馮雯霞

［摘? 要］ 均值不等式可用于最值問題中，具體求解時可采用合理的方法進(jìn)行拼湊簡化，構(gòu)建滿足均值不等式使用的形式. 常見的均值不等式拼湊簡化方法有“定積”和“定和”、常數(shù)代換、代入消元、換元構(gòu)造以及連續(xù)均值. 文章利用實例解析構(gòu)建思路，結(jié)合教學(xué)實踐提出相應(yīng)建議.

［關(guān)鍵詞］ 均值不等式；方法； 拼湊；連續(xù)

均值不等式廣泛應(yīng)用于最值問題中，可利用其性質(zhì)特征直接求解得到答案. 具體使用時需要關(guān)注問題條件，合理配湊簡化方法. 均值不等式的配湊方法較多，下面結(jié)合實例具體講解.

■ 配湊簡化方法的探究

方法1 “拼湊定和”與“拼湊定積”.

歸納總結(jié) 上述求解立體幾何中的線段最值問題時，采用的是均值不等式的“拼湊定和”模型. 使用“拼湊定和”模型與“拼湊定積”模型求最值，需要先觀察積與和哪個是定值，然后根據(jù)“和定積動，積定和動”來完成. 不滿足模型的可以拼湊補(bǔ)形. 對于與函數(shù)有關(guān)的題型，還可以用到配系數(shù)法、正負(fù)變法、添項法、拆項法等.

方法2 常數(shù)代換.

歸納總結(jié) 本題為圓錐曲線中與特征參數(shù)相關(guān)的最值問題，解題關(guān)鍵是掌握圓上的點到定點距離的最值求解方法，推導(dǎo)a，b之間的關(guān)系，利用常數(shù)代換配湊出符合均值不等式的形式.

利用常數(shù)代換拼湊出符合均值不等式的形式，關(guān)鍵是找到有常數(shù)的式子（最好是結(jié)果為1的式子）. 解題時需要注意兩個方面：①注意目標(biāo)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，確認(rèn)是否需要整體乘“1”；②注意常數(shù)的獲得方法，可根據(jù)已知代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征靈活處理.

方法3 代入消元.

代入消元，即求解多元不等式、多元函數(shù)最值問題時，先用一個參數(shù)來表示其他參數(shù)，減少變量的個數(shù)，再用均值不等式獲得答案. 解題時要注意“一正、二定、三相等”這三個核心條件.

歸納總結(jié) 上述求解代數(shù)式的最大值時，采用的是代入消元法. 代入消元的方式有多種，常用的有：①把其中一個變量用其他變量表示后代入消元；②對齊次式構(gòu)造比值消元.

方法4 換元構(gòu)造.

換元構(gòu)造對圓錐曲線中的無理數(shù)問題有著廣泛應(yīng)用，具體求解時可先整理代數(shù)式，關(guān)注其結(jié)構(gòu)特征，提取相關(guān)變量，再進(jìn)行變量代換，構(gòu)造符合均值不等式的形式獲得答案. 具體求解時還可結(jié)合圓錐曲線的相關(guān)知識構(gòu)建函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象輔助分析.

例4 已知函數(shù)

f（x）=ln2x，0

解析 因為ln（2－x）+ln2=ln2（2－x），可推知y=ln2x與y=ln（2－x）+ln2的圖象關(guān)于直線x=1對稱，作出函數(shù)y=f（x）的大致圖象（如圖2所示）.

歸納總結(jié) 上述求解代數(shù)式的取值范圍時，采用的是換元構(gòu)造法，即通過變換主元、整體代換的方式來構(gòu)造符合均值不等式的形式. 常用的換元構(gòu)造法有兩種形式，一是代數(shù)換元，具體求解時先對等式進(jìn)行拼湊補(bǔ)形，再進(jìn)行換元，結(jié)合函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性進(jìn)而求解最值；二是三角換元，具體求解時結(jié)合三角函數(shù)知識，將已知的多個變量轉(zhuǎn)化和化歸為三角函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)求最值的方法來求解.

方法5 連續(xù)均值.

解法教學(xué)探討

上述深入探究均值不等式的使用方法，結(jié)合實例具體分析，并歸納總結(jié)方法策略. 在實際教學(xué)中，要立足不等式的性質(zhì)，開展均值不等式的推理證明，引導(dǎo)學(xué)生理解其使用條件；歸納總結(jié)拼湊簡化方法，幫助學(xué)生構(gòu)建解題思路；開展應(yīng)用探究，提升學(xué)生的解題能力.

1. 立足不等式的性質(zhì)，開展均值不等式的推理證明

均值不等式對求解最值問題有重要作用，不等式的性質(zhì)是建立均值不等式的基礎(chǔ)，因此開展均值不等式的論證推導(dǎo)要從不等式的性質(zhì)入手. 教學(xué)時要引導(dǎo)學(xué)生深刻理解均值不等式使用條件的含義：“一正”，指的是各項必須為正數(shù)；“二定”，指的是積為定值和有最小值，和為定值積有最大值；“三相等”，指的是用均值不等式求最值時，需要討論等號成立的條件.

2. 歸納總結(jié)拼湊簡化技巧，幫助學(xué)生構(gòu)建解題思路

上文歸納總結(jié)了均值不等式拼湊簡化五種方法，分別為“定積”和“定和”、常數(shù)代換、代入消元、換元構(gòu)造以及連續(xù)均值，需要從以下三個方面探究學(xué)習(xí)：一是挖掘方法內(nèi)容，總結(jié)相應(yīng)模型；二是結(jié)合實例具體分析，開展過程探究；三是歸納方法技巧，總結(jié)解題注意點，形成相應(yīng)的解題思路. 教學(xué)中要把握方法內(nèi)涵，挖掘思想方法，解題時引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問題特征，思考均值不等式拼湊簡化方法，內(nèi)化形成解題策略.

3. 開展應(yīng)用探究，提升學(xué)生的解題能力

教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生掌握方法并內(nèi)化方法，充分提升學(xué)生的解題能力. 均值不等式除了可應(yīng)用于參數(shù)取值、不等式恒成立等問題外，還可應(yīng)用于圓錐曲線、立體幾何、數(shù)列特征方程、平面向量等問題（其應(yīng)用不局限于常規(guī)的最值問題）. 探究教學(xué)時要注意以下三點，一是精選問題，問題要有代表性，難度適中，不宜過偏過難；二是解題時的思維引導(dǎo)，要給予學(xué)生充足的時間供學(xué)生充分思考；三是解后反思，要及時總結(jié)方法經(jīng)驗.