摘要：文章對一道解析幾何試題進(jìn)行深入探究，將題目的問題推廣至一般情形，并將性質(zhì)類比到雙曲線與拋物線，得到幾個優(yōu)美的結(jié)論.

關(guān)鍵詞：斜率和；斜率積；定值定點；推廣

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2024）11-0016-04

圓錐曲線中的定值定點問題是高考或各類?？嫉臒狳c問題之一，這類問題能夠在考查圓錐曲線基礎(chǔ)知識的同時，又能很好地考查學(xué)生的運算求解、推理論證等數(shù)學(xué)能力，以及對分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想的理解水平.

下面以一道試題為例，深入探討一類與斜率和（積）有關(guān)的定值定點問題.

1 試題的呈現(xiàn)與解答

題目已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點到上頂點的距離為2，離心率為32.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若P為橢圓C的左頂點，A，B為橢圓C上的兩點，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為kPA，kPB，且滿足kPA+kPB+kPAkPB=1.求證：直線AB過定點.

解析（1）橢圓C的方程為x24+y2=1.

（2）由（1）可得P（-2，0），設(shè)直線AB的方程為m（x+2）+ny=1.

由x24+y2=1，變形得（x+2-2）24+y2=1.

整理，得4y2+（x+2）2-4（x+2）=0.

聯(lián)立直線AB，齊次化，得

4y2+（x+2）2-4（x+2）［m（x+2）+ny］=0.

化簡，得

4y2-4n（x+2）y+（1-4m）（x+2）2=0.

兩邊同除（x+2）2，得

4（yx+2）2-4n（yx+2）+（1-4m）=0.

于是kPA+kPB=n，kPAkPB=1-4m4.

代入kPA+kPB+kPAkPB=1，得

n+1-4m4=1.

即-43m+43n=1.

令x+2=-43，y=43， 解得x=-103，y=43.

所以直線AB過定點（-103，43）.

評注齊次化法在解決兩直線斜率之和（積）相關(guān)的定值定點問題中運算量較少，常能達(dá)到化繁為簡的效果[1].

2 問題的提出

結(jié)合試題，思考：

問題1在問題（2）中，如果P是橢圓C：x24+y2=1的任意一點，則直線AB是否過定點？

問題2在問題（2）中，如果把橢圓C一般化，則直線AB是否過定點？

問題3在問題（2）中，如果把橢圓C改為雙曲線或拋物線，則直線AB是否過定點？

問題4在問題（2）中，如果直線AB過定點，那么直線PA，PB的斜率和與斜率積有什么關(guān)系？

3 結(jié)論推廣

通過探究，可得如下結(jié)論：

結(jié)論1過曲線C：Ax2+By2=1（AB≠0）上一點P（x0，y0）作斜率為k1，k2的兩條直線分別交曲線C于M，N兩點.當(dāng)As+Br≠0時，sk1k2+t（k1+k2）+r=0的充要條件是直線MN過定點（（Br-As）x0+2Bty0As+Br，2Atx0+（As-Br）y0As+Br）.

證明設(shè)直線MN的方程為

m（x-x0）+n（y-y0）=1，

由Ax2+By2=1，變形，得

A（x-x0+x0）2+B（y-y0+y0）2=1.

整理，得A（x-x0）2+B（y-y0）2+2Ax0（x-x0）+2By0（y-y0）=0.

聯(lián)立直線MN，齊次化，得

A（x-x0）2+B（y-y0）2+［2Ax0（x-x0）+2By0（y-y0）］×［m（x-x0）+n（y-y0）］=0.

化簡，得

（B+2Bny0）（y-y0）2+2（Anx0+Bmy0）（x-x0）（y-y0）+（A+2Amx0）（x-x0）2=0.

兩邊同除（x-x0）2，得

（B+2Bny0）（y-y0x-x0）2+2（Anx0+Bmy0）·（y-y0x-x0）+（A+2Amx0）=0.

于是k1+k2=-2（Anx0+Bmy0）B+2Bny0，

k1k2=A+2Amx0B+2Bny0.

（1）當(dāng)sk1k2+t（k1+k2）+r=0時，可得

s×A+2Amx0B+2Bny0+t×-2（Anx0+Bmy0）B+2Bny0+r=0.

整理，得

m（2Bty0-2Asx0）+n（2Atx0-2Bry0）=As+Br.

（?。┤鬉s+Br≠0，則

m（2Bty0-2Asx0As+Br）+n（2Atx0-2Bry0As+Br）=1.

令x-x0=2Bty0-2Asx0As+Br，y-y0=2Atx0-2Bry0As+Br，

解得x=（Br-As）x0+2Bty0As+Br，y=2Atx0+（As-Br）y0As+Br.

所以直線MN過定點

（（Br-As）x0+2Bty0As+Br，2Atx0+（As-Br）y0As+Br）.

（ⅱ） 當(dāng)As+Br=0，則

m（2Bty0-2Asx0）+n（2Atx0-2Bry0）=0.

①若2Bty0-2Asx0≠0，即Bty0-Asx0≠0時，則直線MN的斜率k=-mn=Atx0-Bry0Bty0-Asx0.

②若2Bty0-2Asx0=0，即Bty0-Asx0=0時，則n（2Atx0-2Bry0）=0，得n=0，此時直線MN的方程為m（x-x0）=1，所以直線MN的傾斜角為π2.

（2）當(dāng)As+Br≠0時，若直線MN過定點（（Br-As）x0+2Bty0As+Br，2Atx0+（As-Br）y0As+Br），代入直線MN的方程m（x-x0）+n（y-y0）=1，得

m［（Br-As）x0+2Bty0As+Br-x0］+n［2Atx0+（As-Br）y0As+Br-y0］=1，化簡整理，得

s×A+2Amx0B+2Bny0+t×-2（Anx0+Bmy0）B+2Bny0+r=0.

所以sk1k2+t（k1+k2）+r=0.

綜合（1）（2），結(jié)論1得證.

在結(jié)論1中，取A=1a2，B=1b2（或B=-1b2）.當(dāng)t=0，且s≠0，r≠0時，則k1k2=-rs.令-rs=λ，即k1k2=λ；當(dāng)s=0，且t≠0，r≠0時，則k1+k2=-rt，令-rt=μ，即k1+k2=μ，則可得兩個常見的推論：

推論1[2]過橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的定點P（x0，y0）作斜率為k1，k2的兩條直線分別與橢圓C交于M，N兩點.

（1）當(dāng)λ≠b2a2時，k1k2=λ的充要條件是直線MN過定點（（a2λ+b2）x0a2λ-b2，-（a2λ+b2）y0a2λ-b2）.

（2）當(dāng)μ≠0時，k1+k2=μ的充要條件是直線MN過定點（x0-2y0μ，-y0-2b2x0μa2）.

推論2過雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上的定點P（x0，y0）作斜率為k1，k2的兩條直線分別與雙曲線C交于M，N兩點.

（1）當(dāng)λ≠-b2a2時，k1k2=λ的充要條件是直線MN過定點（（a2λ-b2）x0a2λ+b2，-（a2λ-b2）y0a2λ+b2）.

（2）當(dāng)μ≠0時，k1+k2=μ的充要條件是直線MN過定點（x0-2y0μ，-y0+2b2x0μa2）.

評注在結(jié)論1中，取A=14，B=1，P（-2，0），s=1，t=1，r=-1，則直線MN過定點（-103，43），這正是原題的情形了.

4 類比性質(zhì)

雙曲線、拋物線與橢圓都是圓錐曲線，很多時侯三者之間有可類比的性質(zhì)，這體現(xiàn)了圓錐曲線性質(zhì)的內(nèi)在統(tǒng)一的和諧美.那么拋物線是不是也有類似于結(jié)論1的性質(zhì)呢？經(jīng)探究，得到如下結(jié)論：

結(jié)論2過拋物線C：y2=2px（p>0）上一點P（x0，y0）作斜率為k1，k2的兩條直線分別交拋物線C于M，N兩點.當(dāng)r≠0時，sk1k2+t（k1+k2）+r=0的充要條件是直線MN過定點（rx0+2ps+2ty0r，-2pt-ry0r）.

證明設(shè)直線MN的方程為

m（x-x0）+n（y-y0）=1.

由y2=2px，變形，得

（y-y0+y0）2=2p（x-x0+x0）.

則（y-y0）2+2y0（y-y0）+y20=2p（x-x0）+2px0.

即（y-y0）2+2y0（y-y0）-2p（x-x0）=0.

聯(lián)立直線MN，齊次化，得

（y-y0）2+2y0（y-y0）·［m（x-x0）+n（y-y0）］-2p（x-x0）·［m（x-x0）+n（y-y0）］=0.

化簡，得（1+2ny0）（y-y0）2+（2my0-2pn）（x-x0）（y-y0）-2pm（x-x0）2=0.

兩邊同除（x-x0）2，得（1+2ny0）（y-y0x-x0）2+（2my0-2pn）（y-y0x-x0）-2pm=0.

于是k1+k2=2pn-2my01+2ny0，k1k2=-2pm1+2ny0.

（1）當(dāng)sk1k2+t（k1+k2）+r=0時，得

s×-2pm1+2ny0+t×2pn-2my01+2ny0+r=0.

整理，得（2ps+2ty0）m+（-2pt-2ry0）n=r.

（ⅰ）若r≠0，則

（2ps+2ty0r）m+（-2pt-2ry0r）n=1.

令x-x0=2ps+2ty0r，y-y0=-2pt-2ry0r，

解得x=rx0+2ps+2ty0r，y=-2pt-ry0r.

所以直線MN過定點（rx0+2ps+2ty0r，-2pt-ry0r）.

（ⅱ）當(dāng)r=0，由（2ps+2ty0）m+（-2pt-2ry0）n=r，得m（2ps+2ty0）+n（-2pt）=0.

①若2ps+2ty0≠0，即ps+ty0≠0時，則直線MN的斜率k=-mn=-ptps+ty0.

②若2ps+2ty0=0，即ps+ty0=0時，則-2ptn=0，得n=0，此時直線MN的方程為m（x-x0）=1，所以直線MN的傾斜角為π2.

（2）當(dāng)r≠0時，若直線MN過定點（rx0+2ps+2ty0r，-2pt-ry0r），代入直線MN的方程為m（x-x0）+n（y-y0）=1，得m（rx0+2ps+2ty0r-x0）+n（-2pt-ry0r-y0）=1.化簡整理，得

s×-2pm1+2ny0+t×2pn-2my01+2ny0+r=0.

所以sk1k2+t（k1+k2）+r=0.

綜合（1）（2），結(jié)論2得證.

在結(jié)論2中，當(dāng)t=0，且s≠0，r≠0時，則k1k2=-rs.令-rs=λ，即k1k2=λ；當(dāng)s=0，且t≠0，r≠0時，則k1+k2=-rt.令-rt=μ，即k1+k2=μ.則可得拋物線中一個常見的推論：

推論3過拋物線C：y2=2px（p>0）上的定點P（x0，y0）作斜率為k1，k2的兩條直線分別與拋物線C交于M，N兩點.

（1）當(dāng)λ≠0時，k1k2=λ的充要條件是直線MN過定點（x0-2pλ，-y0）.

（2）當(dāng)μ≠0時，k1+k2=μ的充要條件是直線MN過定點（x0-2y0μ，-y0+2pμ）.

5 結(jié)束語

高中數(shù)學(xué)新課程理念之一是倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式.教師可根據(jù)學(xué)生實際，通過對題目的拓展、引申、變式探究，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，引導(dǎo)他們勇于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題，進(jìn)而讓學(xué)生在分析、類比、猜想、證明過程中養(yǎng)成對數(shù)學(xué)結(jié)論背后邏輯關(guān)系的分析與思考習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，提高學(xué)生的綜合能力，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]林國紅.齊次化法巧解一類圓錐曲線問題[J].教學(xué)考試，2019（20）：56-59.

[2] 林國紅.對一道2019年競賽題的深入探究[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2019（12）：41-46.

［責(zé)任編輯：李璟］