陳燕

［摘? 要］ 在研究雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中，教師應(yīng)將研究的主動權(quán)交給學(xué)生，通過創(chuàng)設(shè)有效的問題情境引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷動手實(shí)驗(yàn)、自主探究、合作交流等活動，以此充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究的樂趣，促進(jìn)探究性學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)的真正發(fā)生，有效提高課堂教學(xué)有效性.

［關(guān)鍵詞］ 類比；探究性學(xué)習(xí)；深度學(xué)習(xí)

雙曲線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程更是重中之重. 若教學(xué)中直接呈現(xiàn)定義及標(biāo)準(zhǔn)方程讓學(xué)生理解和記憶，則難以引發(fā)深度學(xué)習(xí)，不利于學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升. 因此，在日常教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)實(shí)際創(chuàng)設(shè)有效問題，讓學(xué)生在問題的驅(qū)動下主動參與定義及標(biāo)準(zhǔn)方程形成的過程，以此深化學(xué)生對知識的理解，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力及數(shù)學(xué)素養(yǎng).

教學(xué)分析

雙曲線是繼橢圓后又一重要的圓錐曲線，它在生活中有重要的應(yīng)用價(jià)值. 在研究雙曲線之前，學(xué)生研究過橢圓，兩者既有聯(lián)系又有區(qū)別，因此教學(xué)中應(yīng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行新舊知識的類比，讓學(xué)生將橢圓的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)順利地遷移到雙曲線中，以此增強(qiáng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

高中生雖然具備一定的空間想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)，但是面對抽象的定義和性質(zhì)時(shí)依然會產(chǎn)生畏難情緒，因此教學(xué)中應(yīng)提供更多機(jī)會讓學(xué)生去實(shí)驗(yàn)、去觀察、去類比，以此通過多感官的協(xié)同發(fā)展促成探究性學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)，提高課堂教學(xué)有效性.

教學(xué)過程

1. 新舊聯(lián)系，有的放矢

引例 如圖1所示，用一個(gè)平面去截兩個(gè)對頂圓錐的組合體，圓錐的表面和截面相交的曲線可能是什么曲線？

設(shè)計(jì)意圖 根據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論，從學(xué)生熟悉的問題入手，讓學(xué)生觀察抽象幾何圖形，學(xué)生自然會提出疑問：這個(gè)曲線我們研究過嗎？它是如何定義的？會有怎樣的特征呢？

問題1 類比橢圓的定義，你能直接給雙曲線下定義嗎？

問題2 如何用符號語言來表示雙曲線的定義呢？

問題3 類比研究橢圓的經(jīng)驗(yàn)，知道雙曲線的定義后，還要研究哪些內(nèi)容？

設(shè)計(jì)意圖 運(yùn)用“開門見山”的問題點(diǎn)明本節(jié)課研究的主題，激發(fā)學(xué)生的探究欲. 在探究欲的驅(qū)動下，學(xué)生會主動與橢圓定義的研究方法和經(jīng)驗(yàn)相類比，為接下來研究雙曲線的定義做鋪墊.

2. 動手實(shí)驗(yàn)，直觀感知

問題4 如果讓你畫出雙曲線的圖形，你會嗎？

3. 數(shù)學(xué)建構(gòu)，解鎖方程

問題5 如何求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？

師生先共同回顧橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，然后預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生自行推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，教師巡視指導(dǎo).

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生已經(jīng)理解并掌握了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，且具有一定的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，因此教師放手讓學(xué)生獨(dú)立推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以此提高學(xué)生的邏輯推理能力，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

經(jīng)過幾分鐘思考與探究后，大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)完成了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，教師鼓勵(lì)學(xué)生提出自己在推導(dǎo)過程中遇到的問題.

生1：兩次平方后整理得到（a2－c2）x2+a2y2=a2（a2－c2），感覺有點(diǎn)不太對，怎么和橢圓的方程一樣呢？難道是我運(yùn)算出錯(cuò)了？

師：大家真的太棒了. 結(jié)合雙曲線與橢圓的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，得到了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 類比橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程也分為焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上兩種，那么焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程又會是什么呢？

設(shè)計(jì)意圖 呈現(xiàn)學(xué)生的思維過程，通過有效的啟發(fā)和引導(dǎo)，幫助學(xué)生排疑解惑. 學(xué)生推導(dǎo)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程后，教師引導(dǎo)他們對比分析，發(fā)現(xiàn)焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

4. 知識應(yīng)用，深化理解

例1 以下方程是雙曲線嗎？如果是，請指出a，b，c的值及焦點(diǎn)的坐標(biāo).

設(shè)計(jì)意圖 通過具體練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生思考辨析，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對雙曲線的概念及其標(biāo)準(zhǔn)方程的理解與記憶.

例2 已知雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（－3，0），（3，0），雙曲線上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離差的絕對值為4，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

設(shè)計(jì)意圖 通過適度練習(xí)達(dá)到鞏固“雙基”的目的，同時(shí)通過變式訓(xùn)練揭示問題的本質(zhì)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)生的解題信心.

5. 反思提煉，升華認(rèn)知

問題6 回顧探究過程，你有哪些收獲？

設(shè)計(jì)意圖 預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生回顧反思，歸納總結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識，掌握了哪些方法，還有哪些困惑，通過深度交流進(jìn)一步了解學(xué)生所思、所想、所惑，為針對性練習(xí)提供依據(jù)，促進(jìn)“減負(fù)增效”的落實(shí).

教學(xué)思考

1. 貫徹“以生為本”教學(xué)理念，引導(dǎo)自主探究

課堂教學(xué)的主體是學(xué)生，因此課堂教學(xué)應(yīng)貫徹“以生為本”教學(xué)理念，從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā)，設(shè)計(jì)符合學(xué)生實(shí)際學(xué)情的教學(xué)活動，以此來提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 在本節(jié)課教學(xué)中，教師為學(xué)生營造了一個(gè)和諧、平等的學(xué)習(xí)氛圍，通過適時(shí)的啟發(fā)和點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生積極思考、主動探究. 在這樣的情境下學(xué)習(xí)，學(xué)生的思維是活躍的，課堂氛圍是愉悅的，有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和思維能力的發(fā)展與提升.

2. 關(guān)注數(shù)學(xué)思想，引發(fā)深度學(xué)習(xí)

在本節(jié)課的探索過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生類比橢圓相關(guān)內(nèi)容，這樣既促進(jìn)舊知的鞏固，又為新知的探究指明了方向. 類比思想是數(shù)學(xué)中的重要思想方法，教學(xué)中教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生對相關(guān)或相似內(nèi)容進(jìn)行類比，以此通過對相同點(diǎn)與不同點(diǎn)的深度探究，逐漸形成觀察發(fā)現(xiàn)、積極思考的習(xí)慣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3. 合理設(shè)計(jì)問題，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

在本節(jié)課教學(xué)中，教師沒有直接將內(nèi)容呈現(xiàn)給學(xué)生，而是以學(xué)生的認(rèn)知水平為出發(fā)點(diǎn)，精心設(shè)計(jì)問題，讓學(xué)生在問題的驅(qū)動下積極思考、主動操作、積極交流，以此啟迪學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生的探究欲. 同時(shí)，通過問題的解決加深學(xué)生對雙曲線本質(zhì)的理解，提高學(xué)生分析和解決問題的能力. 在教學(xué)中，教師應(yīng)認(rèn)真研究學(xué)生，了解學(xué)生的實(shí)際學(xué)情，以便通過最近發(fā)展區(qū)問題的設(shè)置來引發(fā)深度學(xué)習(xí)，提高教學(xué)的有效性.

4. 鼓勵(lì)合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)合作意識

動手實(shí)踐、自主探究與合作交流是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要形式. 在教學(xué)中，教師要為學(xué)生營造合作氛圍，培養(yǎng)學(xué)生主動獲取知識的能力和創(chuàng)新思維. 在本節(jié)課教學(xué)中，教師讓學(xué)生以小組為單位繪制雙曲線，自主設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案與策略，為學(xué)生營造了良好的合作氛圍，提高了課堂教學(xué)效率.

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不能大包大攬，而應(yīng)多提供一些機(jī)會給學(xué)生自主探究與合作交流，以此通過學(xué)習(xí)形式的多樣化來調(diào)動學(xué)生參與課堂的積極性，提高課堂教學(xué)的有效性.