13(《中等數學》2019年第3期問題613)已知正數a,b,c滿足a2+b2+c2+abc=4,求證:a2b2+b2c2+c2a2+abc≤4．