尤 裕 (江蘇省梅村高級中學(xué) 214112)

嚴(yán) 鵬 (江蘇省鎮(zhèn)江崇實(shí)女子中學(xué)·茅以升中學(xué) 212004)

1 命題背景

從以往全國高考數(shù)學(xué)卷來看,解析幾何命題的結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn),考查學(xué)生的能力全面,不僅考查學(xué)生的計(jì)算能力,還考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想,以及對整體和部分的協(xié)調(diào)性的把握．2022年全國甲卷(理)第20題、2022年北京卷第19題、2021年全國卷第21題、2020年全國卷Ⅰ(文)第21題,均以直線的斜率為考查背景,所以本次高三統(tǒng)測解析幾何試題的命制以斜率這個熱點(diǎn)問題為背景,對學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)進(jìn)行了檢驗(yàn)．試題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系,旨在體現(xiàn)解析幾何用代數(shù)方法解決幾何問題的基本思想．

2 試題及解析

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若經(jīng)過點(diǎn)T(1,0)的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P為直線x=4上任意一點(diǎn),證明:kPA,kPT,kPB成等差數(shù)列．

解析 本題的思維導(dǎo)圖如圖1所示．

圖1

圖2

(2) ①當(dāng)直線AB斜率為0或不存在時,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)易求得,顯然kPA+kPB=2kPT.

綜合①②,kPA,kPT,kPB成等差數(shù)列．

本題考查了橢圓的簡單性質(zhì)及方程思想、直線與橢圓位置關(guān)系的相關(guān)問題,還考查了計(jì)算能力、轉(zhuǎn)化思想及推理論證能力．常規(guī)思路是直線方程與橢圓方程聯(lián)列、消元、化簡,然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程,解決相關(guān)問題．

3 結(jié)果及分析

考完后,統(tǒng)計(jì)班級本題的得分情況,結(jié)果見表1．得分集中在5～6分,均分6.375,高分率8.3%．

表1 第22題得分情況

第(1)題滿分的學(xué)生與第(2)題是否完成的相關(guān)性為23.6%,說明完成第(1)題對第(2)題是否能做對關(guān)系不大．從原始數(shù)據(jù)來看,第(2)題滿分的學(xué)生,第(1)題均為滿分,第(2)題與總分的相關(guān)性為95.5%,說明做對第(2)題對本題得11分或12分有很大的相關(guān)性．

在解決本題時學(xué)生存在的主要問題有:(1)沒有討論斜率不存在的情況;(2)在處理(*)式時不敢動手化簡,在分子的展開、化簡和代入時產(chǎn)生計(jì)算錯誤．

4 反思與實(shí)踐

學(xué)會學(xué)習(xí)比學(xué)會知識更重要,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在學(xué)生身上的一個重要表現(xiàn)就是“會學(xué)習(xí)”．學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)需要在數(shù)學(xué)活動過程中,通過一次次專心的觀察和分析、一次次有序的操作和驗(yàn)證、一次次細(xì)心的推演和計(jì)算、一次次大膽的猜測和判斷、一次次縝密的推理和論證,還有一次次與同學(xué)和老師的討論、質(zhì)疑、交流等,一點(diǎn)一點(diǎn)建立、積累和提升起來,這些活動經(jīng)驗(yàn)可以成為學(xué)生思維的重要載體．

因此,數(shù)學(xué)教學(xué)中要注意加強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo),幫助學(xué)生積累基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn),使學(xué)生學(xué)會知識的探究和應(yīng)用,學(xué)會數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)．下面提供兩個練習(xí)供解題實(shí)踐．

(1)求E的方程;

(2)證明:直線CD過定點(diǎn)．

(1)當(dāng)l與x軸垂直時,求直線AM的方程;

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:∠OMA=∠OMB．