王靜 汪元貴

【摘 要】《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》提出注重實現(xiàn)“教—學—評”一致性，這是當前學科研究的重要命題?！白鳂I(yè)研究”作為教學延伸、學習衍生、評價載體，融合教、學、評三維度于一體。在蘇教版數(shù)學“雞兔同籠”問題的作業(yè)研究中，借助基礎性作業(yè)和發(fā)展性作業(yè)，圍繞“以‘作業(yè)研究為教學延伸，豐富教學場景；以‘作業(yè)研究為學習衍生，提升思維能力；以‘作業(yè)研究為評價載體，反饋教學效果”的教學探索，實現(xiàn)“教—學—評”一致性

【關(guān)鍵詞】數(shù)學教學 作業(yè)研究 “教—學—評”一致性

“教—學—評”一致性是當前學科研究的重要命題?！白鳂I(yè)研究”作為教學延伸、學習衍生、評價載體，完美匹配教、學、評活動，以此為手段促進“教—學—評”一致性的實現(xiàn)，從而達成作業(yè)設計與管理的研究目標。筆者圍繞“作業(yè)”這一主旨進行了探索和實踐，以“雞兔同籠”教學為例，闡述具體思路。

一、 “作業(yè)研究”實現(xiàn)“教—學—評”一致性的條件分析

根據(jù)作業(yè)性質(zhì)和作業(yè)功能，“作業(yè)研究”可以分為基礎性作業(yè)和發(fā)展性作業(yè)。兩類作業(yè)研究相輔相生，各有側(cè)重（如圖1）。

基礎性作業(yè)是指以當前學習的基本知識、基本技能為目標，結(jié)合教情、學情，設計出的符合學生實際情況的作業(yè)類型?；A性作業(yè)包含三種類型：一是基礎練習，緊扣課時內(nèi)容，選擇能夠凸顯新概念、新定理的本質(zhì)屬性或者直接運用所學知識解決問題的練習，使學生掌握基礎知識、獲得基本技能；二是熟練應用練習，在基礎練習的水平上設計變式題、遷移題，考查學生熟練且靈活應用的能力，形成解題的技能技巧；三是綜合練習，除了圍繞本課時內(nèi)容進行深化，還涉及本單元、相關(guān)知識體系、新課滲透等，構(gòu)建知識網(wǎng)絡鏈，拓展學生知識面。基礎性作業(yè)設計以學生為本，夯實基礎知識，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣。

發(fā)展性作業(yè)是相對基礎性作業(yè)而言的，是在鞏固學生基礎知識、基本技能，提升基本思想、積累基本活動經(jīng)驗的基礎上，重點培養(yǎng)學生獨立思考、合作探究、創(chuàng)新創(chuàng)造的能力，發(fā)展學生核心素養(yǎng)的作業(yè)類型。發(fā)展性作業(yè)目標多元，學生可以走出課堂、學校，去更多的場景感受人間百態(tài)，將數(shù)學與不同領(lǐng)域的知識銜接，使不同的學生得到不同方面、層次的發(fā)展，更好地培養(yǎng)學生學習的信心。

除此之外，發(fā)展性作業(yè)還是監(jiān)測學生學習水平的有效工具和有力依據(jù)。

作業(yè)研究作為教學延伸、學習衍生和評價載體，與教、學、評三維活動密不可分。整體把握、精細設計、有效管理的作業(yè)研究，可以搭建教、學、評三者的銜接鏈，實現(xiàn)其一致性并形成螺旋上升態(tài)勢（如圖2）。

二、基于“教—學—評”一致性的“作業(yè)研究”設想初探

“雞兔同籠”問題作為我國古代的數(shù)學名題之一，其教學困境主要有三：

一是教學中解法泛濫。作為歷史名題的“雞兔同籠”，難免淪為世人茶余飯后的談資，從《孫子算經(jīng)》的半頭法，到《算法統(tǒng)宗》的倍頭法，還有金雞獨立法、特異功能法、吹哨法、列表法、畫圖法、假設法、轉(zhuǎn)化法、方程法、面積法、枚舉法等，冠以不同名稱的羅列，讓學生望而生畏。

二是教學中流于形式。從應用題到問題解決，問題解決已然成為數(shù)學課堂的中流砥柱，作為數(shù)學四大目標之一，更是強調(diào)了其在數(shù)學學習的地位和價值，數(shù)學中不乏“發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—解決問題—得出結(jié)論”等系列流程的模式教學，如同按下了復制鍵一般，只有軀殼沒有靈魂。學生在解決問題的過程中缺乏對方法的自我思考，無法展現(xiàn)思維的形成過程，沒有深入分析不同解法的實質(zhì)，問題得不到整合，課堂教學仍然流于形式。

三是教學中建模偏頗。在強調(diào)教書育人的當下，教師義不容辭地擔此大任，在教育教學研究中注重解決問題的內(nèi)涵和外延，但由于諸多因素的影響，建?？偸浅霈F(xiàn)偏差，有的只關(guān)注內(nèi)涵，有的只關(guān)注外延，從而限制了其實際應用的廣度，加之沒有深入發(fā)掘內(nèi)核，導致模型建構(gòu)偏移重心。

依據(jù)作業(yè)研究的要求，結(jié)合“雞兔同籠”的教學難點，本課時將在“丁丁基礎”“丁丁遷移”“丁丁提升”“丁丁實踐”四個板塊分別安排相關(guān)題組，深入淺出，提升趣味性。“丁丁基礎”板塊觀察對比，在差異中發(fā)現(xiàn)共通之處，在變中找不變；“丁丁遷移”板塊探究“雞鴨同籠”問題，尋本溯源；“丁丁提升”板塊感受“雞兔同籠”相關(guān)問題，建構(gòu)模型意識；“丁丁實踐”板塊了解“雞兔同籠”問題源流，設計解決方案，通過系列活動開闊學生的眼界，形成富有深度的素材。

三、基于“教—學—評”一致性的“作業(yè)研究”實踐路徑

作業(yè)研究建立于課標、教材和學情的基礎之上，從而實現(xiàn)“教—學—評”一致性。教——教師依托丁丁“和問合探”課堂教學模式的實踐與推進對學生進行教導；學——以“探究活動”材料為載體的學生學習經(jīng)驗的積累過程；評——“送你一朵丁香花”評價系統(tǒng)下對學生學習所獲情感、知識技能、思想和經(jīng)驗的綜合評估。我們旨在改變目前教學中教、學、評三者的單向、獨立、平行的現(xiàn)狀，明確素養(yǎng)目標，在目標的上位指引下實現(xiàn)“教、學、評”三者的互聯(lián)、互動、互通，最終實現(xiàn)學生的素養(yǎng)發(fā)展。

（一）緊扣教學目標，制定作業(yè)目標

在“教—學—評”一致性的引領(lǐng)下，更強調(diào)凸顯學生主體地位，不僅著眼整體水平，而且聚焦個體差異，讓作業(yè)指向教學目標，使二者有機統(tǒng)一，實現(xiàn)數(shù)學作業(yè)功能的最優(yōu)化。關(guān)注教學目標與新課標的有機統(tǒng)整，充分考慮本班、本校、本區(qū)域?qū)W生的實際情況。制定作業(yè)目標時，要充分體現(xiàn)目標的科學性、可測性、針對性，凸顯作業(yè)目標的導向功能。在思考制定“雞兔同籠”問題課時作業(yè)目標前，我們發(fā)掘新課標與之相關(guān)描述、研讀教學目標、調(diào)查了解本班學情，設計了如圖3的作業(yè)目標。

四個作業(yè)目標中，第1點、第2點關(guān)注全體學生的發(fā)展水平，達成本課時的基本目標；第3點、第4點依據(jù)學生的個體差異，滿足不同學生的學習需求。作業(yè)目標3要求能力稍弱的學生先學會依葫蘆畫瓢，實現(xiàn)“會用”能力的發(fā)展；作業(yè)目標4在情感以及價值認同上進行提升，為能力較強的學生搭建平臺，讓其靈活運用，體現(xiàn)思維和創(chuàng)造能力，實現(xiàn)“活用”能力的發(fā)展。筆者在制定課時作業(yè)目標時考慮到不同學生的實際情況，并進行分層設計，使每個學生跳一跳也能夠得到。

（二）分析內(nèi)容知識水平，規(guī)劃雙向細目表

課時作業(yè)目標敲定之后，需要根據(jù)教材進行深入分析，厘清本單元的教學安排以及相關(guān)內(nèi)容的知識脈絡，牢牢抓住教學重點、難點。從目標的涉及面、類型的安排情況、水平的層次性確定作業(yè)水平、題目類型、難易程度的占比，并預估作業(yè)完成的耗時量?！半u兔同籠”問題是蘇教版數(shù)學六年級下冊“選擇策略解決實際問題”單元第二課時的內(nèi)容，學生已經(jīng)明白了大量的現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系，獲得了比較豐富的解決問題的經(jīng)驗，并對整理已知條件和問題、分析數(shù)量關(guān)系、解決問題的一般步驟，以及列舉、轉(zhuǎn)化、假設等常用解題策略有較為深刻的感悟，已經(jīng)形成一定分析問題、解決問題的能力。其重點為能夠解決雞兔同籠及其相關(guān)問題，體會其中所蘊含的數(shù)學方法，建構(gòu)雞兔同籠問題模型，難點在于理解假設法中每一步的算理。

結(jié)合本課時的作業(yè)目標和內(nèi)容，我們設計了雙向細目表。（見表1）

從表1可以明晰看出本課時內(nèi)容的知識水平分布以及作業(yè)所涉及的相關(guān)類型，可以多方位地考查學生對本課時知識的認知和掌握情況。

（三）結(jié)合課時知識要點，設計課時作業(yè)

課時作業(yè)的設計要緊緊圍繞課時教學目標，帶領(lǐng)學生回顧深化知識內(nèi)涵，溝通與生活之間的聯(lián)系，綜合運用，提升學生核心素養(yǎng)。

1.深耕知識內(nèi)核，形成知識序列

課時作業(yè)首先要鞏固例題知識，掌握“雞兔同籠”問題的解題方法和技巧（如圖4）。一星題為“練一練”相似題，只改變了數(shù)字，幫助學生熟練“雞兔同籠”問題的解決辦法，可以選擇畫圖、列表、假設等自己喜歡的方法加以說明；二星題、三星題改變條件，將已知“雞和兔的總只數(shù)”分別換成“雞的只數(shù)是兔子只數(shù)的2倍”“兔比雞少5只”，由已知二者之和變成二者倍比關(guān)系或者二者之差，條件的更換隨之而來的是解題思路的變換。

問題一讓學生觀察3道題之間的區(qū)別與聯(lián)系，意在首先讓學生發(fā)現(xiàn)“條件”這個顯性的變化，其次通過“條件”變化深層次探索解題路徑的轉(zhuǎn)換：還可以使用原來的畫圖、列表、假設等方法解決嗎？這樣是否方便？進而發(fā)現(xiàn)二星題、三星題如果仍然采用畫圖、列表，會增加很多工作量，效率不高，所以選擇假設法進行思考。在確定解題方法后繼續(xù)研究，既然3道題都可以使用假設法，假設過程中是否有相通之處，一星題、二星題假設全部都是雞或者全部都是兔；三星題假設兔和雞一樣多，一只兔有4條腿，一只雞有2條腿，兔的腿數(shù)是雞的2倍，將所有的兔變成雞，這樣就有3份同樣多的雞。不難看出3道題都是將兩種動物假設成一種動物，便于思考計算。

厘清了3道題框架結(jié)構(gòu)以及聯(lián)系，問題二讓學生自己挑選1題解答，雖然難易程度略有差別，但是訓練的思維點一致，學生可以根據(jù)自身情況選擇想要挑戰(zhàn)的星級練習。

2.突出本質(zhì)屬性，建構(gòu)問題模型

為什么是“雞兔同籠”，而不是“雞鴨同籠”？學生會有這樣的疑問。既然緣起疑問，那就來解決疑問，一道“雞鴨同籠”題目應運而生（如圖5）。

問題一讓學生試著解決，出現(xiàn)了以下三種情況：第一種，認為此題無解，在用假設法解決時，原有腿的條數(shù)和假設之后總腿數(shù)一樣多，無法繼續(xù)求解；第二種，認為此題多解，雞和鴨的只數(shù)可以分別是1和34、2和33、3和32、4和31……；第三種，認為“腿有70條”這一條件多余，因為只要雞和鴨一共35只，腿的總只數(shù)肯定就是70。因為雞和鴨都是兩條腿，沒有差量，導致“雞鴨同籠”問題沒有唯一的解，這類題目的實際意義不大。

在問題一的探索中學生感受到了“雞兔同籠”問題和“雞鴨同籠”問題的本質(zhì)區(qū)別。問題二在此基礎上讓學生自己設計一個“雞兔同籠”相關(guān)問題，有的學生改變數(shù)量，有的學生更換情境事物，如“雞豬問題”“牛鴨問題”，還有的學生既改變數(shù)量，又更換情境事物，甚至打破2和4的配比限制，跳出動物的框架，如2元和5元、汽車和自行車車輪等。由此將“雞兔同籠”問題與生活建立聯(lián)系，將其推廣到日常情境之中，“雞兔同籠”問題并非局限于“雞”“兔”一對情境，而是可以拓展為許許多多生活場景中的事物，雖然對象改變了，但是結(jié)構(gòu)不變、實質(zhì)不改，“雞兔同籠”問題正是這一類問題的原型，建模由此拉開序幕。

3.強調(diào)對標找差，重視應用遷移

以“丁丁遷移”板塊中四個學生作品為原型進行加工，呈現(xiàn)圖6中四道“雞兔同籠”模型題，星級題目供學生自主選擇其中一題完成。第一題較為簡單，將情境設定為“郵票問題”，1元5角和2元的配比相差為5角或0.5元，打破了原有的2和4配比，思路不變，解題時關(guān)注單位統(tǒng)一即可；一星題將情境設定為“答題問題”，將已知兩個未知量設定為做對1題得10分，做錯2題倒扣5分，重點理解倒扣5分，一正一負的相差15分；二星題將情境設定為“油桶問題”，對已知條件稍做調(diào)整，由已知兩個未知量的不同倍數(shù)和，變?yōu)閮蓚€未知量的不同倍數(shù)差，仍然可以使用假設法，重點關(guān)注假設之后數(shù)量變化規(guī)律；三星題將2個未知量變?yōu)?個未知量，已知3個未知量的和，以及3個未知量兩組不同倍數(shù)的和，在各方面都進行了升級。3個未知量，學生的畏難情緒不禁油然而生，細細琢磨下來發(fā)現(xiàn)蜻蜓和蟬都是6條腿，對于總腿數(shù)而言只有6條腿和8條腿之分，蜘蛛沒有翅膀，對于總翅膀?qū)?shù)而言只有2對和1對之分，兩個條件本質(zhì)上都只有兩個未知數(shù)，有了以上認識三星題也就迎刃而解。

基于“教—學—評”一致性的作業(yè)研究內(nèi)涵豐富，有助于學生從現(xiàn)實生活中抽象出數(shù)學問題，會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界；有助于學生從數(shù)學的范疇理解和解釋現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界；有助于學生掌握描述和交流的方式，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界，其對發(fā)展學生核心素養(yǎng)、培養(yǎng)學生綜合應用能力、形成數(shù)學知識體系化脈絡具有重要意義。

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