黃梅娟
在解決不等式恒成立或能成立問題時(shí),我們常常根據(jù)不等式的特征將其左側(cè)和右側(cè)變成結(jié)構(gòu)一致,再通過構(gòu)造函數(shù),利用所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性,簡化運(yùn)算和降低難度,此方法稱為同構(gòu)法. 本文通過實(shí)例分析,利用同構(gòu)法處理等式問題或不等式恒成立問題.
例1 (2020年全國Ⅰ卷理12題)若2a+log2a=4b+2log4b,則().
A. a>2b B. a<2b C. a>b2 D. a>b2
析解:本題是選擇題壓軸題,試題涉及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、不等式.對學(xué)生的要求較高,但學(xué)生如果能對等式兩側(cè)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)加以分析,再利用函數(shù)的性質(zhì),能得到正確答案.構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x+logx2,顯然y=f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.又2a+loga2=4b+2logb4=22b+logb2<22b+log2b2,所以f(a) 例2 (2021年湖北孝感期末)若x0為函數(shù)f(x)=e2lnx+x-2+lnx-2的一個(gè)零點(diǎn),則e2-x0+lnx0的值為. 析解:由于x0為函數(shù)y=f(x)的一個(gè)零點(diǎn),因此e2lnx0+x0-2=2-lnx0.這是一個(gè)超越方程,直接求x0是求不出來的,但分析等式兩邊的結(jié)構(gòu)特征,通過整體代換的思想,也能解決此問題. 顯然有2-lnx0>0,因此等式可以化為2lnx0+x0-2=ln(2-lnx0),進(jìn)一步可以化為lnx0+x0=ln(2-lnx0)+(2-lnx0). 很顯然,等號左右兩側(cè)具有相同的結(jié)構(gòu),構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnx+x,因此有g(shù)(x0)=g(2-lnx0),又因?yàn)閥=g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,所以x0=2-lnx0,因此e2-x0+lnx0=x0+2-x0=2. 評注:一般地,對于aea≥blnb型指對共存,其同構(gòu)方式有三種形式: 例5 (2020年新高考全國I卷)若aex-1-lnx+lna≥1對x>0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 析解:本題是利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題,一般方法是將參數(shù)看著常數(shù)直接構(gòu)造函數(shù),常用分類討論思想,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值,從而得出參數(shù)的取值范圍. 對學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)較高,有一定的難度.但如果能將不等式結(jié)構(gòu)看清楚,運(yùn)用同構(gòu)的思想,能很快解決此問題. 由于aex-1=elna+x-1,因此對x>0,aex-1-lnx+lna≥1恒成立等價(jià)于ex+lna-1+x+lna-1≥lnx+x,可得ex+lna-1+(x+lna-1)≥lnx+elnx. 構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex+x,很顯然y=g(x)單調(diào)增加,且g(lna+x-1)≥g(lnx),因此lna+x-1≥lnx,分離參數(shù)lna≥lnx-x+1,再次構(gòu)造函數(shù)φ(x)=lnx-x+1,很容易求得φ(x)的最大值為0,因此實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,+∞). 評注:一般地,對于ea+a≥b+lnb型指對共存,同構(gòu)方式有兩種形式: (1)左同構(gòu),構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex+x; (2)右同構(gòu)ea+lnea≥b+lnb,構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnx+x. A. a=bB. a 析解:本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值問題,如將 通過以上實(shí)例可見,適當(dāng)?shù)姆趴s能減少很多計(jì)算量,指對共存的函數(shù)關(guān)系中如果用同構(gòu)思想和切線不等聯(lián)合能起到很好的效果,解決此類問題首先需要運(yùn)用兩個(gè)恒等式a=lnea和a=elna局部變形,然后利用ex≥x+1和ln(x+1) 參考文獻(xiàn) [1] 孫 平.例談指對數(shù)混合式問題的同構(gòu)解法[J],中學(xué)數(shù)學(xué)研究(華南師大), 2022,11,27-28. [2] 李軍民.同構(gòu)法——數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)分析的視角[J],中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2022,05,56-57.