吳興征 王瑞凱 宋鵬彥

doi：10.11835/j.issn.1005-2909.2024.03.018

歡迎按以下格式引用：吳興征，王瑞凱，宋鵬彥.基于案例引導(dǎo)的可靠性理論教學(xué)模式探析［J］.高等建筑教育，2024，33（3）：144-153.

修回日期：2022-04-15

基金項(xiàng)目：河北省省級(jí)研究生專業(yè)學(xué)位教學(xué)案例庫(kù)項(xiàng)目“工程結(jié)構(gòu)可靠度案例教學(xué)”（KCJSZ2022006）；河北省自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目“考慮參數(shù)不確定性的基樁幾何可靠性算法與試驗(yàn)研究”（E2019201296）

作者簡(jiǎn)介：吳興征（1971—），男，河北大學(xué)建筑工程學(xué)院副教授，博士，主要從事巖土、防洪與海岸工程中不確定性模型研究，（E-mail） xingzhengwu@163.com；（通信作者）王瑞凱（1993—），男，衡水學(xué)院電子信息工程學(xué)院助教，碩士，主要從事可靠性理論研究，（E-mail）ruikaiw@163.com。

摘要：常規(guī)可靠性理論教學(xué)存在重視公式推導(dǎo)而輕視案例分析的現(xiàn)狀，課程教學(xué)效果不佳。文章探索用案例教學(xué)法講授該課程知識(shí)，著重強(qiáng)調(diào)案例教學(xué)理念與編程實(shí)踐促學(xué)的重要性。結(jié)合4個(gè)典型工程案例，如懸臂梁、海堤、基樁、板樁墻等構(gòu)筑物，說(shuō)明可靠性理論教學(xué)實(shí)施的步驟與方法。每個(gè)案例各有側(cè)重，由淺入深地引出重要知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)編程實(shí)踐引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)例求解?；诎咐龁l(fā)式的教學(xué)模式可激發(fā)學(xué)生探求可靠性理論的學(xué)習(xí)熱情，從而實(shí)現(xiàn)與專業(yè)問(wèn)題相互銜接。

關(guān)鍵詞：案例；可靠性理論；教學(xué)模式；編程

中圖分類號(hào)：TU 473? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? 文章編號(hào)：1005-2909（2024）03-0144-10

《工程結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》（GB 50153-2008）［1］實(shí)施多年，可靠性理論日漸成為較多高校土木工程專業(yè)三、四年級(jí)本科生或研究生的選修課程之一［2-3］。通過(guò)講授可靠性理論的基本概念和求解方法，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)土木工程中客觀存在的不確定性現(xiàn)象［4］，力求掌握不確定性分析的建模方法。為了全面培養(yǎng)學(xué)生終身學(xué)習(xí)能力和實(shí)際問(wèn)題處理能力，全新教學(xué)方法亟待提出。

可靠性理論是一門既具有理論性，又兼有較強(qiáng)應(yīng)用性的課程。不僅要求學(xué)生具備土木工程專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)，還需要學(xué)生具有足夠的數(shù)學(xué)知識(shí)積累，如高等數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)過(guò)程等。多數(shù)選課學(xué)生不具備類似基礎(chǔ)知識(shí)而對(duì)可靠性理論產(chǎn)生陌生感，從而表現(xiàn)出學(xué)習(xí)吃力、學(xué)習(xí)意愿不強(qiáng)等問(wèn)題［5］。這也是影響學(xué)生學(xué)習(xí)可靠性理論的外因。

難以有效開(kāi)展可靠性教學(xué)的內(nèi)因主要有：（1）講授可靠性求解算法時(shí)與實(shí)際工程案例結(jié)合不夠緊密，難以激發(fā)學(xué)生的求知欲；（2）教學(xué)偏重理論講解和算法推導(dǎo)，缺少與編程演練相結(jié)合，學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)動(dòng)力，也無(wú)法在解算過(guò)程中獲得成就感。

在有限課時(shí)內(nèi)讓學(xué)生掌握可靠性原理與方法，并自編程序分析與解決實(shí)際問(wèn)題，是可靠性理論教學(xué)必須著力思考的問(wèn)題。根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，從實(shí)際工程問(wèn)題的求解出發(fā)，提出以案例引導(dǎo)的課程教學(xué)方法。結(jié)合具體工程應(yīng)用實(shí)例對(duì)相關(guān)計(jì)算理論深入講解，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展實(shí)證學(xué)習(xí)。由淺入深地引出知識(shí)點(diǎn)并輔以編程演練，有助于培養(yǎng)學(xué)生解決不確定性問(wèn)題的能力。

一、課程特點(diǎn)及教學(xué)現(xiàn)狀

（一） 課程特點(diǎn)

（1） 理論抽象且方法繁多?？煽啃岳碚撜n程教學(xué)主要內(nèi)容包括概率密度分布、極限狀態(tài)方程構(gòu)建、可靠指標(biāo)的定義與求解算法。其共同特點(diǎn)是抽象且難以理解。求解算法是可靠性理論課程的核心內(nèi)容，通常包括一次二階矩法、均值一次二階矩法、改進(jìn)一次二階矩法與一階可靠性法（first order reliability method，亦簡(jiǎn)稱為FORM）等。面對(duì)眾多算法，初學(xué)者難以在有限的授課學(xué)時(shí)內(nèi)把握它們所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與原理，教師嘗試講解清楚各種算法之間的異同需要花費(fèi)大量時(shí)間。

（2） 算法難以實(shí)現(xiàn)手工驗(yàn)算。工程中常用的一階可靠性法，計(jì)算過(guò)程繁瑣，需通過(guò)多步迭代才能得到收斂的結(jié)果；手工計(jì)算易出錯(cuò)且不可移植。

（3） 計(jì)算成果缺少圖形展示。求解算法得到的數(shù)值結(jié)果具有一定的抽象性，缺少直觀的圖形解釋。

（二） 教學(xué)現(xiàn)狀

（1） 理論講解與計(jì)算實(shí)施脫節(jié)?？煽啃岳碚撛从诠こ虒?shí)踐的統(tǒng)計(jì)分析與經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，部分理論公式涉及迭代或優(yōu)化求解，計(jì)算工作量大。目前教學(xué)中比較重視理論知識(shí)的講授，局限于理論公式的推導(dǎo)與代入，但對(duì)計(jì)算程序?qū)嵤┎⑽唇o予足夠重視。

（2） 算例缺乏實(shí)際工程背景。教材中給出的算例多是高度簡(jiǎn)化的，缺乏實(shí)際的工程背景，難以充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)可靠性理論的興趣，學(xué)生難以與當(dāng)前的研究課題進(jìn)行有效銜接。部分教材的課后習(xí)題過(guò)于理想化與公式化，缺乏實(shí)際案例分析。

（3） 學(xué)生求知興趣不高?？煽啃岳碚摰膶W(xué)習(xí)需要以數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)值計(jì)算方法、編程等基礎(chǔ)課程為基礎(chǔ)，要求學(xué)生具有較好的數(shù)學(xué)功底。部分學(xué)生甚至不清楚所學(xué)課程與從事專業(yè)的關(guān)聯(lián)性，學(xué)習(xí)目標(biāo)不明確，投入的時(shí)間與精力不足。

（4） 生源基礎(chǔ)參差不齊。由于地域不同且各生源高校間先修課程的教學(xué)內(nèi)容有差異，剛接觸該課程的學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握程度不一，給可靠性理論課程的教學(xué)計(jì)劃與教學(xué)組織帶來(lái)較大的困難。

（5） 新版教材匱乏。與可靠性理論教學(xué)相關(guān)的教材更新速度較慢，在一定程度上制約了教學(xué)的有效開(kāi)展。

二、案例啟發(fā)教學(xué)法的特點(diǎn)

案例教學(xué)法是一種富有創(chuàng)意和實(shí)效的教學(xué)策略，它以教師與學(xué)生互動(dòng)為基本形式，通過(guò)實(shí)際工程案例引導(dǎo)將復(fù)雜理論場(chǎng)景化，借助編程工具進(jìn)行可靠性分析實(shí)現(xiàn)理論學(xué)習(xí)的生動(dòng)化。該方法強(qiáng)調(diào)學(xué)生的參與。

案例教學(xué)實(shí)施三個(gè)階段：課前準(zhǔn)備、課堂實(shí)施和課后評(píng)估。課前準(zhǔn)備階段做好教學(xué)設(shè)計(jì)，精心選擇案例并進(jìn)行初步編程。在教師的引導(dǎo)下，采用互動(dòng)與討論式的教學(xué)手段提高學(xué)生的參與意識(shí)。教師提出問(wèn)題，與學(xué)生充分互動(dòng)，并引導(dǎo)學(xué)生編寫求解代碼，對(duì)學(xué)生發(fā)言與編程求解進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，從而提供分析問(wèn)題的思路或視角。課后評(píng)估階段主要針對(duì)作業(yè)完成情況和案例分析成績(jī)進(jìn)行評(píng)價(jià)?；诎咐龑?dǎo)的可靠性理論教學(xué)有如下特點(diǎn)。

（一） 教學(xué)內(nèi)容的案例化

教學(xué)案例可分為講解型與探究型。講解型案例通常只有一個(gè)核心論題；但探究型案例涉及面較寬，且案例通常能說(shuō)明一個(gè)理論或算法。所選案例要有突出的目的性與代表性，圍繞案例的起因、求解過(guò)程、安全評(píng)價(jià)等方面進(jìn)行。表1為與可靠性理論課程教學(xué)大綱中規(guī)定的重點(diǎn)內(nèi)容相關(guān)的幾個(gè)案例。

緒論教學(xué)環(huán)節(jié)，重點(diǎn)介紹客觀存在的觀測(cè)數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)離散性的描述方法，以及邊緣分布擬合等內(nèi)容。協(xié)助學(xué)生梳理具有顯著離散性的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)集，尤其是針對(duì)同一結(jié)構(gòu)物或構(gòu)件進(jìn)行多次重復(fù)性測(cè)試的情況，類似成果更具有真實(shí)性。可讓學(xué)生充分意識(shí)到不確定性問(wèn)題發(fā)生在實(shí)踐中。在介紹荷載的統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，可結(jié)合簡(jiǎn)單的懸臂梁案例進(jìn)行講解，著重介紹一階可靠性法中的Ang和Tang算法［6］；結(jié)合海堤漫頂案例對(duì)Low和Tang算法［7］、隨機(jī)變量相關(guān)性處理及聯(lián)合概率密度函數(shù)構(gòu)建進(jìn)行介紹。在結(jié)構(gòu)抗力的統(tǒng)計(jì)分析這一教學(xué)環(huán)節(jié)中，可結(jié)合基樁靜載響應(yīng)成果，采用全新的幾何可靠性可視算法［8-9］進(jìn)行講解。在介紹結(jié)構(gòu)可靠性分析這一重要章節(jié)中，可針對(duì)板樁墻探究型案例，采用隨機(jī)模擬法求解，并著重分析多種失效模式的關(guān)聯(lián)性。

（二） 實(shí)際應(yīng)用的關(guān)聯(lián)化

在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)注重應(yīng)用實(shí)例與復(fù)雜概念的銜接。結(jié)合表1中懸臂梁、海堤、基樁和板樁墻等實(shí)際案例，充分與多種可靠性算法融合講解，著力激發(fā)學(xué)生探求可靠性理論的學(xué)習(xí)熱情。介紹工程背景與力學(xué)機(jī)理時(shí)，適當(dāng)運(yùn)用多媒體教學(xué)工具，展示圖文音像等信息，并深入分析案例中蘊(yùn)含的數(shù)據(jù)離散性來(lái)源與處理方法。

（三） 教學(xué)過(guò)程的編程化

在課程教學(xué)過(guò)程中，要求學(xué)生在初步了解基本概念的同時(shí)，借助各種編程語(yǔ)言的內(nèi)部函數(shù)及現(xiàn)有的可靠性算法求解器［10］自行編寫代碼，開(kāi)展多種算法的求解。從而實(shí)現(xiàn)在編程實(shí)踐環(huán)節(jié)掌握并強(qiáng)化可靠性理論的知識(shí)點(diǎn)。

三、案例教學(xué)實(shí)質(zhì)及授課思路

（一） 案例教學(xué)實(shí)質(zhì)

案例教學(xué)的實(shí)質(zhì)是講授者本著理論聯(lián)系實(shí)際的宗旨，針對(duì)相關(guān)教學(xué)內(nèi)容，遵照教學(xué)目的，以案例為基本素材，將學(xué)生引入特定的真實(shí)工程情境中，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與，通過(guò)師生的雙向交流，讓學(xué)生充分理解復(fù)雜理論。

（二） 案例分析與講授

每個(gè)案例講授可控制在兩個(gè)學(xué)時(shí)之內(nèi)。基于可靠性理論，結(jié)構(gòu)物需要完成預(yù)定功能，由功能函數(shù)或極限狀態(tài)方程來(lái)描述。若為構(gòu)筑物的抗力或允許承載，為作用效應(yīng)或?qū)嶋H荷載。以構(gòu)筑物的正常使用（承載能力）極限狀態(tài)作為分析對(duì)象，二者構(gòu)建的極限狀態(tài)方程（功能函數(shù)）為：

（1）

結(jié)合特定案例分析，抗力以及作用效應(yīng)可取決于多種影響因素，根據(jù)實(shí)際情況將某些因素視作隨機(jī)變量。選擇已建或新建工程項(xiàng)目作為案例進(jìn)行深入剖析，由淺顯知識(shí)點(diǎn)入手，逐步深入。工程案例應(yīng)包括：a.工程背景與機(jī)理分析、荷載與輸入?yún)?shù)（土層、地質(zhì)、水位、氣象）的收集與給定；b.繪制計(jì)算簡(jiǎn)圖，確定結(jié)構(gòu)物失效模式，構(gòu)建極限狀態(tài)方程；c.可靠指標(biāo)的求解算法展示；d.輸出結(jié)果判斷與案例評(píng)價(jià)。

（1） 案例1：懸臂梁抗彎性。

問(wèn)題：矩形截面鋼筋混凝土受彎懸臂梁，其截面寬度、高度以及跨度已知，如圖1所示，試計(jì)算該構(gòu)件用于住宅或辦公樓時(shí)發(fā)生撓曲變形或強(qiáng)度屈服的可靠指標(biāo)［11］。將懸臂梁構(gòu)件所受到的垂直荷載Pv與水平荷載Ph作為隨機(jī)變量，分別由給定的邊緣概率密度函數(shù)來(lái)描述。

功能函數(shù)：若受彎構(gòu)件發(fā)生撓度失穩(wěn)，以構(gòu)件撓度的實(shí)測(cè)值接近其限值為達(dá)到正常使用極限狀態(tài)的標(biāo)志，可建立極限狀態(tài)方程。此外，懸臂梁構(gòu)件若發(fā)生強(qiáng)度屈服，相應(yīng)的極限狀態(tài)方程可寫為懸臂梁的最大屈服強(qiáng)度應(yīng)力與實(shí)際應(yīng)力之間的關(guān)系，亦可構(gòu)建極限狀態(tài)方程。

算法：一階可靠性法基于隨機(jī)變量服從正態(tài)分布的假設(shè)而構(gòu)建。當(dāng)用于非正態(tài)隨機(jī)變量的情況時(shí)，采用Ang和Tang建議的一階可靠性法時(shí)需考慮概率轉(zhuǎn)換（當(dāng)量正態(tài)化）等內(nèi)容［6］。

關(guān)聯(lián)知識(shí)與延伸：作為第一個(gè)案例，不宜給學(xué)生灌輸過(guò)多的理論或概念。引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)荷載的統(tǒng)計(jì)特性以及非正態(tài)變量的處理，提供與演示Ang和Tang［6］算法的求解代碼讓學(xué)生自行嘗試。教學(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生思考幾個(gè)問(wèn)題：a.非正態(tài)變量的當(dāng)量正態(tài)化進(jìn)行方式；b.若這些變量均服從正態(tài)分布時(shí)，求解的簡(jiǎn)化處理方式；c.其他可視作隨機(jī)變量的參數(shù)；d.列舉懸臂梁在土木工程中實(shí)際的應(yīng)用場(chǎng)景。

教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生積極思考并發(fā)表觀點(diǎn)，教師進(jìn)行總結(jié)與評(píng)論。例如強(qiáng)調(diào)荷載比、配筋率、構(gòu)件幾何尺寸、混凝土保護(hù)層厚度等對(duì)可靠指標(biāo)產(chǎn)生影響；隨著構(gòu)件裝配化建造精度的提高，幾何尺寸可被視作常量。通過(guò)該算例，向?qū)W生闡明可靠指標(biāo)求解時(shí)涉及的迭代算法增加了計(jì)算實(shí)踐的繁雜性，強(qiáng)調(diào)編程實(shí)施的必要性。

（2） 案例2：海堤漫頂。

問(wèn)題：海堤是防洪工程體系的重要組成部分，用于抵御風(fēng)暴潮引起的海水漫頂，有效保護(hù)內(nèi)陸的生命財(cái)產(chǎn)安全。海堤的防護(hù)通常與水位Hw、近岸有效波高Wh和平均波浪周期Tm在內(nèi)的海洋風(fēng)暴條件有關(guān)。圖2為防洪海堤的示意圖。由于近海波多通過(guò)衛(wèi)星或雷達(dá)測(cè)量，實(shí)現(xiàn)了海洋學(xué)中觀測(cè)數(shù)據(jù)的長(zhǎng)期記錄跟蹤，開(kāi)展海堤安全評(píng)價(jià)對(duì)海岸防災(zāi)減災(zāi)具有重要意義。

功能函數(shù)：海堤的極限狀態(tài)方程可通過(guò)臨界溢流量qc與海堤在一定時(shí)間段內(nèi)的每延米的溢流量qw之差表示［8］。有限的越浪量不會(huì)造成大面積的洪災(zāi)，但漫頂會(huì)引起堤頂侵蝕以及下游坡的沖刷從而最終造成海堤破壞。溢流量取決于波浪爬高、風(fēng)壅高度、堤頂高程、水位等因素，其中，波浪爬高又與波浪高度以及周期密切相關(guān)。溢流過(guò)程由風(fēng)暴潮位和波浪共同作用引致，在時(shí)間和體積上是較隨機(jī)的現(xiàn)象，故將水位Hw、波高Wh和周期Tm視作隨機(jī)變量。

數(shù)據(jù)：海堤斷面位于英國(guó)Norfolk地區(qū)，共整理了十年內(nèi)該海浪要素的7 030組觀測(cè)數(shù)據(jù)［8］。圖3為三個(gè)隨機(jī)變量間的相依關(guān)系以及各個(gè)變量的核概率密度分布。

算法：結(jié)合該算例，重點(diǎn)講授其他一階可靠性算法。該算法的幾類演變方法，如修正一次二階矩法或JC法［12］、Low和Tang的［7］求解模式等，需要重點(diǎn)講授。

關(guān)聯(lián)知識(shí)與延伸：重點(diǎn)剖析可靠性算法的幾個(gè)要點(diǎn)，尤其是非正態(tài)分布的處理以及雙變量聯(lián)合概率密度函數(shù)的構(gòu)建與算法原理。在多元隨機(jī)變量聯(lián)合分布中，各變量間存在一定的相關(guān)性，且各變量的邊緣分布類型也不盡相同。對(duì)于隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布，可由聯(lián)結(jié)函數(shù)Copula構(gòu)造［13］。授課中，對(duì)學(xué)生強(qiáng)調(diào)此研究是可靠性研究的熱點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生深入探究。

結(jié)合該典型工程案例，教師從問(wèn)題提出、計(jì)算分析和成果評(píng)價(jià)等方面引導(dǎo)學(xué)生全面了解基于可靠性理論的求解過(guò)程。在課堂上與學(xué)生一起討論離散性對(duì)海堤穩(wěn)定性的影響，尤其是聯(lián)合分布的尾部特征，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生分析和思考問(wèn)題的積極性。考慮該海堤其他潛在失效模式，如邊坡滑動(dòng)失穩(wěn)、管涌、沖刷等，也值得學(xué)生探討。

（3） 案例3：基樁承載性能。

問(wèn)題：樁基礎(chǔ)通過(guò)樁側(cè)摩阻力和樁端阻力將上部荷載傳遞到深部巖土層中，有效提高多層建筑地基的承載能力，減小地基沉降并確保上部結(jié)構(gòu)安全。受到同一場(chǎng)地內(nèi)地層空間變異、樁體施工與測(cè)量誤差等一系列因素的影響，多根基樁承載后的沉降數(shù)據(jù)是離散的。

以山東省濟(jì)南市一棟28層公寓樓場(chǎng)區(qū)內(nèi)預(yù)制方形樁的荷載-位移數(shù)據(jù)進(jìn)行分析［14］。該場(chǎng)地共計(jì)完成12根工程樁的檢測(cè)，最大加載為4 880 kN。樁的邊長(zhǎng)為0.4 m，樁長(zhǎng)22～28 m。圖4為豎向靜載試驗(yàn)得到的荷載-位移曲線。采用冪函數(shù)進(jìn)行每條測(cè)試曲線的擬合［9］，列式為：

（2）

荷載-位移關(guān)系是各層土體與樁之間摩阻特性的綜合反映，構(gòu)建冪函數(shù)回歸方程后，由最初需要考慮樁周各層土體側(cè)摩阻與持力層端摩阻特性的多元隨機(jī)性，轉(zhuǎn)化為直接討論冪函數(shù)回歸參數(shù)間的不確定性，使得多元論題被簡(jiǎn)化為二元變量間的問(wèn)題。

由于同一場(chǎng)地下測(cè)試得到的12條曲線形態(tài)各異，描述這些曲線特性的回歸參數(shù)集必然具有離散性。圖5為冪函數(shù)回歸和集合的散點(diǎn)分布，且分別將二者視作一個(gè)隨機(jī)變量。若假定p1和p2均服從正態(tài)邊緣分布，且存在線性相關(guān)系數(shù)，則其特定置信水平下聯(lián)合分布（二元高斯分布或稱作二元正態(tài)分布）的概率密度等值線（probability density contour，簡(jiǎn)稱PDC）為橢圓形狀［15］。

功能函數(shù)：基樁相應(yīng)的正常使用極限狀態(tài)方程可表述為承載能力與上部結(jié)構(gòu)傳至樁頂荷載之間的關(guān)系。式（2）中基樁抗力R可由p1sa p2定義，sa為基樁沉降量的容許位移值。基樁實(shí)際荷載（作用效應(yīng)）S可假定為常數(shù)或定值，可取為最大加載量值的1/2。

數(shù)據(jù)：基于國(guó)內(nèi)外30余個(gè)場(chǎng)地下基樁荷載-位移曲線的回歸參數(shù)集［16］，讓學(xué)生嘗試特定場(chǎng)地下其他基樁承載能力的可靠性評(píng)估。

算法：從幾何上看，一階可靠性法中定義的可靠指標(biāo)是在多元標(biāo)準(zhǔn)化空間中由坐標(biāo)原點(diǎn)到臨界破壞面的最短距離，該指標(biāo)亦稱為Hasofer-Lind指標(biāo)［17］。常規(guī)的可靠性理論因構(gòu)建于標(biāo)準(zhǔn)化空間內(nèi)，公式推演較為深?yuàn)W。本研究團(tuán)隊(duì)開(kāi)發(fā)的幾何可靠性算法［8-9］構(gòu)建于隨機(jī)變量的原始物理空間內(nèi)，更易于理解。根據(jù)幾何可靠性算法，對(duì)于二元正態(tài)聯(lián)合分布，該建筑場(chǎng)地下基樁（構(gòu)筑物）承載能力的可靠指標(biāo)將由單倍標(biāo)準(zhǔn)差橢圓和發(fā)散橢圓之間的比例關(guān)系給定，如圖5所示。極限狀態(tài)曲線由功能函數(shù)推求得到，將隨機(jī)變量所在區(qū)域分為安全域與失穩(wěn)域。

關(guān)聯(lián)知識(shí)與延伸：盡管該案例的功能函數(shù)看似簡(jiǎn)單，但具體求解時(shí)會(huì)遇到較多知識(shí)點(diǎn)；a.其他隨機(jī)變量如何考慮，若考慮基樁所受荷載的隨機(jī)性，如分別將恒載與活載也視作隨機(jī)變量，它們與回歸參數(shù)集構(gòu)成四元隨機(jī)問(wèn)題，采用幾何可靠性算法進(jìn)行求解的方式；b.非正態(tài)分布如何考慮。該算法因采用離散點(diǎn)近似表征各種構(gòu)型，具有適用于各種非正態(tài)聯(lián)合分布的靈活性；c.剖析基樁的承載能力極限狀態(tài)與正常使用極限狀態(tài)［9］，其定義式異同點(diǎn)與關(guān)聯(lián)性值得師生互動(dòng)研討；d.傳統(tǒng)定值安全系數(shù)由變量的期望均值（圖5）給定，無(wú)法考慮隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性或規(guī)律。結(jié)合案例闡釋概率極限狀態(tài)設(shè)計(jì)有別于傳統(tǒng)確定性設(shè)計(jì)。概率極限狀態(tài)設(shè)計(jì)強(qiáng)調(diào)變量的觀測(cè)與統(tǒng)計(jì)，而確定性設(shè)計(jì)更多地依賴于經(jīng)驗(yàn)。極限狀態(tài)設(shè)計(jì)在構(gòu)建極限狀態(tài)方程時(shí)為繼承確定性安全系數(shù)的定義式。總之，結(jié)合具體工程應(yīng)用，對(duì)可靠性理論實(shí)施圖形化解譯，給予學(xué)生切實(shí)的掌控體驗(yàn)，可克服常規(guī)可靠指標(biāo)求解時(shí)采用各種方程的抽象感。

（4） 案例4：板樁抗傾覆性能。

問(wèn)題：板樁結(jié)構(gòu)多用于碼頭與基坑等支護(hù)體系中［10］，圖6為拉錨式板樁墻示意圖。板樁墻的抗彎強(qiáng)度和踢腳穩(wěn)定均與土體的抗剪特性密切相關(guān)。土性參數(shù)（粘聚力、內(nèi)摩擦角、容重）的不確定性、墻后堆載、地下水位變化、板樁材料、拉桿抗拉強(qiáng)度等均會(huì)影響板樁結(jié)構(gòu)可靠性。為了保證毗鄰建筑物的正常使用，板樁在其設(shè)計(jì)使用年限內(nèi)應(yīng)具有足夠的可靠性。

數(shù)據(jù)：若考慮土體剪切強(qiáng)度參數(shù)（粘聚力與內(nèi)摩擦角）對(duì)板樁結(jié)構(gòu)的影響，結(jié)合20余個(gè)場(chǎng)地下土體的抗剪強(qiáng)度參數(shù)集［16，18］，可進(jìn)行相關(guān)問(wèn)題的不確定性分析。

功能函數(shù)：考慮抵抗力矩與實(shí)際承受力矩之間的關(guān)系可構(gòu)建踢腳（抗傾覆）穩(wěn)定的極限狀態(tài)方程。

算法：隨機(jī)抽樣法為估算失效概率的常用方法。失效概率是隨機(jī)模擬中功能函數(shù)小于零的次數(shù)與總模擬次數(shù)之比?？紤]隨機(jī)變量間的互相關(guān)性時(shí)，可采用基于聯(lián)結(jié)函數(shù)的抽樣法（Copula-based sampling method，簡(jiǎn)稱CBSM）［13］求解失效概率。但該類方法存在計(jì)算結(jié)果不唯一且在失效概率較低情況下計(jì)算工作量大的缺點(diǎn)。授課教師應(yīng)說(shuō)明隨機(jī)抽樣法計(jì)算得到的是失效概率值，兩次計(jì)算可能會(huì)出現(xiàn)失效概率在數(shù)量級(jí)上的差異結(jié)果。而其他非抽樣類算法計(jì)算得到的是可靠指標(biāo)，最常用的量值介于0～8之間。該指標(biāo)與失效概率相比更易于被工程師接受。鼓勵(lì)學(xué)生采用非抽樣類方法完成該案例的求解，以便比較各種算法的計(jì)算成果。

關(guān)聯(lián)知識(shí)與延伸：該案例比較綜合，要引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分哪些變量與抗力有關(guān)，哪些變量與作用效應(yīng)有關(guān)。應(yīng)該指出，板樁墻后的主動(dòng)土壓力為作用效應(yīng)，而板樁墻前的被動(dòng)土壓力則為抗力。這些土壓力均因土體參數(shù)的不確定性而具有隨機(jī)性。授課過(guò)程中先對(duì)學(xué)生提出問(wèn)題，然后讓學(xué)生選邊站隊(duì)并充分辯論，以明晰最終結(jié)論。

教師需向?qū)W生解釋該案例的相關(guān)應(yīng)用場(chǎng)景，鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)文獻(xiàn)查閱更多實(shí)際案例。同一個(gè)板樁墻問(wèn)題，可以是建筑基坑問(wèn)題，也可以是碼頭支護(hù)問(wèn)題。碼頭堆載因運(yùn)輸發(fā)生變化，板樁水平向荷載還涉及波浪力。此外，板樁墻抗彎、拉桿抗拉、坑底抗隆起、整體滑動(dòng)穩(wěn)定等也可作為失效模式進(jìn)行分析，多種失效模式的關(guān)聯(lián)性需詳細(xì)剖析。

（三） 編程實(shí)施

提及的算法可采用Matlab、R、Python或Mathmatica語(yǔ)言進(jìn)行編程實(shí)施，教學(xué)中盡可能地增加編程環(huán)節(jié)。教師運(yùn)用編程平臺(tái)結(jié)合求解算法進(jìn)行計(jì)算展示，統(tǒng)籌實(shí)施課程教學(xué)，保證課堂教學(xué)的有效組織。編程語(yǔ)言具有豐富的繪圖功能與科學(xué)計(jì)算函數(shù)，比如，算法中涉及的散點(diǎn)圖、曲線圖等均可由相應(yīng)函數(shù)實(shí)施。采用高級(jí)編程語(yǔ)言，多數(shù)工程實(shí)例僅需20余行代碼即可完成所有計(jì)算與繪圖。編程實(shí)踐有助于培養(yǎng)與提高學(xué)生的自主創(chuàng)新與問(wèn)題求解技能，在課堂實(shí)踐環(huán)節(jié)與課后作業(yè)鞏固方面均需有所側(cè)重。

講授時(shí)要給學(xué)生強(qiáng)調(diào)編程實(shí)施的優(yōu)勢(shì)在于方便修改任意參數(shù)，快速而準(zhǔn)確地求解并進(jìn)行參數(shù)敏感性分析。鼓勵(lì)沒(méi)有任何編程基礎(chǔ)的學(xué)生嘗試電子表格法編制Excel表實(shí)施，更能適應(yīng)現(xiàn)代信息化社會(huì)需求。引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行可靠性算法函數(shù)的編寫，以便更多成熟算法共享給工程師使用，讓學(xué)生在研學(xué)實(shí)踐中獲得成就感，激發(fā)他們對(duì)更復(fù)雜專業(yè)問(wèn)題的探索興趣。

此外，教學(xué)實(shí)施中還可結(jié)合Visual Basic開(kāi)發(fā)面向?qū)ο蟮幕鶚稁缀慰煽啃苑治鲕浖?9］。學(xué)生通過(guò)菜單化操作該認(rèn)知工具，深化對(duì)可靠性理論的理解。

四、常見(jiàn)問(wèn)題的討論與分析

（一） 案例教學(xué)實(shí)施對(duì)教師的要求

案例教學(xué)對(duì)授課教師的綜合素質(zhì)要求較高，需要將案例提升到理論層次，且要熟練掌握編程技能。在課前要準(zhǔn)備充分，預(yù)習(xí)教學(xué)素材、熟悉案例、歸納重點(diǎn)與難點(diǎn)，以及認(rèn)真編寫教案。

（二） 源代碼準(zhǔn)備

每個(gè)案例的編程及驗(yàn)證一般較為耗時(shí)，但課堂時(shí)間非常有限，這要求教師提前準(zhǔn)備與精心構(gòu)思預(yù)備部分程序（源代碼）并提供給學(xué)生。強(qiáng)調(diào)采用豐富庫(kù)函數(shù)的高級(jí)編程語(yǔ)言的重要性，以便讓學(xué)生從繁瑣的基礎(chǔ)程序代碼中解放，更多地專注于可靠性算法的編程實(shí)踐。

（三） 教材選用

教師難以在同一本教材或者文獻(xiàn)中找到多學(xué)科關(guān)聯(lián)的素材，建議使用自行整理的講義進(jìn)行授課。教師列出一系列參考資料，供學(xué)生課后深入閱讀參考。

（四） 案例教學(xué)法的缺點(diǎn)

案例教學(xué)較難通過(guò)案例說(shuō)明整體原理，難以將獲得的概念與原理匯總于一個(gè)整體框架中。因此，要求學(xué)生通過(guò)深入學(xué)習(xí)，厘清各個(gè)知識(shí)點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)性。課后教師需要強(qiáng)調(diào)延伸閱讀的重要性，使學(xué)生找到分析此案例的理論支持和必要知識(shí)點(diǎn)。

（五） 其他問(wèn)題

教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生采用多種算法求解同一問(wèn)題，結(jié)合自己的專業(yè)背景進(jìn)行選題，更容易讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)由可靠性基本原理學(xué)習(xí)向探究自己專業(yè)課題的過(guò)渡。闡明不同問(wèn)題對(duì)于隨機(jī)變量值域的要求不同。如漫頂問(wèn)題與波浪條件的極大值密切相關(guān)，而土工強(qiáng)度問(wèn)題則取決于強(qiáng)度參數(shù)的極小值。任何結(jié)構(gòu)物的可靠性設(shè)計(jì)均基于觀測(cè)數(shù)據(jù)，若沒(méi)有更多重復(fù)性的實(shí)際觀測(cè)成果，再好的可靠性計(jì)算模型也將被束之高閣。

五、結(jié)語(yǔ)

結(jié)合可靠性理論課程實(shí)踐性和應(yīng)用性強(qiáng)的特點(diǎn)，通過(guò)生動(dòng)的工程案例提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。案例教學(xué)模式能促進(jìn)學(xué)生有針對(duì)性地運(yùn)用專業(yè)理論，提高其分析與解決實(shí)際不確定性問(wèn)題的能力。從教學(xué)內(nèi)容、編程環(huán)節(jié)、案例與理論的關(guān)聯(lián)度、教學(xué)方法等方面，對(duì)課程教學(xué)進(jìn)行了全面的總結(jié)與思考。

課堂教學(xué)中結(jié)合多個(gè)不確定性評(píng)估的應(yīng)用場(chǎng)景，針對(duì)可靠性方法的演示與編程實(shí)踐，讓學(xué)生熟悉編程環(huán)境并有助于消除學(xué)生的畏難疑慮。與常規(guī)教學(xué)方法相比，采用實(shí)際案例進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)，實(shí)施簡(jiǎn)潔且更易于實(shí)現(xiàn)深層次的概念延伸。盡管案例教學(xué)法使教學(xué)內(nèi)容更加豐富而生動(dòng)，避免了教師純粹理論性的說(shuō)教，但是在實(shí)踐應(yīng)用中也存在一些問(wèn)題，需要在實(shí)踐中探索解決方案。

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A teaching model for the reliability theory by illustrative case studies

WU Xingzheng1， WANG Ruikai2， SONG Pengyan1

（1.College of Civil Engineering and Architecture， Hebei University， Baoding 071002， P.R.China；

2.College Electronics & Information， Hengshui University， Hengshui 053010， P.R.China）

Abstract： Formula derivation is emphasized and case study is neglected in the traditional teaching for the reliability theory， resulting in low teaching efficacy. The teaching technique through illustrative case studies is proposed， and the importance of both case teaching concept and learning promoted by programming is stressed. Four typical case studies， such as the cantilever beam， sea dike， pile foundation， and sheet pile wall， are implemented to explore the procedures and methods for the teaching of reliability theory. Each case study has its own emphasis on the teaching content， leading to key knowledge components from the easy to the difficult， which allows students to immerse themselves in the solution of examples through programming practice. The teaching model based on case heuristics is easy to stimulate students enthusiasm for exploring the reliability theory， and it is easy to realize the connection with professional problems.

Key words： case; reliability theory; teaching model; programming

（責(zé)任編輯? 鄧? 云）