林春斌

深度學(xué)習(xí)是指在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生圍繞具有一定挑戰(zhàn)性的主題，積極參與，充分體驗知識的發(fā)生發(fā)展過程，獲得思維有效生長的學(xué)習(xí)過程.這也是學(xué)生深刻掌握核心知識，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，形成良好思維品質(zhì)和積極情感態(tài)度與價值觀的過程.本文中以一道試題的教學(xué)為例，具體談?wù)勅绾沃饘由钊?，讓“深度學(xué)習(xí)”真正發(fā)生.

1重基礎(chǔ)，通概念，獲得理解能力

只有夯實基礎(chǔ)，才能筑起高樓大廈.概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是獲得數(shù)學(xué)知識與技能的核心.但有些教師在高三復(fù)習(xí)階段，存在重解題、輕概念的行為，這就造成了概念與解題的脫節(jié)，導(dǎo)致學(xué)生在解題時漏洞百出.鑒于此，針對復(fù)習(xí)中的解題教學(xué)，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生分析問題涉及到的知識點、解題方向與考查目標(biāo).

原題已知函數(shù)f（x）=ex+e－x，e為自然對數(shù)的底數(shù)，如果正數(shù)a滿足以下條件：存在x0∈［1，+∞）使f（x0）＜a（－x30+3x0）成立，試比較ae－1與ea－1的大小，并證明.

師：大家都知道函數(shù)y=lnxx是由y=lnx與y=x相除而來，我們對它們的圖象與性質(zhì)都比較熟悉，現(xiàn)在請大家將這兩個函數(shù)的圖象畫出來（見圖1）.大家有沒有發(fā)現(xiàn)，解題中遇到的函數(shù)很大一部分都是由基本初等函數(shù)復(fù)合或運算后獲得的，有時會增加一些參數(shù).

設(shè)計意圖：給出題目后，不急于讓學(xué)生解題，而是先帶領(lǐng)學(xué)生回顧基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，讓學(xué)生感知復(fù)雜函數(shù)的由來，以探尋到學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)，讓學(xué)生從基礎(chǔ)知識著手，逐層深入，獲得知識間的聯(lián)系.

師：請大家畫出y=lnxx的圖象，并說說它的性質(zhì).

（學(xué)生畫圖，教師投影.）

生1：函數(shù)y=lnxx的定義域是（0，+∞）.在x∈（0，e）時，該函數(shù)單調(diào)遞增；在x∈（e，+∞）時，該函數(shù)單調(diào)遞減.在x=e時，函數(shù)存在最大值為1e.如圖2，根據(jù)性質(zhì)畫出函數(shù)y=lnxx圖象，圖象向右、向下分別以x軸、y軸為漸近線.

師：非常好！如果a=ln22，b=ln33，c=ln55，那么a，b，c之間存在怎樣的大小關(guān)系？

生2：根據(jù)a=ln22=ln44，可設(shè)函數(shù)f（x）=lnxx，由函數(shù)在（e，+∞）上單調(diào)遞減，可知f（3）＞f（4）＞f（5），即b＞a＞c.

設(shè)計意圖：y=lnxx的性質(zhì)是解決本題的基礎(chǔ)，教師引導(dǎo)學(xué)生體驗并得出它的單調(diào)性，對解題具有舉足輕重的影響.這也是研究復(fù)雜函數(shù)問題的基本過程，教師以小步子、低起點的方式鋪設(shè)臺階，目的在于讓學(xué)生深度理解問題的本質(zhì)，從而達到融會貫通的目的.

通過以上教學(xué)引導(dǎo)，學(xué)生的思維得以“熱身”.此過程，從基礎(chǔ)函數(shù)逐漸拓展到復(fù)雜函數(shù)，拾級而上的教學(xué)方式，不僅夯實了學(xué)生的知識基礎(chǔ)，還增強了學(xué)生的理解能力，讓學(xué)生的思維螺旋式上升.

2重過程，通思維，形成遷移能力

解題教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生思維與能力的過程，就題論題只是將學(xué)生局限于知識的某一面，只有注重過程發(fā)展的教學(xué)，才能讓學(xué)生從真正意義上獲得數(shù)學(xué)本質(zhì).在引導(dǎo)學(xué)生回顧知識本源的基礎(chǔ)上，可通過問題構(gòu)造y=lnxx類的函數(shù)，來進行知識的遷移，達到通思維、獲能力的目的.

師：已知a，b為實數(shù)，且b＞a＞e，e是自然對數(shù)的底數(shù)，求證ab＞ba.

生3：因為b＞a＞e，所以欲證ab＞ba，只需證明lnab＞lnba，也就是證lnaa＞lnbb.構(gòu)造函數(shù)y=lnxx，因為函數(shù)在（e，+∞）上單調(diào)遞減，所以lnaa＞lnbb.

師：太棒了！通過取對數(shù)的方法，將指數(shù)問題轉(zhuǎn)化成對數(shù)的問題來分析，再結(jié)合函數(shù)y=lnxx的單調(diào)性，就輕松解決了問題.現(xiàn)在請大家思考：已知m，n為正整數(shù)，1＜m＜n，求證（m+1）n＞（n+1）m.

生4：設(shè)m，n為實數(shù)，同時2≤m≤n，想要證得（m+1）n＞（n+1）m，只需要證明ln（m+1）n＞ln（n+1）m，也就是證明ln（m+1）m＞ln（n+1）n.考察函數(shù)g（x）=ln（x+1）x（x≥2），即要證明g（m）＞g（n）.因為g′（x）=xx+1－ln（x+1）x2，當(dāng)x≥2時，xx+1＜1，ln（x+1）≥ln3＞1，所以g′（x）＜0，則g（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減，因而g（m）＞g（n）.

設(shè)計意圖：本題直接解答，對學(xué)生而言難度較大，但這又是高考重點考查內(nèi)容之一.為此，筆者引導(dǎo)學(xué)生通過構(gòu)造函數(shù)來思考，真可謂是柳暗花明.將函數(shù)y=lnxx逐漸拓展為y=ln（x+1）x，讓學(xué)生充分感知處理一類問題的策略，達到舉一反三的效果.

經(jīng)過以上逐層遞進的探討，學(xué)生對轉(zhuǎn)化過程已經(jīng)有了明確的認(rèn)識，筆者見臺階也鋪設(shè)得差不多了，遂將學(xué)生的思路引到原題的解題上.

生5：要比較ae－1與ea－1的大小，可以考慮用取對數(shù)構(gòu)造函數(shù)的方式來處理，但此過程會受a值的影響，因此需根據(jù)條件先明確a的范圍.

學(xué)生經(jīng)過合作交流，獲得a＞e+e－12的結(jié)論.

生6：根據(jù)a的取值范圍，可確定ae－1與ea－1都大于1，因此可取自然對數(shù)得（e－1）lna與（a－1）lne，將二者同時除以（e－1）（a－1），可得lnaa－1與lnee－1，再比較這兩者的大小即可.

師：思路不錯！將問題完美地進行了轉(zhuǎn)化，接下來請另一位同學(xué)繼續(xù)接力.

生7：構(gòu)造函數(shù)h（x）=lnxx－1（x＞1），它的導(dǎo)數(shù)則為h′（x）=1－1x－lnx（x－1）2.令m（x）=1－1x－lnx，那么m′（x）=1x2－1x=1－xx2（x＞1），則m（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以m（x）＜m（1）=0.因此h（x）＜0，則h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減.

當(dāng)a∈e+e－12，e時，根據(jù)e＞a可得h（e）＜h（a），也就是ae－1＞ea－1；當(dāng)a=e時，有h（e）=h（a），也就是ae－1=ea－1；當(dāng)a∈（e，+∞）時，根據(jù)e＜a可得h（e）＞h（a），也就是ae－1＜ea－1.

設(shè)計意圖：從對基礎(chǔ)知識的回顧—初步應(yīng)用—深入理解—知識遷移，學(xué)生逐層深入地體會了知識的融會貫通過程，有效地訓(xùn)練了分析問題與解決問題的能力.

深度學(xué)習(xí)，并不是將知識傳輸、平移給學(xué)生，而是引導(dǎo)學(xué)生感知知識的形成與發(fā)展歷程，由淺入深地引申問題，以激發(fā)學(xué)生參與的積極性，讓學(xué)生自主地進入知識發(fā)展的情境中，感知知識的再創(chuàng)造過程，為形成良好的解題能力與核心素養(yǎng)奠定堅實的基礎(chǔ).[HJ1.8mm]

3重總結(jié)，通思想，形成解題能力

總結(jié)對解題教學(xué)來說，具有畫龍點睛的作用.好的總結(jié)方式，能幫助學(xué)生厘清知識的脈絡(luò)，讓學(xué)生產(chǎn)生一種豁然開朗的感覺.教學(xué)的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，幫助學(xué)生獲得良好的數(shù)學(xué)思想與方法，最終形成較好的解題能力與可持續(xù)性發(fā)展的能力.

師：通過以上過程，大家非常圓滿地解決了一道難題，其實本題還可以作進一步的深入研究.請大家回顧以上教學(xué)過程，看看有沒有什么新的發(fā)現(xiàn)？

生8：從以上所構(gòu)造的函數(shù)g（x）=ln（x+1）x與h（x）=lnxx－1來看，函數(shù)g（x）的圖象可以通過將h（x）的圖象向左平移一個單位長度而獲得，同時函數(shù)h（x）=lnxx－1又可以由y=lnx與y=x－1相除而來，因此問題又回歸到最初的兩個基本函數(shù)“y=lnx與y=x－1”中去了.結(jié)合之前的探索方法，可結(jié)合圖象或?qū)?shù)來獲得函數(shù)h（x）的單調(diào)性.

師：非常好！所有的復(fù)雜問題都是由簡單的基礎(chǔ)問題所構(gòu)成，當(dāng)我們遇到棘手的問題時，不要被它的表面難度所嚇倒，而應(yīng)以它的基礎(chǔ)問題為研究的著手點，循序漸進地抽絲剝繭，必然能獲得問題的本質(zhì)，從而順利解決問題.數(shù)學(xué)家華羅庚認(rèn)為：“解決數(shù)學(xué)問題的一個重要訣竅，就是要善于退，一直退到最原始而不失重點的地方為止.”

總之，教育的目的不僅僅是為了升學(xué)，更重要的是為了育人.因此，學(xué)生在課堂中的收獲應(yīng)是三維立體的，包括知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀等方面.利用啟發(fā)式的教學(xué)，由淺入深、逐層深入地引導(dǎo)學(xué)生進行深度學(xué)習(xí)，是超越生理學(xué)、心理學(xué)，達到推動人類進步與發(fā)展的教學(xué).