田載今

函數(shù)作為刻畫(huà)變量之間相互聯(lián)系的數(shù)學(xué)模型，是近代數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的基礎(chǔ)概念，本文在人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)教科書(shū)中“一次函數(shù)”內(nèi)容的基礎(chǔ)上，再介紹一些關(guān)于函數(shù)的知識(shí)，希望能幫助同學(xué)們拓寬對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)．

一 函數(shù)的含義

不了解函數(shù)的人，往往誤以為函數(shù)是一種數(shù)的名稱(chēng)，如同自然數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)等．其實(shí)，函數(shù)不是“數(shù)”，而是變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，函數(shù)的英文單詞“function”，也有“作用”“功能”和“運(yùn)轉(zhuǎn)”的釋義，這些都與函數(shù)的含義相關(guān)．

宇宙萬(wàn)物都始終處在運(yùn)動(dòng)之中，運(yùn)動(dòng)帶來(lái)變化．人們?yōu)榱硕康匮芯窟@些變化，找出了各式各樣的變量．例如，月亮不停地繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)，在不同的日期它與地球之間的距離發(fā)生著變化，這里的日期和地月距離都是變量，在某些事物的變化過(guò)程中，每當(dāng)一個(gè)變量x或一組變量（x1，x2，…，xn）取了確定的值時(shí)，另一個(gè)變量y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系叫作變量y對(duì)變量x或變量組（x1，x2，…，xn）之間的單值對(duì)應(yīng)．例如，地月距離y與日期x之間存在單值對(duì)應(yīng)關(guān)系：當(dāng)x取2021年9月21日（中秋節(jié)）時(shí)，y約為3.88x105km；當(dāng)x取2023年9月29日（中秋節(jié)）時(shí)，y約為3.62×105km．

變量之間具有的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，反映了事物的變化規(guī)律．為了數(shù)量化研究變化規(guī)律，函數(shù)這個(gè)重要的數(shù)學(xué)工具應(yīng)運(yùn)而生，這標(biāo)志著數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象由常量轉(zhuǎn)向變量，它使數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的理論研究和實(shí)際應(yīng)用，都發(fā)生了深刻的變化．

從16世紀(jì)至今，函數(shù)概念的形成有很長(zhǎng)的發(fā)展過(guò)程．初中數(shù)學(xué)教科書(shū)中給出的函數(shù)定義為：在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值．y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù)，這里主要有兩層意思：（1）兩個(gè)變量互相聯(lián)系，一個(gè)變量變化時(shí)另一個(gè)變量也隨之發(fā)生變化；（2）函數(shù)與自變量之間是單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，自變量的值確定后，函數(shù)的值是唯一確定的．這個(gè)定義是以單值對(duì)應(yīng)觀點(diǎn)對(duì)函數(shù)的簡(jiǎn)單樸素的刻畫(huà)，今后隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入，同學(xué)們還會(huì)見(jiàn)到函數(shù)定義的其他形式（如集合、映射、序?qū)Φ扔^點(diǎn)下的函數(shù)定義）．它們與單值對(duì)應(yīng)觀點(diǎn)下的定義本質(zhì)一致，只是描述得更深刻而已．

解：圖1（1）中，x取任一值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的位置唯一確定，從而縱坐標(biāo)y唯一確定，y對(duì)x是單值對(duì)應(yīng)，因而v是x的函數(shù)．圖1（2）中，x取某些值（例如x=a）時(shí)，對(duì)應(yīng)曲線上的多個(gè)點(diǎn)，它們有不同的縱坐標(biāo)，y對(duì)x不是單值對(duì)應(yīng)，因而y不是x的函數(shù)．

二 函數(shù)的元和次

如果變量y對(duì)另一個(gè)變量x單值對(duì)應(yīng)，則y是一個(gè)自變量x的函數(shù)，它叫作一元函數(shù)：如果變量y對(duì)有n個(gè)變量的一組變量（x1，x2，…，xn）單值對(duì)應(yīng)，則y是n個(gè)自變量x1，x2，…，xn的函數(shù)，它叫作n元函數(shù)．例如，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則它的周長(zhǎng)y1=4x，面積y2=x2都是一元函數(shù)；設(shè)矩形的長(zhǎng)為x1，寬為x2，則它的周長(zhǎng)y1=2（x1+x2），面積y1=x1x2都是二元函數(shù)：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為x1，寬為x2，高為x3，則它的表面積y1=2（x1x2+x2x3+x1x3），體積y2=x1x2x3都是三元函數(shù)．

如果一元函數(shù)能表示成關(guān)于自變量的多項(xiàng)式的形式，則多項(xiàng)式的次數(shù)（自變量的次數(shù)）即為函數(shù)的次數(shù)．例如，y=ax+b（a，b為常數(shù)，a≠0）是一次函數(shù)，y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）是二次函數(shù)，y=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an（a0，a1，…，an為常數(shù)，a0≠0）是n次函數(shù)．

函數(shù)的表示法之一是圖象法，即通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)反映變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．這種表示法將數(shù)量關(guān)系直觀形象地呈現(xiàn)出來(lái)，為數(shù)形結(jié)合研究問(wèn)題提供了方便，在數(shù)學(xué)發(fā)展中有重要的作用．不同次數(shù)的一元多項(xiàng)式函數(shù)的圖象呈現(xiàn)為不同形狀的曲線，例如，圖2、圖3和圖4的三個(gè)函數(shù)圖象分別是一次函數(shù)y=x+1．二次函數(shù)y=x2+1和三次函數(shù)y=x3+1的圖象．一元多項(xiàng)式函數(shù)中，只有一次函數(shù)的圖象是直線，二次以上（含二次）函數(shù)的圖象都是非直的曲線，如二次函數(shù)y=x2的圖象是拋物線．因此，一次函數(shù)也叫作線性函數(shù)．

三 顯函數(shù)與隱函數(shù)

函數(shù)的本質(zhì)是變量之間的單值對(duì)應(yīng)．不論用什么形式，只要能表示這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系，就可以表示函數(shù)．通常，表示函數(shù)用解析式、圖象、列表等方法，其中解析式最為常用，例如，圓的面積S=πr2是一元函數(shù)解析式（半徑r是自變量，S是函數(shù)，π是常數(shù)），圓錐的體積v=1/3πr2h，是二元函數(shù)解析式（自變量是底面半徑r和高h(yuǎn)，V是函數(shù)，π是常數(shù)）．函數(shù)解析式中等號(hào)的左邊表示函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的算式．它不僅清楚地表示出哪個(gè)變量是函數(shù)、哪些變量是自變量，而且直觀地反映了函數(shù)與自變量之間的數(shù)量關(guān)系，即如何由自變量的值得出相應(yīng)的函數(shù)值，因此，這種解析式叫作顯函數(shù)表達(dá)式．一元顯函數(shù)的解析式可簡(jiǎn)寫(xiě)為y=f（x）的形式，其中y是函數(shù)，x是自變量，符號(hào)f為function（函數(shù)）的首字母．n元顯函數(shù)的解析式可簡(jiǎn)寫(xiě)為y=f（x1，x2，…，xn）的形式，其中y是函數(shù)，x1，x2，…，xn是n個(gè)自變量．

多元方程是含有多個(gè)未知數(shù)的等式，如二元方程5x+y=1，3x2+2x-0.5y=6.雖然這兩個(gè)方程不是y=f（x）的形式，但是從它們可以分別推出y=-5x+1，y=6x2+4x-12這樣的一元顯函數(shù)，這就是說(shuō)，這兩個(gè)方程各自隱含了一個(gè)函數(shù)，一般地，隱含了某種函數(shù)關(guān)系的方程，也叫作隱函數(shù)表達(dá)式．由此可知，函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系．

解：兩個(gè)方程都是隱函數(shù)表達(dá)式，它們分別對(duì)應(yīng)一次函數(shù)y=4/3x-2與y=-2x+3.畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖象（圖8），兩直線交于點(diǎn)（1.5，0），即x=1.5，y=0同時(shí)滿足兩個(gè)函數(shù)，也是兩個(gè)方程的公共解，這樣就用畫(huà)函數(shù)圖象替代了消元法的計(jì)算而得到方程組的解.

四 定義域和值域

五 一次函數(shù)圖像與直線

自變量為x的一次函數(shù)的形式為y=kx+b（其中k，b是常數(shù)，k≠0）．當(dāng)b=0時(shí)，y=kx，又叫作正比例函數(shù)，一次函數(shù)y=kx+b的圖象也稱(chēng)為直線y=kx+b.當(dāng)x=0時(shí)，y=kx+b=6，由此可知，直線y=kx+b與y軸交于點(diǎn)（0，6）．6叫作直線y=kx+b在y軸的截距．如圖9，當(dāng)k>0時(shí)，直線y=kx+b從左向右上升：當(dāng)k<0時(shí)，直線y=kx+b從左向右下降．|k|越大，直線越“陡”，k的值決定直線y=kx+b的傾斜程度（包括傾斜的方向和陡緩）．k叫作直線y=kx+b的斜率．斜率和截距這兩個(gè)常數(shù)確定后，直線y=kx+b在坐標(biāo)系中的位置就確定了．y=kx+b叫作直線的斜截式，它在解析幾何中常常用到．

需要注意，一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)系中的直線并非一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，平行、重合于坐標(biāo)軸的直線不是一次函數(shù)的圖象，它們對(duì)應(yīng)的式子形如x=a或y=b，都不符合一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的形式．一次函數(shù)與坐標(biāo)系中的不平行、不重合于坐標(biāo)軸的直線有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即每個(gè)一次函數(shù)的圖象都是不平行、不重合于坐標(biāo)軸的某條直線：反過(guò)來(lái)，每一條不平行、不重合于坐標(biāo)軸的直線都代表某個(gè)一次函數(shù)的圖象．

把抽象的數(shù)量關(guān)系和直觀的圖象結(jié)合起來(lái)，從“數(shù)”與“形”兩方面動(dòng)態(tài)地分析問(wèn)題，對(duì)于全面認(rèn)識(shí)函數(shù)有重要作用．例如，可以先從圖象發(fā)現(xiàn)k的符號(hào)和其絕對(duì)值對(duì)直線傾斜程度的影響；再進(jìn)一步從解析式分析出當(dāng)k>0（或k<0）時(shí)，如果x10），由此得出k對(duì)一次函數(shù)y=kx+b的增減性的決定作用．“數(shù)”與“形”結(jié)合，可以達(dá)到既直觀又入微的認(rèn)識(shí)效果，這是研究函數(shù)的有效方法．