曾亮 石俊洋 王珊珊 李維剛

摘 要：為了優(yōu)化同時(shí)考慮最大完工時(shí)間和機(jī)器能耗的雙目標(biāo)分布式柔性作業(yè)車間調(diào)度問(wèn)題，提出了一種改進(jìn)的多目標(biāo)松鼠搜索算法。引入了基于升序排列規(guī)則的轉(zhuǎn)換機(jī)制，實(shí)現(xiàn)了松鼠位置向量與調(diào)度解之間的轉(zhuǎn)換，并針對(duì)機(jī)器空閑時(shí)間設(shè)計(jì)了從半主動(dòng)到主動(dòng)的解碼策略。針對(duì)不同優(yōu)化目標(biāo)設(shè)計(jì)了三種種群初始化策略。同時(shí)提出了動(dòng)態(tài)捕食者策略來(lái)更好地協(xié)調(diào)算法的全局探索和局部開(kāi)發(fā)能力。設(shè)計(jì)了四種領(lǐng)域搜索策略用于增加種群多樣。20個(gè)實(shí)例上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了改進(jìn)后的算法求得解的質(zhì)量和多樣性更好，從而證明了其可有效求解分布式節(jié)能柔性調(diào)度問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：松鼠搜索算法； 分布式柔性車間調(diào)度； 節(jié)能調(diào)度； 多目標(biāo)優(yōu)化； 優(yōu)化算法

中圖分類號(hào)：TP18;TH165?? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-3695（2024）03-030-0848-06

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2023.07.0334

Improved squirrel search algorithm to solve distributed

energy-efficient flexible scheduling

Zeng Liang1，2， Shi Junyang1，2， Wang Shanshan1，2， Li Weigang3

（1.School of Electrical & Electronic Engineering， Hubei University of Technology， Wuhan 430068， China; 2.Hubei Key Laboratory for High-efficiency Utilization of Solar Energy & Operation Control of Energy Storage System， Wuhan 430068， China; 3.School of Information Science & Engineering， Wuhan University of Science & Technology， Wuhan 430081， China）

Abstract：To optimize the distributed flexible Job-Shop scheduling problem considering both the makespan and machine energy consumption， this paper proposed an improved multi-objective squirrel search algorithm. The algorithm introduced a conversion mechanism based on ranked order value to achieve the conversion between squirrel position vectors and scheduling solutions， and designed decoding strategy from semi-active to active for machine idle time. Additionally， it devised three population initialization strategies based on different optimization objectives. The proposed dynamic predator strategy could better coordinate the algorithms global exploration and local exploitation capabilities. Finally， the algorithm used four local searches to increase population diversity. Experimental results on 20 instances show that the improved algorithm achieves better quality and diversity of solutions， proving that it can effectively solve the distributed energy-efficient flexible scheduling problem.

Key words：squirrel search algorithm; distributed flexible Job-Shop scheduling; energy-efficient scheduling; multi-objective optimization; optimization algorithm

0 引言

柔性作業(yè)車間調(diào)度問(wèn)題（flexible Job-Shop scheduling problem，F(xiàn)JSP）是經(jīng)典作業(yè)車間調(diào)度中更接近真實(shí)加工環(huán)境的擴(kuò)展，它通過(guò)對(duì)作業(yè)車間進(jìn)行調(diào)度優(yōu)化，能有效降低加工時(shí)間、生產(chǎn)成本、加工能耗等［1］。如今隨著市場(chǎng)需求的多樣化以及加工產(chǎn)品的復(fù)雜化，大量的單工廠生產(chǎn)模式正在向分布式多工廠柔性生產(chǎn)模式轉(zhuǎn)換［2］。分布式作業(yè)車間調(diào)度（distributed flexible Job-Shop scheduling problem，DFJSP）通過(guò)研究每個(gè)作業(yè)車間中各個(gè)工序的加工順序來(lái)優(yōu)化調(diào)度目標(biāo)，可以有效利用每個(gè)車間的資源［3］。DFJSP相比于FJSP，其增加了工廠的選擇，具有多車間任務(wù)關(guān)聯(lián)耦合、多車間性能差異性和空間分散性的特點(diǎn)，因此求解也更加困難［4］，解決DFJSP已經(jīng)成為制造業(yè)優(yōu)化的一個(gè)熱門話題。同時(shí)，隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展、人類生存環(huán)境的惡化以及資源的過(guò)度消耗，使得發(fā)展與資源環(huán)境的矛盾日趨尖銳。節(jié)能減排是世界可持續(xù)發(fā)展的必然選擇，也是應(yīng)對(duì)資源稀缺與環(huán)境承載能力有限的挑戰(zhàn)的必然選擇。因此，在調(diào)度的過(guò)程中同時(shí)考慮節(jié)能指標(biāo)也應(yīng)逐漸成為研究的重點(diǎn)。

2010年，文獻(xiàn)［5］首次定義DFJSP并且使用改進(jìn)的遺傳算法求解調(diào)度問(wèn)題。隨后，又有學(xué)者使用其他的元啟發(fā)式算法求解DFJSP，比如Zhao等人［6］提出了一種模因離散差分進(jìn)化算法，并引入了一種新的離散突變策略來(lái)優(yōu)化最小制造周期；李家磊等人［7］提出一種雙種群混合遺傳算法，通過(guò)種群間的協(xié)作和有效局部搜索優(yōu)化DFJSP的最大完工時(shí)間；Li等人［8］使用灰狼算法優(yōu)化DFJSP的完工時(shí)間，還提出了一種針對(duì)關(guān)鍵工廠的本地搜索策略。以上這些研究大多只針對(duì)完工時(shí)間進(jìn)行優(yōu)化，并且存在大量盲目的交換和變異操作，局部搜索也存在效率低的問(wèn)題。

制造企業(yè)在生產(chǎn)的過(guò)程中不僅要考慮降低時(shí)間成本，還要設(shè)法降低污染、節(jié)能減排。因此，加工時(shí)間不再是DFJSP中考慮的單一指標(biāo)。目前已經(jīng)有許多學(xué)者針對(duì)DFJSP提出了多目標(biāo)元啟發(fā)算法。例如，Sang等人［9］對(duì)NSGA-Ⅲ進(jìn)行改進(jìn)并結(jié)合了局部搜索和基于關(guān)鍵路徑的領(lǐng)域策略，實(shí)驗(yàn)證明所提算法能夠有效地優(yōu)化多目標(biāo)DFJSP；李瑞等人［10］對(duì)模因算法進(jìn)行改進(jìn)，并設(shè)計(jì)了具有多種交叉方式的全局搜索算子，改進(jìn)后的算法能更好地優(yōu)化調(diào)度的最大完工時(shí)間和總能量消耗；Wu等人［11］將差分進(jìn)化算法和模擬退火算法相結(jié)合，用于權(quán)衡DFJSP的延遲成本和總成本。通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)者已經(jīng)在節(jié)能減排調(diào)度方面作出了貢獻(xiàn)。但是大多數(shù)的研究是基于離散的舊算法，或者把連續(xù)算法使用簡(jiǎn)單的交叉和變異進(jìn)化成離散算法，存在未結(jié)合多目標(biāo)DFJSP的具體特性進(jìn)行改進(jìn)的問(wèn)題。

綜上所述，關(guān)于DFJSP，前期更多的是針對(duì)單目標(biāo)調(diào)度模型。近些年隨著研究的深入，關(guān)于更復(fù)雜的多目標(biāo)調(diào)度研究逐漸引起重視。在多目標(biāo)優(yōu)化調(diào)度方面，缺乏基于調(diào)度特性的Pareto多目標(biāo)進(jìn)化算法的研究。近些年，群智能算法發(fā)展迅速，更多性能強(qiáng)勁的算法被提出，但是連續(xù)的群智能算法無(wú)法直接應(yīng)用在離散的車間調(diào)度中，因此在車間調(diào)度中關(guān)于連續(xù)的群智能算法的研究更少。

松鼠搜索算法（squirrel search algorithm，SSA）［12］自提出后，已被證明在解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中具有強(qiáng)大的競(jìng)爭(zhēng)性，例如新冠肺炎X光圖像分類［13］、多目標(biāo)經(jīng)濟(jì)環(huán)境調(diào)度［14］等。但是目前尚未見(jiàn)關(guān)于多目標(biāo)松鼠搜索算法在DFJSP中的應(yīng)用研究。SSA是一種基于三種群的算法，具有優(yōu)秀的種群協(xié)作能力，能夠避免DFJSP優(yōu)化中盲目的交叉和變異，這對(duì)于復(fù)雜的組合優(yōu)化問(wèn)題至關(guān)重要；此外，DFJSP通常涉及到大量的作業(yè)和資源問(wèn)題，優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)據(jù)維度較高，而SSA在處理類似的高維數(shù)據(jù)方面的優(yōu)秀性能，使其可能成為應(yīng)對(duì)DFJSP的合適選擇。鑒于此，以及SSA在收斂速度和規(guī)避局部最優(yōu)方面相較于其他算法具有的優(yōu)勢(shì)等，故選用松鼠搜索算法SSA求解優(yōu)化DFJSP問(wèn)題。

本文針對(duì)DFJSP，提出了一種改進(jìn)的多目標(biāo)松鼠搜索算法（multi-objective squirrel search algorithm，MSSA），同時(shí)優(yōu)化最大完工時(shí)間和設(shè)備總能耗兩個(gè)目標(biāo)。本文將豐富關(guān)于SSA的研究，拓展求解多目標(biāo)DFJSP的方法，具有理論和現(xiàn)實(shí)意義。

本文主要貢獻(xiàn)以及其與DFJSP的關(guān)聯(lián)性如下：a）設(shè)計(jì)了旨在降低調(diào)度中能耗的主動(dòng)解碼方案，這種解碼方案可有效地減少空閑時(shí)間段，從而降低DFJSP的機(jī)器能耗；b）提出了混合種群初始化策略，可顯著提高DFJSP的初始解方案質(zhì)量，這對(duì)于改善最終的調(diào)度方案非常有利；c）對(duì)SSA的位置更新策略和捕食者概率進(jìn)行了改進(jìn)，可增強(qiáng)算法的優(yōu)化能力，平衡算法的探索和開(kāi)發(fā)能力，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)DFJSP解空間的有效探索；d）設(shè)計(jì)了針對(duì)DFJSP的四種領(lǐng)域搜索策略，通過(guò)引入多樣化的領(lǐng)域搜索，實(shí)現(xiàn)更精細(xì)的探索，有效解決了優(yōu)化算法針對(duì)DFJSP易陷入局部最優(yōu)的問(wèn)題。

1 問(wèn)題描述與數(shù)學(xué)模型

1.1 問(wèn)題描述

DFJSP可以被描述為將n個(gè)工件分配到f個(gè)工廠中，每一個(gè)工件包含ni個(gè)工序，每個(gè)工件的所有工序在同一個(gè)工廠進(jìn)行加工，每個(gè)工廠擁有m臺(tái)機(jī)器。調(diào)度的目標(biāo)是確定工序的排列順序以及每道工序加工所選擇的機(jī)器，同時(shí)還要使優(yōu)化指標(biāo)盡可能最優(yōu)。DFJSP還需要滿足以下條件：a）每個(gè)機(jī)器同時(shí)只加工一個(gè)工序，且不能被其他工序中斷；b）一個(gè)作業(yè)的任何操作必須完成其前面的操作后才能進(jìn)行；c）所有工件和機(jī)器在零時(shí)刻均處于就緒狀態(tài)；d）工件選定工廠后，其所有工序均在此工廠加工，且每個(gè)工序只在一個(gè)機(jī)器上加工；e）不考慮工件加工過(guò)程中發(fā)生中斷，不考慮機(jī)器發(fā)生故障。

1.2 數(shù)學(xué)模型

為了方便約束公式的構(gòu)建和描述，本文引入了相關(guān)符號(hào)。n為工件數(shù)目；i為工件索引；Ji為工件i的工序數(shù)目；m為機(jī)器數(shù)目；nf為工廠數(shù)目；f為工廠索引；ni為工件i的工序總數(shù)；mf為工廠f的機(jī)器總數(shù)；j為工序索引；I、M和F分別為工件集合、機(jī)器集合和工廠集合；Oij為工件i的第j道工序；mijf為工廠f可加工工序Oij的機(jī)器數(shù)量；Cmax為調(diào)度的最大完工時(shí)間；Ci為工件i的完成時(shí)間；A為無(wú)窮大數(shù)；Kf為工廠f的機(jī)器集；Kijf為工廠f可加工Oij機(jī)器集；Pfk為工廠f機(jī)器k的加工次數(shù)集合，Pijfk則為本次加工Oij的時(shí)間；Sijf為工序Oij在工廠f的開(kāi)始時(shí)間，Cijf為完工時(shí)間；Wijfk為工序Oij在工廠f機(jī)器k上的加工功率；Bfkt為工廠f機(jī)器k第t次加工開(kāi)始時(shí)間， Ffkt為結(jié)束時(shí)間；Widlefk為工廠f機(jī)器k的空閑功率；TEC為總能耗；Yif為工件i分配到工廠f的值為1，否則為0；Efkt為工廠f中機(jī)器k第t次加工空閑能耗；Cfmax為工廠f完工時(shí)間；xijfkt為二進(jìn)制數(shù)，用來(lái)表示Oij是否在工廠f的機(jī)器k上進(jìn)行第t次加工，xijfk類似，用來(lái)確定Oij能否在工廠f的機(jī)器k上加工。

4 實(shí)驗(yàn)與討論

4.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

為了驗(yàn)證本文算法的性能，在數(shù)據(jù)集MK01-MK10［17］和DP01-DP10［16］上設(shè)計(jì)了相關(guān)的對(duì)比實(shí)驗(yàn)。所有的代碼均使用MATLAB 2019b進(jìn)行編程，軟件的運(yùn)行環(huán)境為：CPU為Intel CoreTM i9-9900K @3.60 GHz，RAM為64 GB ， Windows 10系統(tǒng)。本文設(shè)定工廠的數(shù)目為2，每個(gè)工廠中所有機(jī)器的加工能耗CPfk=4 kW·h，空載能耗IPfk=1 kW·h。

使用多目標(biāo)中的超體積（hypervolume，HV）［18］和集合覆蓋率（C-metric，C）［19］來(lái)評(píng)價(jià)算法的性能。HV可以同時(shí)評(píng)價(jià)收斂性和多樣性。HV值越大，說(shuō)明算法的綜合性能越好。集合覆蓋率（C）用于來(lái)評(píng)價(jià)兩個(gè)算法所求解集的質(zhì)量。C（A， B）=1表示B中所有個(gè)體都被A中一些個(gè)體支配，C （A， B）的百分比越大，說(shuō)明解集A越好。

4.2 混合初始種群多樣性對(duì)比

為了評(píng)估混合初始種群策略對(duì)初始解的影響，分別使用隨機(jī)初始化和混合初始化在MK01測(cè)試實(shí)例上生成50個(gè)個(gè)體。兩種個(gè)體在兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)上的適應(yīng)度箱線圖如圖6所示。箱子的長(zhǎng)度表示數(shù)據(jù)的集中程度，顯然混合初始化方式生成的種群更具有多樣性。在兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)中，混合初始化方式取得了更好的均值和中位數(shù)，說(shuō)明了針對(duì)最大完工時(shí)間和機(jī)器總能耗初始化方式的有效性，這將更有利于種群的迭代搜索。

4.3 動(dòng)態(tài)捕食者策略有效性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證3.5節(jié)所提出的動(dòng)態(tài)捕食者策略的有效性。將式（23）提出的非線性Pdp與其初始值0.3、終值0.7和中間值0.5進(jìn)行對(duì)比。保持其他條件不變，在每個(gè)測(cè)試集上運(yùn)行20次，計(jì)算平均HV。不同Pdp值的平均HV結(jié)果如表1所示。表中加粗的字體為最優(yōu)結(jié)果，在所有問(wèn)題上，改進(jìn)后的非線性Pdp在七個(gè)實(shí)例上取得了最優(yōu)值，位于第一位。這是因?yàn)橄啾扔谄渌亩ㄖ担倪M(jìn)后的動(dòng)態(tài)捕食者策略能夠更好地平衡全局探索和局部開(kāi)發(fā)，避免算法陷入局部最優(yōu)。

4.4 領(lǐng)域搜索策略有效性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證3.6節(jié)所提出的領(lǐng)域搜索策略的有效性。將沒(méi)有領(lǐng)域搜索的算法記為SSA，將加入領(lǐng)域搜索策略的算法記為SSA+VNS，分別在測(cè)試集上進(jìn)行測(cè)試。圖7為SSA和SSA+VNS在MK01、MK06、DP08和DP10上所找到的前沿面。前沿面為算法20次運(yùn)行所求得的非支配解集。由圖中結(jié)果可知，加入領(lǐng)域搜索策略后，解集擁有更好的收斂性和分布性，且非支配解的數(shù)量也更多。

4.5 對(duì)比實(shí)驗(yàn)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證改進(jìn)后算法的性能，將本文算法（MSSA）與著名的多目標(biāo)算法NSGA-Ⅱ、MOEA/D以及新穎的算法HMMA［10］進(jìn)行對(duì)比。每個(gè)算法在相同的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上獨(dú)立運(yùn)行20次，迭代次數(shù)為100。各算法求得的平均HV值如表2所示。表3為MSSA與其他算法對(duì)比的C值。

如表2所示，除了MK01和DP02，MSSA在18個(gè)實(shí)例上取得了最好的HV結(jié)果，說(shuō)明MSSA在絕大多數(shù)情況下求得調(diào)度方案解的數(shù)量以及解的多樣性更好。MK01和DP02相比其他的測(cè)試實(shí)例，它們的機(jī)器和工件數(shù)量更少，但是MSSA的結(jié)果卻弱于NSGA-Ⅱ。說(shuō)明MSSA在面對(duì)部分工件數(shù)量少的測(cè)試問(wèn)題時(shí)，解的多樣性會(huì)有所減弱，但是在復(fù)雜的問(wèn)題上（例如MK10和DP10），MSSA求得的HV領(lǐng)先更多，其優(yōu)勢(shì)非常明顯。

在表3中，與其他三個(gè)算法進(jìn)行對(duì)比，MSSA的C指標(biāo)均最佳，說(shuō)明MSSA在測(cè)試集上求得了最好的Pareto解集，其優(yōu)化的完工時(shí)間和機(jī)器能耗均最優(yōu)。這得益于MSSA三種群協(xié)作的優(yōu)點(diǎn)，能夠進(jìn)行充分的信息交流，有助于搜索到更多更優(yōu)的解。同時(shí)，領(lǐng)域搜索能夠?qū)φ业降慕獬掷m(xù)優(yōu)化，使得非支配解集收斂性更好。與其他算法的對(duì)比結(jié)果充分說(shuō)明了本文算法的優(yōu)越性能。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種針對(duì)DFJSP的改進(jìn)多目標(biāo)松鼠搜索算法，能夠同時(shí)優(yōu)化調(diào)度中的最大完工時(shí)間和機(jī)器能耗。結(jié)合DFJSP的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了有效的編/解碼方式，針對(duì)優(yōu)化目標(biāo)的混合初始化方式提升了初始種群的質(zhì)量。改進(jìn)的動(dòng)態(tài)捕食者策略能更好地平衡算法的全局開(kāi)發(fā)和局部探索能力，并且設(shè)計(jì)了多種領(lǐng)域搜索方式來(lái)探索更優(yōu)解。根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，對(duì)松鼠的位置更新方式進(jìn)行了改進(jìn)，實(shí)現(xiàn)了連續(xù)的個(gè)體位置向離散的工序編碼轉(zhuǎn)換。通過(guò)實(shí)驗(yàn)證實(shí)了各個(gè)策略的效果。與其他算法的對(duì)比實(shí)驗(yàn)，證明了MSSA具有卓越的性能。

在面對(duì)部分測(cè)試問(wèn)題時(shí)，算法會(huì)出現(xiàn)解的多樣性有所下降的問(wèn)題。因此，在以后的研究中，可對(duì)算法的領(lǐng)域搜索策略繼續(xù)進(jìn)行改進(jìn)，尋求更多樣、更高效的領(lǐng)域搜索策略。

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