田載今

研究問(wèn)題時(shí)需要關(guān)注各種相關(guān)信息，這些信息通常以數(shù)字形式呈現(xiàn)，即統(tǒng)計(jì)中所稱(chēng)的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)不僅能簡(jiǎn)潔地表達(dá)信息，而且能定量地刻畫(huà)信息，便于我們科學(xué)地分析信息，因而數(shù)據(jù)是研究問(wèn)題的重要依據(jù)，隨著計(jì)算機(jī)和云計(jì)算的迅速發(fā)展，大數(shù)據(jù)時(shí)代已經(jīng)到來(lái)，海量數(shù)據(jù)的處理得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用．

統(tǒng)計(jì)學(xué)是研究數(shù)據(jù)處理的學(xué)科，統(tǒng)計(jì)的全過(guò)程包括：收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)（發(fā)現(xiàn)并研究數(shù)據(jù)的分布特征），并依此推斷、評(píng)判已發(fā)生的事或預(yù)測(cè)將發(fā)生的事，在統(tǒng)計(jì)過(guò)程中，已收集到而未進(jìn)一步處理的數(shù)據(jù)叫作原始數(shù)據(jù)．一般情況下，直接面對(duì)一組未經(jīng)整理的原始數(shù)據(jù)，難以發(fā)現(xiàn)其分布特征．因此，通常需要對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)一步加工整理，使其分布狀況變得清晰．從中得出相應(yīng)的特征值作為數(shù)據(jù)代表，再?gòu)难芯繑?shù)據(jù)代表人手，深入研究相關(guān)問(wèn)題．

一組數(shù)據(jù)的分布特征可以從不同方面進(jìn)行分析，下面從數(shù)據(jù)分布的集中趨勢(shì)和離散程度兩方面，討論統(tǒng)計(jì)中常用的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差等數(shù)據(jù)代表．

一、描述集中趨勢(shì)的數(shù)據(jù)代表

“一組數(shù)據(jù)圍繞哪個(gè)中心數(shù)值分布？”這是分析數(shù)據(jù)時(shí)通常關(guān)注的一個(gè)問(wèn)題．它關(guān)系到一組數(shù)據(jù)的平均水平或一般情況，對(duì)統(tǒng)計(jì)推斷有重要參考價(jià)值．在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，把一組數(shù)據(jù)向某一中心數(shù)值靠攏的情形，稱(chēng)為這組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)．在描述數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)時(shí)，常從平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中選擇合適的數(shù)據(jù)代表．

如果以一組數(shù)據(jù)大小的平均水平描述集中趨勢(shì)，則可用平均數(shù)作為數(shù)據(jù)代表．平均數(shù)由全部原始數(shù)據(jù)計(jì)算得出．如果以一組數(shù)據(jù)大小的中間水平描述集中趨勢(shì)，則可用中位數(shù)作為數(shù)據(jù)代表．一組數(shù)據(jù)按大小排列時(shí)，中位數(shù)在居中位置．如果以一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)描述集中趨勢(shì)，則可用眾數(shù)作為數(shù)據(jù)代表，眾數(shù)是一組原始數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)．一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能有一個(gè)，也可能有多個(gè)，還可能一個(gè)也沒(méi)有，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各有各的作用，分別適合從不同角度分析數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)．

平均數(shù)是最常用的一個(gè)數(shù)據(jù)代表，它反映了一組數(shù)據(jù)大小的平均水平．需要注意的是，如果一組數(shù)據(jù)中有極端數(shù)據(jù)，即與多數(shù)數(shù)據(jù)相比過(guò)大或過(guò)小的個(gè)別數(shù)據(jù)，則它會(huì)使平均數(shù)的值與多數(shù)數(shù)據(jù)存在較大差距．如仍以平均數(shù)代表該組數(shù)據(jù)的中心數(shù)值，則不能恰如其分地反映這組數(shù)據(jù)的分布狀態(tài)．這種情形下，選擇中位數(shù)或眾數(shù)作為數(shù)據(jù)代表，能更好地反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)．

例1 表1為一條自動(dòng)包裝線(xiàn)某月每天包裝物品的數(shù)量及相應(yīng)的天數(shù)．

（l）分別求出表中數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)．

（2）用平均數(shù)作為數(shù)據(jù)代表，能客觀(guān)反映這個(gè)月每天包裝物品數(shù)量的一般情況嗎？

解：（1）通過(guò)計(jì)算加權(quán)平均數(shù)，得表中數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

（20+2355×10+2360×4+2365×14+2370）÷30=2283.

表中共有30天的數(shù)據(jù)，這30個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列時(shí)，處于正中間位置的第15和第16兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（2360+2365）÷2=2362.5．因此2362.5是該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．

30個(gè)數(shù)據(jù)中，2365出現(xiàn)14次，出現(xiàn)次數(shù)最多，因此2365是該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．

（2）觀(guān)察表中數(shù)據(jù)不難發(fā)現(xiàn)，30天中有29天的數(shù)據(jù)都不小于2355，它們都大于平均數(shù)，且與平均數(shù)的差都不小于72．這30天中有1天的數(shù)據(jù)20遠(yuǎn)小于平均數(shù)2283，這可能是某一天自動(dòng)包裝線(xiàn)有突發(fā)故障造成的反常結(jié)果，顯然，20這個(gè)極端數(shù)據(jù)，使得正常情況下應(yīng)有的平均數(shù)的值變小．如果仍以平均數(shù)2283作為數(shù)據(jù)代表，則與自動(dòng)包裝線(xiàn)每天工作的一般狀況差距較大．而以中位數(shù)2362.5或眾數(shù)2365作為數(shù)據(jù)代表，則能較客觀(guān)地反映一般情形下包裝物品數(shù)量的實(shí)際情況．因此，此問(wèn)題不宜用平均數(shù)作為數(shù)據(jù)代表描述數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)．

二、描述離散程度的數(shù)據(jù)代表

“一組數(shù)據(jù)中，各個(gè)數(shù)據(jù)與這組數(shù)據(jù)的中心數(shù)值（例如平均數(shù)）的偏離程度有多大？”這是分析數(shù)據(jù)時(shí)通常關(guān)注的另一個(gè)問(wèn)題，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，把這種偏離程度稱(chēng)為這組數(shù)據(jù)的離散程度（或離中程度），它反映了一組數(shù)據(jù)大小的波動(dòng)狀態(tài)．我們結(jié)合下面的問(wèn)題對(duì)數(shù)據(jù)離散程度予以說(shuō)明．

表2是某一周內(nèi)甲、乙兩個(gè)書(shū)店接待顧客人數(shù)的記錄．

計(jì)算可知，甲、乙兩個(gè)書(shū)店該周內(nèi)平均每天接待顧客人數(shù)分別約為146.9和147.1．兩者非常接近，我們?cè)倏紤]兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)狀態(tài)．先觀(guān)察數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖，圖1和圖2中的點(diǎn)分別表示甲、乙兩個(gè)書(shū)店的顧客數(shù)量，各點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)間（星期一到星期日），縱坐標(biāo)為顧客人數(shù)．圖中的水平線(xiàn)與縱軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是7個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．

比較兩圖，直觀(guān)上可以發(fā)現(xiàn)：圖1中各數(shù)據(jù)點(diǎn)分布較緊密，波動(dòng)較小，即總體上看各點(diǎn)與平均值對(duì)應(yīng)的水平線(xiàn)的偏離度較?。簣D2中各數(shù)據(jù)點(diǎn)分布較松散，波動(dòng)較大，即總體上看各點(diǎn)與平均值對(duì)應(yīng)的水平線(xiàn)的偏離度較大．這里的偏離度是對(duì)7個(gè)點(diǎn)偏離度的平均水平而言，是根據(jù)各數(shù)據(jù)點(diǎn)與平均數(shù)直線(xiàn)的距離大小而得出的．盡管與平均數(shù)直線(xiàn)相比，有些數(shù)據(jù)點(diǎn)高，有些數(shù)據(jù)點(diǎn)低，但各點(diǎn)與直線(xiàn)的距離都是非負(fù)的值．即高度差的絕對(duì)值，兩組數(shù)據(jù)相比，甲店數(shù)據(jù)的離散程度較小，乙店數(shù)據(jù)的離散程度較大．

統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用方差對(duì)一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況（即各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的偏離狀態(tài)）作定量的刻畫(huà)，描述數(shù)據(jù)的離散程度．計(jì)算方差的方法為：（1）計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（2）計(jì)算各數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方和；（3）用所得平方和除以這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)．設(shè)一組數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn（共n個(gè)），記其平均數(shù)為x，方差為s2．則

例2 分別計(jì)算上面問(wèn)題中甲、乙兩個(gè)書(shū)店某一周接待顧客人數(shù)的方差．南所得方差你能看出哪種可能性？

解：由以上所述可知，甲、乙兩個(gè)書(shū)店某一周平均每天接待顧客人數(shù)分別為146.9和147.1（保留到0.1）．計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的方差，得甲店數(shù)據(jù)的方差s2甲=32.1，乙店數(shù)據(jù)的方差sz=272.1．比較兩個(gè)方差，得S2甲．

為什么計(jì)算方差要用各數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方和，而不直接把各數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差相加呢？一般情形下，一組數(shù)據(jù)中可能有些數(shù)據(jù)比平均數(shù)大，有些數(shù)據(jù)比平均數(shù)?。鼈兣c平均數(shù)之差會(huì)有正有負(fù)，如果直接把這些差相加，就會(huì)出現(xiàn)正負(fù)相抵．例如，一組數(shù)據(jù)為1，2，3，4，5，平均數(shù)為3，各數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差分別為-2，一1，0，1，2．這些差之和為0，但這并不意味著這組數(shù)據(jù)都是緊靠著平均數(shù)的，用各數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方和，則利用了平方的非負(fù)性，防止出現(xiàn)做加法時(shí)正負(fù)相抵而隱藏了相關(guān)數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的偏離，方差名稱(chēng)中的“方”正是“平方”的簡(jiǎn)稱(chēng)．

對(duì)方差的算式進(jìn)行恒等變形：

這給出了方差的另一種算法：各數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減各數(shù)據(jù)平均數(shù)的平方．

從上面幾例可以看出，得出平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差這四種常用數(shù)據(jù)代表的方法不同，這些數(shù)據(jù)代表所表示的意義也不同，在反映一組數(shù)據(jù)的分布特征時(shí)，它們有各自的側(cè)重點(diǎn)．根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要，選取合適的數(shù)據(jù)代表來(lái)認(rèn)識(shí)一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)與離散程度，是分析數(shù)據(jù)的常用做法．