顧森

晚高峰指的是，傍晚時分城市道路的交通量突然增大的現(xiàn)象，了解一座城市的晚高峰時間，對個人的出行安排以及整座城市的交通規(guī)劃都有很大的幫助，例如，某城市最近5天晚上擁堵指數(shù)最高的時候分別發(fā)生在17：00，18：00，17：00，16：30，19：00.平均算下來，晚高峰的時間是幾點呢？你或許會說，這還不簡單？算一算17，18，17，16.5，19的平均數(shù)不就行了嗎？（17+18+17+16.5+19）÷5=17.5，因此晚高峰的平均時間就是17：30.乍一看，這個邏輯似乎沒有問題，可仔細一想，好像有點兒不對——照這樣算，23：00和半夜3：00的“平均數(shù)”就應(yīng)該是（23+3）÷2=13，也就是13：00.但是，夜里的兩個時間點平均下來怎么變到下午去了？實際上，這兩個時間點的正中間應(yīng)該是半夜1：00，拿它當這兩個時間點平均后的結(jié)果要合理一些，再看一個更加復(fù)雜的例子吧，假設(shè)有6：00，14：00，22：00這三個時間點，它們的“平均數(shù)”似乎是（6+14+22）÷3=14，也就是14：00.但這三個時間點均勻地分布在一天當中，兩兩之間都間隔8個小時，并沒有呈現(xiàn)出什么“集中趨勢”．

你是不是有些迷茫？其實，這一切都是因為，“幾點鐘”這樣的數(shù)量和“有多長”“有多重”“有幾個”這種類型的數(shù)量不一樣，它是不斷循環(huán)的．它們并不是分布在數(shù)軸上的，而是分布在一個圓圈上，你既可以說23點比3點晚20個小時，也可以說3點比23點晚4個小時．它們之間并沒有大小之分．在這種情況下，我們就得重新思考平均數(shù)的定義了，同樣地，盤點某景點的旺季平均在幾月份，統(tǒng)計某山區(qū)一段時間內(nèi)的平均風(fēng)向，都會遇到類似的問題．

這類問題的平均數(shù)究竟該怎樣定義呢？數(shù)學(xué)家們想到了一個好辦法．假設(shè)我們想要求出20：00，18：00，3：00，2：00的平均值．我們要依次完成下面的步驟（如圖1）．

（1）在平面直角坐標系上，以原點O為圓心，作一個半徑為1的圓．

（2）找出圓上的24個等距點，把最上面的那個點記作0．接下來的點按順時針方向依次記作l，2，3，…，23.它們分別表示0：00，1：00，2：00，…，23：00．

（4）求出所有橫坐標的平均數(shù)，以及所有縱坐標的平均數(shù)．所有橫坐標的平均數(shù)為[-0.866+（-1）+0.707+0.5]÷4≈-0.165，所有縱坐標的平均數(shù)為（0.5+0+0.707+0.866）-4≈0.518.

（5）把上一步得到的兩個數(shù)當作一個新的點的橫、縱坐標．在平面直角坐標系上標出這個點．在我們的例子中，這個點是（-0.165，0.518）.我們將其記作點P．

（6）連接OP并延長，與圓交于點Q．點Q在圓上的位置就表示這些時刻的平均數(shù)．在我們的例子中，Q點位于22和23之間，到22的距離和到23的距離大致是5：1的關(guān)系．所以，20：00，18：00，3：00，2：00的平均數(shù)大約就是22：50．

想一想，利用這樣的方法來計算23：00和3：00的平均值，是否真的就是1：00？你也可以用這個方法來計算6：00，14：00，22：00的平均數(shù)．你會發(fā)現(xiàn)，點JP的坐標是（0，0），跟點O是重合的，因此我們無法連接OP并延長．這種情況下，我們就說它們的平均數(shù)無意義．這與我們之前的直覺是相符的．

這樣，我們看到了如何將統(tǒng)計學(xué)中一個最簡單的概念移植到循環(huán)類數(shù)量中．統(tǒng)計學(xué)中還有許多其他概念，例如中位數(shù)、方差，以及高中大家將會學(xué)到的正態(tài)分布、相關(guān)系數(shù)，等等．它們是否也能運用到循環(huán)類數(shù)量當中呢？如果能的話，怎樣重新下一個定義最合適呢？針對這些問題，數(shù)學(xué)家們開創(chuàng)了一個統(tǒng)計學(xué)的分支，叫作“定向統(tǒng)計學(xué)”．感興趣的同學(xué)不妨在圖書館或互聯(lián)網(wǎng)上查閱相關(guān)的資料，作進一步的研究．

2024年1-2月號“數(shù)學(xué)潛能知識競賽”參考答案

1.C 2.C 3.B 4.3 5.-14 6.970

2024年1-2月號“數(shù)學(xué)潛能知識競賽”獲獎名單

（括號內(nèi)為輔導(dǎo)老師）

王麒霖 陳宇童（唐曉燕） 王峻熙 常逸璇 袁子和 黃懋洋 李或博

辛夢琪 吳愷琳（梅瑩） 翟天澤 鄭峻澤 韓依姍（高潔）